Praca doktorska - Instytut Geofizyki

UNIWERSYTET WARSZAWSKI
Wydział Fizyki
Zakład Optyki Informacyjnej
Analiza turbulencji powstającej za osłoną samolotowego ultraszybkiego termometru chmurowego
ROZPRAWA DOKTORSKA
Mgr Bogdan Rosa
Promotor:
Prof. dr hab. Tomasz Szoplik
Warszawa 2005 r.
2
Pragnę wyrazić serdecznie podziękowania:
Profesorowi Tomaszowi Szoplikowi za wyrozumiałość, wsparcie i opiekę naukową podczas całego
okresu studiów doktoranckich,
Profesorowi Krzysztofowi Hamanowi za wprowadzenie mnie w tematykę chmurowych pomiarów
temperatury,
Doktorowi Konradowi Bajerowi za życzliwość, niezliczone dyskusje, oraz wprowadzenie mnie w
tematykę mechaniki płynów i wirów,
Profesorowi Jackowi Rokickiemu za pomoc w wyborze właściwego narzędzia do symulowania
drobnoskalowych turbulencji atmosferycznych.
Profesorowi Szymonowi Malinowskiemu za inspirujące i cenne rady, które wzbogaciły niniejszą
pracę.
3
SPIS TREŚCI
1
WSTĘP ......................................................................................................................................... 6
1.1
1.2
1.3
2
PRZEDSTAWIENIE PROBLEMU ................................................................................................... 6
CELE I TEZY PRACY.................................................................................................................... 7
TREŚĆ PRACY ............................................................................................................................. 8
ULTRASZYBKI TERMOMETR CHMUROWY ................................................................. 10
2.1 BUDOWA TERMOMETRU .......................................................................................................... 10
2.2 FIZYCZNE PODSTAWY POMIARU TEMPERATURY .................................................................... 11
2.3 CHARAKTERYSTYKA DZIAŁANIA TERMOMETRU – WYNIKI DOŚWIADCZEŃ ........................... 13
2.3.1 Wpływ odsysania na pomiar temperatury.............................................................................. 13
2.3.2
Pojawianie się pasożytniczych częstości w pomiarach ......................................................... 14
2.3.3
Wpływ zmiany kąta natarcia na mierzoną temperaturę ......................................................... 15
2.3.4
Zderzenia z kroplami chmurowymi ....................................................................................... 17
3
MODELOWANIE PRZEPŁYWU .......................................................................................... 18
3.1
3.2
3.3
3.4
3.4.1
WPROWADZENIE ...................................................................................................................... 18
OPROGRAMOWANIE ................................................................................................................. 19
DYSKRETYZACJA CZASU .......................................................................................................... 19
WARUNKI BRZEGOWE ORAZ KONSTRUKCJA SIATKI OBLICZENIOWEJ ................................... 20
Obszar symulacji .................................................................................................................... 20
3.4.2
Warunki brzegowe ................................................................................................................. 21
3.4.3
Konstrukcja siatki obliczeniowej ........................................................................................... 22
4
WYNIKI DWUWYMIAROWEJ SYMULACJI DROBNOSKALOWEJ TURBULENCJI24
WYNIKI MODELOWANIA PRZEPŁYWU W PRZYPADKU OSŁONY BEZ ODSYSANIA .................... 24
WYNIKI MODELOWANIA PRZEPŁYWU W PRZYPADKU OSŁONY Z ODSYSANIEM ..................... 27
ADIABATYCZNE ZMIANY TEMPERATURY ................................................................................ 29
UZASADNIENIE PRZYJĘCIA PRZYBLIŻENIA ADIABATYCZNEGO - WPŁYW GRZANIA LEPKIEGO NA
POMIAR TEMPERATURY ........................................................................................................... 29
4.5 ZALEŻNOŚĆ CIŚNIENIA OD KĄTA NATARCIA ........................................................................... 33
4.6 ANALIZA FOURIEROWSKA CZASOWYCH ZMIAN CIŚNIENIA OTRZYMANYCH W SYMULACJI .. 35
4.6.1 Wpływ aliasingu na rejestrowane częstości ........................................................................... 35
4.1
4.2
4.3
4.4
4.6.2
Wpływ prędkości na częstości podstawowe .......................................................................... 36
4.6.3
Wyjaśnienie powstawania dwóch lub więcej częstości w pomiarze temperatury ................. 38
4.6.4
Wnioski .................................................................................................................................. 39
4.7
4.8
5
4
ZALEŻNOŚĆ CIŚNIENIA I JEGO FLUKTUACJI OD PRĘDKOŚCI PRZEPŁYWU.............................. 39
WNIOSKI ................................................................................................................................... 41
SYMULACJA PRZEPŁYWU KROPEL WOKÓŁ OSŁONY CHMUROWEGO TERMOMETRU
SAMOLOTOWEGO ................................................................................................................. 43
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
WPROWADZENIE ...................................................................................................................... 43
WSTĘPNE WYNIKI MODELOWANIA RUCHU KROPEL I ANALIZA DOKŁADNOŚCI ..................... 44
OPTYMALIZACJA WARTOŚCI CIŚNIENIA ODSYSANIA .............................................................. 45
TRAJEKTORIE KROPEL ............................................................................................................ 49
STATYSTYKA ROZKŁADU KROPEL W SĄSIEDZTWIE DRUTU OPOROWEGO ............................. 52
FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZDERZENIA KROPEL Z CZUJNIKIEM TEMPERATURY
.................................................................................................................................................. 55
WNIOSKI ................................................................................................................................... 58
5.7
6
MODELOWANIE PRZEPŁYWU W TRZECH WYMIARACH........................................ 59
7
INNE KSZTAŁTY OSŁON ..................................................................................................... 66
KSZTAŁT „ŁODZI PODWODNEJ” .............................................................................................. 66
OSŁONA SKŁADAJĄCA SIĘ Z TRZECH ELEMENTÓW ................................................................ 70
OSŁONY W KSZTAŁCIE POCISKÓW DO BRONI PNEUMATYCZNEJ ............................................ 73
7.1
7.2
7.3
8
WIZUALIZACJA PRZEPŁYWU PŁYNÓW – PRZEGLĄD TECHNIK .......................... 76
9
OPTYCZNE METODY WIZUALIZACJI WIRÓW OPARTE NA FILTRACJI
PRZESTRZENNEJ WIDMA ................................................................................................... 78
9.1 WSTĘP ...................................................................................................................................... 78
9.2 WPŁYW FLUKTUACJI CIŚNIENIA NA OPTYCZNE WŁASNOŚCI OŚRODKA ................................. 79
9.2.1 Analiza jakości obrazowania z użyciem filtru Foucaulta ...................................................... 80
9.2.2
Amplitudowy trójstopniowy filtr Hoffmana .......................................................................... 83
9.2.3
Amplitudowy filtr pierwiastkowy .......................................................................................... 84
9.2.4
Amplitudowo-fazowy filtr Zernikego .................................................................................... 86
9.2.5
Porównanie własności czterech filtrów ................................................................................. 87
9.2.6
Podsumowanie ....................................................................................................................... 92
9.3
ANALIZA PARAMETRÓW UKŁADU OPTYCZNEGO PRZYSTOSOWANEGO DO BADANIA WIRÓW W TUNELU
AERODYNAMICZNYM ................................................................................................................ 93
10 KOŃCOWE PODSUMOWANIE I WNIOSKI ...................................................................... 98
10.1 ELEMENTY NOWOŚCI PRACY ................................................................................................... 99
LITERATURA ............................................................................................................................... 101
5
1 Wstęp
1.1
Przedstawienie problemu
Jednym z ważnych przedmiotów badań fizyki atmosfery w ostatnich latach są procesy drobnoskalowe zachodzące w chmurach. Do prowadzenia analiz teoretycznych wykorzystuje się wysokorozdzielcze
dane pomiarowe pochodzące z różnych obszarów i typów chmur. Ważna jest znajomość pola temperatury
z rozdzielczością rzędu 1 cm. Fluktuacje temperatury w tej skali odgrywają istotną rolę w mikrofizycznych i
dynamicznych procesach zachodzących w atmosferze. Pomiar przestrzennego zróżnicowania pola temperatury wraz z rejestracją rozmiarów i koncentracji kropel pozwalają lepiej zrozumieć ewolucję chmur. Wiedza
o rozkładzie temperatury przydatna jest również do badania własności radiacyjnych chmur oraz ich oddziaływania z promieniowaniem słonecznym.
Zasadniczym problemem w badaniu niejednorodności o skali 101-10-3 m jest pozyskiwanie danych
pomiarowych. Pomiary muszą być wykonywane z pokładu samolotu lub balonu, gdyż rozdzielczość naziemnych urządzeń do zdalnej detekcji jest zdecydowanie niewystarczająca do śledzenia tego typu procesów. W przypadku pomiaru temperatury ograniczenie wynika również ze zbyt małej rozdzielczości przestrzennej typowych termometrów lotniczych oraz z ich wrażliwości na zwilżanie w czasie przelotu przez
chmury. Termometry standardowo montowane na samolotach nie nadają się do badań procesów drobnoskalowych, ponieważ dla typowych prędkości lotniczych pozwalają osiągnąć maksymalną rozdzielczość przestrzenną równą zaledwie 10 m przy błędach pomiaru rzędu 1 ºC.
Zdając sobie sprawę z niedoskonałości istniejących przyrządów do pomiaru temperatury, w Zakładzie Fizyki Atmosfery Instytutu Geofizyki UW podjęto wysiłek zbudowania nowego termometru, który
dostarczałby dane z rozdzielczością przestrzenną bliską 1 cm. Efektem prac był zbudowany na początku lat
dziewięćdziesiątych prototyp termometru chmurowego VTU-1 (Haman, 1992). Elementem sondującym
termometru była termopara chromel-konstantan w postaci drutu o średnicy 76 m. Od tamtego czasu termometr był kilkakrotnie modernizowany (Malinowski i Leclerc, 1994; Haman i inni, 1997, 2001). Termopara została zastąpiona przez cienki drut termo-oporowy o bardzo małej pojemności cieplnej i wynikającej
z tego krótkiej stałej czasowej rzędu 0,1 ms. W kolejnych wersjach termometru częstość próbkowania
zwiększała się od 400 Hz (Malinowski i Leclerc, 1994), przez 1 kHz (Haman i Malinowski, 1996; Haman
i inni, 1997), aż do 10 kHz (Haman i inni, 2001). Biorąc pod uwagę prędkość przepływającego powietrza,
ostatecznie oznaczało to osiągnięcie rozdzielczości przestrzennej rzędu 1 cm. Poprawiona została ochrona
sensora przed kroplami chmurowymi. Pierwotna osłona o trójkątnych przekroju została zastąpiona osłoną
o symetrycznym przekroju w kształcie zbliżonym do elipsy. W osłonie wycięto szczeliny do odsysania warstwy przyściennej przepływającego powietrza i wody. Dzięki modyfikacji konstrukcji parametry użytkowe
termometru znacznie wzrosły. Termometr był wykorzystywany w wielu międzynarodowych programach
badawczych, takich jak: SMCS (Floryda, 1995), CFDE (Kanada, 1998), AIRS (Kanada, 1999-2000), DYCOMS II (USA, 2001) (Stevens i inni, 2003), EMERALD (Australia, 2001) oraz BBC2 (Holandia, 2003)
(Korolev i Isaac, 2000).
Obecnie wykorzystywanie termometru UFT nie sprowadza się jedynie do badania procesów chmurowych. Ważnym zastosowanie ultraszybkiego termometru stała się możliwość prowadzenia precyzyjnych
pomiarów turbulencji optycznych w atmosferze, czyli przestrzennych fluktuacji współczynnika załamania
(French i inni, 2001). Parametrem opisującym własności optyczne turbulencji atmosfery jest stała strukturalna fluktuacji współczynnika załamania C n2 (Goodman, 1993, § 8.4.2). Turbulencje optyczne w atmosferze są wynikiem fluktuacji gęstości powietrza. Wewnątrz warstwy granicznej atmosfery fluktuacje te powstają najczęściej wskutek zaburzeń temperatury i zawartości pary wodnej. Badanie turbulencji optycznych
w wyższych warstwach atmosfery, takich jak górna troposfera i dolna stratosfera, są ważne dla projektowania laserów szeroko wykorzystywanych w teledetekcji. W wyższych partiach atmosfery turbulencje optyczne są generowane głównie przez fluktuacje temperatury.
Prace nad udoskonaleniem termometru trwają. Ich głównym celem jest zwiększenie rozdzielczości
przy zachowaniu dużych prędkości pomiarowych rzędu 100 m/s oraz poprawienie skuteczności osłony. Zasadniczym utrudnieniem prac nad udoskonaleniem termometru jest ograniczona wiedza na temat powstawania wirów za osłoną termometru. W przeprowadzonych doświadczeniach pomiar temperatury dawał infor6
macje o strukturze wirów tylko w jednym miejscu tzn. tam gdzie znajduje się sensor. Brak danych o przestrzennych cechach przepływu poważnie utrudnia zaprojektowanie nowego kształtu osłony.
Do tej pory konstruktorzy termometru dysponowali danymi z tunelu aerodynamicznego i znacznie
trudniej osiągalnymi, ze względu na koszty, danymi testowymi z pomiarów samolotowych. Badania prowadzone w tunelu aerodynamicznym Politechniki Warszawskiej i pomiary w locie wykazały, że przy prędkościach większych niż 80 m/s za osłoną drutu oporowego powstają turbulencje powietrza, które poważnie
zakłócają pomiar temperatury. Ten szum aerodynamiczny, mierzony w jednostkach temperatury, ma amplitudę około 0,2 K. Zwykła elektroniczna filtracja dolnoprzepustowa rejestrowanego sygnału nie rozwiązuje
problemu, ponieważ ogranicza rozdzielczość przestrzenną pomiarów. O charakterze szumu aerodynamicznego decyduje kształt osłonki. Kształt osłon wykorzystywanych obecnie został wybrany na podstawie doświadczeń oraz elementarnej wiedzy o profilach skrzydeł. Nie przeprowadzano doświadczeń, które pozwalałyby na wizualizację zjawisk zachodzących za osłonami o konkretnych kształtach.
Informacje o przepływie powietrza wokół osłony można uzyskać na dwa sposoby. Pierwszym sposobem jest wykonanie symulacji komputerowych. Sposób drugi to wizualizacja za pomocą aparatury
optycznej, np. metodą schlieren (Settles, 2001, § 3). Oba rozwiązania mają swoje wady i zalety. Oczywiste
zalety symulacji komputerowych to możliwość testowania różnych kształtów osłon bez konieczności ich
wcześniejszego wykonania. Dodatkowo symulacje komputerowe nie wymagają zaawansowanej i drogiej
aparatury badawczej, takiej jak tunele aerodynamiczne. Wady symulacji to błędy numeryczne oraz brak
pewności czy uzyskane rozwiązanie jest prawdziwe.
Doświadczenia z wykorzystaniem typowych układów optycznych do wizualizacji przepływów dają
rzeczywisty obraz zjawiska, ale w tym konkretnym przypadku wirów drobnoskalowych problemem jest
niewystarczająca czułość układów. Zachodzi potrzeba opracowania nowego układu optycznego czułego na
przesunięcia fazowe dużo mniejsze od długości fali wykorzystywanego światła. Układ taki pozwalałby na
obrazowanie gęstości gazu w okolicach elementu sondującego. Drugi problem związany z wizualizacją
przepływu powietrza za osłoną termometru tkwi w konieczności szybkiej rejestracji obrazu. Zgrubne oszacowania pokazują, że częstość zapisu nie może być mniejsza niż 15 kHz. Wydaje się zatem, że najkorzystniejszym rozwiązaniem jest połączenie obu technik, czyli wykonanie symulacji dwu- i trójwymiarowej oraz
optyczne sprawdzenie udoskonalonej osłony.
1.2
Cele i tezy pracy
Pierwszym celem naukowym rozprawy jest pełne wyjaśnienie mechanizmu powstawania i poznanie
własności turbulencji powietrza za osłoną ultraszybkiego samolotowego termometru chmurowego przez:
analizę wpływu odsysania na ścieżkę wirów von Karmana,
analizę wpływu kształtu osłony na turbulencje w rejonie drutu oporowego,
analizę częstości rejestrowanego sygnału (Rosa i inni, 2004 a),
optymalizację położenia drutu oporowego względem osłony.
Drugim celem rozprawy jest ustalenie optymalnej geometrii układu osłona-drut oporowy i dobór ciśnienia odsysania prowadzący do:
minimalizacji prawdopodobieństwa zderzeń kropli z drutem oporowym (Rosa i inni, 2004 b) przy
jednoczesnym
wygaszeniu ścieżki wirów von Karmana (Rosa i inni, 2005).
Trzecim celem pracy jest znalezienie optycznej metody obrazowania drobnoskalowych turbulencji,
które wywołują przesunięcie fazy wiązki świetlnej mniejsze od długości fali . W tym celu zostanie przeprowadzona analiza jakości obrazowania w układzie koherentnego procesora optycznego 4f polegająca na
filtracji widma czterema wybranymi filtrami: Hoffmana, Foucaulta, pierwiastkowego i Zernikego (Sagan
i inni, 2003). Ponieważ wymiary korelatora optycznego nie są odpowiednie, aby układ mógł być użyty
w tunelu, gdzie prowadzone były dotychczasowe badania, należy zaproponować nowy układ optyczny odpowiedni do tego celu.
7
Realizacja przedstawionych celów będzie odbywać się w dwóch etapach. Pierwszy etap polega na
wykonaniu szeregu symulacji komputerowych przepływu powietrza wokół osłony z wykorzystaniem programu FEATFLOW (http://www.featflow.de). Program ten został opracowany przez grupę profesora Stefana Turka na uniwersytecie w Dortmundzie. Jego głównym przeznaczeniem jest rozwiązywanie równań
Naviera-Stokesa metodą elementów skończonych w ośrodku nieściśliwym. Przy pomocy tego programu
zostaną wykonane między innymi:
dwu- i trójwymiarowa symulacja przepływu powietrza wokół osłony termometru z włączonym i wyłączonym odsysaniem,
badanie wpływu geometrii sieci numerycznej na wyniki symulacji,
modelowanie przepływu w zależności od kąta natarcia i różnych prędkości napływu,
badanie różnych kształtów owiewek,
optymalizacja wartości odsysania.
Należy podkreślić, że większość symulacji będzie dwuwymiarowa, chociaż z pracy Williamsona
(1996) wiemy, że w rozważanym zakresie liczb Reynoldsa [3000, 9000] mogą pojawić się cechy charakterystyczne dla przepływu trójwymiarowego. Jednakże, niniejsza praca jest poświęcona głównie analizie odsysania, które jest czynnikiem stabilizującym ścieżkę wirów von Karmana, oraz ich „ziaren”, czyli słabych
niestabilności w wydłużonych „regionach formowania” (Williamson, 1996). Przeprowadzona analiza wyników modelowania w dwóch wymiarach (2D) wykazała, że charakterystyczne cechy przepływu są podobne,
kiedy przepływ jest w pełni trójwymiarowy.
Symulacje przepływu będą obejmować także śledzenie ruchu kropel chmurowych wokół osłony. Policzone pola prędkości i informacje o długości kroku czasowego będą informacjami wejściowymi do policzenia trajektorii kropel. Równania trajektorii będą się opierać na przybliżeniu Stokesa. Zgodnie z tym prawem, siła oporu działająca na kroplę jest wprost proporcjonalna do jej względnej prędkości.
Na drugim etapie zostanie omówiona możliwość wizualizacji wirów metodami optycznymi o kształcie i ewolucji czasowej znanych z symulacji. Przeprowadzona zostanie szczegółowa analiza własności filtrów optycznych pod kątem obrazowania małych zmian gęstości powietrza wywołanych adiabatycznym
sprężaniem i rozprężaniem gazu za owiewką termometru (Sagan i inni, 2003). Ponadto omówiony zostanie
specjalnie do tego celu zaprojektowany układ optyczny, którego wymiary dobrano tak, aby umożliwić jego
użycie w tunelu aerodynamicznym na Politechnice Warszawskiej. Charakterystyka układu będzie się opierała na wynikach testów przeprowadzonych w programie komputerowym VirtualLab uwzględniającym,
w modelowaniu propagacji światła zjawisko dyfrakcji. Zasadniczym problemem będzie tu dobór działającego w płaszczyźnie widmowej filtru czułego na zmiany fazy mniejsze od . Celem symulacji będzie znalezienie filtru, który zapewni kontrast natężenia światła w płaszczyźnie wyjściowej maksymalny i liniowo
zależny od zmian fazy.
Tezy niniejszej rozprawy:
1.3

odsysanie powietrza przez szczeliny osłony niszczy wiry von Karmana,

istnieje optymalna wartość ciśnienia odsysania taka, że wiry za osłoną są wygaszane, a tory kropel są
przez odsysanie minimalne zakrzywiane,

wynikająca z symulacji znajomość częstości fluktuacji ciśnienia pozwala na dobranie takiej częstości
próbkowania sygnału, która umożliwia poprawną interpretację pomiaru temperatury.
Treść pracy
W rozdziale 2 przedstawiono budowę samolotowego ultraszybkiego termometru chmurowego.
W oparciu o dane doświadczalne omówiono charakterystykę pracy urządzenia, przy czym szczególną uwagę
zwrócono na występujące problemy i zależności. Są to między innymi zjawisko tłumienia szumu w przypadku włączenia odsysania, badanie zależności rejestrowanej temperatury od kąta natarcia osłony, analiza
widma rejestrowanego sygnału i zaburzenia pomiarowe wywołane zderzeniami kropel chmurowych z drutem oporowym. Rozdział 3 zawiera zagadnienia związane z metodą symulacji przepływu powietrza. Omówiono proces tworzenia siatek obliczeniowych, schemat dyskretyzacji równań Naviera-Stokesa w czasie
oraz korzyści wynikające z wykorzystania do tego celu metody elementów skończonych. W rozdziale
8
4 przedstawiono wyniki symulacji w dwóch wymiarach ilustrujące przepływ czystego powietrza wokół
osłony termometru. Oprócz analizy czasowych zależności ciśnienia i prędkości, w rozdziale tym przeprowadzona została analiza słuszności przybliżenia adiabatycznego, wpływu grzania lepkiego i wpływu zmiany
kąta natarcia na pomiar. Wyjaśniono przyczyny powstawania dwóch lub więcej częstości w widmie sygnału,
a także zbadano zależność ciśnienia oraz jego fluktuacji od prędkości przepływu. Z kolei w rozdziale 5 policzono trajektorie kropel chmurowych przelatujących w sąsiedztwie osłony. Rozdział ten zawiera również
analizę wpływu odsysania na trajektorie kropel oraz możliwości optymalizacji siły odsysania ze względu na
minimalizację prawdopodobieństwa zderzenia kropel z czujnikiem temperatury. Rozdział 6 zawiera wyniki
symulacji przepływu czystego powietrza w trzech wymiarach. Jest to uzupełnienie symulacji dwuwymiarowych z rozdziału 4. Wyniki symulacji przepływu powietrza wokół innych zaproponowanych kształtów
osłon takich jak „łódź podwodna” lub kształt pocisku są przedstawione w rozdziale 7. Przeglądu metod wizualizacji przepływów pod kątem wyboru metody optymalnej dokonano w rozdziale 8. W rozdziale 9 zbadano jakość obrazowania obiektów fazowych w układzie koherentnego procesora optycznego 4f. Sprawdzono cztery różne metody filtracji widma Foucaulta, Hoffmana, Zernikego i filtru pierwiastkowego. Rozdział
ten zawiera również charakterystykę zaproponowanego nowego układu optycznego, którego rozmiary są tak
dobrane aby mógł zostać wykorzystany w tunelu aerodynamicznym. Podsumowanie i wnioski w rozdziale
10 zawierają syntezę otrzymanych wyników oraz kierunki przyszłych prac.
9
2 Ultraszybki termometr chmurowy
2.1
Budowa termometru
Ultraszybki samolotowy termometr chmurowy jest oryginalną konstrukcją zaprojektowaną i wykonaną w Instytucie Geofizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Pierwsza wersja termometru (VTU) zbudowana na
początku lat dziewięćdziesiątych była montowana na motoszybowcu Ogar i samolocie Do-228 (Haman,
1992). Pomiary wykonywane przy prędkości 40 m/s dowiodły skuteczności i przydatności urządzenia,
a jednocześnie umożliwiły wprowadzenie nowych rozwiązań konstrukcyjnych. Od tamtego czasu termometr
był kilkakrotnie modernizowany (Haman i inni, 1997, 2001). Ostatnia wersja termometru (UFT-F), montowana między innymi na samolocie DLR Dornier 228, jest podstawowym narzędziem badawczym Zakładu
Fizyki Atmosfery IGF UW i unikalnym termometrem chmurowym w skali światowej.
a
b
Rys. 2.1 Samolotowy ultraszybki termometr chmurowy UFT-F: (a) wygląd ogólny (b) sposób montażu termometru
pod skrzydłem samolotu DLR Dornier Do-228.
Do pomiaru termometr wykorzystuje zależność oporności omowej metalu od temperatury. Elementem sondującym termometru jest cienki termo-oporowy drut wolframowo-platynowy o długości 5 mm
i średnicy 2.5 m. W temperaturze pokojowej opór drutu wynosi około 50 . Użycie wolframu do wykonania sondy jest uzasadnione, ponieważ metal ten cechują duża wytrzymałość mechaniczna, wysoką temperaturę topnienia 3370 C, a przede wszystkim niemal liniowa zależność oporu elektrycznego od temperatury.
Nieliniowość w zakresie temperatur 0-400 C nie przekracza 4% (Sandborn, 1972, § 11). Współczynnik
temperaturowy dla wolframu określający liniowy przyrost oporu spowodowany przyrostem temperatury w
zakresie od 0 C do 100 C jest wysoki i równy = 5,2 10-3 K-1. Dla porównania, miedź ma 4.0 10-3 K-1,
a stal zaledwie 3.3 10-3 K-1. Cienka warstwa platyny pokrywająca wolfram zabezpiecza powierzchnię drutu
przed utlenianiem. Platyna doskonale nadaje się do tego celu, ponieważ jest stabilna chemicznie i podobnie
jak wolfram wykazuje liniową zależność oporu od temperatury. Drut oporowy znajduje się za osłoną, która
chroni go przed kontaktem z wodą chmurową oraz przed uszkodzeniem w przypadku zderzeń z ziarnami
piasku lub owadami. W bocznych ściankach osłony znajdują się dwie szczeliny, przez które może być odsysane powietrze oraz woda zbierająca się na jej ściance. Przy próbach w tunelu aerodynamicznym pomiary
mogą być prowadzone zarówno gdy odsysanie jest włączone jak również bez odsysania. W obu przypadkach osłona generuje szumy aerodynamiczne, które zaburzają pomiar. Zaburzenia te były interpretowane
(Haman i inni, 2001) jako efekt powstawania ścieżki wirów w śladzie aerodynamicznym za osłoną.
Zasada działania termometru polega na monitorowaniu oporu elektrycznego czujnika Wzrost temperatury wywołuje wzrost oporu elektrycznego. Mała pojemność cieplna drutu zapewnia szybką odpowiedź na
fluktuacje temperatury występujące w drobnoskalowej turbulencji. Elektroniczny układ, w skład którego
wchodzą: źródło prądu stałego, wzmacniacz i rejestrator precyzyjnie rejestruje wartości napięcia. Częstość
rejestracji jest regulowana, zazwyczaj jednak nie przekracza 10 kHz. Rejestracja danych z częstością 10 kHz
przy prędkości samolotu 100m/s odpowiada rozdzielczości przestrzennej równej jeden centymetr.
10
a
3
b
10
5
2,6 mm
2
7
9
0,9 mm
1
4
6
5
7
8
Rys. 2.2 Samolotowy ultraszybki termometr chmurowy UFT-F: (a) schemat budowy, (b) przekrój poprzeczny przez
osłonę. Zasadniczą część urządzenia stanowi elektryczny obwód, w skład którego wchodzą: (1) drut wykonany z wolframu pokrytego platyną o średnicy 2.5 μm i długości 5 mm, (2) izolowane teflonem kable miedziane wewnątrz rurek
wykonanych ze stali nierdzewnej, (3) izolowane kable miedziane. Element sondujący jest chroniony przed kroplami
chmurowymi przez: (4) żyłkę plastikową o średnicy 0.25 mm, (5) osłonę wykonaną ze stali nierdzewnej, (6) plastikowe i stalowe rurki doprowadzające podciśnienie i odprowadzające wodę zasysaną przez szczeliny w osłonie o szerokości około 0,35 mm (7) do dyszy Venturiego (8). Pozycja termometru pod wiatr jest utrzymywana przez statecznik
(9) podłączony z tyłu do swobodnie obracającej się ramki zamontowanej w nieruchomym statywie (10).
Ultraszybki samolotowy termometr chmurowy jest aktualnie jednym z kilku zaledwie urządzeń specjalnie zaprojektowanych do prowadzenia badań turbulencji atmosfery z pokładu samolotu. Wśród nich jest
termometr zaprojektowany i wykonany przez Kukharetsa i Tsvanga (1998). Termometr Kukharetsa i Tsvanga był montowany na sterowanym przez radio modelu samolotu osiągającym prędkość maksymalną do 30
m/s. Jednak pomimo małej prędkości, rozdzielczość przestrzenna nie była zadawalająca gdyż wynosiła zaledwie 10 cm. Poważnym ograniczeniem w prowadzeniu pomiarów przy użyciu tego urządzenia jest ograniczony zasięg wynikający ze sposobu sterowania modelem samolotu. Inny lotniczy anemometer-termometr
AUSAT (Cruette i inni, 2000) rejestruje temperaturę z częstością 1 kHz przy prędkości 110 m/s. Technika
pomiaru termometrem AUSAT opiera się na pomiarze dwóch czasów propagacji fal dźwiękowych pomiędzy emiterem a detektorem zamontowanych w rurze o długości 620 mm i wewnętrznej średnicy 150 mm.
Pary dźwiękowych przetworników emiter-detektor są umieszczone prostopadle do siebie, w miejscach odpowiadającym wierzchołkom sześcianu. Rozdzielczość tego termometru również nie przekracza 10 cm.
Analizę porównawczą jeszcze innych urządzeń do pomiaru temperatury powietrza w chmurach przeprowadzili Friehe i Khelif (1993). Zbadali oni szybkość odświeżania trzech termometrów immersyjnych, które
działają w sposób analogiczny do metody działania ultraszybkiego termometru chmurowego. Pierwszy z
tych termometrów immersyjnych to standardowy Rosemount 102E4AL. Jego czujnikiem jest nawinięty spiralnie na cztery pręty z miki drut platynowy o średnicy 25 m. Termometr drugi – NCAR sonda K posiada
sensor wykonany z takiego samego drutu (Ø 25 m) o długości ~5 cm. Oba ww. termometry różnią się od
siebie rozwiązaniami konstrukcyjnymi. Trzeci termometr to zmodyfikowany Rosemount, w którym drut
platynowy został zastąpiony termistorem BB05. Testy przeprowadzone przez autorów pracy wykazują, że
stałe czasowe tych urządzeń (miary szybkości reakcji) są co najmniej o dwa rzędy większe od stałej czasowej termometru chmurowego (UFT-F). Przekłada się to na proporcjonalnie mniejszą rozdzielczość przestrzenną pomiarów.
2.2
Fizyczne podstawy pomiaru temperatury
W poprzednim rozdziale (2.1) przedstawiono budowę i ogólną koncepcję działania ultraszybkiego
termometru chmurowego. Wyjaśniono, że pomiar temperatury realizuje się poprzez monitorowanie zmian
oporności elektrycznej drutu, które są wywoływane zmiennymi warunkami termicznymi ośrodka. Pełne
zrozumienie zasady działania termometru chmurowego wymaga przeprowadzenia szczegółowej analizy
zjawisk związanych z przepływem energii cieplnej pomiędzy drutem a badanym ośrodkiem. Okazuje się, że
11
obserwowane zmiany oporu są spowodowane nie tylko zmianami temperatury otoczenia, ale też przez wiele
innych efektów, o istnieniu których należy wiedzieć, aby poprawnie interpretować wyniki pomiarów. Bilans
energii drutu o jednostkowej długości na jednostkę czasu wyraża się równaniem (Sandborn, 1972, § 2, 3 )
qS
qC
qJ
qK
qR ,
(2.1)
gdzie q S to całkowita ilość energii cieplnej zmagazynowanej w drucie. Składa się na nią: qC ciepło oddane
lub pobrane konwekcyjnie od opływającego drut strumienia powietrza, q J energia cieplna drutu powstająca
wskutek przepływu prądu elektrycznego (tzw. ciepło Joule’a), q K ciepło doprowadzane lub odprowadzane
przez końce drutu umocowane do wspornika oraz q R człon radiacyjny określający ilość wypromieniowanej
lub zaabsorbowanej energii, np. od słońca.
Ilość zmagazynowanej w drucie energii cieplnej q S zależy od jego objętości, ciepła właściwego oraz
gęstości metalu, z którego jest wykonany. Zakładając, że drut jest jednorodny, wartość q S na jednostkę długości dana jest wzorem 2.2
qS
d2
4
W
c
TW
,
t
(2.2)
gdzie d to średnica drutu, c to ciepło właściwe drutu, W oznacza gęstość drutu, t oznacza czas, a TW jest
temperaturą drutu. Iloczyn W c jest pojemnością cieplną czujnika. Im mniejsza jest pojemność cieplna, tym
szybciej termometr reaguje na zmiany temperatury otoczenia.
Konwekcyjne ochładzanie lub nagrzewanie się drutu wywołane przepływem powietrza o temperaturze T różnej od temperatury drutu TW opisuje wzór 2.3
qC
h d (TW
T) ,
(2.3)
gdzie h jest współczynnikiem przewodności cieplnej zależnym od prędkości przepływającego powietrza
oraz innych fizycznych własności ośrodka opisywanych liczbami Reynoldsa i Prandtla (Friehe i Khelif,
1993). Wartość tego współczynnika można policzyć ze wzoru
h
k
Nu ,
d
(2.4)
gdzie k 254,28 10 4 W K -1m -1 to przewodność temperaturowa powietrza, a Nu to liczba Nusselta charakteryzująca termodynamiczne warunki w warstwie przyściennej drutu w procesie wymiany ciepła pomiędzy
płynem a ścianą. Dla prędkości przepływu z przedziału 25-100 m/s liczba Nusselta zmienia się od 1.16 do
2.23 (Haman i inni, 1997). Zjawisko konwekcyjnej wymiany ciepła między drutem a otoczeniem odgrywa
najważniejszą rolę w bilansie energetycznym opisanym równaniem 2.1.
Ilość ciepła wydzielonego wskutek przepływu prądu o natężeniu I przez drut oporowy, który w temperaturze T0 ma przewodności elektryczną 0 można policzyć korzystając prawa Joule’a-Lenza. Jego wartość jest dana równaniem
4I 2 0 1
(2.5)
qJ
[1
(TW T0 )] ,
d2
gdzie
to temperaturowy współczynnik oporu. Wpływ ciepła wydzielanego na oporze omowym na pomiar
temperatury jest zaniedbywalny. Moc wydzielanej energii cieplnej wywołanej przepływem prądu jest niewielka ~0,4 mW. Skoro pomiar temperatury polega na monitorowaniu czasowych zmian względnego oporu,
a w trakcie pomiaru wartość q J praktycznie się nie zmienia, wkład tego składnika można pominąć. Zmiany
ciepła wydzielanego w drucie oporowym pod wpływem różnicy temperatury są znacznie mniejsze od zmian
6,8 10 3 .
ciepła konwekcyjnego q J / qC 1,32
12
Wymiana ciepła q K drutu ze wspornikiem powoduje niejednorodne nagrzewanie drutu, co z kolei
prowadzi do nierównomiernej zmiany jego oporności. Ilość odprowadzonego ciepła zależy od grubości drutu i przewodności cieplnej metalu kW , z którego jest wykonany (Sandborn, 1972, § 2)
qK
d2
4
kW
2
TW
.
x2
(2.6)
Wkład tego członu zależy od precyzji wykonania spawu, zatem jego wartość jest różna dla każdego wyprodukowanego egzemplarza. W przypadku, gdy stosunek długości drutu do jego szerokości wynosi nie mniej
niż 2000, ten człon można pominąć (Friehe i Khelif, 1993). Dla termometru chmurowego stosunek ten jest
równy dokładnie 2000, zatem ilość ciepła odprowadzanego w ten sposób może zostać w bilansie energetycznym zaniedbana. Wymiana ciepła między drutem oporowym a wspornikiem jest zaniedbywalna w porównaniu z wymianą konwekcyjną, ponieważ stosunek q K / qC D / LNu -0.5 5 10 4 (Sandborn, 1972,
wzór 2.46).
Zmiany temperatury drutu wywołują także emisja promieniowania termicznego oraz pochłanianie
energii słonecznej. Wartość wypromieniowanej energii jest proporcjonalna do różnicy czwartych potęg temperatur
qR
SB
d (TW4
T 4),
(2.7)
[0, 1] współczynnik emisji drutu. Wkład q R do
gdzie SB oznacza stałą Stefana-Boltzmanna, natomiast
pomiaru temperatury jest mały. Jego wartość zależy liniowo od średnicy i zdolności emisyjnej powierzchni
drutu. Z powodu małej średnicy drutu wartość q R jest zaniedbywalna. Zgrubne oszacowania mocy promieniowania słonecznego pochłanianego przez drut dają wynik na poziomie q R max 0.05mW . Zaś, maksymalna ilość ciepła wypromieniowanego z drutu ( 1) w stosunku do ciepła odprowadzonego przez konwekcję
wynosi q R / qC Nu -1 2 10 4 10 4 .
Bilans energii drutu na jednostkę czasu po odrzuceniu q J , q K , q R , upraszcza się do postaci
dTW
dt
4kNu(T TW )
2
W cd
1
(T
TW ) ,
(2.8)
gdzie jest stałą czasową termometru, czyli czasem, którego drut oporowy potrzebuje do osiągnięcia 63,2%
(1 - e-1) nowej wartości rezystancji przy skokowej zmianie temperatury otoczenia. Wartość zależy od własności metalu, z którego drut jest wykonany, grubości drutu oraz od prędkości przepływu powietrza, gdyż
liczba Nusselta jest funkcją liczby Reynoldsa. Dla typowych prędkości pomiarowych z zakresu 25-100 m/s
wartość stałej czasowej należy do przedziału (0,7 – 1,4) 10-4 s (Haman i inni, 1997). Szczegółowa analiza
konsekwencji wynikających z istnienia stałej czasowego termometru zostanie przedstawiona w rozdziale
4.6.
2.3
Charakterystyka działania termometru – wyniki doświadczeń
Konstruktorzy termometru przeprowadzili szereg testów laboratoryjnych w celu zbadania charakterystyki pracy urządzenia. Przeprowadzono eksperymenty zarówno w tunelu aerodynamicznym, jak również
bezpośrednio w chmurach, z pokładu samolotu. Analiza wyników doświadczeń daje podstawę do określenia, czy rejestrowane wartości wynikają z konstrukcji urządzenia, czy też są rzetelnymi informacjami o temperaturze ośrodka. Dane doświadczalne nie zawierają informacji o przestrzennym przepływie powietrza
wokół osłony termometru i trudno na ich podstawie wywnioskować, co stanowi główne źródło szumu. Dane
te pokazują natomiast pewne istotne zależności, takie jak wpływ odsysania na pomiar, zależność średniej
temperatury od kąta natarcia osłony oraz wpływ zderzenia kropli z drutem. Z tego powodu ich znajomość
stanowi główne kryterium oceny poprawności wykonanych symulacji.
2.3.1
Wpływ odsysania na pomiar temperatury
Pierwsze doświadczenie miało na celu doprowadzić do oszacowania wpływu odsysania na rejestrowane fluktuacje temperatury. Pomiary wykonano w tunelu aerodynamicznym, ponieważ łatwiej niż z pokła13
du samolotu można prowadzić obserwacje. Zbadano dwa przypadki działania termometru: przy odsysaniu
włączonym i wyłączonym. Doświadczenie przeprowadzono w tunelu, w którym napływający strumień powietrza był niemal laminarny, co pozwala wykluczyć wszelkie pasożytnicze efekty związane ze zmianą w
czasie kierunku wektora prędkości napływających elementów płynu.
Tr+0.7
Tr+0.6
Z włączonym
odsysaniem
Temperatura [K]
Tr+0.5
Tr+0.4
Tr+0.3
Tr+0.2
Bez odsysania
Tr+0.1
Tr+0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Czas [s]
Rys. 2.3 Pomiary temperatury zarejestrowane w tunelu aerodynamicznym przy prędkości powietrza 80 m/s. Poziom
szumu znacznie się zmniejsza, kiedy odsysanie jest włączone.
W omawianym eksperymencie ciśnienie w szczelinach osłony przy prędkości napływającego powietrza 80 m/s wynosiło około 10 kPa.
Z przeprowadzonego doświadczenia wypływają dwa ważne wnioski:
odsysanie obniża poziom szumu,
średnia temperatura przy włączonym odsysaniu jest wyższa o około 0,35 K.
Obserwacje wskazują, że odsysanie zmienia charakter przepływu powietrza tuż za osłoną. Nie można jednak
stwierdzić jednoznacznie, czy w obu przypadkach za osłoną pojawia się ścieżka wirów von Karmana, czy
też przepływ jest chaotyczny. Równie trudno jest, stwierdzić czy zmiana amplitudy szumu związana jest
wyłącznie ze stabilizacją przepływu.
2.3.2
Pojawianie się pasożytniczych częstości w pomiarach
Dane z pomiarów samolotowych poddano analizie fourierowskiej. Rysunek 2.4 przedstawia fragment serii pomiarowych oraz widma sygnałów.
14
Prędkość samolotu 70 m/s
10
0.1
0.05
PSD [K*K/Hz]
Fluktuacje temperatury [K]
0.15
0
-0.05
10
-2
10
-3
-0.1
10
200
400
600
800
-1
?
-4
1000
1
10
200
samolotu 90 m/s
Częstość próbkowania 10Prędkość
kHz
2
10
Częstość [Hz]
3
10
0.15
0.05
PSD [K*K/Hz]
Fluktuacje temperatury [K]
-1
10
0.1
0
-0.05
-0.1
10
-2
10
-3
?
-4
10
200
200
400
600
800
1000
Częstość próbkowania 10 kHz
1
10
2
10
3
10
Częstość [Hz]
Rys. 2.4 Wpływ prędkości lotu samolotu na poziom rejestrowanego szumu. Po lewej stronie fragmenty serii pomiarowych wykonanych w spokojnym powietrzu przy dwóch różnych prędkościach: 70 m/s i 90 m/s. Po prawej stronie
przedstawione są ich widma mocy. Piki w okolicach 50 Hz i 400 Hz były generowane poprzez urządzenia elektroniczne samolotu. Konstruktorzy podejrzewają, że częstość w okolicach 4 kHz jest charakterystyczną częstością szumu
generowanego przez osłonę termometru.
Analizując wyniki pomiarów konstruktorzy wskazali przypuszczalne źródła, które odpowiadają za
pojawienie się pasożytniczych częstości w zarejestrowanych seriach pomiarowych. Piki w okolicach 50 Hz i
400 Hz były generowane poprzez urządzenia elektroniczne samolotu. Jako możliwą przyczynę pojawienia
się częstości 4 kHz wskazano charakterystyczną częstość odrywania się wirów od osłony termometru. Trudno się jednak się z tym zgodzić. Wprawdzie nie istnieją żadne potwierdzone doświadczalnie dane, które
mogłyby zweryfikować prawdziwość tych przypuszczeń, ale można odnieść się do innych kształtów, jak np.
opływu wokół cylindra o zbliżonej wielkości, dla którego istnieją dokładne dane laboratoryjne. Częstość
odrywania się wirów od cylindra o średnicy 0,9 mm i prędkości napływu powietrza 80 m/s wynosi około 17
kHz. Nie należy się spodziewać tak dużej różnicy wartości w przypadku zmiany kształtu z cylindrycznego
na owalny. Ta rozbieżność wymaga głębszego poznania zjawiska przepływu i poszukania innych przyczyn
pojawiania się szumu o tej częstości.
2.3.3
Wpływ zmiany kąta natarcia na mierzoną temperaturę
Należało oczekiwać, że poziom szumu w pomiarach samolotowych będzie uzależniony od względnego położenia osłony i drutu oporowego oraz od kierunku napływającego powietrza. Dokładniejsze pomia15
ry przeprowadzone w tunelu aerodynamicznym (rys. 2.6) wykazały, że zmiana kąta natarcia wpływa znacząco na mierzoną temperaturę oraz na poziom szumów.
Mierzona średnia temperatura zależała od kąta natarcia oraz od tego czy odsysanie było włączone. W
przypadku włączonego odsysania maksimum średniej temperatury zarejestrowano dla kąta natarcia równego
zero, tzn. wtedy, gdy czujnik temperatury znajdował się dokładnie za osłoną, a kierunek napływu powietrza
był zgodny z osią symetrii osłony. Odwrotną zależność otrzymano dla przypadku z wyłączonym odsysaniem
– wtedy maksimum temperatury przypadało dla dużych kątów natarcia, gdy czujnik był praktycznie odsłonięty.
Statecznik utrzymuje ramkę w pozycji pod wiatr, tzn. zgodnie z kierunkiem napływającego powietrza. Umieszczenie drutu oporowego i osłony współosiowo na swobodnie obracającej się ramce w znacznej
mierze eliminuje problem związany ze zmianą kąta natarcia osłony w trakcie lotu i zapewnia trwałą jednakową ochronę czujnika w czasie całego prowadzonego pomiaru pod warunkiem niezbyt silnej turbulencji.
Wyniki opisanych wyżej doświadczeń tunelowych posłużą jako kryterium poprawności symulacji.
a
Fluktuacje temperatury [K]
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-20
-15
10
5
0
5
10
15
20
15
20
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
1
b
Fluktuacje temperatury [K]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-20
-15
10
5
0
5
10
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
Rys. 2.5 (a) Zapis pomiaru temperatury wykonany termometrem UFT-F w funkcji kąta odchylenia statecznika od
kierunku napływu powietrza w przypadku włączonego odsysania. Standardowe odchylenie poziomu szumu dla drutu
zasłoniętego przez osłonę wynosi 0,043 K, a dla nie-zasłoniętego 0,023 K. (b) Tak samo jak dla (a), ale z wyłączonym
odsysaniem.
16
2.3.4
Zderzenia z kroplami chmurowymi
Jedna z najważniejszych obserwacji dotyczyła skuteczności ochrony drutu oporowego przed zderzeniem z kroplami chmurowymi. Okazuje się, że zderzenie z kroplą wody może prowadzić do chwilowego
spadku mierzonej temperatury nawet o kilka stopni. Spadek ten może wynikać:
ze zmniejszenia efektywnej oporności między przewodami oznaczonymi (2) na rysunku 2.2 w wyniku powstania obwodu równoległego do drutu pomiarowego (efekt bocznikowania),
z utraty ciepła spowodowanej pobieraniem go przez wodę w procesie parowania (efekt psychrometryczny).
5
Temperatura [ C]
UFT-2 +0.4 C
4.5
35 cm
UFT-1
4
3.5
3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Dystans [cm]
Rys. 2.6 Fragment zapisu temperatury pochodzący z dwóch termometrów UFT, zarejestrowany podczas lotu z prędkością 70 m/s przez chmurę cumulus mediocris. Spadek temperatury trwający około 5 ms zmierzony przez termometr
UFT-1 jest wynikiem zderzenia się kropli wody z drutem oporowym tego termometru.
W jednym z lotów zjawisko zderzenia kropli z drutem zaobserwowano szczególnie wyraźnie. Analiza zapisów pomiarów temperatury pochodzących z dwóch termometrów umieszczonych w pewnej odległości od siebie wykazała, że zakłócenie pomiaru nastąpiło na dystansie około 35 cm.
Jednakże, na podstawie dotychczasowych pomiarów w locie nie można było wyciągnąć wniosków,
dla jakiej wielkości kropel prawdopodobieństwo zderzeń jest największe oraz jaki jest związek między
kształtem widma kropel chmurowych a prawdopodobieństwem zderzenia. Nie wiadomo również, w jaki
sposób odsysanie w osłonie wpływa na trajektorie kropli. Można się spodziewać, że odsysanie zakrzywia
trajektorie kropel, zwiększając w ten sposób prawdopodobieństwo kolizji. Znajomość tej zależności pozwoliłaby na ustalenie optymalnej wartości ciśnienia odsysania przez szczeliny osłony.
17
3 Modelowanie przepływu
3.1
Wprowadzenie
Modelowanie przepływów w mechanice płynów polega na poszukiwaniu rozwiązań równań różniczkowych opisujących badany układ fizyczny. Te równania wynikają z podstawowych zasad zachowania:
energii, masy i pędu. W ogólnej formie są one skomplikowane i tylko w niektórych, uproszczonych przypadkach posiadają ścisłe rozwiązanie analityczne. Często stosuje się przybliżenia, które pozwalają na
uproszczenie zagadnień. Jednym z ważniejszych przybliżeń jest założenie o nieściśliwości ośrodka. Stosuje
się je do wyznaczania pól prędkości cieczy i gazów, gdy prędkość przepływu jest mniejsza od prędkości
dźwięku. W przypadku przepływu czystego powietrza wokół osłony termometru takie przybliżenie jest uzasadnione, ponieważ liczba Macha nie jest duża – wynosi około 0,3. W przybliżeniu nieściśliwym te równania znane są jako równania Naviera-Stokesa (NS) i mają postać
ui
t
ui
xi
xj
u j ui
xj
ui
xj
uj
xi
P
xi
gi
(3.1)
0,
gdzie ρ jest gęstością powietrza, u prędkością, t czasem,
wnętrznym polem sił masowych, np. grawitacją.
lepkością dynamiczną, P ciśnieniem, a g ze-
Przybliżenie nieściśliwe oznacza w zasadzie założenie stałej gęstości wzdłuż trajektorii lub w całej
objętości płynu. Można jednak zinterpretować je również jako pole prędkości z zerową dywergencją lub
jako cechę ośrodka, w którym akustyczne zaburzenia ciśnienia rozchodzą się z nieskończoną prędkością.
Złożoność, stabilność i charakter rozwiązania takiego układu równań w głównej mierze zależy od liczby
Reynoldsa
Re
uD
(3.2)
gdzie u oznacza prędkość napływu powietrza, D charakterystyczną długość przedmiotu (szerokość osłonki),
ρ gęstość powietrza, a lepkość dynamiczną. Ta bezwymiarowa stała wyraża stosunek sił bezwładności do
sił lepkości i stanowi informację o możliwości pojawienia się turbulencji. Na przykład w przewodzie cylindrycznym ruch laminarny płynu przechodzi w ruch turbulentny dla liczb Reynoldsa większych od 2100.
Dla przepływu powietrza wokół osłony termometru liczba Reynoldsa liczona dla szerokości osłony
0,9 mm i laminarnie napływającego strumienia powietrza z prędkością równą 80 m/s wynosi 4900. Należy
się więc spodziewać, że przepływ ma charakter turbulentny. Rozwiązanie analityczne takiego problemu jest
skomplikowane, dlatego niezbędne jest wykorzystanie technik komputerowych CFD (ang. computer fluid
dynamics). Istnieje wiele sposobów numerycznego rozwiązywania równań NS. Ogólnie metody te można
podzielić na dwie grupy: metody różnic skończonych oraz metody spektralne. Jedną z tych ostatnich jest
metoda elementów (objętości) skończonych (FEM ang. finite element methods).
Metoda różnic skończonych sprowadza się do przejścia w równaniu różniczkowym od pochodnych
do odpowiednich ilorazów różnicowych - czyli przejścia od równań różniczkowych do równań różnicowych, które wiążą ze sobą wartości szukanej funkcji w pojedynczych, odosobnionych punktach. Te punkty
są wybierane tak, aby tworzyły siatkę strukturalną złożoną z identycznych elementów. Najczęściej są nimi
prostokąty (dla siatek płaskich) i prostopadłościany (dla siatek objętościowych). Siatka tego typu jest doskonała dla obszarów o kształcie zgodnym z kształtem elementów. W przypadku osłony, która ma kształt eliptyczny, takie podejście posiada poważne ograniczenie, ponieważ siatka musiałaby być bardzo gęsta, aby
dobrze aproksymować owalne kształty osłony. Ponadto, jednorodne w całym obszarze symulacji nadmierne
zagęszczenie siatki mogłoby wydłużyć czas obliczeń.
Do wykonania modelu przepływu powietrza wokół osłony termometru chmurowego lepiej nadaje się
jedna z metod spektralnych, zwana metodą elementów skończonych (FEM). Metoda ta umożliwia wykonywanie obliczenia na siatkach niestrukturalnych, w których nie jest ustalony ani rozmiar, ani kształt elementu.
18
Dzięki tej właściwości, siatki mogą lepiej oddawać kształt osłony. Zaletą FEM jest również to, że w miejscach o dużej dynamice przepływu można lokalnie zagęścić siatkę, co w rezultacie prowadzi do minimalizacji błędu rozwiązania. Ogólna idea działania metod elementów skończonych polega na aproksymacji rozwiązania prostymi funkcjami: stałymi, liniowymi lub co najwyżej drugiego stopnia. W tej metodzie równania Naviera-Stokesa są rozwiązywane w formie słabej (Pang, 2001, § 8.5), czyli takiej, w której występują
tylko pierwsze pochodne. Forma słaba posiada dwie istotne przewagi nad zwykłą formą różniczkową (mocną). Po pierwsze, aproksymacja rozwiązania funkcjami wymaga od nich mniejszego stopnia różniczkowalności niż w przypadku mocnej formy. Po drugie, słabe sformułowanie pozostaje w niezmienionej postaci,
gdy w zagadnieniu występują nieciągłości. W przypadku formy różniczkowej mocnej obecność nieciągłości
uniemożliwia stosowanie prostych schematów dyskretyzacji, gdyż prowadzi to do pojawienia się nieskończoności. Poza tym, obniżenie stopnia równania powoduje, że rozwiązanie łatwiej jest znaleźć w klasie
funkcji o mniejszej regularności (gładkości) (Lawrence, 2002, § 1).
Obliczenia prowadzane na siatkach niestrukturalnych metodą elementów skończonych są zwykle
bardziej złożone i czasochłonne niż te prowadzone metodą różnic skończonych, ale łączny czas obliczeń
wymagany do przeprowadzenia symulacji jest często krótszy w metodzie FEM. Dzieje się tak dlatego, że
metody FEM wymagają mniejszej liczby węzłów siatki do opisu modelu, zwłaszcza w przybliżeniu brzegów
o skomplikowanym kształcie (Turek, 1999).
3.2
Oprogramowanie
Tworzenie stabilnych programów do numerycznego rozwiązywania równań Naviera-Stokesa jest zadaniem skomplikowanym i czasochłonnym. Z tego powodu inżynierowie oraz naukowcy, którzy potrzebują
rozwiązać problem nieściśliwego i lepkiego przepływu korzystają zazwyczaj z istniejących dostępnych pakietów. Przegląd dostępnych programów można znaleźć na stronie internetowej (http://www.cfdonline.com/Resources/soft.html). Spośród wielu programów działających w oparciu o metodę elementów
skończonych do najbardziej znanych należy FLUENT (http://www.fluent.com/software/fluent). Jest to pakiet programów, który poza rozwiązywaniem typowych problemów z zakresu mechaniki płynów może być
wykorzystywany do analizy wybuchu pyłów oraz turbulentnych procesów spalania. Innym równie znanym
programem jest FIDAP (http://www.fluent.com/ software/fidap). Jest to narzędzie do przeprowadzania symulacji numerycznych z zakresu mechaniki płynów i wymiany ciepła. Program ten umożliwia rozwiązywanie problemów obejmujących przepływy nieściśliwe, topnienie i krzepnięcie w warunkach konwekcji swobodnej, wzrost kryształów, mieszanie i oczyszczanie, a także proces natryskiwania plazmowego. Z kolei
program CFD2000 (http://www.adaptive-research.com/) umożliwia rozwiązywanie ściśliwych i nieściśliwych przepływów, a jeszcze inny – ANSYS/FLOTRAN (http://www.ansys.com/products/flotran.htm) jest
stosowany do obliczeń wytrzymałościowych konstrukcji, obliczeń dynamiki przepływów oraz analizy zjawisk w polach elektromagnetycznych; umożliwia modelowanie i symulację w zakresie mechaniki konstrukcji i płynów. Do wykonania symulacji przepływu powietrza wokół osłony został wykorzystany pakiet FEATFLOW (http://www.featflow.de/). Jest to typowy zestaw algorytmów do symulowania przepływów metodą elementów skończonych. Przy tworzeniu pakietu FEATFLOW główny nacisk był położony na wydajność działania. Program był z sukcesem stosowany do rozwiązywania różnych złożonych problemów. Autorzy spodziewają się poprawnego działania programu nawet dla liczb Reynoldsa rzędu 105, a zatem większych niż w przypadku przepływu wokół osłony.
3.3
Dyskretyzacja czasu
Do dyskretyzacji pochodnych czasowych w układzie równań 3.1 użyto trójkrokowego algorytmu
Cranka-Nicolsona. Jego schemat działania wyraża się wzorami (Turek, 1999, § 3.2):
un
1
K
un
0,5 vΔu n
1
un
1
un
1
p
f n 1;
un
u n ],
un
1
0,
(3.3)
a prawa strona pierwszego równania 3.3 jest równa
fn
1
0,5g n 1 0,5g n 0,5 [ vΔu n

(3.4)
0
19
gdzie K=tn+1-tn, oznacza całkowitą długość kroku. Na jeden pełny krok składają się trzy małe
K=k1+k2+k3. u n 1 to wektor prędkości w chwili tn+1, u n to wektor prędkości w chwili tn, p to wartość ciśnienia w chwili tn+1, v
/ jest lepkością kinematyczną równą v 1,4710 5 m 2 s 1 . Nowa zmienna p odpowiada ilorazowi ciśnienia i gęstości p = P/ . Wyrazy zawierające g są równe zero, ponieważ wpływ sił
masowych, takich jak grawitacja, jest zaniedbywalny.
Całkowita długość każdego kroku czasowego była dobierana adaptatywnie przez wbudowany w algorytm mechanizm sprawdzający dynamikę zachodzących zmian. Jego długość wahała się w przedziale [t min
= 0.001 ms; tmax = 0.005 ms]. Granice przedziału zostały zdefiniowane jawnie, a ich wartości dobrano w
oparciu o wyniki kilku wstępnie przeprowadzonych testów. Wyniki dowiodły, że badany problem przepływu jest zadawalająco rozwiązywany dla wartości z tego przedziału.
3.4
3.4.1
Warunki brzegowe oraz konstrukcja siatki obliczeniowej
Obszar symulacji
Pierwszym krokiem wieloetapowego procesu konstruowania siatki obliczeniowej jest zdefiniowanie
granic obszaru symulacji. Obszar należy wybrać tak, aby obejmował wszystkie rejony wokół osłony i drutu
oporowego, w których zachodzą interesujące procesy fizyczne. Dostatecznie duży obszar zapewnia, że
sztuczne elementy rozwiązania mogące pojawiać się w okolicach brzegu obszaru nie będą miały zasadniczego wpływu na istotne cechy przepływu. Jednocześnie wybrany obszar powinien być możliwie mały, aby
zminimalizować liczbę niezbędnych do przeprowadzenia operacji numerycznych. Symulacje przepływu
wymagają prowadzenia złożonych rachunków, które są czasochłonne i wymagają dużych mocy obliczeniowych komputera.
Na podstawie elementarnej wiedzy o konstrukcjach siatek obliczeniowych do stworzenia modelu pozwalającego w pełni zobrazować wszystkie interesujące cechy przepływu, dystans pomiędzy wlotem a
przodem osłony oraz pomiędzy tyłem osłony i wylotem powinien być co najmniej trzy razy większy od długości osłony L = 2.6 mm. Dodatkowo po obu jej bocznych stronach odległość do brzegu obszaru powinna
wynosić co najmniej L. W pracy wielkość obszaru została nieco ograniczona. Z przodu obszaru, gdzie nie
spodziewano się dużej dynamiki jak również z powodu, że obszar ten nie jest istotny do analizy zjawiska
propagowania się wirów, dystans skrócono do 1.5 mm. Nieco zawężona została również zawężona szerokość obszaru – do 2.55 mm zamiast wymaganych 2.6 mm. Szereg przeprowadzonych testów wykazał, że nie
ma to wpływu na zachowanie się pola ciśnienia w śladzie przepływu. Dystans pomiędzy końcem osłony a
drutem oporowym równy 6.5 mm wynika z budowy obecnie używanej wersji termometru. Ta odległość została wybrana na drodze eksperymentalnej, po przeanalizowaniu wyników doświadczeń prowadzonych w
tunelu. Zapewnia ona stosunkowo skuteczną ochronę przy niskim poziomie rejestrowanego szumu.
Kierując się przedstawionymi wyżej warunkami przyjęto, że optymalnym obszarem będzie prostokąt
o wymiarach 6x12 mm (rys. 3.1). Kształt osłony został przybliżony poprzez odcinki prostej (aproksymacja
liniowa). Łącznie cały kształt osłony termometru opisuje 48 odcinków.
20
S4 wylot
12 mm
1.5 mm
L=2.6 mm
S3 wylot
6.5 mm
S8
1.4 mm
6 mm
D=0.9 mm
S6
S7
S1 wlot
sensor
S5
3 mm
2.55 mm
S2 wylot
Rys. 3.1 Kształt i wymiary obszaru, na którym wykonano symulację przepływu powietrza. S1 to wlot powietrza; S2,
S3, S4 wyloty; S5 i S6 ściana osłony; a S7, S8 to szczeliny, przez które powietrze jest zasysane. D i L to odpowiednio:
szerokość i długość osłony.
3.4.2
Warunki brzegowe
Symulacja przepływu w otwartej przestrzeni jest dużym wyzwaniem numerycznym. Wykonanie na
stosunkowo niewielkiej siatce modelu procesów fizycznych, które w rzeczywistości zachodzą na znacznie
większym obszarze, jest typowym problemem każdej symulacji. W niniejszej pracy przyjęto warunki brzegowe, charakterystyczne dla sformułowania słabego równań Naviera-Stokesa. Ważną zaletą wykorzystania
metody elementów skończonych w badanym problemie jest możliwość łatwego zdefiniowania podciśnienia
w szczelinach osłony. Istotne jest też to, że nie postuluje się szczegółowych rozwiązań rozkładu ciśnienia na
brzegach. Rozkłady te są nieznane i stanowią część rozwiązania (Turek, 1999, § 3.5). Wstępne testy działania algorytmu wykazały, że przyjęty sposób definiowania warunków brzegowych nie ma wpływu na szczegóły efektu tłumienia wirów za osłoną.
Tabela 3.1 Warunki brzegowe użyte w symulacji przepływu powietrza w dwóch przypadkach - z odsysaniem i bez
odsysania - w szczelinach S7 i S8. Symbole użyte w tabeli zaznaczone są na rysunku 3.1.
Warunki brzegowe
Bez odsysania
Z odsysaniem
Granice wlotu
in
= S1
in
Granice wylotu
out
= S 2 + S3 + S 4
out
Składowa normalna prędkości na wlocie
u
Składowa styczna prędkości na wlocie
υ
Znikanie wektora prędkości na osłonie
Średnie ciśnienie na wylocie
Średnie ciśnienie w szczelinach osłony
in
in
= U = 80m / s
u
=0
υ
= S1
in
in
= S 2 + S3 + S 4
= U = 80m / s
=0
u S5 = u S6 = 0
u S5 = u S6 = 0
υ S5 = υ S6 = 0
υ S5 = υ S6 = 0
0
-
0
-10000 Pa
Warunki brzegowe przedstawione w Tabeli 1. opisują szczegóły przepływu czystego powietrza w sąsiedztwie czujnika temperatury znajdującego się w odległości 6,5 mm za osłona termometru.
Symbole użyte w Tabeli 1 zostały wyjaśnione na rysunku 3.1. Na wlocie zadana jest stała wartość
prędkości U = 80 m/s w kierunku normalnym do krawędzi wlotu. W symulacjach uwzględniono dwa przypadki przetestowane w eksperymencie (Haman i inni, 2001). W przypadku, kiedy odsysanie jest wyłączone,
obie składowe prędkości (normalna i styczna do powierzchni osłony) są równe zero na całej powierzchni
osłony. Średnie ciśnienie na wylocie jest równe zero. W przypadku, kiedy odsysanie jest włączone, średnie
ciśnienie statyczne w przekroju szczeliny jest równe 104 Pa. To jest jedyna różnica między dwoma rozpatrywanymi przypadkami.
Symulacje wykonano dla lepkości dynamicznej równej
= 1,47 10 5 kg m 1 s 1 .
21
3.4.3
Konstrukcja siatki obliczeniowej
Wyznaczenie obszaru symulacji i postawienie odpowiednich warunków brzegowy umożliwia przejście do kolejnego etapu jakim jest zdefiniowanie zgrubnej siatki obliczeniowej. Do jej wygenerowania użyto
programu Devisorgrid 2 (http://www.featflow.de/) będącego częścią składową pakietu FEATFLOW. Zgrubna siatka to prosty podział obszaru symulacji na elementy, z zachowaniem informacji o kształcie osłony.
Pokrywanie całego obszaru elementami rozpoczyna się od wskazania położeń węzłów siatki. Położenia te
wyznaczono ręcznie, poprzez podawanie współrzędnych miejsca, w którym ma się znajdować każdy z węzłów. Wykonano kilka siatek obliczeniowych stosując różne sposoby ich zagęszczania. Takie, których węzły są jednorodnie rozmieszczone w całym obszarze, jak również siatki adaptywnie zagęszczone w obszarach warstwy przyściennej i w śladzie przepływu, czyli tam, gdzie spodziewano się dużej dynamiki przepływu. Łączenie sąsiadujących ze sobą węzłów odcinkami tworzącymi zamknięte figury płaskie doprowadziło do pokrycia obszaru symulacji czworokątami.
Utworzone w ten sposób siatki zgrubne należą do typu siatek blokowo-strukturalnych, co oznacza tyle, że można je podzielić na kilka rozłącznych bloków, wewnątrz których każdy węzeł ma dokładnie czterech sąsiadów. Węzły leżące w miejscu stykania się bloków mogą mieć więcej niż czterech sąsiadów. Przykłady siatek użytych do testowania wpływu ich geometrii na jednoznaczność rozwiązania przedstawiono na
rysunku 3.2.
A
C
E
B
D
F
Rys. 3.2 Przykłady zgrubnych siatek użytych w symulacjach. Większość symulacji wykonano na zagęszczonej siatce
A.
Ostatni etap to jednorodne zagęszczanie siatek mające na celu osiągnięcie dostatecznej rozdzielczości. Zasadniczym problemem jest tutaj znalezienie kompromisu pomiędzy przestrzenną dokładnością a
ograniczonymi możliwościami komputerów. Rozdzielczość musi zostać dobrana tak, by gwarantowała stabilność i jednoznaczność rozwiązania, ale nie komplikowała nadmiernie operacji numerycznych. Ten etap
był wykonywany automatycznie przez program FEATFLOW.
Poziom 1
22
Poziom 2
Poziom 3
Poziom 4
Rys. 3.3 Przykład procesu zagęszczania siatki A. Poziom 1. to zgrubna siatka, w której położenia węzłów zostały zdefiniowane ręcznie. Składa się z 77 elementów, 102 węzłów i 179 krawędzi. Poziom 2. to siatka zagęszczona poprzez
podzielenie każdego elementu zgrubnej siatki na cztery części. Siatka na poziomie 4. składa się z 4928 elementów,
5128 węzłów oraz 10056 krawędzi.
Na dowolnym poziomie każdy czworokąt z poziomu o jeden niższego był dzielony na cztery mniejsze. Granica podziału przebiega wzdłuż odcinków łączących środki boków. Stopień zagęszczenia był określany podaniem maksymalnego poziomu podziału, np. jeśli poziom zagęszczenia wynosił 5, każdy czworokąt w zgrubnej siatce był dzielony na 24*24=256 mniejsze elementy. Poziom 1. odpowiada siatce zgrubnej.
Podstawowym elementem wygenerowanej zagęszczonej siatki był również czworokąt.
u,v
u,v
p
u,v
u,v
Rys 3.1 Postać elementu skończonego z zaznaczonymi punktami węzłowymi prędkości i ciśnienia.
Pole prędkości było opisywane funkcjami kwadratowymi x 2 y 2 , x, y,1 należącymi do bazy
dwuliniowej obróconej (ang. billinear rotated) (John i Tobiska, 2000). Punkty węzłowe prędkości znajdowały się na środkach boków czworokąta. Pole ciśnienia było opisane funkcją kawałkami stałą (ang. piecewise constant functions) tzn. stałą na każdym z elementów.
W przeprowadzonych symulacjach użyto dwuwymiarowej metody projekcyjnej pp2d dla problemu
dwuwymiarowego i pp3d dla trójwymiarowego (http://www.featflow.de/). Według pracy (Turek, 1997),
użyte metody gwarantują wysoką wydajność i stabilność dla dużych liczb Reynoldsa. Użyte procedury rozwiązują równanie NS na siatkach o różnej gęstości, zaś wbudowane w algorytm FEATFLOW instrukcje
warunkowe oceniają dynamikę zmian i na tej podstawie ustalają optymalną rozdzielczość (poziom zagęszczenia) siatki. Szczegółowa analiza działania algorytmu opartego na metodzie elementów skończonych jest
złożona i wykracza poza zakres niniejszej rozprawy.
23
4 Wyniki dwuwymiarowej symulacji drobnoskalowej turbulencji
4.1
Wyniki modelowania przepływu w przypadku osłony bez odsysania
Podstawowe wielkości stanowiące rozwiązanie równań NS to pola ciśnienia i dwóch składowych
prędkości. W szczególności wizualizacja pola ciśnienia jest istotnym elementem analizy struktury przepływu. Na rysunku 5 (lewa kolumna) przedstawiono ewolucję czasową pola ciśnienia dla czterech wybranych,
następujących po sobie, kroków czasowych (Rosa i inni, 2003). Prawa kolumna zawiera informacje o funkcji prądu i liniach prądu odpowiadających wybranym krokom czasowym ciśnienia. Linie prądu pokazują
chwilowe kierunki przepływu powietrza.
Ciśnienie [Pa]
Funkcja prądu
Rys. 4.1 Sekwencja obrazów ilustruje czasową ewolucję pola ciśnienia (lewa kolumna) i funkcji prądu (prawa kolumna) w t = 606, 618, 630 i 642 μs. Izobary są przeprowadzone w odstępach średnio co 238 Pa.
Wizualizacja kształtu linii prądu jest użytecznym uzupełnieniem obrazu pól prędkości. Pozwala na
analizę i identyfikację małych zmian kierunku przepływu, wskazuje obszary martwe i regiony o dużej dynamice przepływu.
24
Składowa podłużna prędkości [m/s]
Składowa poprzeczna prędkości [m/s]
Rys. 4.2 Sekwencja czasowa pokazująca ewoluowanie dwóch składowych pól prędkości. Lewa kolumna przedstawia
składową podłużną pola w kierunku x, a prawa – składową poprzeczną w kierunku y w tych samych krokach czasowych co pole ciśnienia na rysunku 4.1. Czas pomiędzy sąsiednimi klatkami wynosi średnio 12 μs.
Fluktuacje ciśnienia w śladzie aerodynamicznym przepływu są związane z wirowością generowaną
w warstwie przyściennej osłony. Periodyczne odrywanie się struktur wirowych od osłony prowadzi do tworzenia się ścieżki wirów von Karmana. Na rysunku 4.3 przedstawiono w skali szarości obraz ilustrujący
chwilowy rozkład pola wirowości. Dla liczby Reynoldsa równej 4900 (wynikającej z szerokości osłony i
prędkości powietrza na wlocie) ślad tuż za osłoną jest tylko lekko niestabilny, przez co ścieżka wirów von
Karmana nie jest jeszcze w pełni uformowana. Drut oporowy znajduje się w obrębie obszaru formowania
ścieżki, której całkowita postać wykracza poza granice obszaru symulacji (Williamson 1996). Nie mniej
jednak obecność pojedynczych wirów jest widoczna. Te wiry są odpowiedzialne za fluktuacje temperatury
rejestrowane przez element sondujący. Na rysunku 4.1 objawiają się w postaci spadków ciśnienia w rdzeniu
przemieszczającego się wiru. Obecne techniki pomiarowe pozwalają na opis struktury i dynamiki wirów w
śladzie poprzez charakterystyczne częstości związane z adwekcją ścieżki definiowaną przez liczbę Strouhala
(Batchelor, 1970, § 4.7). W przypadku, kiedy technika pomiarowa zostanie usprawniona, opis będzie mógł
zostać uzupełniony o obrazy ilustrujące spadek ciśnienia odpowiadający przejściom pojedynczych wirów.
25
Rys. 4.3 Rozkład pola wirowości w chwili czasu t = 337 μs. Wirowość dodatnia oznaczona kolorem ciemnym odpowiada cyrkulacji elementów płynu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wirowość ujemna oznaczona kolorem jasnym odpowiada kierunkowi zgodnemu z ruchem wskazówek zegara.
Ciśnienie [Pa]
Ewolucję czasową ciśnienia w punkcie zamontowania czujnika temperatury dla początkowej fazy
przepływu trwającej 0,5 ms przedstawiono na rysunku 4.4.
Czas [ms]
Rys. 4.4 Policzone fluktuacje ciśnienia w przypadku kiedy odsysanie jest wyłączone. Dwie krzywe A i E odpowiadają
dwóm zagęszczonym siatkom, których zgrubne formy zostały pokazane na rysunku 3.3. Maksymalna liczba elementów po zagęszczeniu podana jest w nawiasach. Zero odpowiada wartości ciśnienia atmosferycznego.
Wykres 4.4 przedstawia fluktuacje ciśnienia policzone na dwóch siatkach z różną rozdzielczością. W
celu zobrazowania różnic pomiędzy siatkami na wykresie został umieszczony wynik otrzymany dla siatki A
(użytej w większości symulacji) oraz dla siatki typu E, dla której wynik wykazywał największą rozbieżność.
Symulacje pokazują, że modelowanie zmian ciśnienia przy wyłączonym odsysaniu jest czułe na drobne różnice siatek obliczeniowych.
W ogólności, na obu wykresach ciśnienia można wyróżnić dwa etapy. Pierwszy, trwający około 0,34
ms, jest związany z efektem włączeniowym. W tym czasie ciśnienie podnosi się o ~500 Pa, a następnie opada do wartości ciśnienia atmosferycznego. Na drugim etapie obserwowane są periodyczne zmiany ciśnienia.
Otrzymany wynik jest jakościowo zgodny z pomiarami wykonanymi w tunelu (rys. 2.2). Analiza ilościowa
otrzymanych wyników zostanie przedstawiona w dalszej części pracy w rozdziałach 4.3 i 4.4. Dokładność
rozwiązania, czyli wartość amplitudy fluktuacji ciśnienia, jak również częstość zmian zależą od rodzaju
siatki. Dokładniejsze poznanie geometrycznej charakterystyki śladu pomoże wybrać typ siatki obliczeniowej
optymalny dla tego przypadku. Chodzi tu głównie o ustalenie obszarów o względnie dużej dynamice przepływu w przypadku, gdy odsysanie jest włączone.
26
4.2
Wyniki modelowania przepływu w przypadku osłony z odsysaniem
Podstawowym celem zastosowania odsysania w bocznych szczelinach osłony było usuwanie wody
zbierającej się na jej powierzchni w postaci cienkiej warstwy pochodzącej z uderzających w osłoną kropel
chmurowych. Na osłonie bez szczelin i odsysania warstwa wody mogła pod wpływem siły naporu powietrza
przemieszczać się po jej powierzchni do tylnego punktu stagnacji, gdzie tworzyły się nowe krople. Krople te
pod wpływem lokalnych naprężeń mogły się odrywać i prowadzić do zderzeń z drutem oporowym. Dzięki
odsysaniu, formowanie wtórnych kropel zostało powstrzymane lub w najgorszym wypadku szybkość ich
powstawania została znacząco zredukowana.
Dzięki zastosowaniu odsysania osiągnięto również drugi ważny cel poprawiający działanie termometru jakim jest stabilizacja przepływu. Konwekcyjne niestabilności tworzące się w warstwie przyściennej są
dzięki odsysaniu wciągane do środka osłony i w rezultacie ścieżka wirów von Karmana nie może się w pełni
ukształtować. Przeprowadzone symulacje pokazują, że odsysanie stabilizuje tylną część warstwy przyściennej, a co za tym idzie także ślad przepływu. Stabilizacja przepływu ma bezpośredni związek z zanikaniem
fluktuacji ciśnienia w okolicach drutu oporowego. Redukcja szumów wynikająca z zastosowania odsysania
jest widoczna takżew pomiarach przeprowadzonych w tunelu aerodynamicznym (rys. 2.3).
W dalszej części rozprawy zostanie omówiony jeszcze inny proces związany z odsysaniem, ale niezwiązany z modyfikacją pola ciśnienia, który ma negatywny wpływ na mierzoną temperaturę.
Na rysunku 4.5 zostały przedstawione pola ciśnienia i rozkłady prędkości w stanie stacjonarnym.
Taki stan ustala się, gdy na osłonę pada laminarny strumień powietrza z prędkością 80 m/s. Szczeliny osłony
zasysając powietrze powodują, że elementy płynu przyspieszają do prędkości 120 m/s. Mała asymetria widoczna na rysunku 4.5 jest wynikiem aproksymacji kształtu osłony odcinkami prostych. Siatka jest lekko
odbiciowo asymetryczna, ponieważ węzły siatki wyznaczające jej powierzchnię były wprowadzane ręcznie.
Wszystkie pozostałe węzły są symetryczne. Mimo skończonej precyzji wykonania siatki, główny efekt tłumienia wirów von Karmana przez szczeliny jest bardzo wyraźny.
27
Ciśnienie [Pa]
Prędkość [m/s]
Rys. 4.5 Rozkład pola ciśnienia i prędkości w chwili t = 0,34 ms w przypadku włączonego odsysania. Taki stan stacjonarny ustala się po około 0,34 ms i nie ulega zmianom.
Ciśnienie [Pa]
Na rysunku 4.6 przedstawiono ciśnienie policzone w miejscu położenia drutu oporowego w funkcji
czasu i dla różnych siatek. Zerowa wartość ciśnienia odpowiada ciśnieniu atmosferycznemu. Włączenie odsysania powoduje stabilny przepływ. Fluktuacje ciśnienia i sprzężone z nimi fluktuacje temperatury poza
fazą początkową związaną z efektem włączeniowym zostają zredukowane. Związek pomiędzy ciśnieniem a
temperaturą zostanie omówiony dokładniej w następnym podrozdziale 4.3.
Czas [ms]
Rys. 4.6 Policzone rozkłady fluktuacji ciśnienia w miejscu, w którym znajduje się drut oporowy w przypadku włączonego odsysania. Dziewięć niemal pokrywających się krzywych odpowiada różnym poziomom zagęszczenia zgrubnych siatek przedstawionych na rysunku 3.3.
Otrzymane wyniki modelowania są w zgodności jakościowej z pomiarami eksperymentalnymi
przedstawionymi na rysunku 2.3. Dla t > 0,34 ms różnice pomiędzy siatkami są zaniedbywane. Z tego powodu kolejne symulacje będą wykonywane na siatce typu A.
28
4.3
Adiabatyczne zmiany temperatury
Przedstawione w poprzednim rozdziale numeryczne rozwiązania równań Naviera-Stokesa dostarczają informacji o dwuwymiarowym rozkładzie pola ciśnienia i prędkości w sąsiedztwie elementu sondującego.
W przypadku, kiedy odsysanie jest wyłączone, wartość ciśnienia za osłoną zmienia się periodycznie z amplitudą wynoszącą około 400 Pa (rys. 4.4). W przypadku, kiedy odsysanie jest włączone, po początkowym
wzroście trwającym około 0,34 ms przepływ stabilizuje się i fluktuacje ciśnienia nie są obserwowane. Aby
porównać wyniki modelowania numerycznego z wartościami temperatury otrzymanymi w pomiarach prowadzonych w tunelu aerodynamicznym (Haman i inni, 2001), niezbędne jest dokonanie konwersji ciśnienia
na odpowiadające im wartości temperatury. Jako pierwsze przybliżenie można założyć, że fluktuacje temperatury związane z szumem aerodynamicznym są w znacznej mierze spowodowane adiabatycznym sprężaniem i rozprężaniem powietrza tuż za osłoną termometru. Ścisła analiza problemu przedstawiona w następnym rozdziale 4.4 dowodzi, że przybliżenie adiabatyczne w rozważanym przypadku nie jest dobrze spełnione.
Przyjęcie założenia o przemianie adiabatycznej pozwala na konwersję wartości ciśnienia w temperaturę w oparciu o równanie energii. W przypadku braku dopływu ciepła, równanie temperatury przybiera
postać
DT 1 Dp
,
Dt
Dt
gdzie p to ciśnienie powietrza, T temperatura powietrza, t czas, C p
(4.1)
Cp
1005,5 Jkg 1 K
1
ciepło właściwe przy
stałej temperaturze,
gęstość powietrza, p
RT , R 287 Jkg 1K 1 stała gazowa dla suchego powie/ t v
trza, a D / Dt
pochodna substancjalna z wektorem prędkości v u , v . W przybliżeniu liniowym prowadzi ono do zależności
1
T
p,
(4.2)
Cp
w której T jest odchyleniem temperatury w drobnoskalowych wirach powietrza wynikających ze zmiany
ciśnienia o p przy średniej gęstości powietrza = 1,17 kg m-3 odpowiadającej temperaturze powietrza 302
K.
Bezpośrednio z równania 4.2 otrzymujemy informację, że zmiana ciśnienia o p = 200 Pa odpowiada w przybliżeniu adiabatycznym zmianie amplitudy temperatury o około T = 0,17 K.
Policzone w ten sposób fluktuacje temperatury zgadzają się ilościowo z danymi doświadczalnymi
przedstawionymi na rysunku 2.3. W przypadku bez odsysania wyliczona amplituda fluktuacji temperatury
0,17 K zgadza się jakościowo z wynikami pomiarów w tunelu. W przypadku włączonego odsysania symulacja wiernie obrazuje tłumienie fluktuacji, chociaż dane doświadczalne nadal pokazują obecność szumu na
poziomie 0,1K. Z przeprowadzonych symulacji wynika, że przybliżenie adiabatyczne pozwala w symulacji
otrzymać wynik, który jest jakościowo a w przypadku z odsysaniem także ilościowo zgodny z pomiarem w
tunelu. Niemniej w następnym rozdziale pracy szczegółowo zostanie rozpatrzona wielkość i rola nieodwracalnej dyssypacji energii spowodowaną działaniem sił lepkości.
4.4
Uzasadnienie przyjęcia przybliżenia adiabatycznego - wpływ grzania lepkiego na pomiar temperatury
W obszarze dużego gradientu prędkości, jakie występuje w warstwie przyściennej osłony, następuje
nieodwracalna dyssypacja energii w postaci wydzielanego ciepła. Zjawisko to jest wywołane działaniem sił
lepkości i zwyczajowo nazywa się grzaniem lepkim. Dokładna znajomość mechanizmu powstawania oraz
ilości wydzielonego ciepła jest istotna dla pełnego zrozumienia działania termometru. Ilość energii na jednostkę czasu, jaka wydzieli się podczas przepływu w całym obszarze symulacji, dana jest wzorem (Chandrasekhar, 1961, § 7)
3
3
2
eij eij ,
(4.3)
i 1 j 1
gdzie eij jest symetryczną częścią tensora prędkości deformacji
29
eij
1
2
ui
xj
uj
(4.4)
xi
zaś
= 1,47 10 5 kg m 1 s 1 jest lepkością dynamiczną. Na rysunku 4.7 przedstawiono logarytm naturalny
wydzielanego ciepła log( ) w skali szarości. Zakres
jest tak duży, że skala logarytmiczna jest konieczna
do przedstawienia grzania lepkiego w sposób czytelny.
Rys. 4.7 Logarytm ciepła wydzielonego w warstwie przyściennej osłony, log(
niem.
),: (a) bez odsysania; (b) z odsysa-
Całkowita ilość uwolnionego ciepła docierająca w elemencie płynu do czujnika temperatury jest dana całką liczoną wzdłuż trajektorii elementu,
dt , gdzie
jest czasem jaki element płynu spędza w obsza-
0
rze silnego ścierania. W pracy policzono wartości tej całki dla trzech wybranych elementów płynu, których
trajektorie zostały przedstawione na rysunku 4.8. Równanie tych trajektorii jest dane równaniem różniczkowym
dx
(4.5)
v,
dt
Zostało ono scałkowane metodą Eulera z długością kroku czasowego odpowiadającą długości kroku pochodzącego z rozwiązań równań Naviera-Stokesa. Do przeprowadzenia tych obliczeń wykonano odrębną procedurę działającą w programie MATLAB.
Rysunek 4.8 przedstawia trzy trajektorie elementów płynu. Kiedy odsysanie jest wyłączone (rys.
4.8a) przepływ jest niestacjonarny i elementy płynu mogą docierać do czujnika temperatury po różnych trajektoriach. Kształty trajektorii zależą od czasu, po którym element dotrze do czoła osłony. Dwie takie trajektorie są pokazane na rysunku 4.8a. Obie muszą być liczone równocześnie z krokiem czasowym pochodzącym z rozwiązania równań Naviera-Stokesa. Dokładność obliczeń jest niezwykle istotna, choć całkowity
błąd policzonej wartości wydzielonego ciepła jest dużo trudniej oszacować, gdyż wymaga to liczenia statystyk po zespole trajektorii cząstek.
Rys. 4.8 Trajektorie elementów płynu przepływających wokół osłony i docierających do drutu oporowego przy: (a)
wyłączonym odsysaniu i (b) włączonym odsysaniu.
Gdy odsysanie jest włączone (rys. 4.8b), przepływ jest stacjonarny i dlatego tylko jedna trajektoria
prowadzi do sensora. Wyłączając pewne numeryczne niedoskonałości, przepływ ma symetrię góra-dół, a
zatem zwierciadlany obraz trajektorii również trafia w drut. Każdy element płynu, który przepływa przez
miejsce, gdzie jest umieszczony drut oporowy, niezależnie od czasu dodarcia do przedniej części osłony
30
musi docierać do tego miejsca po takiej samej drodze. Z tego powodu całkowity efekt grzania lepkiego może zostać ściśle policzony w wyniku całkowania równania energii wzdłuż pojedynczej drogi. Ten zabieg jest
usprawiedliwiony w przypadku, gdy zaniedbujemy dyfuzję ciepła przez wymianę z otoczeniem elementu
płynu. Trajektoria może być policzona w szczególności przez całkowanie równania 4.5 cofając się w czasie
z uprzednio policzonym stacjonarnym polem prędkości uzyskanym przez rozwiązanie równań NavieraStokesa. W przedstawionym przypadku równanie zostało policzone w ten właśnie sposób, dzięki czemu
uzyskano lepszą dokładność niż gdyby metodą prób i błędów próbowano ustalić początkowe położenie elementu płynu celem znalezienia takiego, które zapewnia, że w zadanym polu prędkości element ten trafi bezpośrednio w okolice czujnika temperatury.
Dokładność liczenia samej trajektorii jest ważna gdyż grzanie lepkie ma bardzo duży gradient w
warstwie przyściennej. Zatem małe odstępstwa od właściwej trajektorii potrafią diametralnie zmienić szacowaną wartość ilości ciepła docierającego do czujnika temperatury. Jeśli trajektoria przebiega nieco dalej
od powierzchni osłony, skumulowana ilość wydzielonego ciepła będzie nie doszacowana. Elementy płynu
przepływające zbyt blisko osłony będą zasysane przez szczeliny.
a)
b)
6
7
x 10
5
10
x 10
9
6
8
7
-3
[Js m ]
4
-1
-1
-3
[Js m ]
5
1
3
6
5
4
3
3
2
2
2
1
1
0
1.2
1.22
1.24
1.26
1.28
1.3
1.32
1.34
0
1.2
1.36
Rys. 4.9 Ilość ciepła
4.8.
1.22
1.24
1.26
1.28
1.3
1.32
1.34
1.36
Czas [ms]
Czas [ms]
wydzielonego na skutek działania sił lepkości wzdłuż trajektorii przedstawionych na rysunku
Na rysunku 4.9 przedstawiono
w funkcji czasu dla trzech policzonych trajektorii. Istotne jest to,
że bez odsysania całkowita ilość wydzielonego ciepła, a co za tym idzie fluktuacje temperatury, znacznie się
zmieniają pomiędzy jedną a drugą trajektorią. Dlatego, oprócz fluktuacji temperatury wywołanych fluktuacjami ciśnienia może również oczekiwać znaczącego wkładu od periodycznie zmieniającego się śladu termicznego.
Całkując
123 Jm
1 dt
3
wzdłuż trajektorii (1) z rysunku 4.8a otrzymujemy wartość dla pierwszej całki
17 Jm 3 . Dla trajektorii (3) pokazanej na rysunku 4.8 b,
i dla (2) odpowiednio
2 dt
gdy odsysanie jest włączone, całka równa jest
3
dt
17 Jm 3 . W celu policzenia przyrostu temperatury
należy scałkować równanie energii
Cp
DT
Dt
T,
(4.6)
gdzie jest współczynnikiem dyfuzji cieplnej powietrza. Dla temperatury T = 302 K jego wartość jest rów2.42 10 5 m 2 /s .
na
T w równaniu 4.6 reprezentuje dyfuzję ciepła z elementu płynu poruszającego się wzdłuż
Człon
trajektorii od osłony, gdzie się nagrzewa, do czujnika temperatury. Trudno jest wyznaczyć dokładną wartość
T , ale przez odniesienie do podobnego problemu można oszacować zasięg dyfuzji. Dla źródła punktowego średnia odległość, na jaką oddalą się cząstki w czasie t, dana jest wzorem l
2 t (Boeker i Grondel-
31
le, 2002, § 5). Dla czasu t 0,14μs potrzebnego na przebycie przez element płynu drogi od osłony do drutu
zasięg dyfuzji jest więc równy l 2,6 μm , a zatem odległość ta jest porównywalna ze średnicą drutu oporoT jest zdecydowanie mniejszy od
wego. Na tej podstawie można sądzić, że człon
i można go z dobrym przybliżeniem zaniedbać.
Rozwiązaniem równania 4.6 po zaniedbaniu członu dyfuzyjnego jest wzór na całkowitą ilość ciepła,
jaką zmagazynuje element płynu poruszający się po jednej z trzech policzonych trajektorii
T
1
Cp
dt.
(4.7)
Podstawiając odpowiednie wartości całek do równania 4.7 otrzymujemy skoki temperatury równe odpowiednio T1 0,122K , T2 0,017K i T3 0,017K . Czujnik termometru zarejestruje te zmiany w momencie, gdy wybrane elementy płynu dotrą w jego otoczenie.
Bardzo istotnym elementem analizy wpływu grzania lepkiego na pomiar jest porównanie otrzymanych wyników z adiabatycznymi fluktuacjami temperatury. Takie porównanie pokazuje, że wielkości tych
dwóch efektów w przypadku braku odsysania są zbliżone, w związku z czym nie można zaniedbać wpływu
nieodwracalnych przemian podczas interpretowania danych pomiarowych. Analiza wyników komplikuje się
jeszcze bardziej, gdy pomiary są wykonywane przy różnych prędkościach. Z równania 4.3 wynika, że wartość grzania lepkiego zależy bezpośrednio od prędkości samolotu. Zatem do analizy wyników potrzebne są
również informacje o prędkości, przy jakiej pomiar był wykonywany. Pomiary wykonywane ze zmienną
prędkością są trudne do przeanalizowania.
32
4.5
Zależność ciśnienia od kąta natarcia
Termometr został skonstruowany w taki sposób, aby w trakcie pomiaru kąt natarcia osłony był możliwie bliski 0 . Zmiana kąta natarcia modyfikuje warunki aerodynamiczne w śladzie za osłoną i ma bezpośredni wpływ na pomiar temperatury. Aby uniknąć wynikających z tego błędów pomiarowych, termometr
jest umieszczony na swobodnie obracającej się ramce ze statecznikiem. Taki sposób montażu zapewnia
płynne dopasowywanie się położenia termometru do zmieniających się warunków lotu. Jednakże różne odstępstwa od idealnej symetrii mogą zachodzić. Zarówno systematyczne, wynikające z mechanicznej niedokładności wykonania termometru, jak i losowe, spowodowane małymi odchyleniami kierunku ramki od kierunku lotu. Losowe zmiany mogą być spowodowane zarówno przez fluktuacje kierunku prędkości turbulentnego powietrza, jak i przez wibracje mechaniczne występujące w trakcie lotu. Ramka termometru wraz
ze statecznikiem posiada pewną bezwładność, a to przekłada się na skończony czas obrotu i również może
znaleźć swoje odzwierciedlenie w wykonanych pomiarach. Wszystkie te zjawiska powinny zostać lepiej
poznane, szczególnie jeśli widoczna jest pewna asymetria układu.
W przeprowadzonych symulacjach policzono uśrednione po czasie wartości ciśnienia w miejscu odpowiadającym położeniu drutu oporowego w funkcji kąta natarcia. Wartość kąta natarcia była regulowana
poprzez taki dobór składowych wektora prędkości na wlocie, by całkowita wartość prędkości była stała.
Dane przedstawione w tabeli 4.1 oraz na wykresach 4.10 przedstawiają wyniki przeprowadzonych
eksperymentów oraz symulacji. W przypadku braku odsysania (rys. 4.6a) średnie ciśnienie wzrasta wraz ze
wzrostem kąta natarcia, natomiast w przypadku włączonego odsysania maleje (rys. 4.6b). Te same tendencje
obserwowane są podczas doświadczeń wykonywanych w tunelu aerodynamicznym. W obu jednak przypadkach adiabatyczne fluktuacje temperatury policzone na podstawie danych z symulacji komputerowych (rys.
4.6) są dużo mniejsze niż różnice temperatury mierzone doświadczalnie. Innymi słowy, doświadczalnie mierzona zależność temperatury od kąta natarcia jest znacznie większa niż policzona teoretycznie przy założeniu przemiany adiabatycznej. Zależności są zgodne, ale występują duże rozbieżności numeryczne. Kiedy kąt
natarcia zmienia się w zakresie od 0 -20 , mierzone różnice temperatury (Haman i inni, 2001) są rzędu 1 K
w przypadku bez odsysania oraz 0,3 K przypadku z odsysaniem. Natomiast odpowiadające im zmiany temperatury policzone adiabatyczne są dwa rzędy mniejsze. Jednym z możliwych wyjaśnień tak dużej rozbieżności może być to, że w symulacji nie uwzględniono zjawiska grzania dynamicznego (Sandborn, 1972, § 2;
Haman i inni 1997). Termometr precyzyjnie mierzy temperaturę ośrodka, gdy powietrze opływające drut ma
tak małą prędkość, że w kontakcie z drutem nie podlega kompresji. Jeśli ze wzrostem prędkości pojawia się
efekt hamowania elementów płynu na drucie, to oznacza że pomiar temperatury jest obarczony systematycznym błędem (temperatura jest zawyżona) w wyniku grzania dynamicznego. Grzanie dynamiczne polega
na przekazywaniu do drutu ciepła powstającego w wyniku zamiany energii kinetycznej elementów płynu na
energię cieplną. Gdy kąt natarcia równy jest zero, drut oporowy znajduje się w śladzie osłony, gdzie prędkości powietrza są dużo mniejsze od prędkości przepływu. Gdy kąt natarcia rośnie, powietrze bezpośrednio
napływa na drut oporowy i grzanie dynamiczne rośnie. Grzanie dynamiczne może być przyczyną systematycznego błędu pomiaru temperatury (temperatura jest zawyżona), gdy układ osłona-drut oporowy nie jest
ustawiony na jednej osi i osłanianie nie jest pełne. W takim przypadku mierzona temperatura jest również
zawyżona przez grzanie lepkie. Wpływ grzania lepkiego na dokładność pomiaru temperatury wymaga dalszego badania eksperymentalnego.
33
Tabela 4.1 Uśrednione po czasie wartości ciśnienia w funkcji kąta natarcia. Zmiana kąta była regulowana poprzez
dobór składowych wektora prędkości.
Bez odsysania
Kąt
[ ]
Vy
Vx
[m/s]
[m/s]
88,50
88,41
88,16
87,74
87,15
86,40
85,48
83,16
0,00
3,86
7,71
11,55
15,36
19,15
22,90
30,26
Pmax
Pmin
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
20
Z odsysaniem
[Pa]
[Pa]
0
-14
-130
-63
-95
25
40
39
134
216
235
234
216
212
206
210
Pśrednie
Częstość
[kHz]
T
[Pa]
81
135
81
85
92
103
106
112
15,25
14,30
15,25
15,25
14,78
14,78
14,30
12,87
Vx
Vy
[m/s]
[m/s]
88,00
87,92
87,66
87,25
86,66
85,91
85,00
82,69
0,00
3,84
7,66
11,48
15,28
19,04
22,77
30,09
Pśrednie
T
[Pa]
277.7
276.8
275.5
274.0
271.9
269.5
266.0
259.3
Bez odsysania
Dane eksperymentalne
Symulacja komputerowa
0,8
Średnie ciśnienie [Pa]
Fluktuacja temperatury [K]
1
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
bez odsysania
-0,4
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
Z odsysaniem
Średnie ciśnienie [Pa]
Fluktuacja temperatury [K]
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4 -20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
z odsysaniem
20
Odchylenie od kierunku lotu [ ]
Rys. 4.10 Zależność fluktuacji temperatury od kąta natarcia. Po lewej stronie, wyniki doświadczeń przeprowadzonych
w tunelu aerodynamicznym. Po prawej wyniki symulacji w postaci uśrednionych po czasie wartości ciśnienia odpowiadających tym samym wartościom kątów.
34
4.6
Analiza fourierowska czasowych zmian ciśnienia otrzymanych w symulacji
Otrzymane wyniki modelowania przepływu czystego powietrza w przypadku, gdy boczne odsysanie
osłony jest wyłączone (rozdział 4.1), wykazują, że ciśnienie w miejscu zamontowania czujnika temperatury
zmienia się periodycznie. Widmo fourierowskie tych fluktuacji policzonych na siatce typu A (rys. 3.3) zagęszczonej do 19 712 elementów przedstawia rysunek 4.10. Widmo to posiada dwa piki odpowiadające częstościom 13,37 i 26,74 kHz (Rosa i inni, 2004 a). Pierwsza częstość jest związana z rytmem schodzenia wirów z osłony termometru. Źródło powstawania drugiej zostanie wyjaśnione w rozdziale 4.6.3. Dane doświadczalne bezpośrednio nie wykazują obecności żadnej z nich (rys. 2.3) w zarejestrowanych seriach pomiarowych. Nasuwają się zatem pytania, jaki zakres częstości może być rejestrowany przez termometr i
jakie częstości mogą znaleźć się w pomiarach.
9
2
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
8
Częstość = 26.74 kHz
7
6
Częstość = 13.37kHz
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Częstość [Hz]
6
7
8
9
10
4
x 10
Rys. 4.11 Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia w miejscu zamontowania czujnika temperatury w przepływie z
wyłączonym odsysaniem policzonym na siatce A zagęszczonej do 19 712 elementów.
Istnieje istotne fizyczne ograniczenie układu pomiarowego termometru, które sprawia, że nie każda
częstość może być rejestrowana. Źródłem tego ograniczenia jest inercja termiczna, czyli skończony czas
adaptacji oporności drutu do zmian temperatury otoczenia (Haman i inni, 1997). To opóźnienie czasowe
wynika – jak pokazano w rozdziale 2.2 z istnienia stałej czasowej czujnika. Wartość tej stałej została oszacowana na (0,7 – 1,4) 10-4 s (Haman i inni, 1997), co odpowiada zakresowi częstości 14–7 kHz. Częstości
mniejsze od 14 kHz będą się więc pojawiały w serii pomiarowej. Wyższe częstości też mogą być rejestrowane, ale ich amplituda będzie tłumiona. Moc tłumienia jest zależy od tego, jak bardzo częstości przekraczają próg 14 kHz. Konstruktorzy zwracają uwagę, że wartość tej stałej została oszacowana zgrubnie. Jeśli
zatem dopuścimy możliwe odchylenie tej wartości o czynnik 2, dojdziemy do wniosku, że drut może rejestrować obydwie częstości wyznaczone w symulacjach pod warunkiem, że akwizycja danych będzie odbywała się z prędkością pozwalającą na ich rejestrację. Problem odzyskania składowych sygnału, który został
poddany działaniu skończonej odpowiedzi czasowej urządzenia jest ważnym zadaniem w wielu układach
elektronicznych i był już dyskutowany wcześniej (McCarthy, 1973; Inverarity, 2000).
4.6.1
Wpływ aliasingu na rejestrowane częstości
Widmo fluktuacji ciśnienia (rys. 4.11) policzone w symulacjach numerycznych zawiera dwie częstości, podczas gdy widmo sygnału rejestrowanego w eksperymentach posiada wiele pików (rys. 2.3). Przy35
czyny powstawania części z nich zostały wyjaśnione i przedstawione zarówno w artykule (Haman i inni,
2001), jak i w rozdziale 2. Obecność pików nie jest związana z szumem aerodynamicznym generowanym
przez osłonę. Przyczyna powstawania szumu o częstości bliskiej 4 kHz nie została dotychczas wyjaśniona.
Znalezienie przyczyny powstawania szumu o tej częstości na drodze eksperymentalnej jest utrudnione z
racji ograniczonych informacji o przestrzennym zachowaniu się pola temperatury. Dane doświadczalne mają
postać sekwencji wartości napięcia rejestrowanych na wyjściu pewnego układu elektronicznego. Symulacje
numeryczne pozwalają na bezpośredni opis pola ciśnienia, co stwarza możliwość wyjaśnienia obecności
wszelkich częstości.
Ważnym etapem w akwizycji danych jest dyskretyzacja, czyli próbkowanie sygnału ciągłego. Wyników z przeprowadzonych symulacji użyto do analizy wpływu procesu próbkowania na widmo częstości. W
pierwszym etapie przygotowano dane symulujące sygnał pochodzący z czujnika. W każdym kroku czasowym symulacji zapisywane były wartości ciśnienia w miejscu, w którym znajduje się drut oporowy, a następnie metodą splajnów dokonano interpolacji w celu otrzymania sygnału w formie ciągłej. Następnie sygnał spróbkowano z częstotliwością 9 i 10 kHz, co odpowiada częstości próbkowania użytej w eksperymencie. Widmo mocy uzyskanego w ten sposób spróbkowanego sygnału przedstawiono na rysunku 4.12.
Różnice pomiędzy widmami z rysunków 4.11 i 4.12 są znaczne. W spróbkowanym sygnale nie ma
oryginalnych, wysokich częstości 13,37 i 26,74 kHz, ale pojawiają się nowe „sztuczne częstości”, których
wartość zależy ściśle od częstości próbkowania. Ich pozycja jest precyzyjnie określona przez wzór (Lyons,
1997, § 2.1)
fo
fi
kfs
(4.8)
gdzie fi to oryginalne częstości „wejściowe” (13,37 lub 26.74 kHz), k to dowolna liczba całkowita, fo jest
częstością obserwowalną w spróbkowanym sygnale, a fs jest częstością próbkowania.
10
2
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
9
8
fs = 10 kHz
f = 10 kHz
fs = 9 kHz
s
7
fs = 9 kHz
6
5
4
3
2
1
0
0
1000
2000
3000
Częstość [Hz]
4000
5000
Rys. 4.12 Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia w miejscu zamontowania czujnika policzona dla przepływu z
wyłączonym odsysaniem. Ciśnienie było interpolowane pomiędzy każdym krokiem czasowym a następnie spróbkowane z częstością 9 i 10 kHz (taką samą jak w eksperymencie).
4.6.2
Wpływ prędkości na częstości podstawowe
Kolejnym etapem analizy widma rejestrowanego sygnału jest zbadanie wpływu prędkości samolotu
na wartość częstości podstawowych. Symulacje komputerowe wykonane przy użyciu pakietu FEATFLOW
dowodzą, że generowane częstości są liniową funkcją prędkości powietrza na wlocie (czyli prędkości samolotu). Bezwymiarową miarą częstości f odrywania się wirów jest liczba Strouhala,
St
36
Df
.
U
(4.9)
Jest to iloczyn f i skali czasu adwekcji za osłoną o rozmiarze D w przepływie z prędkością U. Liczba
Strouhala w ogólności zależy od kształtu ciała, ale również od kąta natarcia i liczby Reynoldsa Re. Wzór
empiryczny opisujący zależność liczby Strouhala od liczby Reynoldsa dla przepływu wokół okrągłego walca w przedziale 1.6 10 3 Re 1.5 10 5 jest dany wzorem (Norberg, 2003)
St
gdzie x
0.1853 0.0261exp
0.9 x 2.3 ,
(4.10)
log( Re / 1.6 103 ) .
Na wykresie 4.13 przedstawiono zależność częstości podstawowych od prędkości na wlocie dla
osłony termometru. Ta zależność ta została wyznaczona w symulacjach FEATFLOW. Symulacje wykonano
dla dziesięciu wartości prędkości na wlocie. Romby i kwadraty odpowiadają odpowiednio niższym i wyższym częstości podobnym do tych istniejących w widmie mocy fluktuacji ciśnienia (rys. 4.11). Linie ciągłe
są liniami najlepszego dopasowania. Uzyskane rezultaty pokazują, że obydwie częstości są linową funkcją
prędkości na wlocie, co jest zgodne z teoretyczną zależnością (równanie 4.9). Dla porównania, na wykresie
4.13 umieszczono podobną zależność dla okrągłego walca (linia przerywana) z liczbą Strouhala St = 0,1853
policzoną przy użyciu równania 4.9. Do wyznaczenia tej wartości przyjęto Re =4900, taką samą liczbę ReyUD
noldsa wylicza się Re
= 4900 dla prędkości samolotu U = 80 m/s i szerokości osłony D. Jednak w
tym wypadku liczba Strouhala jest mniejsza St = 0,1504.
Częstość 39,43 kHz
6
2
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
7
5
120 m/s
110 m/s
125 m/s
4
3
80 m/s
2
1
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Częstość [Hz]
4
4.5
5
4
x 10
Rys. 4.13 Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia w miejscu zamontowania czujnika policzona dla przepływu z
różnymi prędkościami z zakresu od 80 do 125 m/s przy wyłączonym odsysaniu.
37
Liczba Reynoldsa
55
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
50
45
Częstość [kHz]
40
35
30
25
20
15
10
5
40
60
80
100
120
140
160
Prędkość powietrza na wlocie [m/s]
Rys. 4.14 Zależność wartości dwóch częstości z rysunku 4.11 od różnych prędkości powietrza na wlocie. Romby odpowiadają częstości podstawowej, a kwadraty częstości dwa razy wyższej. Linia przerywana pokazuje teoretyczne
wartości częstości fluktuacji powstałych przy opływie okrągłego cylindra (równanie 4.10).
4.6.3
Wyjaśnienie powstawania dwóch lub więcej częstości w pomiarze temperatury
Symulacje pokazują, że widmo fluktuacji ciśnienia w miejscu montażu drutu oporowego zawsze posiada dwa piki, z których pierwszy definiuje częstość podstawową, a drugi częstość dwa razy od niej większą
(rys.
4.11).
Powstawanie
i
rola
częstości
podstawowej
zostały
omówione
w poprzednim rozdziale 4.6.2 - jest to charakterystyczna częstość schodzenia wirów z osłony. Źródło powstawania drugiej częstości można zrozumieć analizując rozkład pola ciśnienia wzdłuż odcinka przechodzącego przez punkt montażu drutu oporowego i równoległego do krawędzi wlotu. Rysunek 4.15 przedstawia jednowymiarowy przekrój wartości wirowości i ciśnienia w funkcji czasu. Odległość pomiędzy środkami wirów widocznych na rysunku 4.14b w postaci białych owalnych obszarów wyznacza częstość podstawową równą 13,37 kHz. Czujnik umieszczony centralnie rejestruje sygnały o obydwu częstościach pochodzących od sekwencji wirów po obu stronach linii biegnącej przez środek obszaru symulacji. Te wiry
mają przeciwny znak rotacji, ale rozkład ciśnienia w obydwu sekwencjach jest taki sam. Dlatego też, drut
oporowy rejestruje dwa sygnały o równej amplitudzie i o tej samej częstości podstawowej, za to przesunięte
w fazie o . W każdej sekwencji wirów sygnał jest periodyczny, ale nieharmoniczny, dlatego suma dwóch
sygnałów jest odbierana jako sygnał z podwojoną częstością podstawową. Oczywiście, dwa sygnały harmoniczne przesunięte w fazie o wygaszałyby się wzajemnie.
Im dalej od osi symetrii osłony, tym słabszy jest wkład podwojonej częstości, a zatem względna wysokość dwóch pików w widmie fluktuacji ciśnienia jest ściśle zależna od położenia drutu względem osi symetrii osłony. Dodatkowe częstości pojawiające się w widmie spróbkowanego sygnału w wyniku aliasingu
są również czułe na precyzję montażu drutu oporowego.
Każdy egzemplarz termometru jest budowany ze skończoną dokładnością, przez co dopuszczalne są
małe – rzędu ułamków milimetra – przesunięcia czujnika od osi osłony. Może to prowadzić do pomiarów
obarczonych systematycznym błędem, dlatego każdy nowy egzemplarz termometru powinien zostać wycechowany w tunelu aerodynamicznym.
38
Przekrój
Wirowość
Czas [ms]
Przekrój
Ciśnienie
Czas [ms]
Rys. 4.15 Zależne od czasu wirowość (a) oraz ciśnienie (b) w śladzie aerodynamicznym owiewki w poprzecznym
przekroju strumienia powietrza wyznaczonym przez położenie drutu oporowego (Rosa i inni, 2005).
4.6.4
Wnioski
Przeprowadzone symulacje i obliczenia prowadzą do wniosku, że gdy oryginalny ciągły sygnał zawiera dwie częstości, a ściślej - jak to zostało pokazane - częstość podstawową i dwa razy od niej większą,
widmo spróbkowanych i przetworzonych danych będzie posiadało złożony wzór. Wraz z podstawową częstością f = 13,37 kHz w spróbkowanym sygnale mogą się znaleźć wszystkie dodatkowe częstości pokazane
na rysunku 4.12. Zakładając, że obecność dodatkowych maksimów wynika z próbkowania częstości podstawowej, z układu pików w widmie można znaleźć jej wartość. Jednakże bezpośrednia procedura jest
znacznie łatwiejsza, ponieważ celem jest jedynie sprawdzenie, czy obecność konkretnej częstości w danych
pomiarowych, której źródło nie jest znane, może być wynikiem próbkowania. Na tej podstawie możemy
stwierdzić, że obserwowana częstość w pomiarach równa około 3 kHz (rys.2.4) jest wynikiem próbkowania
sygnału z częstością 10 kHz, jak pokazuje to wykres 4.12. Dla uniknięcia problemu związanego z aliasingiem konieczne jest usprawnienie układu elektronicznego.
4.7
Zależność ciśnienia i jego fluktuacji od prędkości przepływu
Prędkość samolotu, pod którego skrzydłem montowany jest termometr zmienia się w trakcie lotu.
Analiza wyników symulacji FEATFLOW przedstawiona w poprzednim rozdziale (4.6.2) wykazała, że
zmiana prędkości samolotu wpływa na częstość szumu zarówno generowanego, jak i rejestrowanego. Ponadto w rozdziale 4.4 dowiedziono, że zmiana prędkości ma wpływ na grzanie lepkie. Powstaje zatem pytanie, czy są jeszcze inne parametry mające wpływ na pomiar temperatury, które są czułe na zmianę prędkości. Czy np. zmiana prędkości samolotu może mieć bezpośredni wpływ na pomiar rzeczywistej temperatury
lub na amplitudę szumu aerodynamicznego? W celu udzielenia odpowiedzi na te pytania sprawdzono, jak
zachowuje się średnie ciśnienie oraz jego fluktuacje w zależności od prędkości laminarnie napływającego
strumienia powietrza przy kącie natarcia osłony w przybliżeniu równym 0 . Zależności te, wraz
z informacjami o prędkości samolotu, umożliwią zbadanie długookresowych zmienności temperatury. Na
ich podstawie będzie można ocenić, czy w zarejestrowanych seriach zmiany są spowodowane zmienną
prędkości samolotu czy, też opisują rzeczywistą zmianę temperatury powietrza wzdłuż drogi lotu.
39
Średnie ciśnienie [Pa]
bez odsysania
Znormalizowane średnie ciśnienie
Liczba Reynoldsa
a)
Prędkość powietrza na wlocie [m/s]
b)
Średnie ciśnienie [Pa]
z odsysaniem
Znormalizowane średnie ciśnienie
Liczba Reynoldsa
Prędkość powietrza na wlocie [m/s]
Rys. 4.16 Obliczona zależność ciśnienia w miejscu zamontowania czujnika temperatury od prędkości napływającego
powietrza: (a) bez odsysania, (b) z odsysaniem. Wykresy przedstawiają średnie ciśnienie (zerowe ciśnienie odpowiada
atmosferycznemu) w zależności od prędkości wlotowej (kółka) oraz tą samą zależność w formie bezwymiarowej, tzn.
p(½ u2)-1 względem liczby Reynoldsa (romby). Linia ciągła jest dopasowaniem wynikającym z prawa Bernoulliego p
= ½ v2, zaś linia przerywana jest jej bezwymiarowym odpowiednikiem. Gdy średnie ciśnienie jest kwadratową funkcją prędkości wlotowej, to znormalizowane średnie ciśnienie jest wielkością niezależną od liczby Reynoldsa.
Na rysunku 4.16 przedstawiono w jednostkach bezwymiarowych średnie ciśnienie (prawa oś rzędnych) w miejscu montażu drutu oporowego w zależności od liczby Reynoldsa w przypadku bez odsysania (a
- romby) oraz przy włączonym odsysaniu (b - romby). W rozważanym zakresie liczb Reynoldsa, ten związek, z dobrym przybliżeniem, jest zadany funkcją stałą, tzn. średni spadek ciśnienia w śladzie jest kwadratową funkcją prędkości. W obu przypadkach zachodzi zależność
p
C
1
U2 .
2
Obliczone wartości stałych proporcjonalności są równe C1
C 2 0,012 z włączonym odsysaniem.
40
(4.11)
0,021 w przypadku bez odsysania oraz
W kolejnych symulacjach zbadano zależność amplitudy szumu aerodynamicznego od ustalonej
prędkości wlotowej. Względne fluktuacje ciśnienia w punkcie położenia drutu są zdefiniowane jako
Dp
p
p
1
Np
pi
p,
(4.12)
i
gdzie pi jest wartością ciśnienia w i-tym kroku czasowym, a kreska oznacza wartość średnią wziętą z 800
kroków czasowych. W przypadku wyłączonego odsysania względne fluktuacje są proporcjonalne do prędkości samolotu (rys. 4.17). Policzone wartości względnych fluktuacji ciśnienia dla prędkości wlotowych z
przedziału 50 - 150 ms-1 są dobrze przybliżone przez związek Dp
5,2 10 5 Re 0,697 . Związek ten odpowiada wymiarowej relacji p 0,57U - 17,42 , w której U jest w m/s, a ciśnienie p w Pa.
80
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
1
70
Względne fluktuacje ciśnienia Dp (romby)
Bezwzględne fluktuacje ciśnienia p [Pa] (kółka)
Liczba Reynoldsa
0.8
60
50
0.6
40
0.4
30
20
0.2
10
0
0
20
40
60
80
100
120
Prędkość powietrza na wlocie [m/s]
140
0
160
Rys. 4.17 Policzona zależność amplitudy bezwzględnych wartości fluktuacji ciśnienia w wymiarowej formie
p 0,57U - 17,42 od prędkości napływającego powietrza (kółka i ciągła linia najlepszego dopasowania). Ten sam
związek w bezwymiarowej formie tzn. zależność względnych fluktuacji ciśnienia Dp
liczby Reynoldsa (romby i przerywana linia najlepszego dopasowania)
5,2 10 5 Re 0,697 od
W przypadku, kiedy odsysanie jest włączone, to niezależnie od prędkości wlotowej fluktuacje nie są
obserwowalne w symulacjach. Jakkolwiek średnicę dyszy Venturiego należy tak dobrać, żeby nawet przy
małej prędkości samolotu ciśnienie odsysania było wystarczające do stabilizacji przepływu.
Tabela 4.2 Wartości liczbowe przedstawione na wykresach
Prędkość Min ciśnienie
[m/s]
[Pa]
95
100
105
110
115
120
125
4.8
-4
2
5
9
12
18
39
Bez odsysania
Max ciśnienie Średnie
ci- Częstość
[Pa]
śnienie [Pa]
[kHz]
156
173
192
210
230
249
272
95
107
119
132
144
154
175
15,85
16,68
17,52
18,35
19,19
20,02
20,44
Z odsysaniem
Prędkość
Średnie
ci[m/s]
śnienie [Pa]
50
15,3
95
47,5
100
54,1
105
61,5
110
69,7
115
79,4
120
90,5
125
104,5
150
235
Wnioski
Przeprowadzone symulacje wykazują, że włączenie odsysania redukuje poziom rejestrowanego szumu i zwiększa dokładność pomiarów temperatury. Pomysł stabilizacji przepływu przez zastosowanie odsysania powietrza i wody szczelinami w osłonie pojawił się w pracy (Haman i inni, 2001). Praca była poświę41
cona technicznemu udoskonaleniu ultraszybkiego termometru chmurowego. Autorzy pracy nie podkreślili w
niej dostatecznie wyraźnie, że zaproponowane rozwiązanie jest oryginalne. Nigdy wcześniej w mechanice
płynów nie dostarczono ścisłego matematycznego opisu efektu stabilizacji przepływu za pomocą szczelin
odsysających.
Wpływ odsysania na pole przepływu jest dwojaki. Po pierwsze, dla liczby Reynoldsa ~4900, przy której prowadzi się pomiary, odsysanie likwiduje ścieżkę wirów von Karmana odrywających się od powierzchni osłony i przechodzących przez czujnik temperatury. Wtedy w śladzie przepływu za osłoną nie ma zaburzeń i nie są rejestrowane adiabatyczne fluktuacje temperatury będące wynikiem spadków ciśnień w rdzeniach wirów. Po drugie, odsysanie w obszarze szczelin modyfikuje wewnętrzną część warstwy przyściennej.
Ta wewnętrzna część warstwy jest obszarem dużego gradientu prędkości, a więc miejscem, w którym intensywnie zachodzi grzanie lepkie. Przeprowadzone symulacje pokazują, że bez odsysania cienka warstwa
ogrzanego powietrza pojawia się w turbulentnym śladzie, zwiększając w ten sposób amplitudę rejestrowanych fluktuacji. Kiedy odsysanie jest włączone, znaczna część powietrza, która ogrzewa się w warstwie
przyściennej przedniej części osłony, jest usuwana przez szczeliny i nigdy nie trafia do śladu.
W rozdziale 4 ustalono ogólną zależność średniego spadku ciśnienia oraz amplitudy fluktuacji ciśnienia od prędkości samolotu. Pomaga to oszacować błąd systematyczny rejestrowanej temperatury oraz poziom szumu.
Po przeprowadzeniu analizy dwuwymiarowej geometrii śladu aerodynamicznego zrozumiano złożoność widma fluktuacji ciśnienia/temperatury. Jeśli termometr chmurowy rejestruje ciągły sygnał, widmo
fluktuacji uzyskane dla przepływu bez odsysania jest zdominowane przez dwie częstości: częstość podstawową odrywania się wirów i drugą, dwa razy większą. Znajomość obu tych częstości jest konieczna, żeby w
procesach akwizycji danych i przetwarzania sygnału zapewnić możliwość ich tłumienia. W rzeczywistości
układ elektroniczny termometru zapisuje spróbkowany sygnał, co powoduje, że w widmie pojawiają się
dodatkowe częstości wynikające z aliasingu. W symulacjach wyjaśniono skutki aliasingu – ma to zasadnicze
znaczenie dla poprawnej analizy danych doświadczalnych.
Reasumując, badanie drobnoskalowych turbulencji chmur nieobarczone błędem będzie możliwe tylko wtedy, gdy z rejestrowanego sygnału dyskretnego zostaną wyfiltrowane pasożytnicze częstości pochodzące z turbulentnego przepływu i z aliasingu.
Dalsze badania widma fluktuacji ciśnienia/temperatury powinny być poświęcone trójwymiarowym
symulacjom hydrodynamicznym. Ich celem będzie zweryfikowanie, czy widmo w środkowej części śladu
nadal jest zdominowane przez dwie częstości w przypadku gdy przepływ jest trójwymiarowy.
42
5 Symulacja przepływu kropel wokół osłony chmurowego termometru samolotowego
5.1
Wprowadzenie
W trakcie lotu krople zawieszone w chmurze od czasu do czasu uderzają w drut oporowy termometru samolotowego. Efektem kolizji są zarejestrowane w pomiarach krótkie, trwające około 5 ms, spadki
temperatury o kilka stopni (Haman i inni, 2001). Gdy dochodzi do zbyt wielu zderzeń, zapisy temperatury są
zaszumione i stają się trudne do zinterpretowania. Problemy zwilżania czujnika temperatury w termometrach immersyjnych, a także problem analizy zniekształconych w ten sposób danych był podjęty w pracy
(Lawson i Cooper, 1990). Przede wszystkim jednak trzeba znaleźć sposób na uniknięcie lub znaczne ograniczenie prawdopodobieństwa zderzeń kropel z drutem. W tym celu poszukuje się skutecznej ochrony czujnika temperatury. Zastosowanie osłony znacznie redukuje częstotliwość zderzeń, ale nie eliminuje tego problemu całkowicie.
Precyzyjne policzenie funkcji gęstości prawdopodobieństwa kolizji kropel z drutem jest zadaniem
trudnym, wymagającym zastosowania praw fizyki przepływów na styku dwóch faz, pełnej trójwymiarowości oraz symulacji hydrodynamicznych z powierzchnią swobodną odkształcanej kropelki poruszającej się w
warstwie przyściennej.
W tej pracy wykonano symulacje ruchu pojedynczych kropel o różnych rozmiarach w przybliżeniu Stokesa. Takie podejście pozwala oszacować wpływ odsysania na wiry von Karmana, które z kolei wpływają na kształt trajektorii kropel. Problem wpływu wirów na procesy transportu analizował ostatnio (Bajer, 2005a; Bajer, 2005b).
Rozmiary kropel w chmurach są zróżnicowane, a rozkład gęstości ich występowania zależy od typu
chmury. Wielkością opisującą koncentrację kropel w zależności od ich rozmiaru jest widmo. Typowe widma chmur zostały przedstawione w książce Pruppachera i Kletta (1978, § 2). Modelowanie ruchu kropel w
niniejszej rozprawie przeprowadzono na podstawie widma przedstawionego na rysunku 5.1.
-3
-1
Koncentracja [cm (2,5 m przedział) ]
200
100
30
20
10
5
H(m)
2
o
1
+
200
650
1100
N(cm-3)
364
388
329
0.5
0.2
0.1
0
10
20
30
40
Średnica kropli ( m)
Rys. 5.1 Typowe, zmierzone widmo kropel chmurowych. Wysokość H jest liczona od podstawy chmury, przy której
mierzono całkowitą koncentrację kropel N (Warner, 1969 z Pruppachera i Kletta 1978, § 2).
Z wykresu 5.1 wynika, że koncentracja kropel na jednostkę objętości jest największa dla średnic z
przedziału 5-20 m. Kropel o średnicy powyżej 20 m jest znacznie mniej. Poza tym krople większe mają
dużą bezwładność i nie są podatne na działanie odsysania, którego skuteczność poddano badaniu.
Rozmiary rozważanych w pracy kropel są na tyle małe (promień 2,5 10 μm ), że podczas ruchu napięcie powierzchniowe utrzymuje ich sferyczny kształt. Brak deformacji upraszcza złożony problem opisu
43
rozkładu sił działających na powierzchnię kropli, dzięki czemu można je traktować jako punkty materialne.
Przyjęcie przybliżenia Stokesa wymaga spełnienia dwóch warunków. Po pierwsze, liczba Reynoldsa dla
kropli musi być mała, co oznacza, że ruch kropli względem otaczającego powietrza odbywa się powoli. Po
drugie, w sąsiedztwie kropli przestrzenna skala zmienności pola prędkości powietrza jest dużo większa od
promienia kropli a. Ten warunek oznacza, że w układzie odniesienia zaczepionym w środku kropli, przepływ otaczającego powietrza dąży do jednorodnego strumienia w miarę jak oddalamy się od środka. Równoważnie oznacza to, że w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością powietrza przepływ
jest spowodowany kulą poruszającą się wolno w spoczywającym płynie.
Jeśli spełnione są powyższe warunki, to mamy do czynienia z przepływem Stokesa, a zatem siła
działająca na kroplę jest liniową funkcją względnej prędkości (Batchelor 1970, § 4.9). Trajektoria kropli x(t)
jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych zwyczajnych
dv d
C
dt
dx
vd
dt
m
a vd
v (x, t )
,
(5.1)
gdzie m jest masą kropli, vd jest jej prędkością, natomiast promień kropli oznaczono literą a. v (x, t ) jest
prędkością, jaką posiadałby element powietrza w miejscu, w którym aktualnie znajduje się środek kropli.
Dla kropel wody unoszonych w powietrzu stała C 6 (Batchelor 1970, § 4.9). Wartości v (x, t ) zostały policzone w symulacjach przepływu czystego powietrza. Są to wartości prędkości o współrzędnych x x,y , w
polu prędkości otrzymanym przez rozwiązanie równań NS w obszarze przedstawionym na rysunku 3.1 z
warunkami brzegowymi podanymi w tabeli 3.1. Jak pokazano w rozdziale 4, odsysanie stabilizuje przepływ,
zatem v(x, t ) v(x) . To upraszcza problem związany z mnogością danych wejściowych. Istotna trudność,
jaka się pojawia związana jest z formatem danych pola v. Wartości pola prędkości są rozmieszczone w węzłach leżących na środkach boków czworokątów tworzących nieregularną siatkę przedstawioną na rysunku
3.3A (zagęszczoną 4 razy). Taki format danych wyklucza możliwość rozwiązania układu 5.1 jedną z prostych metod różnic skończonych, takich jak metoda Eulera lub Rungego-Kutty. W celu rozwiązania tego
problemu dane z rozwiązania równań NS przekonwertowano do regularnej siatki 200 100. Interpolacja danych została przeprowadzona przy wykorzystaniu pakietu procedur SCIFEAT stworzonych do programu
SCILAB. Następnie układ równań 5.1 został rozwiązany metodą Rungego-Kutty 4 rzędu (Pang, 2001, §
3.4). Jest to stabilna metoda pozwalająca na uruchomienie algorytmu na podstawie jednego punktu startowego.
5.2
Wstępne wyniki modelowania ruchu kropel i analiza dokładności
Na rysunku 5.1 przedstawiono trajektorie dwudziestu kropel rozmieszczonych wzdłuż linii prostej
prostopadłej do kierunku napływającego z lewej strony strumienia powietrza. Na wlocie wszystkie odległości pomiędzy sąsiednimi kroplami są równe. Początkowa prędkość względna kropel jest równa zero czyli
taka sama jak prędkość powietrza. Kiedy odsysanie jest wyłączone krople większe osiadają na osłonie i nie
zderzają się z czujnikiem, a lekkie są unoszone w ścieżce wirów von Karmana i przypadkowo zderzają się z
drutem o średnicy 2,5 m. W przypadku włączonego odsysania (prawa kolumna) krople nie zderzają się z
czujnikiem, ale niektóre z nich przelatują bardzo blisko. Dzieje się tak z powodu uginania ich trajektorii w
wyniku zasysania warstwy przyściennej osłony. W rezultacie małe krople zmierzają w kierunku osi symetrii
tarczy, co oznacza, że mogą się zderzyć z czujnikiem, gdy pojawia się niewielkie zewnętrzne zaburzenie,
jak np. małe odchylenie kąta natarcia osłony.
44
Rys. 5.2 Trajektorie dwudziestu kropel policzone w przybliżenia Stokesa w przepływie z wyłączonym odsysaniem
(lewa kolumna) i z włączonym odsysaniem (prawa kolumna). Krople na wlocie mają zerową względną prędkością.
Promienie kropel są równe odpowiednio: (a) 1 m, (b) 2,5 m i (c) 10 m, a średnica drutu wynosi 2,5 m.
Analiza uzyskanych wyników pokazuje, że pierwszy warunek potrzebny do spełnienia przybliżenia
Stokesa jest dobrze spełniony. W płaszczyźnie wlotu krople wszystkich rozmiarów mają liczbę Reynoldsa
równą zero. Zwiększa się ona wzdłuż trajektorii i osiąga maksymalną wartość wewnątrz warstwy przyściennej na powierzchni osłony. Liczba Reynoldsa przyjmuje w tym miejscu wartość około 0,1 dla kropel małych
i około 30 dla większych. Zdarzają się również choć rzadko, sytuacje, w których liczba Reynoldsa osiąga na
krótkich odcinkach trajektorii wartość 100. Dzieje się tak, gdy kropla jest chwilowo przyspieszana w poprzecznym strumieniu blisko szczelin odsysających powietrze.
Drugi warunek potrzebny do spełnienia przybliżenia Stokesa nie jest dobrze spełniony tylko wtedy,
gdy kropla znajduje się blisko powierzchni osłony. Kiedy liczono trajektorie kropel przelatujących w odległości porównywalnej do promienia, w niektórych przypadkach być może popełniono błąd w decydowaniu,
czy kropla uderzy w osłonę i przyklei się do niej, czy też będzie unoszona za osłoną. W symulacjach przyjęto oczywiście, że kropla przykleja się do osłony w przypadku, kiedy jest oddalona od niej o mniej niż długość promienia a.
Optymalizacja wartości ciśnienia odsysania
5.3
Z przeprowadzonych symulacji przepływu czystego powietrza oraz z wyników modelowania ruchu
kropel (rozdział 5.2) wynika, że odsysanie wywołuje korzystne jak również i negatywne skutki mające
wpływ na pomiar temperatury.
-
Pozytywnym skutkiem odsysania jest zmniejszanie pasożytniczych fluktuacji temperatury dzięki
niszczeniu wirów w śladzie przepływu za osłoną. Ma to istotny wpływ na obniżenie poziomu szumu
w pomiarach.
45
-
Niepożądane działanie odsysania polega na zakrzywianiu trajektorii kropel a przez to zwiększenie
prawdopodobieństwa ich zderzenia z drutem oporowym. Osiadająca na drucie warstwa wody powoduje nieprawidłowe wskazania temperatury.
W sytuacji, gdy istnieją dwa przeciwstawne skutki odsysania, warto wykonać optymalizację wartości
ciśnienia odsysania, tak aby zminimalizować skutki negatywne. Można oczekiwać, że krople, które zderzają
się z czujnikiem temperatury, mogłyby uniknąć kolizji, gdyby wartość ciśnienia odsysania była mniejsza.
Trzeba zatem znaleźć najmniejszą wartość progową ciśnienia odsysania, która stabilizuje przepływ powietrza w śladzie osłony, a jednocześnie nie zwiększa prawdopodobieństwa kolizji.
Poszukiwanie wartości progowej ciśnienia odsysania wykonano na nowej, zawężonej do rozmiarów
12 x 4 mm siatce (rys. 5.2).
Poziom 1
Poziom 2
Poziom 3
Rys. 5.3 Nowy typ siatki użyty do znalezienia wartości progowej ciśnienia odsysania w szczelinach osłony. Poziomy
wyznaczają kolejne stopnie zagęszczania o czynnik 2.
Przeprowadzone testy wykazały, że zmniejszenie obszaru symulacji nie zmienia warunków w ważnym dla przepływu kropel obszarze warstwy przyściennej osłony. Jednocześnie, zmniejszenie obszaru
znacznie skróciło czas prowadzonych obliczeń. Wyniki symulacji znikania ścieżki wirów, jak również
kształty trajektorii kropel zależą w głównej mierze od warunków przepływu w warstwie przyściennej. Zatem jeśli tam nie zachodzą zmiany, to kształty trajektorii kropel pozostają takie same jak obliczone na oryginalnej siatce A o rozmiarach 12 x 6 mm. Nowy kształt siatki przedstawiono na rysunku 5.3. Dodatkowo
przedstawiono sposób zagęszczania na poziomie 2. i 3. Pozostałe parametry symulacji, czyli warunki brzegowe, długość kroku czasowego oraz metoda rozwiązywania równań Naviera-Stokesa, pozostały niezmienione.
Całkowite fluktuacje ciśnienia w miejscu, w którym znajduje się czujnik temperatury policzono, według wzoru
DP
1
N
Pi
P,
(5.2)
i
gdzie Pi jest wartością ciśnienia w i-tym kroku czasowym, a kreska oznacza wartość średnią z 600 kroków
czasowych. Wartości Pi zostały wybrane po czasie zaniku efektu włączeniowego.
Fluktuacje ciśnienia dane równaniem 5.2 wyznaczono dla dwóch prędkości wlotowych i dla różnych
wartości ciśnień w szczelinach osłony S7 i S8 (rys. 3.1).
46
Bezwzględne fluktuacje ciśnienia [Pa]
100
90
80
90 [m/s]
70
60
50
40
30
70 [m/s]
20
10
0
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Ciśnienie odsysania [Pa]
Rys. 5.4 Wykres ilustruje wpływ ciśnienia odsysania w szczelinach osłony na fluktuacje ciśnienia w miejscu zamontowania czujnika temperatury (Rosa i inni, 2004 b).
Wykresy na rysunku 5.4 pokazują, że przepływ stabilizuje się dla wartości ciśnień mniejszych od 62
hPa i 117 hPa stosowanych w eksperymentach prowadzonych w tunelu aerodynamicznym przy prędkości
odpowiednio 70 i 90 m/s. Z wykresów wynika również, że wartość progowa ciśnienia, przy której następuje
stabilizacja przepływu, zależy od prędkości powietrza na wlocie. Dla prędkości wlotowych 70 i 90 m/s dowolna wartość ciśnienia zasysania większa od 50 hPa jest wystarczająca do redukcji szumu aerodynamicznego. Jednakże, przy każdej prędkości przelotowej pomiary powinny być prowadzone przy wartości progowej ciśnienia tak aby unikać zakrzywiania trajektorii kropel.
Na rysunku 5.5 przedstawiono po dwie składowe pól prędkości dla U = 70 m/s oraz 90 m/s. Przedstawione pola policzono dla dwóch różnych wartości ciśnień w szczelinach, tj. dla obecnie stosowanych
wynikających z konstrukcji termometru oraz dla wartości optymalnych odczytanych
z wykresu 5.2. W obydwu przypadkach przepływ stabilizuje się.
Składowa podłużna prędkości - 25 izolinii
Składowa poprzeczna prędkości -35 izolinii
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 62 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 30 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 117 hPa
47
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 50 hPa
Rys. 5.5 Pola dwóch składowych prędkości powietrza policzone dla napływającego laminarnego strumienia z prędkością 70 m/s i 90 m/s, dla wartości odsysania użytych w eksperymencie (62 i 117 hPa) oraz optymalnych (30 i 50 hPa)
odczytanych z wykresu 5.2. Stan stacjonarny ustala się w obydwu przypadkach po 0,34 [ms].
Analiza pola ciśnienia wykazuje, że zmniejszenie ciśnienia odsysania w szczelinach prowadzi do
zwiększenia średniego ciśnienia w okolicy czujnika temperatury. Niemniej jednak, w obydwu przypadkach
różnica ta jest mała rzędu 3 Pa czyli tysięcznych części stopnia w jednostkach temperatury i nie powinna
zakłócać pomiarów w istotny sposób.
Rysunek 5.6 przedstawia linie prądu, czyli chwilowe kierunki przepływu powietrza policzone na podstawie pól prędkości przedstawionych na rysunku 5.5. Przepływ jest stacjonarny, zatem linie prądu są również trajektoriami elementów płynu. Kształty trajektorii zależą od wartości ciśnień odsysania. W przypadku
stosowanych w doświadczeniu, czyli 62 hPa i 117 hPa (lewa kolumna), elementy płynu są wciągane do
wnętrza osłony znacznie silniej niż w przypadku wartości ciśnień progowych. Ta różnica może w istotny
sposób zmienić proporcje wpływu grzania lepkiego rejestrowanego przez czujnik temperatury, tzn. grzanie
lepkie może systematycznie zawyżać temperaturę. To zagadnienie wymaga dalszych szczegółowych badań i
wykracza poza zakres niniejszej rozprawy.
48
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 62 hPa
Ciśnienie odsysania 30 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 117 hPa
Ciśnienie odsysania 50 hPa
Rys. 5.6 Linie prądu pokazują chwilowe kierunki przepływu powietrza policzone dla prędkości wlotowych 70 i 90
m/s wartości odsysania użytych w doświadczeniu i optymalnych.
W tym miejscu warto zwrócić uwagę na ograniczenia konstrukcyjne obecnie używanej wersji termometru (UFT-F) i zastanowić się nad możliwością kontrolowania wartości ssania. Odsysanie w szczelinach
osłony otrzymuje się za pomocą dyszy Venturiego. Przepływające przez dyszę powietrze tworzy podciśnienie w miejscu tuż za jej zgrubieniem. Dysza ta jest połączona rurkami z osłoną i w ten sposób uzyskuje się
zasysanie w szczelinach osłony. Wartość zasysania jest ściśle zależy od prędkości przepływu powietrza
przez dyszę. Dokładne pomiary wykazały, że dla prędkości pomiarowych 70 m/s wynosi ono 62 hPa, a dla
prędkości 90 m/s aż 117 hPa (Haman i inni, 2001). Obecnie używana wersja termometru nie jest przystosowana do płynnej, niezależnej od prędkości samolotu regulacji ciśnienia ssania. Niemniej jednak usprawnienia konstrukcyjne umożliwiające regulację jego wartości można osiągnąć stosując prosty mechanizm zaciskowy na plastikowej rurce łączącej dyszę Venturiego z ramką, do której przymocowana jest osłona, albo
też zmienić kształt i rozmiar dyszy.
5.4
Trajektorie kropel
Aby wynik symulacji był reprezentatywny, policzono trajektorie 10.000 kropel dla każdej ze średnic
d 5; 7,5;10;12,5;15; 20 μm . Ten zakres wielkości kropel został wybrany na podstawie widma kropli
przedstawionego na rysunku 5.1. Z kształtu widma wynika, że kropel o średnicach powyżej 20 µm jest stosunkowo mało. Ponadto, jak pokazano w rozdziale 5.2, krople większeo średnicach większych od 20 µm,
mają dużą bezwładność i nie są podatne na działanie odsysania, a właśnie ten problem jest przedmiotem
badań. Krople były wypuszczane sekwencyjnie (tzn. nie oddziaływały ze sobą), ze względną prędkością
równą zero. To odpowiada sytuacji jaka panuje podczas pomiaru, kiedy to przez nieruchomą chmurę przelatuje samolot.. Rozkład gęstości kropel na wlocie przyjęto jako jednorodny na całym odcinku pomiędzy
pierwszym a trzecim milimetrem. Przyjęcie założenia o jednorodności rozkładu kropel na wlocie nie jest
zgodne z warunkami fizycznymi panującymi w typowej chmurze. Takie uproszczenie problemu nie wpływa
co prawda na rozwiązanie, ale wymaga szerszego wyjaśnienia.
49
Prawa statystyczne będące narzędziem do opisu przestrzennego rozkładu kropel w chmurach były w
ostatnich latach intensywnie rozwijane (Kostinski i Jameson, 2000; Kostinski i Shaw, 2001; Shaw i inni,
2002). Podstawowym modelem akceptowanym przez naukowców jest poissonowski rozkład gęstości prawdopodobieństwa występowania kropel. W modelu tym prawdopodobieństwo p znalezienia N kropel w interesującym obszarze testowym dane jest rozkładem Poissona
p( N )
N N epx - N
,
N!
(5.3)
gdzie N oznacza wartość średnią liczby kropel dla dowolnie wybranego obszaru o identycznej wielkości.
Cechą charakterystyczną tego rozkładu jest to, że wariancja równa jest wartości średniej N2 N . Licznie
prowadzone pomiary dowiodły jednak, że rozkłady kropel wykazują niejednolitą strukturę w różnych skalach, przez co powyższy opis okazał się niewystarczający. Powodem łączenia się kropel w klastery jest zazwyczaj turbulencja. W pracy Kostinski (2001) dowodzi, że rozkład kropel jest rozkładem superpoissonowskim, czyli takim, w którym wariancja jest większa od wartości średniej.
Głównym problemem badania struktury chmur jest pozyskiwanie szczegółowych danych pomiarowych. Analizy prowadzone dotychczas opierały się na pomiarze rozkładu kropel w laboratorium oraz bezpośrednio w chmurach. Pomiary wykonywane w chmurach to tylko przekroje jednowymiarowe wykonywane przyrządem FFSP (ang. Fast Forward Scattering Spectrometer Probe). Dane zebrane w taki sposób pozwalały analizować jednowymiarową funkcję korelacji par. Problem pozyskiwania danych wynikał z braku
urządzeń do trójwymiarowej rejestracji. W Instytucie Geofizyki UW pomiary rozkładu przestrzennego i
widma rozmiarów wykonywano za pomocą hologramów Gabora zapisywanych w dalekim polu dyfrakcyjnym pojedynczych kropel mgieł (Grabowski, 1983) (Kozikowska i inni, 1984) oraz za pomocą fotografii w
komorze chmurowej (Malinowski i inni, 1997; Jaczewski i Malinowski, 2005). Ostatnio, Pan i Meng (2003)
podjęli problem wykorzystania holografii do rejestrowania trójwymiarowego rozkładu kropel. Niedawno
opracowany przyrząd lotniczy (Fugal i inni, 2004) do cyfrowej holografii stwarza możliwość wyznaczenia
położenia kropel w trzech wymiarach.
Niemniej jednak celem prowadzonych symulacji jest znalezienie uśrednionego po czasie rozkładu
kropel w okolicach czujnika temperatury. Dla pozyskania tej informacji użycie dystrybucji innej niż jednorodna, np. Poissonowskiej, nie wpływa na końcowe rozwiązanie. Problem rozkładu kropel musi być wzięty
pod uwagę, jeśli badamy aspekt czasowy zjawiska zderzeń, czyli związek regularności zderzeń ze stałą czasową termometru. W takim przypadku przyjęcie dystrybucji Poissonowskiej jest konieczne, ponieważ lepiej
oddaje warunki, z jakimi mamy do czynienia w trakcie pomiarów. Problem ten jest ważny i wymaga dalszych szczegółowych badań, ale wykracza poza zakres niniejszej rozprawy.
Rysunki 5.7 i 5.8 przedstawiają przykładowe trajektorie kropel policzone dla dwóch różnych prędkości i dwóch różnych wartości ciśnienia odsysania. Dla wartości odsysania użytych w eksperymentach, tj. 62
i 117 hPa (lewa kolumna), niektóre krople zderzają się z drutem oporowym, chociaż zdecydowana większość omija czujnik. Trajektorie policzone dla optymalnych wartości odsysania czyli, 30 i 50 hPa, są mniej
zakrzywione, zatem drut jest lepiej chroniony. Także w przypadku zoptymalizowanej wartości odsysania
krople mogą zderzyć się z drutem. Wyniki symulacji pokazują, że krople, które trafiają w drut, najpierw
zderzają się z osłoną. Zderzenia z osłoną powodują w układzie odniesienia termometru utratę energii kinetycznej kropel. Po zderzeniu kropla zatrzymuje się, a następnie ześlizguje się z osłony i pod wpływem siły
naporu powietrza odrywa się od jej powierzchni. Względna prędkość kropli po oderwaniu się od osłony jest
dużo mniejsza – niemal równa zeru. Mniejsza prędkość z kolei powoduje wydłużenie czasu przebywania
kropli w obszarze szczelin gdzie wpływ odsysania jest największy.
Ta analiza dowodzi, że wpływ działania odsysania na trajektorie kropel jest bardziej złożony niż zakładano początkowo. Krople, które nie zderzają się z osłoną, niezależnie od masy i wartości odsysania również nie zderzają się z czujnikiem.
Zdaję sobie sprawę z tego, że wyników symulacji nie można dobrze zinterpretować. To, co stanie się
z kroplą po zderzeniu z osłonką zależy również od innych czynników nie uwzględnionych w symulacji takich jak na przykład siły przylegania kropel do osłony, czy też deformacja kształtu wskutek zderzeń. Nie50
mniej przeprowadzone modelowanie daje jakościowy obraz wpływu odsysania na prawdopodobieństwo
zderzeń kropel z drutem.
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 62 hPa
Średnica kropli 5 m
Ciśnienie odsysania 30 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 62 hPa
Średnica kropli 7,5 m
Ciśnienie odsysania 30 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
Ciśnienie odsysania 62 hPa
Średnica kropli 12,5 m
Ciśnienie odsysania 30 hPa
Rys. 5.7 Dwadzieścia jeden przykładowych trajektorii kropel policzonych na podstawie przybliżenia Stokesa dla
prędkości na wlocie równej 70 m/s z eksperymentalnym i zoptymalizowanym ciśnieniem odpowiednio 62 i 30 hPa.
51
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 117 hPa
Średnica kropli 5 m
Ciśnienie odsysania 50 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 117 hPa
Średnica kropli 7,5 m
Ciśnienie odsysania 50 hPa
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
Ciśnienie odsysania 117 hPa
Średnica kropli 12,5 m
Ciśnienie odsysania 50 hPa
Rys. 5.8 Dwadzieścia jeden przykładowych trajektorii kropel policzonych na podstawie przybliżenia Stokesa dla
prędkości na wlocie równej 90 m/s z eksperymentalnym i zoptymalizowanym ciśnieniem odpowiednio 117 i 50 hPa.
5.5
Statystyka rozkładu kropel w sąsiedztwie drutu oporowego
W oparciu o kształty trajektorii kropel policzone w rozdziale 5.4 można oszacować prawdopodobieństwo kolizji kropla-drut w zależności od ich rozmiaru. Dokładność takiego szacowania jest ograniczona
i zależna od stopnia spełnienia warunków stosowalności przybliżenia Stokesa użytego do liczenia trajektorii.
W celu ominięcia problemu związanego z niedostateczną dokładnością rozwiązań równania 5.1 i ułatwienia
zliczania kropel, zsumowano gęstość występowania kropel do 70 μm komórek. Te komórki zostały rozlokowane wzdłuż odcinka będącego przekrojem obszaru symulacji przechodzącego przez miejsce montażu
drutu oporowego i prostopadłego do kierunku napływającego strumienia powietrza. Wartość histogramu
policzona dla centralnego słupka jest dużo większa niż rzeczywista liczba kolizji kropla-drut. Dzieje się tak,
ponieważ średnice kropel są pomiędzy 3.5 a 14 razy mniejsze od szerokości komórek, podczas gdy średnica
drutu oporowego wynosi zaledwie 2.5 μm. Dalszy opis pozwalający oszacować prawdopodobieństwo zderzeń w sposób nie tylko jakościowy, ale również ilościowy będzie wymagał uwzględnienia także parametru
zderzenia.
52
Prędkość na wlocie 70 [m/s]
Prędkość na wlocie 90 [m/s]
Średnica kropli 5 [μm] Szerokość słupka 70 [μm]
Średnica kropli 7,5 [μm]
Średnica kropli 10 [μm]
53
Prędkość na wlocie 70 [m/s]
Prędkość na wlocie 90 [m/s]
Średnica kropli 12,5 [μm]
Średnica kropli 15 [μm]
Średnica kropli 20 [μm]
Rys. 5.9 Histogramy przedstawiają rozkłady kropel wzdłuż odcinka o długości 4 mm będącego przekrojem obszaru
symulacji, przechodzącego przez miejsce montażu drutu oporowego i prostopadłego do kierunku napływającego
strumienia powietrza. Szerokość słupka histogramu (70 m) odpowiada przedziałowi sumowania liczebności występowania kropel. Rachunki przeprowadzono dla dwóch prędkości wlotowych równych 70 m/s (lewa kolumna) i 90 m/s
(prawa kolumna) i dla sześciu różnych średnic kropel 5; 7,5; 10, 12,5; 15 i 20 μm. Histogramy oznaczone kolorem
jasnym odpowiadają rozkładowi kropel po optymalizacji ciśnienia. Kolorem ciemnym oznaczono histogramy dla wartości odsysania użytych w eksperymentach (62 i 117 hPa).
Przedstawione histogramy wyraźnie pokazują, że przy prędkościach lotu z przedziału od 70 do 90
m/s nie należy spodziewać się bezpośrednich zderzeń kropel o średnicach większych niż 15 μm. Krople
większe (d > 15 μm) posiadają dużą inercję, która lekceważy działanie sił ssania w okolicach szczelin. Krople te poruszają się po liniach prostych, a ich trajektorie nie zakrzywiają się w kierunku czujnika temperatu54
ry. Histogramy pokazują również, że w przypadku kropel lżejszych (d < 15 μm) zmniejszenie odsysania do
wartości progowej (rozdział 5.3) spowodowało, iż krople uzyskały większą swobodę ruchu. W mniejszym
stopniu były podatne na działanie odsysania i rzadziej skręcały w kierunku czujnika temperatury. W konsekwencji doprowadziło to do redukcji szkodliwych dla prowadzenia pomiarów kolizji z drutem.
Zmniejszenie odsysania poniżej wartości progowej nie stabilizuje przepływu, w wyniku czego krople
poruszają się w sposób losowy wyznaczony przez zależne od czasu pole prędkości charakteryzujące ścieżkę
wirów von Karmana. Prosty model wpływu wirów na ruch kropel chmurowych analizowano w (Bajer i inni,
2000).
Warto również zwrócić uwagę na jeszcze jeden korzystny efekt wywołany optymalizacji ssania. Jest
nim poszerzenie kanału za osłoną, w którym to krople nie mogą się znajdować lub ich występowanie jest w
znacznym stopniu ograniczone.
5.6
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zderzenia kropel z czujnikiem temperatury
Wygodną, a jednocześnie czytelną formą zobrazowania wpływu odsysania na liczbę kolizji kropladrut jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa (r ) . Funkcja ta określa wartość prawdopodobieństwa zderzenia w zależności od promienia kropli przy założeniu ich jednorodnego rozkładu na wlocie i ustalonej
koncentracji . W przeprowadzonych symulacjach badano ruch 10 000 kropel, które na wlocie były równomiernie rozłożone na odcinku o długości 2 mm, czyli wartość wynosi = 5 μm-1. Taka gęstość nie prowadzi do koalescencji, gdyż jak wyjaśniono w rozdziale 5.4, krople były wypuszczane sekwencyjnie i nie oddziaływały ze sobą. Argumentem funkcji (r ) jest promień kropli, natomiast wartością jest wysokość środkowego słupka w histogramach podzielona przez jego szerokość (70 μm) i gęstość = 5 μm-1. Taki sposób
zdefiniowania funkcji jest pomocny w szacowaniu liczby zderzeń kropel przy dowolnej koncentracji na
wlocie. Wykresy 5.10 przedstawiają kształty funkcji policzone dla różnych rozmiarów kropel i dla dwóch
różnych warunków przepływu występujących w tunelu aerodynamicznym, gdzie prędkości wynosiły 70 i 90
m/s, a odpowiadające im wartości ciśnień w szczelinach odpowiednio 62 i 117 hPa. Dwie pozostałe krzywe
zostały policzone dla takich samych prędkości, ale dla progowych wartości ciśnień 30 i 50 hPa gwarantujących stabilizację przepływu.
Na podstawie wykresów 5.10 można w prosty sposób policzyć, jaki procent kropel o zadanym promieniu r trafi w drut oporowy przy ustalonej gęstości kropel na wlocie. Jeśli np. koncentracja kropel na wlocie w przedziale pomiędzy pierwszym a trzecim milimetrem wynosi ρ = 5 μm-1, a promień kropli r = 2,5
[μm] to przy prędkości 70 m/s i odsysaniu 62 hPa w drut trafi
n
(r ) d
2r
8,62 (na 10 000)
Dla zoptymalizowanego ciśnienia ssania równego 30 hPa liczba zderzeń redukuje się do 4,87 na 10
000. Oczywiście, nie każda kolizja wywoła taki sam efekt w zapisach temperatury. Krople mogą trafiać w
drut centralnie, jak również zderzać się z pewnym parametrem (nie większym od promienia). Wyznaczona
liczba uwzględnia również zderzenia niecentralne.
55
Prędkość powietrza na wlocie 70 m/s
(d) ( 1[ m] przedział )
-1
0.25
0.2
Ciśnienie odsysania stosowane w pomiarach [62 hPa]
0.15
Ciśnienie odsysania po optymalizacji [30 hPa]
0.1
0.05
0
5
10
15
Średnica kropli [ m]
20
25
Prędkość powietrza na wlocie 90 m/s
(d) ( 1[ m] przedział )
-1
0.25
0.2
Ciśnienie odsysania stosowane w pomiarach [117 hPa]
0.15
Ciśnienie odsysania po optymalizacji [50 hPa]
0.1
0.05
0
5
10
15
Średnica kropli [ m]
20
25
Rys. 5.10 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Φ(2r) policzona dla różnych rozmiarów kropel, dwóch różnych
prędkości 70 i 90 m/s i dla wartości ciśnień użytych w eksperymentach (62 i 117 hPa) oraz dla optymalnych (30 i 50
hPa) znalezionych na drodze symulacji.
Wyniki symulacji uzyskane dotychczas są poprawne tylko dla dwóch wymiarów i nie uwzględniają
zależności od czasu. Funkcja (r ) zależy tylko od promienia. Dla uogólnienia wniosków na trzeci wymiar
oraz wyznaczenia częstotliwości zachodzenia kolizji konieczna jest znajomość postaci widma kropel chmurowych. Dalsze obliczenia będą prowadzone w oparciu o widmo kropel przedstawione na rysunku 5.1.
Pierwszym krokiem w opisie ilościowym zjawiska jest znalezienie całkowitego czasu T, po którym
10 000 kropel chmurowych przejdzie przez prostokąt o polu wyznaczonym przez długość drutu i szerokość
wlotu kropel, dla którego wyznaczono funkcję (r ) czyli 0,2 x 0,5 cm2. Czas ten dany jest wzorem
T
U
1
l
1
C
1
10 000 0.2 1[s],
(5.4)
gdzie U [cm/s] jest prędkością napływu powietrza (prędkość samolotu), l = 0,5 cm długość drutu oporowego, C to koncentracja kropel na jednostkę objętości, a to 0,2 cm szerokość wlotu kropel.
Kolejny etap to wyprowadzenie wzoru, który będzie określał, ile spośród tych kropel, które przeleciały przez prostokąt w czasie T, trafi w czujnik temperatury.
Dane o koncentracji kropel podane w (Warner, 1969 z Pruppachera i Kletta 1978, § 2) są dyskretne.
Każda wartość odpowiada przedziałowi, w którym promień zawiera się pomiędzy ri a ri dr , gdzie dr jest
56
szerokością przedziału i wynosi 1,25 m . Wewnątrz każdego przedziału (ri , ri dr ) koncentracja kropel jest
stała. Interesujące wartości wielkości promienia, dla których zarówno koncentracja, jak i funkcja (r ) są
większe od zera to r1 2,5 m ; r2 3,75 m ; r3 5 m ; r4 6,25 m . Koncentracja kropel w poszczególnych przedziałach (ri , ri
dr ) wynosi:
C1 r1 , r1 dr 100 cm 3 ,
C2 r2 , r2 dr 40 cm 3 ,
C3 r3 , r3 dr 40 cm 3 ,
C4 r4 , r4
funkcji
100 cm 3 .
dr
Dla każdego z przedziałów promieni liczba kolizji n(ri, ri + dr) została wyznaczona na podstawie
przedstawionej na wykresie 5.10
n ri , ri
dr
*
i
* d
2ri ,
(5.5)
gdzie n(ri, ri + dr) to liczba kropel o średnim promieniu ri trafiających w drut o średnicy d = 2,5 m, a
i
dr ) to średnia wartość prawdopodobieństwa w przedziale (ri , ri
(ri , ri
Ostatecznie liczba kropel o promieniu z przedziału (ri , ri
dana jest wzorem
Ni
n ri , ri dr
T
U l Ci (d
2ri )
i
dr ) .
dr ) trafiających w drut na jednostkę czasu
2 10 5 [s 1 ].
(5.6)
Całkowita liczba kropel trafiająca w drut na jednostkę czasu wynosi
Nc
2 10
5
U l
Ci
i
(d
2ri ).
(5.7)
i
Stała 2 10 5 wynika z przyjętej definicji funkcji (r ) . Można też zdefiniować funkcję gęstości prawdopodobieństwa w taki sposób, aby uniknąć tej stałej, jednak przyjęta w tej formie definicja funkcja (r ) jest
łatwo interpretowalna.
Dla
Nc
i
odpowiadającej prędkości U = 70 m/s i wartości odsysania 62 hPa otrzymujemy
110 [s 1 ] . Dla tej samej prędkości i zoptymalizowanego ciśnienia 30hPa częstotliwość zderzeń jest
mniejsza prawie o czynnik 2 i wynosi N c
60 [s 1 ] . Dla większych prędkości U
90 m/s i ciśnienia odsy-
sania użytego w eksperymentach 117 hPa otrzymujemy N c 130 [s ] . Redukcja ciśnienia do minimalnej
wartości 50 hPa przy prędkości U= 90 m/s ogranicza liczbę kolizji do wartości nieco mniejszej niż w poprzednim przypadku. N c 80 [s 1 ] .
1
Objętości wody, która osiada na drucie po zderzeniu z kroplą, nie można oszacować na podstawie
liczby zderzeń i znajomości rozmiarów kropel. Krople mają większe średnice niż drut i podczas zderzeń
część wody ulega rozproszeniu. Poza tym, ilość wody osiadającej na drucie zależy ściśle od parametru zderzenia. Nawet przy centralnym zderzeniu małe krople o średnicy 5 μm nie osiadają w całości. Możliwa jest
również taka sytuacja, w której krople są przecinane na pół, a następnie odrywają się w całości i tworzą się z
nich dwie nowe, mniejsze krople. Wówczas istotnym parametrem jest czas w którym kropla styka się z drutem. Czas ten jest zależy od prędkości samolotu oraz od parametru zderzenia. Zgrubne oszacowania dają
wynik w granicach ułamków mikro, sekund czyli poniżej czasu inercji termicznej. Dodatkowo podczas zderzeń istotne jest działanie napięcia powierzchniowego oraz prędkości, dlatego w celu dokładniejszego przeanalizowania problemu konieczne jest przeprowadzenie modelowania w mikro skali, które pozwoli na
uwzględnienie chwilowego kształtu kropel. W przeprowadzonych symulacjach nie uwzględniono wirowości
przepływu. W pobliżu warstwy przyściennej krople mogą doznawać rotacji, która również finalnie może
zmieniać obraz zderzenia kropli z drutem.
57
5.7
Wnioski
Odsysanie stabilizuje przepływ i pozwala kontrolować kształt trajektorii kropel chmurowych.
Wynikająca z symulacji dwuwymiarowych wartość odsysania wystarczająca do zachowania stabilności przepływu jest dużo mniejsza od stosowanej w obecnym modelu termometru.
Optymalizacja wartości ssania powoduje, że prawdopodobieństwo zderzenia małych kropel o średnicy z przedziału 5-15 μm jest mniejsze.
Odsysanie nie ma większego wpływu na krople o średnicy powyżej 15 μm. Ich stosunkowo duża
masa powoduje, że trajektorie nie zakrzywiają się pod wpływem zasysania.
Zoptymalizowana wartość odsysania powoduje poszerzenie śladu, w którym krople nie mogą się poruszać.
Optymalizacja odsysania zmniejszyła prawdopodobieństwo zderzenia kropel z drutem o 46 % dla
prędkości 70m/s i o 39 % dla prędkości 90 m/s przy daleko idących przyjętych w pracy założeniach.
Częstość zderzeń kropel w trakcie prowadzonych pomiarów jest znacznie mniejsza niż ta obliczona
w symulacjach ~100 Hz. Należy zatem sądzić, że zderzenia kropel małych (do 15 m) nie są rejestrowane przez sensor.
58
6 Modelowanie przepływu w trzech wymiarach
Wykonanie trójwymiarowej symulacji przepływu powietrza wokół osłony termometru chmurowego
to kolejny etap niniejszej rozprawy.
Modelowanie w trzech wymiarach jest ważne, ponieważ dostarcza informacji o przestrzennym charakterze zjawisk występujących podczas przepływu powietrza w okolicy czujnika temperatury. W rozdziale
4 pokazano, że rejestrowany szum aerodynamiczny jest wynikiem odrywania się wirów von Karmana od
osłony. O cechach tego szumu decyduje struktura wirów. Ważne jest zatem dokładne poznanie sposobu tworzenia się wirów w warstwie przyściennej osłony i poznanie ich ewolucji czasowej w trzech wymiarach. Z
pracy (Wiliamson, 1996) wiemy, że dla liczby Reynoldsa 4900 przepływ ma cechy przepływu trójwymiarowego, zatem wykonanie symulacji pozwoli ocenić zasadność przyjętego wcześniej przybliżenia dwuwymiarowego.
Symulacje trójwymiarowe, podobnie jak dwuwymiarowe, wykonano w programie FEATFLOW
(http://www.featflow.de/). Tym razem wykorzystano procedurę pp3d. Niemal wszystkie kroki przygotowania symulacji były przeprowadzone w taki sam sposób, jak dla symulacji dwuwymiarowej (rozdział 3). Nieco bardziej złożony był proces tworzenia siatki obliczeniowej. Składał się z dwóch etapów. W pierwszym
zaprojektowano i wykonano zgrubną siatkę dwuwymiarową. Szczegółowy opis czynności potrzebnych do
jej wykonania znajduje się w rozdziale 3.3.3. Następnie przy użyciu procedury tr2to3 wygenerowano
zgrubną siatkę trójwymiarową. Procedura tr2to3 tworzy siatkę trójwymiarową poprzez proste powielanie
sieci dwuwymiarowej, w efekcie czego powstaje wielowarstwowa struktura z ustalonymi odległościami
pomiędzy sąsiadującymi warstwami, tak jak przedstawia to rysunek 6.1. Zagęszczanie siatki odbywa się
automatycznie, w trakcie działania programu. Rysunek 6.1 przedstawia siatkę powstałą przez dwukrotne
zagęszczenie siatki zgrubnej.
wlot powietrza
y
z
x
Rys. 6.1 Siatka obliczeniowa użyta w symulacji trójwymiarowej (poziom 3). Siatkę otrzymano przez dwukrotne zagęszczenie siatki zgrubnej.
Z powodu ograniczenia mocy obliczeniowej dostępnego mi komputera jak również programu FEATFLOW
modelowanie wykonano dla odcinka osłony o wysokości 1 cm. Cała długość osłony wynosi 2,5 cm. Obliczenia prowadzono na siatce z maksymalnym stopniem zagęszczenia równym 4. Siatka zagęszczona na poziomie 4. powstała poprzez trzykrotne zagęszczenie siatki zgrubnej i składa się aż z 778 240 elementów, 806
112 węzłów i 2 362 368 krawędzi.
Do dyskretyzacji pochodnych czasowych użyto podobnie jak w symulacji dwuwymiarowej trójkrokowego algorytmu Cranka-Nicholsona (równanie 3.3) z regulowaną długością kroku.
Symulacje przeprowadzono tylko dla przypadku bez odsysania, ale z dwoma różnymi warunkami
brzegowymi. Pierwszą symulację wykonano dla przypadku, gdy na górnej i dolnej granicy obszaru symulacji (z = 0 i z = 1 cm) znajduje się sztywna ścianka, co odpowiada warunkowi, że wszystkie składowe wektora prędkości są równe zero. Wyloty powietrza znajdują się na tylnej (x = 2 cm) i dwóch bocznych (y = 0 i y
= 1 cm) granicach obszaru przedstawionego na rysunku 6.1. Sposób definiowania warunków brzegowych w
miejscach, gdzie znajdują się wyloty powietrza, jest taki sam, jak w przypadku dwuwymiarowym – średnie
59
w przekroju ciśnienie statyczne jest równe ciśnieniu atmosferycznemu. Wlot powietrza znajduje się w płaszczyźnie
x = 0 cm.
W symulacji drugiej, zdefiniowano wyloty na wszystkich brzegach, czyli na płaszczyznach z = 0 cm,
z = 1 cm, y = 0 cm, y = 1 cm oraz x = 2 cm, oprócz wlotu (x = 0 cm). Rozkład prędkości na wlocie w obu
przypadkach był zadany funkcją postaci
U (x
0, y, z )
80 * (1 sin
(100 y 0,5)
26
) * (1 sin
(100 z 0,5)
26
)m / s .
(6.1)
Jest to funkcja symetryczna i posiada łagodny spadek do zera blisko krawędzi obszaru symulacji. Dodatkowo funkcja opisująca profil prędkości jest niemal stała i równa 80m/s na prawie całej powierzchni wlotu
poza obszarem blisko brzegu. Taki profil zapewnia mniejszą podatność na warunki brzegowe oraz w większym stopniu zapewnia stabilność rozwiązania.
Rysunek 6.2 przedstawia rozwiązanie równania Naviera-Stokesa w 20 kroku czasowym, tj. po 55 μs
od rozpoczęcia symulacji. Jest to pierwszy przypadek, gdy na górnej i dolnej granicy obszaru symulacji
wszystkie składowe prędkości są równe zero.
Rys. 6.2 Rozwiązanie równania Naviera-Stokesa w 20 kroku czasowym. Przypadek pierwszy, czyli znikanie prędkości na górnej i dolnej granicy obszaru symulacji. Linie koloru zielonego to linie prądu. Kolorem czerwonym oznaczono płaszczyznę stałej wartości prędkości równej 5 m/s. Stożki znajdują się również na powierzchni o stałej wartości
prędkości równej 2,5 m/s i wyznaczają chwilowy kierunek przepływu powietrza. Na ściance bocznej widoczny jest
rozkład wartości prędkości. Kolory ciepłe odpowiadają maksymalnej prędkości powietrza na wlocie 80m/s, zaś kolor
fioletowy to prędkość równa zero.
Dla porównania, na rysunku 6.3 przedstawiono rozwiązanie odpowiadające tej samej chwili czasowej, ale dla przypadku, w którym na wszystkich granicach obszaru za wyjątkiem płaszczyzny wlotu x = 0
cm znajdują się wyloty powietrza.
60
Rys. 6.3 Rozwiązanie równania Naviera-Stokesa w 20 kroku czasowym. Przypadek drugi czyli wyloty na wszystkich
granicach obszaru symulacji poza płaszczyzną x = 0 cm. Linie koloru zielonego to linie prądu. Kolorem czerwonym
oznaczono płaszczyznę stałej wartości prędkości równej 5 m/s. Stożki znajdują się również na powierzchni o stałej
wartości prędkości równej 2,5 m/s i wyznaczają chwilowy kierunek przepływu powietrza. Na ściance bocznej widoczny jest rozkład wartości prędkości. Kolory ciepłe odpowiadają maksymalnej prędkości powietrza na wlocie
80m/s, zaś kolor fioletowy to prędkość równa zero.
Już na początkowym etapie symulacji widoczne są efekty trójwymiarowe i zasadnicze różnice wynikające z przyjętych warunków brzegowych. Różnice te w głównej mierze dotyczą kierunku przepływu
powietrza. W przypadku, gdy na górnej i dolnej granicy obszaru symulacji (z = 0 cm i z = 1cm) są sztywne
ścianki, przepływ z dobrym przybliżeniem jest dwumiarowy. Powierzchnia stałej prędkości, na której
znajdują się stożki, w zasadzie nie zależy od z, za wyjątkiem cienkiego obszaru w warstwie przyściennej.
Zupełnie inaczej wygląda pole prędkości, gdy sztywne ścianki są zastąpione wylotami. Wtedy to przepływ
staje się całkowicie trójwymiarowy, co dobrze ilustrują linie prądu. Wynika z tego jasno, że w obu
przypadkach ewolucja czasowa wirów będzie miała zupełnie inny charakter.
Szczegółowa analiza zjawisk zachodzących podczas przepływu dla pierwszego przypadku będzie
przeprowadzona dla rozkładu pola ciśnienia i prędkości w 351 kroku czasowym, czyli po 2,5 ms od
początku symulacji. Sekwencja obrazów przedstawia różne parammetry charakteryzujące przepływ, tj. pole
ciśnienie, linie prądu oraz rozkład prędkości. Analizując trójwymiarowe pole ciśnienia dochodzimy do
wniosku, że tak samo, jak w przypadku dwuwymiarowym, również i tu pojawiają się wiry von Karamana.
Są one widoczne w postaci niewielkich kulistych obszarów obniżonego ciśnienia za osłoną (rys. 6.4).
Przekrój obszaru symulacji w płaszczyźnie z = 0,5 cm jest jakościowo zgodny z wynikiem pola ciśnienia
otrzymanym dla symulacji dwuwymiarowej.
61
wiry
Rys. 6.4 Rozkład ciśnienia — widok przestrzenny. Na obrazie widoczne są niewielkie obszary spadku ciśnienia. Są to
wiry von Karmana.
Rys. 6.5 Linie prądu oznaczone kolorem czerwonym wyznaczają chwilowy kierunek przepływu powietrza. Stożki,
które również wskazują kierunek przepływu, znajdują się na powierzchni o stałej wartości prędkości równej 10 m/s.
62
Rys. 6.6 Linie prądu — widok przestrzenny. Kolorem zielonym oznaczono linie prądu, których początek znajduje się
w płaszczyźnie przed osłoną w x = 0,4 cm. Kolorem czerwonym oznaczono linie prądu, których początek jest płaszczyźnie tuż za osłoną termometru.
Rys. 6.7 Linie prądu — widok z boku. Efekty trójwymiarowe przepływu są widoczne w postaci spiralnych kształtów
linii prądu.
63
Rys. 6.8 Linie prądu — widok z góry.
Na rysunkach 6.5 do 6.8 pokazano widziane z różnej perspektywy linie prądu wyznaczające kierunek
przepływu powietrza.
Zupełnie inny rozkład ciśnienia (rys. 6.9) otrzymujemy w przypadku. gdy na górnej i dolnej granicy
obszaru symulacji znajdują się wyloty. Wówczas powietrze jest zasysane również przez górną i dolna
ściankę, przez co obraz przepływu staje się znacznie bardziej się złożony. Obszary obniżonego ciśnienia w
tylnej części obszaru symulacji to struktury wirowe, jednak trudno ocenić, czy są to wiry von Karmana.
Rys. 6.9 Przekrój przez trójwymiarowe pole ciśnienia w otoczeniu osłony termometru chmurowego w 244 kroku czasowym, tj. po 0,72 ms od początku symulacji. Na obrazie widoczne są trzy obszary w tylnej części obszaru symulacji
o obniżonym ciśnieniu. Są to struktury wirowe.
64
wiry
Rys. 6.10 Kolorem czerwonym oznaczono powierzchnię o stałej wartość prędkości równej 42 m/s. Kolorem zielonym
oznaczono linie prądu o początku tuż za osłoną. Na powierzchniach bocznych zaznaczono także rozkład wartości
prędkości. Kolory zimne oznaczają prędkość małą, ciepłe prędkość dużą.
Rys. 6.11 Czerwona powierzchnia określa stałą wartość prędkości równą 42 m/s. Stożki wyznaczają kierunek przepływu powietrza i także leżą na powierzchni wyznaczającej stałą wartości prędkości równą 50 m/s. Linie prądu o początku w płaszczyźnie x = 0 pokazują chwilowe trajektorie elementów płynu.
Rysunki 6.10 i 6.11 pokazują, że cztery wiry powstające za osłoną mają wydłużony kształt
i sięgają okolicy czujnika temperatury. Na stronie www.igf.fuw.edu.pl/~rosa/featflow.htm można zobaczyć
animacje trójwymiarowych wirów powodujących szumy zakłócające pomiar temperatury.
65
7 Inne kształty osłon
Przeprowadzone symulacje przepływu czystego powietrza uzupełnione o transport kropel dowiodły,
że czujnik temperatury nie jest dostatecznie chroniony przez obecnie stosowaną osłonę. Wprawdzie boczne
odsysanie skutecznie stabilizuje przepływ i usuwa wodę zbierającą się na jej powierzchni, to z drugiej strony
przyciąga małe krople zawieszone w chmurze, przez co zwiększa prawdopodobieństwo zderzenia ich z drutem. Brak odsysania nie rozwiązuje problemu, ponieważ destabilizuje przepływ i powoduje, że osłona staje
się źródłem szumu aerodynamicznego. Dlatego też warto przetestować własności aerodynamiczne innych
kształtów osłon, w celu znalezienia takich, które nie wymagałyby stosowania odsysania, a przy tym skutecznie chroniłyby czujnik temperatury.
Zasadniczym problemem optymalizacji skuteczności osłony jest oprócz odpowiedniego doboru
kształtu, odpowiedni wybór rozmiarów. Im osłona jest szersza tym lepiej chroni czujnik temperatury przed
zamoczeniem. Zbyt szeroka osłona może jednak spowodować, że czujnik będzie znajdował się w obszarze
jej cienia, przez co pomiar temperatury nie będzie odpowiadał rzeczywistej temperaturze ośrodka. Osłona
nadmiernie wydłużona i wąska będzie generowała silne konwekcyjne niestabilności wzdłuż całej długości
warstwy przyściennej, prowadząc do zakłócenia pomiaru poprzez wzmocnienie amplitudy fluktuacji temperatury w ścieżce wirów von Karmana. Optymalny kształt osłony musi zostać wybrany na drodze kompromisu pomiędzy skutecznością zabezpieczenia a inwazyjnością pomiaru.
Inspiracją do szukania nowych kształtów osłon były profile stosowane obecnie w różnego rodzaju
przepływach. Wzorowano się między innymi na kształcie łodzi podwodnej, płata nośnego samolotu oraz
aerodynamicznej formie pocisków do broni pneumatycznej. Wszystkie te kształty były wielokrotnie optymalizowane pod kątem konkretnych zastosowań. Z różnych powodów nie wszystkie z nich nadają się do
wykorzystywania jako osłona termometru. Niesymetryczność skrzydła lub nadmiernie wydłużony kształt
łodzi prowadziłby do chaotycznych warunków termicznych w śladzie i w rezultacie trudnych do interpretacji wyników.
7.1
Kształt „łodzi podwodnej”
Pierwszy kształt, którego własności aerodynamiczne poddano modelowaniu numerycznemu, jest
oparty na profilu łodzi podwodnej. Łodzie podwodne poruszają się w ośrodku o współczynniku lepkości
kinematycznej równym około v = 1,5 10-6 m2/s, czyli 10 razy mniejszym niż powietrze. Liczba Reynoldsa
dla łodzi podwodnej o szerokości 10 m wynosi około ~108, czyli jest o ponad cztery rzędy większa od tej,
która charakteryzuje przepływ powietrza wokół osłony termometru. Rozmiary typowej łodzi są dobrane tak,
aby przy zachowaniu możliwie największej objętości łódź stawiała niewielki opór i generowała możliwie
małe turbulencje. Okręt podwodny Giepard (http://www.hudi2.republika.pl/Giepard.htm), na którym wzorowano się projektując nowy kształt osłony, ma wymiar 110,3 x 13,6 x 9,7 m, czyli stosunek długości łodzi
do szerokości wynosi około ~10. Zwykłe przeskalowanie wymiarów przy zachowaniu proporcji nie jest dobrym pomysłem.
0,96 mm
3,46 mm
Rys. 7.1 Nowy kształt osłony wzorowany na łodzi podwodnej.
Jak już wspomniano, nadmiernie wydłużony kształt osłony generowałby struktury wirowe na całej
jej długości. Dodatkowo, wydłużona osłona zachowywała by się jak drugi statecznik, co prowadziłoby do
drgań konstrukcji termometru, a w przypadku rezonansu – do zniszczenia urządzenia. Wzbudzane przez
termometr drgania mogłyby doprowadzić również do innych niebezpiecznych zjawisk, których efekty na
tym etapie trudno przewidzieć. Ostatecznie kształt nowej osłony (rys. 7.1) poddany testom to przeskalowany
profil łodzi Gieparda ze skróconą środkową częścią kadłuba.
66
Sieć numeryczną wykonano w sposób analogiczny jak w przypadku osłony o oryginalnym kształcie
(rozdział 3.3). Miejsce zaproponowane na pomiar temperatury, odpowiadające położeniu czujnika, zaznaczone jest na rysunku 7.2 czarną kropką. Dystans pomiędzy końcem osłony a wytypowanym położeniem
wynosi 5,66 mm, czyli czujnik znajduje się nieco bliżej niż w obecnej wersji termometru (6,5 mm).
a
b
Rys. 7.2 a) Zgrubna siatka obliczeniowa wykorzystana w symulacji przepływu powietrza.
temperatury. b) siatka 3 razy zagęszczona.
oznacza miejsce pomiaru
Symulacje przeprowadzono dla prędkości na wlocie równej U = 80 m/s. Warunki brzegowe są analogiczne do tych użytych w rozdziale 7.1 przedstawionych w Tabeli 1.1 (przypadek bez odsysania).
200
Ciśnienie [Pa]
0
-100
-200
-300
-400
120
1
2
100
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
Na wykresach 7.3 a i b przedstawiono wyniki symulacji w postaci czasowej zależności ciśnienia w
miejscu, gdzie zaproponowano umieszczenie czujnika temperatury jak również widmo sygnału.
a
b
1.6
1.7
1.8
Czas [ms]
1.9
2
100
= 15.8 kHz
80
60
40
2
= 31.6 kHz
20
0
3
1
2
3
4
5
Częstość [Hz]
= 47.41 kHz
6
7
x 10
4
Rys. 7.3 a) Policzone fluktuacje ciśnienia w miejscu zaznaczonym na rysunku 7.2 czarną kropką. Zero odpowiada
wartości ciśnienia atmosferycznego. b) Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia (z rys. 7.3a).
Z wykresu 7.3 (a) wynika, że amplituda fluktuacji ciśnienia jest porównywalna do tej odpowiadającej osłonie o kształcie owalnym. Widmo sygnału przedstawione na rysunku 7.5 (b) zawiera oprócz dwóch
podstawowych częstości 15,8 oraz 31,6 kHz dodatkowo trzecią pasożytniczą częstość równą 47,4 kHz. Wyniki modelowania dowodzą, że zarówno amplituda, jak i częstości szumu aerodynamicznego wywoływałyby
w trakcie pomiarów zaburzenia porównywalne, a nawet większe od tych jakie są rejestrowane w przypadku
obecnie stosowanej osłony. Warto jednak poddać analizie pola prędkości i ciśnienia w śladzie za osłoną,
gdyż być może istnieje lepsze miejsce na wybór położenia czujnika temperatury.
67
Ciśnienie [Pa]
Funkcja prądu
Rys. 7.4 Wynik symulacji przepływu powietrza wokół osłony o kształcie łodzi podwodnej. Sekwencja obrazów ilustruje czasową ewolucję pola ciśnienia (lewa kolumna) i funkcji prądu (prawa kolumna) w t = 1,724; 1,739; 1,754;
1,769 i 1,787 ms. Izobary są przeprowadzone w odstępach średnio co 274 Pa.
68
Składowa podłużna prędkości [m/s]
Składowa poprzeczna prędkości [m/s]
Rys. 7.5 Sekwencja czasowa pokazująca ewoluowanie dwóch składowych pól prędkości. Lewa kolumna przedstawia
składową podłużną pola w kierunku x, a prawa kolumna składową poprzeczną w kierunku y w tych samych krokach
czasowych co pole ciśnienia na rysunku 7.4. Czas pomiędzy sąsiednimi klatkami wynosi średnio 15 s.
Wyniki przedstawiające czasową ewolucję pola ciśnienia pokazują, że warunki baryczne w całym obszarze śladu zmieniają się periodycznie. Ta obserwacja ostatecznie przesądza o tym, że osłona o takim
kształcie nie jest odpowiednia do ochrony czujnika temperatury.
69
7.2
Osłona składająca się z trzech elementów
Kolejny pomysł na optymalizację własności termometru opiera się na próbie stabilizacji przepływu
przez osłonę składającą się z kilku elementów. Głównym celem takiej konfiguracji jest próba wytłumienia
lub w znacznej mierze utrudnienia tworzenia się ścieżki wirów von Karmana przez rozbijanie struktur wirowych tworzących się w warstwie przyściennej. Nowy kształt osłony poddany weryfikacji składa się z
trzech rozłącznych elementów (rys. 7.6). Największy, o kształcie kroplowym, ma chronić drut przed kroplami, owadami, piaskiem itp., a więc spełniać te same funkcje, jakie spełnia obecnie wykorzystywana osłona o kształcie owalnym. Po obydwu stronach części głównej osłony znajdują się dwie mniejsze, symetryczne do siebie, które w przekroju poprzecznym mają kształty trójkątów. Umiejscowienie ich w taki sposób
przypomina przekrój przez dyszę Venturiego wykorzystywaną w termometrze do otrzymywania ssania w
szczelinach osłony. Gdyby udało się wytłumić drobne niestabilności w warstwie przyściennej głównej jej
części, to wówczas można by uniknąć problemów ze stosowaniem odsysania.
Rys. 7.6 Zgrubna siatka obliczeniowa wykorzystana do symulacji przepływu powietrza wokół osłony składającej się z
trzech rozłącznych elementów. oznacza miejsce, w którym zaproponowano umieszczenie czujnika temperatury.
Siatka jest mniejsza od użytych w poprzednich symulacjach; jej długość wynosi 1 cm, a szerokość 0,5 cm.
Kształt nowej osłony wraz ze zgrubną siatką obliczeniową przedstawiono na rysunku 7.6. Siatka ma
długość 1 cm i szerokości 0,5 cm. Dystans pomiędzy osłoną a miejscem, w którym analizowano ciśnienie,
został wybrany intuicyjnie, na podstawie wiedzy zdobytej w symulacjach wykonanych wcześniej. Przy wyborze tego miejsca zadbano, aby znajdowało się na osi symetrii osłony.
Poważne wątpliwości związane ze skutecznością tej osłony wynikają z dużej liczby ostrych krawędzi, od których mogą się odrywać drobne struktury wirowe. Zachodzi podejrzenie, że każdy z trzech elementów niezależnie od siebie będzie dążył do utworzenia własnej ścieżki wirów. Bliskie sąsiadowanie ze
sobą części osłony spowoduje interferencję śladów. Istnieje szansa, że będzie to interferencja destruktywna,
czyli taka, w której wiry schodzące z poszczególnych elementów będą się nawzajem tłumiły, ale bardziej
możliwa jest sytuacja, w której wzajemne nakładanie śladów doprowadzi do generowania się w miejscu
pomiaru temperatury szumu o złożonej strukturze widmowej.
Symulację tę wykonano dla prędkości na wlocie równej 80 m/s. Warunki brzegowe dobrano analogicznie jak dla kształtu badanego w poprzednim rozdziale 7.1. Prędkość zerowa na brzegach wszystkich
trzech elementów osłony oraz wyloty na górnej, dolnej i tylnej krawędzi obszaru symulacji.
Rysunki 7.7 i 7.8 przedstawiają wyniki symulacji. Są to odpowiednio: pola ciśnienia, funkcja prądu i
dwie składowe prędkości. Własności aerodynamiczne osłony wyraźnie obrazuje sekwencja czasowa pola
ciśnienia w obszarach warstwy przyściennej i w śladzie przepływu.
70
Ciśnienie [Pa]
Funkcja prądu
Rys. 7.7 Sekwencja obrazów ilustruje czasową ewolucję pola ciśnienia (lewa kolumna) i funkcji prądu (prawa kolumna) w t = 1,344; 1,353; 1,362; 1,371 i 1,380 ms. Izobary są przeprowadzone w odstępach średnio co 320 Pa.
Zgrubna analiza pola ciśnienia prowadzi do wniosku, że dwa boczne elementy osłony nie stabilizują przepływu. Widoczne w ich pobliżu niewielkie obszary kołowe o obniżonym ciśnieniu dowodzą, że powstają
tam drobne struktury wirowe, które następnie ewaluują i tworzą pełną ścieżkę wirów von Karmana.
Składowa podłużna prędkości [m/s]
Składowa poprzeczna prędkości [m/s]
71
Rys. 7.8 Obrazy przedstawiają czasową ewolucję dwóch składowych pól prędkości w tych samych krokach czasowych co pole ciśnienia na rysunku 7.7. Lewa kolumna to składowa podłużna pola prędkości w kierunku x, prawa to
składowa poprzeczna w kierunku y. Czas pomiędzy sąsiednimi klatkami wynosi średnio 9 s.
72
Kolejny etap analizy własności trójelementowej osłony to badanie amplitudy i częstości szumu aerodynamicznego w miejscu zaproponowanym do pomiaru temperatury.
1000
Ciśnienie [Pa]
500
0
-500
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Czas [ms]
2.4
2.6
2.8
Rys. 7.9 Fluktuacje ciśnienia w miejscu oznaczonym na rysunku 7.6 czarną kropką. Zero odpowiada ciśnieniu atmosferycznemu.
3
30
2
Widmowa gęstość mocy (Pa /Hz)
35
25
1
= 28.0549kHz
= 1.4265kHz
20
15
10
2
= 12.8387kHz
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Częstość [Hz]
4
4.5
x 10
4
Rys. 7.10 Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia, których zależność czasową przedstawiono na rysunku 7.9.
Ostateczny wniosek z przeprowadzonych symulacji jest taki, że również ten kształt nie jest odpowiedni na osłonę termometru. Nie spełnia on podstawowej funkcji czyli stabilizacji przepływu, a przy tym
jest zdecydowanie gorszy od poprzedniej osłony o kształcie „łodzi podwodnej” oraz od osłony obecnie wykorzystywanej – nawet z wyłączonym odsysaniem. Porównanie amplitudy fluktuacji ciśnienia wykazuje, że
osłona trójelementowa generuje szum aerodynamiczny o dwa razy większym natężeniu niż stosowana obecnie. Widmo sygnału otrzymanego w symulacjach jest złożone i zawiera wiele częstości. Każdy element
osłony istotnie modyfikuje przepływ powietrza w śladzie, co niestety nie prowadzi do tłumienia wirów. W
rezultacie pomiar temperatury w zaproponowanym miejscu musiał by się odbywać w złożonych warunkach
termicznych.
7.3
Osłony w kształcie pocisków do broni pneumatycznej
Trzeci pomysł na optymalny kształt osłony termometru poddany weryfikacji w symulacjach to profil
pocisku przeznaczonego do broni pneumatycznej. Dwa typy śrutu przedstawione na rysunku 7.11 według
73
danych producenta (H&N) przeznaczone są głównie do karabinów o dużej i średniej mocy. Prędkość początkowa śrutu wynosi około 300 m/s. Liczba Reynoldsa policzona dla średnicy d = 4,5mm i prędkości 300
m/s wynosi 91 000 – około 18 razy większa niż dla oryginalnej osłony. Kształt śrutu został zoptymalizowany, aby zredukować opór powietrza podczas lotu oraz zapewnić niewielki spadek prędkości na dużym dystansie. Według danych producenta, zaostrzony kształt główki stawia większy opór niż ten o główce kroplowej, ale z drugiej strony zapewnia większą głębokość penetracji. Ponieważ trudno stwierdzić, który z
nich byłby bardziej odpowiedni na osłonę termometru, czyli który z nich daje bardziej laminarny przepływ,
sprawdzono własności aerodynamiczne obydwu kształtów.
Rys. 7.11. Zdjęcia pocisków w skali 5:1
Proces modelowania przebiegał podobnie do wcześniejszych symulacji. Pierwszy etap to tworzenie
geometrii i projektowanie sieci numerycznej. Rysunek 7.12 przedstawia zgrubne siatki użyte do wykonania
modelu. Obydwa pociski z rysunku 7.11 mają w tylnej części zagłębienie, którego nie widać na zdjęciu.
Kształty testowane w symulacjach (z jednym wyjątkiem) oddają wiernie przekrój przez ich środek. Kształt z
rysunku 7.12a o główce kroplowej nie posiada zagłębienia w tylnej ściance. Może to mieć duży wpływ na
amplitudę fluktuacji ciśnienia w śladzie.
A
b
Rys. 7.12. Zgrubne siatki obliczeniowe użyte do dwuwymiarowego modelowania przepływu powietrza wokół osłony
o profilach z rys. 7.11. Czarną kropką zaznaczono miejsce, w którym dane ciśnienia poddano analizie fourierowskiej.
Rozmiar siatki wynosi 1 0,5 cm.
Przepływ powietrza wokół pocisku ma cechy przepływu w pełni trójwymiarowego, dlatego wynik
modelowania w dwóch wymiarach może znacząco różnić się od danych producenta – tym bardziej, że przeprowadzone symulacje nie uwzględniają ściśliwości ośrodka. Jeśli chodzi o przybliżenie dwuwymiarowe to
warto zwrócić uwagę na to, że różnice dla osłony będą zdecydowanie mniejsze, gdyż stosunek długości do
szerokości wynosi około 25.
Wykresy 7.13 przedstawiają wyniki modelowania przepływów powietrza wokół kształtów z rysunku
7.12. Z porównania amplitudy fluktuacji ciśnienia wynika, że przepływ powietrza wokół kształtu b generuje
mniejsze turbulencje niż przepływ wokół kształtu a. Amplituda tych fluktuacji jest 10 razy mniejsza. Prowadzi to do prostego wniosku, że przepływ wokół b jest bardziej laminarny. Wstępna analiza wykazuje, że
kształt b jest bardziej odpowiedni na osłonę termometru. Istotną obserwacją jest również ta, że amplituda
fluktuacji ciśnienia dla b jest mniejsza niż ta dla osłony stosowanej obecnie w przypadku bez odsysania.
74
a
b
1000
50
b
Ciśnienie [Pa]
Ciśnienie [Pa]
500
0
-500
0
-50
-1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-100
0
1.4
0.5
Czas [ms]
1
1.5
Czas [ms]
Rys. 7.13 Fluktuacje ciśnienia w odległości 5 mm za osłonami. Miejsce akwizycji danych zaznaczono czarną kropką.
Kolejnym etapem sprawdzania własności aerodynamicznych zaproponowanych kształtów jest zbadanie generowanych częstości.
b
35
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
30
25
20
1
= 29.21kHz
15
10
5
0
0.2
2
2
Widmowa gęstość mocy [Pa /Hz]
a
2
4
6
2
= 58.43kHz
8
Częstość [Hz]
10
12
14
x 10
4
0.15
1
= 14.60kHz
0.1
2
= 29.22kHz
0.05
3
0
= 43.82kHz
4
2
4
6
Częstość [Hz]
= 58.42kHz
8
10
x 10
4
Rys. 7.14 Widmowa gęstość mocy fluktuacji ciśnienia z rysunku 7.13 dla zakresu nie obejmującego efektu włączeniowego po 0,75 ms.
Z wykresów 7.14 wynika, że postać widma symulowanego sygnału różni się znacząco w obu przypadkach. Widmo dla kształtu b jest bardziej złożone od a, ale amplituda tych częstości jest o rząd wielkości
mniejsza.
Z przeprowadzonych symulacji wypływa wniosek taki sam jak z symulacji dla osłony o „kształcie
łodzi podwodnej” i osłony składającej się z trzech elementów. Wszystkie przetestowane kształty generują
szum aerodynamiczny tylko charakter szumu zmienia się w zależności od kształtu. Wyniki symulacji prowadzą do wniosku, że wykorzystanie odsysania jest niezbędne do stabilizacji przepływu.
75
8 Wizualizacja przepływu płynów – przegląd technik
Różne sposoby wizualizacji przepływów są stosowane od lat w wielu dziedzinach nauki i techniki
(Geary, 1995; Settles, 2000). Ich wykorzystanie na masową skalę również w przemyśle spowodowało, że
wciąż są doskonalone. Stosuje się je głównie w aeronautyce, procesach spalania, ale również w medycynie
do wizualizacji przepływu krwi oraz w meteorologii do badania konwekcji mas powietrza. Każde z tych
zastosowań ma inny charakter. Różnice wynikają ze skali zjawisk, szybkości zachodzących zmian, przezroczystości ośrodków oraz dostępności do badanych ośrodków. W zależności od problemu, dąży się do otrzymania różnego typu informacji o przepływie. Zwykle przedmiotem zainteresowania są gęstość ośrodka, pole
prędkości oraz ciśnienie. Ponieważ nie istnieje jedna uniwersalna metoda wizualizacji, to dla konkretnego
zastosowania zwykle optymalizuje się jedną z wielu dobrze znanych. Poniżej zostały omówione różne metody wizualizacji przepływów oraz możliwości ich wykorzystania do obrazowania turbulencji wokół termometru, czyli drobnoskalowych szybkozmiennych wirów wprowadzających zmiany fazy mniejsze niż
długość sondującej fali świetlnej.
Z wizualizacją turbulencji za osłoną termometru wiąże się wiele problemów. Po pierwsze, zjawisko
propagacji wirów jest dynamiczne. Ciśnienie za osłoną termometru, jak to pokazano w rozdziale 4.6, oscyluje z częstością około 13 kHz. Aby uzyskać informacje o pośrednich fazach przepływu należy zatem rejestrować obrazy z częstością większą niż 13 kHz. Do tego celu potrzebne są bardzo szybkie kamery, które
potrafią rejestrować obraz w sposób sekwencyjny z krótkimi czasami ekspozycji i krótkimi przerwami między kolejnymi zdjęciami. Po drugie, przepływ ma charakter trójwymiarowy, zatem jego wierne odtworzenie
wymaga obserwacji pod różnymi kątami. Zwykle jest to kłopotliwe, szczególnie gdy weźmiemy pod uwagę
ograniczenie wynikające z konstrukcji tunelu aerodynamicznego. Ścieżka wirów von Karmana w śladzie
aerodynamicznym osłony termometru w niewielkim stopniu zmienia gęstość powietrza, więc technika wizualizacji musi być bardzo czuła.
W ostatnich latach dużą popularnością cieszą się metody wykorzystujące zjawiska fluorescencji
(Crowder, 1998). Drobiny substancji zawieszone w ośrodku i oświetlone błyskową lampą ultrafioletową
emitują światło o dokładnie określonej długości fali. Rejestracja emitowanego światła przez filtr spektralny
dostarcza informacji o względnych ruchach elementów płynu. Zazwyczaj wykorzystuje się ją do badania
płynów o dużej gęstości, takich jak np. olej. Niestety, tej metody nie można stosować do wizualizacji przepływu za osłoną termometru, przede wszystkim ze względu na trudności z jednorodnym rozprowadzeniem
substancji fosforyzującej w okolicy osłony.
Inna metoda, wykorzystywana głównie do wizualizacji turbulencji w warstwie przyściennej, opiera
się na stosowaniu wskaźników w postaci bezwładnych wstążek, które dostosowują swój kształt do lokalnych
warunków przepływu (Crowder, 1998). Ta metoda jest najczęściej wykorzystywana do badania turbulencji
w warstwie przyściennej płatów nośnych samolotu. Typowa długość wstążek wynosi około 20 mm natomiast gęstość mocowania zależy wyłącznie od żądanej rozdzielczości. Oczywiście, ta metoda nie może zostać wykorzystana do badania wirów wokół termometru, ponieważ rozmiar osłony jest zbyt mały, a poza
tym wpływ samych wstążek modyfikowałby warunki aerodynamiczne za osłoną.
Do podobnego celu wykorzystuje się farby, które są rozprowadzane po obiekcie pod wpływem siły
parcia powietrza. Czasami zamiast farb stosuje się parę wodną, która w procesie sublimacji zamarza, osiadając na obiekcie w taki sposób, że widoczne są charakterystyczne cechy przepływu. Nowością w detekcji
turbulencji w warstwie przyściennej są farby czułe na ciśnienie oraz ciekłe kryształy. Jednakże, żadnym z
tych sposobów nie otrzymamy zasadniczej informacji o zachowaniu się powietrza w śladzie przepływu za
osłoną.
Wykorzystanie kamery na podczerwień może być kolejnym rozwiązaniem. Można nią zapisywać
promieniowanie cieplne wydzielane przez warstwę przyścienną osłony i wynikające z grzania lepkiego.
Czynnikiem utrudniającym zastosowanie tej metody jest metaliczna powierzchnia osłony, która na fale podczerwone działa jak zwierciadło i uniemożliwia łatwą interpretację zdjęć. Poza tym, jak podaje Crowder
(1998), obserwacja grzania aerodynamicznego daje się zaobserwować dla prędkości naddźwiękowych, czyli
dużo większych od tych, przy których prowadzone są tunelowe pomiary i doświadczenia z termometrem.
Często stosowanym wskaźnikiem jest również dym lub para wodna. Dym uzyskiwany ze spalania
różnych substancji, takich jak tytoń, słoma lub drewno i wprowadzany w obszar przepływu dostarcza dosta76
tecznego kontrastu do uwidocznienia interesujących cech przepływu. Konstrukcja tunelu aerodynamicznego
na Politechnice Warszawskiej, gdzie dotychczas prowadzone były doświadczenia, znacznie ogranicza możliwość wprowadzania do tunelu dymu. Tunel znajduje się w pomieszczeniu zamkniętym, a na dodatek jest w
dużej części drewniany, przez co łatwo można wywołać niebezpieczny pożar. Wprowadzenie dymu lub pary
spowodowałoby zmianę również warunków termicznych.
Najbardziej nieinwazyjne i stosunkowo proste do zastosowania są techniki optyczne. Wizualizacja
przepływów przy użyciu metod optycznych polega na analizie zaburzeń fali elektromagnetycznej propagującej się przez badany obszar lub na analizie światła rozproszonego na zawieszonych w ośrodku nieważkich
drobinach substancji. W artykule Lauterborna i Vogela (1984) Modern optical techniques in fluid mechanics
autorzy opisują i klasyfikują różne optyczne techniki wizualizacji przepływów. Te techniki służą głównie do
wizualizacji zmiennej gęstości ośrodka i jego pola prędkości. Większość z nich daje informację jakościową
choć są również takie, które dają informację ilościową (Joannes i inni, 2003).
Optyczne techniki w mechanice płynów
Generowanie przepływów przez światło lasera
Wizualizacja przepływów
Światło rozproszone
Laserowa
dopplerowska
anemometria
Zmienny współczynnik załamania
Fotografowanie
plamek
Holografia
Interferometria
Filtracja przestrzenna
Tomografia
Techniki komputerowe
Rys. 8.1 Ogólny podział optycznych technik wizualizacji przepływów na podstawie (Lauterborn i Vogel, 1984).
Wykorzystanie metody optycznej do wizualizacji przepływu powietrza w śladzie aerodynamicznym
za osłoną termometru jest optymalnym rozwiązaniem problemu. Zbudowanie konkretnego układu musi być
jednak poprzedzone przeprowadzeniem dokładnej analizy czułości typowych układów optycznych, takich
jak schlieren, metoda cieniowa (Settles, 2000, § 6) lub innych metod filtracyjnych (Glückstad i Mogensen,
2001; Reynolds i inni, 1989, § 35). Informacja o czułości układów musi być powiązana z danymi o optycznych własnościach ośrodka zmieniającymi się pod wpływem fluktuacji ciśnienia. Z tego powodu, w dalszej
części pracy szczegółowo analizowane są obydwa problemy, tzn. czułość układu optycznego i przesunięcie
fazowe sondującego światła.
77
9 Optyczne metody wizualizacji wirów oparte na filtracji przestrzennej widma
9.1
Wstęp
Obiekty zmieniające jedynie fazę przechodzącego przez nie światła nazywa się obiektami fazowymi
(Clemens, 2002) – w odróżnieniu do obiektów amplitudowych, które światło pochłaniają. Przykładem
obiektów fazowych są wiry powstające za osłoną termometru. Różnica ciśnień pomiędzy rdzeniami wirów a
otoczeniem powoduje względne przesunięcie fazy propagującej się przez nie fali. Ostatnie lata były czasem
intensywnego rozwoju technik wizualizacji obiektów fazowych opartych na filtracji przestrzennej. Większość tych metod dostarcza informacji jakościowych o rozkładzie gęstości i polu prędkości przepływów.
Niekiedy analiza tych informacji prowadzi w konsekwencji do pełnego poznania charakteru przepływu i
pozwala na kontrolowane zmiany ważnych parametrów układu. Eksperymenty są prowadzone w układach
optycznych o różnej konfiguracji (Voronosov i inni, 2001; Furuhashi i inni, 2003). Najczęściej wykorzystywany jest koherentny korelator 4f. Korelator cechuje się stosunkowo prostą budową, a przy tym jest uniwersalny, gdyż można w nim stosować różne rodzaje filtrów.
Poniższe obliczenia wykonano dla koherentnego procesora optycznego 4f, w którym sygnał przetwarza się różnymi filtrami widmowymi. Pierwsza soczewka korelatora wykonuje przekształcenie Fouriera wejściowego dwuwymiarowego rozkładu amplitudy zespolonej. Otrzymane w płaszczyźnie Fouriera widmo
przestrzenne sygnału wejściowego jest odpowiednio filtrowane, po czym druga soczewka wykonuje następną transformatę Fouriera, tym razem zamieniając widmo przestrzenne na sygnał wyjściowy. Ideowy schemat takiego urządzenia przedstawiono na rysunku 9.1.
Płaszczyzna
Input
wejściowa
plane
Płaszczyzna
Filter
plane
Fouriera
v
Płaszczyzna
Output
plane
wyjściowa
u
f1
y
L1
x
f1
L2
f2
f2
Rys. 9.1 Klasyczny korelator typu 4f do wizualizacji obiektów fazowych przez filtrację częstości przestrzennych.
Obiekt fazowy w płaszczyźnie wejściowej , jest oświetlony falą płaską. W płaszczyźnie Fouriera widmo sygnału
jest mnożone przez transmitancję amplitudową lub fazową filtru. Obraz obiektu fazowego otrzymuje się w płaszczyźnie wyjściowej x,y.
W niniejszej pracy poddano analizie głównie filtry amplitudowe (Rosa i inni, 2004 a; Nowicki i inni,
2003; Sagan i inni, 2003). Ich główną zaletą w porównaniu z filtrami fazowymi jest łatwość wykonania.
Były to następujące filtry: osiowy filtr fazowy Zernike’go z dodatnim lub ujemnym kontrastem (Rosa i inni,
2004), amplitudowy nóż Foucaulta (wygodniejszy w wykonaniu niż fazowy nóż Hilberta) (Rosa i inni,
2004; Nowicki i inni, 2003; Sagan i inni, 2003), trzystopniowy filtr amplitudowy Hoffmana (Hoffman i
Gross, 1975; Nowicki i inni, 2003; Sagan i inni, 2003) oraz szaroodcieniowy filtr pierwiastkowy odpowiadający operatorowi pochodnej połówkowej w płaszczyźnie przedmiotu (Lancis i inni, 1997; Tajahuerce i
inni, 1997; Szoplik i inni, 1998; Sagan i inni, 2003).
78
9.2
Wpływ fluktuacji ciśnienia na optyczne własności ośrodka
Faza i amplituda fali elektromagnetycznej po przejściu przez obszar przepływu turbulentnego ulegają
modyfikacji. Ich zaburzenie jest wywołane przestrzennym zróżnicowaniem współczynnika załamania światła zdefiniowanym jako n = co/c, czyli stosunek prędkości światła w próżni co do prędkości światła w badanym ośrodku c. Analizując zmiany fazy i amplitudy fali po przejściu przez badany obszar, można uzyskać
informacje o chwilowym rozkładzie wartości współczynnika załamania i na tej podstawie wnioskować o
polu ciśnienia, gęstości, temperatury i innych parametrach przepływu. W przezroczystym powietrzu tylko
faza światła ulega modyfikacji, zatem drobnych zmian gęstości nie można zaobserwować gołym okiem czyli, detektorem rejestrującym kwadrat modułu amplitudy zespolonej.
Faza fali płaskiej propagującej się w powietrzu z płaszczyzny z1 wzdłuż drogi o zmiennym współczynniku załamania n(x,y,z) do płaszczyzny z2 ulega przesunięciu o
( x, y)
2
z2
z1
n( x, y, z ) n0 dz
(9.1)
gdzie to długość fali, n0 to współczynnik załamania powietrza w przypadku braku występowania zaburzeń, a n( x, y, z ) jest współczynnikiem załamania związanym z występowaniem fluktuacji gęstości. Gdy
n( x, y, z ) n( x, y) , tzn. kiedy wzdłuż kierunku propagacji nie występują żadne niejednorodności, wzór
upraszcza się do postaci:
( x, y )
2 L
n( x, y ) n0
(9.2)
gdzie L=z2-z1 oznacza dystans, na którym zmiany współczynnika załamania wzdłuż osi z są zaniedbywalne.
Kierunek padania światła
H
Rys. 9.2 Optymalny sposób oświetlenia termometru w technikach optycznych. H = 33 mm to wysokość osłony.
Oszacowanie maksymalnego przesunięcia fazowego wywołanego fluktuacjami ciśnienia powstającymi w okolicy osłony pozwoli ocenić minimalną wymaganą czułość jaką, powinny posiadać układy
optyczne do ich wizualizacji. Wartość tego przesunięcia można policzyć wykorzystując wzór 9.1 lub przy
dalej omówionych założeniach upraszczających również wzór 9.2.
Optymalną konfigurację do optycznej wizualizacji przepływu zapewnia oświetlenie równoległe do
osłony i drutu oporowego, jak to przedstawiono na rysunku schematycznym 9.2.
Zastosowanie równania 9.2 wiąże się z przyjęciem założenia, że fluktuacje ciśnienia wzdłuż kierunku propagacji światła na całej wysokości osłony H = 33 mm są zaniedbywalne, czyli przepływ jest z dobrym
przybliżeniem dwuwymiarowy. Jak już wspomniano (rozdział 3.1), dla liczby Reynoldsa 4900 przepływ ma
cechy przepływu trójwymiarowego. Niemniej dla prostego oszacowania przesunięcia fazowego przyjęcie
założenia o dwuwymiarowości jest zupełnie wystarczające. Zatem, w tym konkretnym przypadku dystans L
z równania 9.2 będzie równy wysokości osłony H = 33 mm.
Do policzenia przesunięcia fazowego
wymagana jest również znajomość relacji wiążącej wartości współczynnika załamania z mierzalnymi parametrami ośrodka takimi jak ciśnienie, temperatura i gęstość. Jedną z dwóch najbardziej znanych relacji jest zaproponowany przez Gladstone’a-Dale’a wzór
79
(9.3)
n 1 K
3
gdzie K [m /kg] jest stałą Gladstone’a-Dale’a (Pade, 2000). Dla powietrza o temperaturze T = 288K oświetlonego światłem o długości fali 633 nm ta stała jest równa K = 2,26 x 10-4 [m3/kg].
W niniejszej pracy wykorzystano inny związek (Goodman, 1993, § 8.4.2), który dla częstości
optycznych wartość współczynnika załamania powietrza wiąże zarówno z ciśnieniem, jak i z temperaturą
n
n0
77,6(1 7,52 10
3
2
)
P
10
T
6
(9.4)
gdzie n0 = 1, jest długością fali w mikrometrach, P jest ciśnieniem atmosferycznym w milibarach, a T jest
temperaturą w kelwinach.
W przypadku procesu adiabatycznego temperaturę w równaniu 9.4 można zastąpić przez odpowiadającą jej wartość ciśnienia
T
T0
P
P0
R
Cp
(9.5)
gdzie P0 = 105 Pa oznacza ciśnienie atmosferyczne, T0 = 298 K temperaturę otoczenia, a R/Cp = 2/7.
Wyznaczenie z równania 9.5 temperatury (T) i podstawienie do równania 9.4 jego wartości prowadzi
do bezpośredniego związku współczynnika załamania z fluktuacjami ciśnienia
n P
n0 1.9 10
6
1000 0.01 P
5
7
,
(9.6)
gdzie wykorzystano długość fali światła lasera HeNe = 0,6328 m. Należy dodać, że obrazowanie w układach optycznych zależy również od spójności światła (Ojeda-Castaneda i Barriel-Valdos, 1979).
Z przeprowadzonych symulacji wynika, że zmiany ciśnienia w otoczeniu osłony wynoszą P = P –
P0 5x103 Pa. Na tej podstawie można oszacować maksimum przesunięcia fazowego
x, y
2 n0
n P H
max
.
(9.7)
Przeprowadzone rachunki pokazują, że metody optyczne do wizualizacji ścieżki wirów von Karmana
muszą być czułe na drobne, mniejsze od długości fali przesunięcia fazowe. W związku z tym w dalszej analizie układów o różnych konfiguracjach główny nacisk będzie położony na jakość obrazowania (kontrast i
czułość) cienkich obiektów fazowych, które wywołują przesunięcia fazy mniejsze od połowy długości fali
(Rosa i inni, 2004 a).
Analiza jakości obrazowania z użyciem filtru Foucaulta
W poprzednim rozdziale 9.2 pokazano, że wiry można traktować jako cienkie obiekty fazowe o
transmitancji
9.2.1
f( , ) = exp[i ( , )]
1 + i ( , ).
(9.8)
Dokładna postać funkcji przy założeniu przemiany adiabatycznej może zostać wyznaczona na podstawie
rozkładu pola ciśnienia. Chwilowe rozkłady ciśnienia przedstawione na rysunkach 4.1 nie dają się opisać
prostą funkcją analityczną, co utrudnia ścisłą analizę jakości wizualizacji. Jak pokazano w rozdziale 4.6,
pole ciśnienia w śladzie przepływu zmienia się periodycznie, z ustaloną częstością. Te periodyczne zmiany
ciśnienia mogą być opisane funkcjami harmonicznymi typu sinus lub cosinus. Przyjęcie tego przybliżenia do
opisu pola ciśnienia, a co za tym idzie zmian fazy, umożliwi znalezienie związku pomiędzy rozkładem fazy
na wejściu a natężeniem światła w płaszczyźnie obrazowej korelatora 4f (rys. 8.2). Dalsza część rozważań
teoretycznych będzie przeprowadzona dla funkcji fazy postaci
x, y
m
2 x
sin
,
2
L
( 9.9)
gdzie L jest miarą wielkości wiru, zaś m różnicą faz pomiędzy rdzeniem wiru a jego częścią zewnętrzną.
80
Fizyczna realizacja układu pomiarowego sprowadza się do umieszczenia w płaszczyźnie wejściowej
korelatora termometru, a następnie oświetlenie go równolegle do osłony (rys. 9.2) falą płaską światła spójnego o amplitudzie równej jeden. Prowadzi to do uzyskania widma rozkładu fazy w płaszczyźnie Fouriera,
gdzie następuje jego filtracja (Nowicki i inni, 2003; Sagan i inni, 2003; Rosa i inni, 2004 a)
Transmitancję amplitudowego filtru Foucaulta S(u,v; ) opisuje funkcja skoku jednostkowego Heaviside’a H(.). Orientacja krawędzi filtru jest zgodna z osią v.
1;
S u, v;
H u
1v
dla u, v takiego, że u
0.5;
dla u, v takiego, że u
0;
dla u, v takiego, że u
,
(9.10)
250
1
200
0.9
Transmitancja amplitudowa
Współrzędna przestrzenna v
gdzie mała stała ma wymiar częstości przestrzennych.
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Współrzędna przestrzenna u
200
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-300
250
-200
-100
0
100
200
300
Współrzędna przestrzenna u
Rys. 9.3 Filtr Foucaulta: a) widok ogólny, b) profil transmitancji amplitudowej – przekrój jednowymiarowy
Rozważono trzy możliwe wartości
transmitancjom S(u,v; )
A.
<0
B.
=0
C.
>0
odpowiadające trzem możliwym położeniom noża, czyli różnym
Druga soczewka transformuje odfiltrowane widmo w obraz.
9.2.1.1 Filtr przepuszcza zerowy rząd ugięcia,
<0
Jest to przypadek, kiedy cała częstość zerowa dociera do płaszczyzny obrazowej. W płaszczyźnie obrazu x,y sprzężonej do wejściowej , amplituda zespolona obrazowanego obiektu ma postać
V1 x , y
u ,v
iH u
1 iexp i 2 x h
1 ih x y
1v
u , v exp i 2 ux vy du dv
x y
x, y
x, y
(9.11)
gdzie h(.) oznacza transformatę Fouriera funkcji skoku jednostkowego Heaviside’a. Ostatnie przybliżenie
jest uzasadnione, ponieważ obiekt fazowy zajmuje ograniczony obszar wzdłuż osi x, a << 1. Podstawiając
do równania 9.11 postać funkcji h(.)
hx
x
2
i
(9.12)
2 x
otrzymujemy rozkład amplitudy zespolonej w obrazie
V1 x, y
1
i
2
x, y
1
HTx
2
x, y
(9.13)
gdzie HTx oznacza transformatę Hilberta względem zmiennej x
81
x , y dx
,
x x
1
HT x [ x, y ]
(9.14)
a odwrotna transformata HTx jest zdefiniowana jako
HT x
1
x, y
x , y dx
.
x x
(9.15)
Porównując amplitudę zespoloną fali przedmiotowej f(x,y) 1 + i (x,y) z amplitudą zespoloną fali w płaszczyźnie obrazu (9.13) można zauważyć, że człon odpowiadający funkcji rozkładu fazy traci połowę swojej
energii na rzecz członu HTx będącego transformatą Hilberta rozkładu fazy. Drugi składnik, po prawej stronie
równania (9.13), jest małym członem fazowym (ze względu na założenie o małych skokach fazy (x,y)
obiektu), który jest w kwadraturze z jednostkowym poziomem tła i przekształceniem Hilberta, dlatego można go pominąć
I1 x , y
2
V1 x , y
1
1
HT x
2
2
x, y
1 HT x
x, y .
(9.16)
Podstawiając do wzoru 9.16 jawną postać funkcji (x,y) z równania 9.9 możemy, bez wykonywania dodatkowych przybliżeń zastąpić transformatę Hilberta funkcji sinus jej pierwszą pochodną
HTx [
x, y ]
m
2 x
cos
.
2
L
(9.17)
Po zróżniczkowaniu funkcji fazy (x,y) otrzymujemy wzór
x, y
x
m2
2 x
cos
.
2 L
L
(9.18)
Korzystając z powyższych równań możemy zapisać transformatę Hilberta za pomocą pochodnej cząstkowej
HT x [ x, y ]
L
2
x, y
.
x
(9.19)
Rozkład natężenia w obrazie wynosi teraz
V1 x, y
2
1
L
2
x, y
.
x
(9.20)
Oznacza to, że sygnał wyjściowy zachowuje informacje o znaku i znormalizowanej wartości pierwszej pochodnej. Warto zwrócić uwagę na to, że we wzorze (9.20) stała stojąca przy pochodnej fazy nie jest uniwersalną stałą, która charakteryzuje tę metodę wizualizacji, ale jest zależna od obiektu fazowego. W tym przypadku zależy od okresu siatki fazowej L. Ograniczenie to powoduje, że dla dowolnych obiektów fazowych
postaci innej niż funkcja trygonometryczna sinus lub cosinus nie otrzymamy w obrazie zależności wyprowadzonej w pracy (Reynolds i inni, 1989, § 35.3.2)
I ( x, y)
a
b
x, y
,
x
(9.21)
gdzie a i b są stałymi niezależnymi od obiektu fazowego. Ponieważ wir może być opisany sumą funkcji
harmonicznych, to funkcja obrazowa może być kombinacją liniową amplitud zespolonych pochodzących od
poszczególnych harmonik. Wynika z tego, że filtr Foucault przepuszczający częstość zerowego rzędu może
być używany w wizualizacji tylko do jakościowej analizy obiektów fazowych, ale nie może służyć do pomiarów ilościowych. Ponadto, stosowanie metody amplitudowego filtru Foucault jest ograniczone do obiektów wprowadzających niewielkie skoki fazy, ponieważ wzór (9.16) został wyprowadzony z wykorzystaniem
przybliżenia f(x,y) 1+ i (x,y).
82
9.2.1.2 Filtr odcina połowę zerowego rzędu ugięcia, = 0
Gdy nóż Foucaulta przysłania równo połowę płaszczyzny Fouriera, rozkład amplitudy zespolonej w
płaszczyźnie obrazu jest równy
1
2
V2 x , y
ih
x
y
x, y .
(9.22)
Obserwowane natężenie jest kwadratem modułu amplitudy zdefiniowanej wzorem 9.22 i wynosi
I2 x, y
V2 x , y
1
2
2
1
HT x
2
2
x, y
1
4
1
HTx
2
x, y .
(9.23)
W płaszczyźnie obrazu x,y poziom natężenia tła jest cztery razy mniejszy niż w poprzednim przypadku dla
> 0 (wzór 9.16). Dwa razy mniejsze jest też wzmocnienie sygnału. Położenie filtru = 0 jest więc mniej
korzystne od omówionego poprzednio, ale również w tym przypadku zachowana zostaje informacja o znaku
pochodnej i jej znormalizowanej wielkości.
9.2.1.3 Filtr blokuje zerowy rząd ugięcia,
>0
Gdy filtr blokuje zerowy rząd ugięcia, rozkład amplitudy pola falowego na wyjściu dany jest wzorem
V3 x , y
ih
x
y
x, y
i
2
x, y
1
HT x
2
x, y .
(9.24)
Obserwowany rozkład natężenia światła w płaszczyźnie obrazowej x,y wyraża się w postaci
I 3 x, y
V3 x, y
2
2
x, y
4
HTx
x, y
4
2
HTx
x, y
4
2
(9.25)
W tym przypadku tracona jest informacja o znaku pierwszej pochodnej . Nie ma też proporcjonalności
natężenia pola w obrazie do transformaty Hilberta fazy obiektu. Pierwszy wzór wskazuje, że wskazuje takie
położenie filtru nie nadaje się do wizualizacji obiektów fazowych.
Amplitudowy trójstopniowy filtr Hoffmana
9.2.2
250
1
200
0.9
Transmitancja amplitudowa
Współrzędna przestrzenna v
Filtr Hoffmana (Hoffman i Gross, 1975) jest drugim filtrem, którego jakość wizualizacji obiektów
wprowadzających małe przesunięcia fazowe sprawdzono w symulacji. Ten filtr o transmitancji amplitudowej pokazanej na rysunku 9.5 jest powszechnie stosowany w mikroskopii z modulacją kontrastu.
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Współrzędna przestrzenna u
200
250
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-300
-200
-100
0
100
200
300
Współrzędna przestrzenna u
Rys. 9.4 Filtr Hoffmana: a) widok ogólny, b) profil transmitancji amplitudowej – przekrój jednowymiarowy.
W mikroskopie z modulacją kontrastu białe światło pada na wąską szczelinę, która jest źródłem
światła w układzie. Za achromatycznym kolimatorem fala płaska propaguje się wzdłuż osi optycznej i przechodzi przez obiekt fazowy o przypadkowym gradiencie i przesunięciu fazy. Następnie za achromatycznym
obiektywem umieszczony jest filtr Hoffmana w płaszczyźnie Fouriera sprzężonej do płaszczyzny ze szczeli83
ną. Światło, które nie podlega modyfikacji przez obiekt, propaguje się wzdłuż osi optycznej i przechodzi
przez szarą część filtru o transmitancji 15%. Tworzy ono jednorodne szare tło w płaszczyźnie obrazowej.
Światło odchylone przez dodatni gradient fazy pada na czarny obszar o transmitancji mniejszej niż 1%.
Ujemny gradient fazy obiektu odchyla światło w przeciwnym kierunku i ta część wiązki przechodzi bez
tłumienia. Dzięki temu obraz obiektu fazowego jest optycznie pocieniowany w taki sposób, że przeciwne
gradienty są przedstawione z natężeniami dodanymi lub odjętymi od natężenia poziomu tła. Z przedstawionego opisu wynika, że filtr jest stosowany w układach optycznych innych niż korelator 4f. W niniejszej pracy sprawdzono własności filtru Hoffmana w układzie koherentnego procesora optycznego (Sagan i inni,
2003).
9.2.3
Amplitudowy filtr pierwiastkowy
Szaroodcieniowy filtr o transmitancji amplitudowej wyrażonej pierwiastkiem z zakresu filtrowanych
częstości przestrzennych (czyli położenia w płaszczyźnie Fouriera) nałożonych na dobrany poziom tła po
raz pierwszy pojawił się w pracy (Horwitz, 1978). Autor pracy nie przeprowadzając ścisłego matematycznego dowodu zgadł postać transmitancji prowadzącej do rozkładu natężenia w płaszczyźnie obrazu przedmiotu fazowego
I ( x)
1
2
1 d x
,
2C dx
( 9.26)
gdzie C jest stałą.
Następnie, w metodach optycznego przetwarzania informacji pojawiło się różniczkowanie ułamkowe
funkcji rzeczywistych opisujących obiekty amplitudowe (Kasprzak, 1980; Kasprzak, 1982). W pracach doświadczalnych Kasprzak zastosował zespolone filtry częstości przestrzennych (2 iu)r1(2 iv)r2, gdzie potęgi
r1 i r2 są dowolnymi ułamkami. Miały one postać hologramów generowanych komputerowo.
Ścisłe matematyczne wyprowadzenie amplitudowego filtru pierwiastkowego pojawiło się
w ostatnich latach (Lancis i inni, 1997; Tajahuerce i inni, 1997; Szoplik i inni, 1998; Nowicki
i inni, 2003; Sagan i inni, 2003). Istnieje kilka definicji różniczkowania rzędu ułamkowego. Istotna dla nas,
określona dla funkcji f( ) zdefiniowanej w ograniczonym przedziale a
, nazywa się całką RiemannaLiouville’a
dq f
d
1
a
q
q 1
q
f
d .
(9.27)
a
Ta definicja pochodnej rzędu ułamkowego nie sugeruje prostej metody w jaki sposób można by ją zrealizować optycznie. W celu połączenia różniczkowania ułamkowego z optyką fourierowską, czyli powiązania
operatora pochodnej połówkowej z rzeczywistym filtrem widma Fouriera, musimy wykonać szereg kroków.
Najpierw wyrażamy pochodną rzędu połówkowego dowolnej funkcji f(x) przez odwrotne przekształcenie
Fouriera (Bracewell, 1968, § 6)
d 1 / 2 f ( x)
dx1 / 2
2 iu F (u ) exp 2 ixu du .
(9.28)
Optycznie jest to zrealizowane w układzie 4f, gdzie funkcja wejściowa f(x) jest oświetlona falą płaską propagującą się wzdłuż osi z, a jej widmo F(u) jest mnożone przez zespoloną amplitudę filtru (2 iu)1/2.
Z kolei żeby pochodną rzędu połówkowego funkcji f(x) można było policzyć za pomocą filtru rzeczywistego, oświetlamy obiekt f(x) ukośnie falą płaską postaci exp(2 ixuo) propagującą się w płaszczyźnie
xz pod kątem uo do osi z, co powoduje przesunięcie widma. To przesunięte widmo F(u - uo) oddziałuje z
zespolonym filtrem (2 iu)1/2 z równania 9.26. Po zamianie zmiennych u - uo = pochodna ułamkowa przy
oświetleniu ukośnym obiektu wyraża się wzorem
d 1 / 2 exp 2 ixu0 f ( x)
dx1 / 2
84
exp 2 ixuo
2 i(
uo ) F
exp 2 ix
d ,
(9.29)
250
1
200
0.9
Transmitancja amplitudowa
Współrzędna przestrzenna v
co jest równoważne przypadkowi, gdy płaska fala propagująca się wzdłuż osi z oddziałuje z przesuniętym
filtrem [2 i( + uo) 1/2. Przesunięcie filtru uo jest wybrane w taki sposób, żeby wartość w nawiasie była
zawsze dodatnia. Jest to możliwe wtedy, gdy widmo F(u,v) jest ograniczone u0 u max . W ten sposób filtr
pierwiastkowy staje się filtrem rzeczywistym [2 ( + uo) 1/2.
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Współrzędna przestrzenna u
200
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
250
-200
-100
0
100
200
Współrzędna przestrzenna u
Rys. 9.5 Filtr pierwiastkowy: a) widok ogólny, b) profil transmitancji amplitudowej – przekrój jednowymiarowy.
Natężenia światła w płaszczyźnie obrazowej można policzyć na podstawie uogólnionego wzoru Leibniza
d q f ( x) g x
dx q
j 0
q d q j f ( x) d j g ( x)
.
j dx q j
dx j
(9.30)
Podstawiając za f(x) = exp[i (x) funkcję opisującą obiekt fazowy a za g(x) funkcję falową exp(2 ixuo) opisującą pole fali ukośnej oświetlającej obiekt, otrzymujemy
d 1 / 2 exp 2 iu o x exp i ( x)
1/ 2
2 iu o
exp 2 iu o x exp i x
dx1 / 2
i
d x
exp 2 iu o x
exp i x
1/ 2
dx
2 2 iu o
1
8 2 iu o
3 1/ 2
exp 2 iu o x exp i x i
d2 x
dx 2
d x
dx
(9.31)
2
...
Rozwinięcie ograniczamy do pierwszych trzech członów, ponieważ szereg wykazuje szybką zbieżność dla
wyższych ujemnych potęg uo. W optycznych układach obrazujących wynik równania 9.29 jest rejestrowany
przez detektor jako kwadrat modułu amplitudy. Licząc natężenie na wyjściu zaniedbano człony proporcjonalne do uo-2 i mniejsze, zatem
I ( x)
d 1 / 2 exp 2 iu o x exp i ( x)
dx1 / 2
2
2 uo
d ( x)
.
dx
(9.32)
Natężenie światła na wyjściu jest proporcjonalne do pierwszej pochodnej funkcji fazowej obiektu. Jeśli
transmitancja amplitudowa filtru pochodnej ułamkowej [2 ( + uo) 1/2 jest znormalizowana do maksymalnej wartości równej 2[ uo 1/2 to transmitancja amplitudowa zmienia się stopniowo od 0 do 1 tak jak przedstawiono to na rysunku 9.5b. Normalizacja transmitancji filtru prowadzi do natężenia wyjściowego postaci
I( x )
1
2
1 d x
.
4 u 0 dx
(9.33)
W tym przypadku poziom natężenia tła jest dwa razy mniejszy niż dla filtru Foucaulta z przepuszczonym
zerowym rzędem ugięcia fali świetlnej (równanie 9.16). Gdy przesunięcie filtru uo jest równe częstości odcięcia układu optycznego umax, które ogranicza widmo (u), to natężenie na wyjściu zmienia się od zera do
85
jedności. Zatem nieliniowa, przez użycie filtru pierwiastkowego, filtracja częstości przestrzennych obrazuje
zmiany fazy.
Główny problem w realizacji pomiarów przy użyciu filtru pochodnej połówkowej tkwi w wykonaniu
samego filtru. Obecnie stosowane techniki tworzenia filtrów o zmiennej transmitancji amplitudowej polegają na pokryciu płytki szklanej odpowiednią grubością sadzy. Cienką warstwę sadzy uzyskuje się poprzez
trzymanie płytki w płomieniu spalanej stearyny lub nafty oczyszczonej. Światło jednak, przechodząc przez
nierównomiernie zaciemniony obszar, ma oprócz zmodulowanej amplitudy również zaburzoną fazę. Głębokość modulacji fazy światła zależy od transmitancji oraz współczynnika absorpcji. W pracy (Pluta, 1989, §
5.5.1) zależność ta jest zdefiniowana następująco
2.3(nM
nS )
log
K
(9.34)
gdzie K współczynnik absorpcji dla stearyny równy 2.01 *105 cm-1. nM i nS to odpowiednio współczynnik
załamania ośrodka i współczynnik załamania cienkiej warstwy sadzy. Pierwszy filtr pierwiastkowy wydrukowano na wysokorozdzielczej drukarce laserowej Linotronix, kodując szarość metodą półtonowania (Tajahuerce i inni, 1997; Szoplik i inni, 1998). Sposób wykonania amplitudowego filtru pierwiastkowego z ciągłą
zmianą transmitancji amplitudowej należy opracować.
9.2.4
Amplitudowo-fazowy filtr Zernikego
Inną metodą, często wykorzystywaną do wizualizacji obiektów przezroczystych jest metoda kontrastu fazowego (ang. phase contrast) (Pluta, 1989, § 5; Sanchez-de-la-Llave i Iturbe Castillo, 2002). W tej
metodzie, widmo fourierowskie obiektu filtruje się za pomocą płytki Zernikego, o transmitancji fazowoamplitudowej w postaci
t Z (u,v )
dla
u v
r
dla
u v
r
i
1
.
gdzie r to promień koła, w obrębie którego można pominąć światło dyfrakcyjne, a
bienia wiązki.
(9.35)
to współczynnik osła-
Istotą działania metody kontrastu fazowego jest wytworzenie pomiędzy światłem bezpośrednim, czyli zerową harmoniczną, a wyższymi harmonicznymi dodatkowej różnicy faz równej /2 lub - /2 (Gniadek,
1992, § 10.10.1). Dodatkowo, wzmocnienie kontrastu osiąga się przez osłabienie intensywności zerowej
harmonicznej. Na podstawie (Pluta, 1989, § 5.1) wiadomo, że dla obiektów wprowadzających przesunięcie
fazowe równe optymalna transmitancja amplitudowa filtru wynosi
4 sin 2
1
2
(9.36)
W typowych układach optycznych osłabienie wiązki jest rzędu 75-90%. Znak przesunięcia fazy filtru decyduje tylko o kontraście obrazu. Oryginalna technika Zernikego z dodatnim lub ujemnym kontrastem jest
użyteczna do obrazowania fluktuacji fazy dla max
1 radiana. Wówczas to natężenie sygnału na wyjściu,
które moduluje poziom jasności tła, jest proporcjonalne do fazy obiektu.
I 2 ( x, y)
2
2
( x, y)
(9.37)
Dzięki prostej zależności pomiędzy grubością obiektów a natężeniem światła, filtr Zernikego stosuje
się powszechnie w mikroskopach fazowych, ponieważ daje łatwo interpretowalne obrazy (Pluta, 1989, § 5).
Układy optyczne mikroskopów różnią się jednak od typowej architektury korelatora 4f. Zazwyczaj w mikroskopach wykorzystuje się oświetlenie Köhlera, które powoduje, że światło w płaszczyźnie widmowej ogniskuje się na pierścieniu, a nie w jednym punkcie na osi optycznej. W przypadku zwykłej konfiguracji korelatora 4f (rys. 9.1) obszar występowania zerowej częstości jest bardzo mały porównywalny z długością fali,
co utrudnia wykonanie samego filtru jak również precyzyjne justowanie układu.
86
Wskutek skończonych rozmiarów filtru dodatkowemu przesunięciu fazowemu ulega nie tylko światło bezpośrednie (zerowa częstość przestrzenna), lecz także część światła dyfrakcyjnego. Powoduje to niekorzystne efekty w postaci jasnych lub ciemnych oczek wokół obserwowanych obrazów, tzw. halo.
9.2.5
Porównanie własności czterech filtrów
Możliwości obrazowania fazy obiektów przezroczystych w układzie koherentnego procesora optycznego (rys. 9.1) zbadano, poprzez wykonanie symulacji numerycznych dla czterech przedstawionych powyżej metod filtracji widma. Symulacje przeprowadzono w programie VirtualLab służącym do projektowania
elementów dyfrakcyjnych oraz do modelowania propagacji światła w układach optycznych. Metody propagacji wykorzystane w programie VirtualLab są oparte na skalarnej teorii dyfrakcji. Takie przybliżenie w
zupełności wystarcza do tego celu, ponieważ żaden z elementów układu korelatora nie posiada struktury
podfalowej. W programie VirtualLab monochromatyczna fala elektromagnetyczna U x, y U x, y exp i x, y
jest reprezentowana przez macierz, w której każdy z elementów definiuje amplitudę zespoloną na małej powierzchni o rozmiarze x 2 , której środek znajduje się w punkcie o współrzędnych (x,y). Soczewki korelatora są opisywane również za pomocą macierzy z wartościami odpowiadającymi ich transmitancji fazowej.
Oddziaływanie fali z elementami układu sprowadza się do mnożenia odpowiadających sobie wartości z macierzy. Rozmiar apertury układu, czyli rozmiar macierzy zespolonej użytej w symulacji do opisu wszystkich
elementów układu wynosił, 2048×2048, przy rozdzielczości pola falowego x = 2,5 m. Rozmiar obiektu
fazowego znajdującego się centralnie na osi w płaszczyźnie wejściowej korelatora wynosi 512×512. Wejściowa fala płaska oświetlająca obiekt była złożona z 640×640 elementów z jednostkową amplitudą i długością fali 632,8nm. Układ obrazujący składał się z dwóch soczewek o ogniskowych 25 mm. Średnica soczewek wynosiła i ~0,5 cm. Taki wybór rozmiarów układu korelatora był podyktowany specyfiką działania
programu VirtualLab.
Istotne ograniczenie programu VirtualLab jest związane z aliasingiem pola falowego opisującego
funkcję fazową soczewki. Wynika ono z faktu, że pole falowe tuż za soczewką, zdefiniowane za pomocą
dyskretnych macierzy, posiada skończoną rozdzielczość. W poprawnie zdefiniowanej soczewce faza pomiędzy dwoma sąsiadującymi elementami macierzy nie może zmieniać się o więcej niż π, czyli
k
d
*
2f
2
2
k
d
*
2f
2
2
x
(9.38)
gdzie k oznacza liczbę falową, f ogniskową soczewki, d średnicę, a
x rozdzielczość pola.
Jeśli warunek 9.38 nie będzie spełniony, to wówczas światło będzie się skupiać nie w jednym, ale w
kilku miejscach. Z aliasingiem mamy do czynienia wówczas, gdy soczewka o ustalonej średnicy posiada
zbyt krótką ogniskową (np. jeśli jest zbyt wypukła). Aliasing jest zjawiskiem czysto numerycznym, związanym z dyskretyzacją funkcji fazowej soczewki i nie pojawia się w rzeczywistych układach optycznych. Rysunek 9.6a przedstawia funkcję fazową źle zdefiniowanej soczewki, natomiast rysunek 9.6b to zdjęcie pola
fazowego typowej soczewki wykonane w laboratorium.
a
b
87
Rys. 9.6 Przykład fazy pola falowego otrzymanego za soczewką a) niewłaściwie zdefiniowaną – z aliasingiem. b)
Zdjęcie pola falowego typowej soczewki wykonane w laboratorium.
Upraszczając wzór 9.38, otrzymujemy związek łączący ogniskową soczewki z jej średnicą, rozdzielczością i długością fali.
d x
f
d2
N
(9.39)
Ze wzoru 9.42 wynika ograniczenie na minimalną długość ogniskowej soczewki dyskretnej. Długości fali
świetlnej jest ustalona i równa 632,8 nm, zatem długość ogniskowej nie może być mniejsza niż określa to
wzór 9.39 i zależy od średnicy soczewki oraz liczby elementów macierzy N użytej do jej opisu. Rysunek 9.6
przedstawia związek pomiędzy wielkością apertury a minimalną ogniskową.
1,2
N=1000
Ogniskowa soczewki [m]
1
N=2000
N=3000
N=4000
N - rozmiar średnicy apertury soczewki wyrażony w liczbie elementów macierzy
0,8
0,6
Obszar w którym parametry soczewki
są poprawnie zdefiniowane
0,4
0,2
Występowanie aliasingu
0
0,1
0,4
0,7
1
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
Apertura soczewki [cm]
Rys. 9.7 Zależność pomiędzy ogniskową a aperturą soczewki w programie VirtualLab policzona na podstawie wzoru
f
N
1
d 2 dla kilku wybranych wartości N.
Ograniczenie wynikające z równania 9.39 na minimalną długość ogniskowej można ominąć poprzez
zwiększenie liczby elementów macierzy. Przekształcając równanie 9.39, otrzymujemy relację wiążącą minimalny rozmiar macierzy, przy której nie występuje aliasing, z wielkością apertury soczewki i ogniskową
N
d2
f
(9.40)
Ze wzoru 9.40 wynika, że skrócenie długości ogniskowej przy zachowaniu stałej wielkości apertury wiąże
się z kwadratowym przyrostem liczby pikseli potrzebnej do jej opisania. Tu pojawia się kolejny problem,
związany z mocą obliczeniową komputerów użytych do przetwarzania dużych zbiorów danych oraz wewnętrznych ograniczeń programu VirtualLab. Duże macierze wymagają dużych zasobów pamięci RAM w
komputerze. Dla macierzy o rozmiarze 4000 4000 potrzebne jest około ~3GB RAM.
Do opisu propagacji światła użyto metody Rayleigha-Sommerfelda, w której amplituda zespolona
pola falowego wychodzącego z punktu o współrzędnych ( x1 , y1 , z1 ) jest zadana w punkcie obserwacji
( x 2 , y 2 , z 2 ) całką
U ( x2 , y 2 , z 2 )
1
2
U ( x1 , y1 , z1 )
exp( ikR) / R
dx1 dy1
z
(9.41)
gdzie
1
2
88
exp( ikR) / R
z
(z2
z1 ) exp( ikR)(1 ikR)
,
2 R3
(9.42)
R
( x2
x1 ) 2
( y2
y1 ) 2
(z2
z1 ) 2 .
(9.43)
Całka (9.41) jest splotem amplitudy zespolonej i sferycznej funkcji fazowej. Numerycznie ten splot
jest liczony przez użycie szybkiej transformaty Fouriera. Zatem całkę 9.41 można wyrazić w następującej
formie
U x2 , y 2 , z 2
F F
1
(z2
z1 ) exp( ikR)(1
2 R3
ikR)
F
1
U ( x1 , y1 , z1 )
. (9.44)
Metoda propagacji Rayleigha-Sommerfelda nie jest obarczona błędem dla dużych dystansów. Minimalna
odległość, na którą można poprawnie propagować pole falowe, wynosi
zmin
2
2
n
2n
( x0 )
gdzie n to współczynnik załamania ośrodka,
dzielczość pola.
2
( x0
x)
2
4( x0 ) 2 ( x0
x) 2 ,
to długość fali, 2 x0 to średnica układu, a
(9.45)
x oznacza roz-
Po podstawieniu do wzoru 9.45 wartości liczbowych opisujących rozmiary korelatora 4f i długości
fali otrzymujemy zmin 20 mm. Zatem w przeprowadzonych symulacjach warunek ten jest spełniony,
gdyż minimalna odległość, na którą propagowano falę, była większa i równa 25 mm (równa długości ogniskowej soczewki).
89
Do wykonania symulacji użyto pokazanego na rysunku 9.8 obiektu w postaci klina z maksymalnym
przesunięciem fazy równym max
. Funkcja fazowa obiektu jest zadana wzorem f( , ) = exp[i ( , )], gdzie
,
1
l
l
max
2l
(9.46)
.
Pierwsza pochodna funkcji 9.45 wynosi
x, y
x
1 y l
l 2l
1 y l
l 2l
max
max
dla x
0
dla x
0
(9.47)
gdzie x,y są współrzędnymi płaszczyzny wyjściowej.
Rys. 9.8 Profil klina fazowego z przesunięciem fazowym od 0 do .
Policzone dla różnych filtrów rozkłady natężenia światła w płaszczyźnie obrazu przedstawiono dla
całego obiektu z maksymalnym przesunięciem fazowym zmieniającym się wzdłuż osi y w zakresie od 0 do
. Profile natężenia są policzone wzdłuż osi x dla trzech wybranych wartości przesunięcia fazowego w
obiekcie.
Rysunek 9.9 przedstawia natężenia obrazów klina fazowego z małym gradientem uzyskane za pomocą filtrów: (a) Foucaulta ( < 0), (b) Hoffmana, (c) pierwiastkowego oraz (d) Zernikego i odpowiednie
profile natężeń policzone dla trzech wartości maksymalnego przesunięcia fazy 0,1 , 0,5 i 0,9 .
90
a) Filtr Foucaulta
1
0.1
0.5
0.9
0.9
0.8
Natężenie
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
300
400
Współrzędna przestrzenna u
b) Filtr Hoffmana
1
0.1
0.5
0.9
0.9
0.8
Natężenie
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-400
-300
-200
-100
0
100
200
Współrzędna przestrzenna u
c) Filtr pierwiastkowy
1
0.1
0.5
0.9
0.9
0.8
Natężenie
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Współrzędna przestrzenna u
91
d) Filtr Zernikego
1
0.1
0.5
0.9
0.9
0.8
Natężenie
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Współrzędna przestrzenna u
Rys. 9.9 Rozkłady natężenia w obrazach klina fazowego z małym gradientem uzyskane za pomocą filtrów: (a) Foucaulta, (b) Hoffmana, (c) pierwiastkowego i (d) Zernikego oraz odpowiadające im profile.
9.2.6
Podsumowanie
Obrazy obiektów o transmitancji czysto fazowej mają niejednorodny rozkład natężenia światła na
wyjściu dowolnego układu optycznego. Wynika to z faktu, że elementy optyczne tych układów obrazujących mają skończone rozmiary, a zatem ograniczony zakres przenoszenia częstości przestrzennych. Modyfikacja widma obiektu fazowego następuje przez obcinanie wysokich częstości, co prowadzi do trudno kontrolowanych zmian natężenia światła w obrazie. Podobną niekontrolowaną wizualizację obiektu fazowego
daje obrazowanie w układzie lekko rozogniskowanym. Ponieważ przedmiotem tej pracy jest obrazowanie
bardzo szczególne – takie, w którym rozkład natężenia w obrazie jest prostą funkcją rozkładu fazy w obiekcie – przeprowadzone zostało badanie porównawcze czterech filtrów stosowanych do obrazowania obiektów
o czysto fazowej transmitancji.
Przedstawione powyżej techniki wizualizacji fazy wykorzystują cztery różne typy filtracji widma.
Filtr Foucaulta obcina połowę płaszczyzny widmowej obiektu. Schodkowy filtr Hoffmana tłumi skokowo
amplitudę widma obiektu, w zależności od odległości od osi optycznej. Filtr pierwiastkowy posiada nieliniową transmitancję natężeniową i wreszcie filtr Zernikego przesuwa o połowę długości fali zerowy rząd
ugięcia widma. Filtry te decydują o rozkładzie natężenia na wyjściu koherentnego procesora optycznego. W
każdym punkcie płaszczyzny obrazowej tego układu (rys. 9.1) charakterystyczna wartość natężenia światła
wynikająca z zastosowania konkretnego typu filtru jest dodawana lub odejmowana od poziomu natężenia
tła.
Analiza wykresów przedstawionych na rysunku 9.9 prowadzi do wniosku, że filtry Foucaulta i
Hoffmana cechują się spośród czterech omówionych najwyższą czułością. Zastosowanie filtru Hoffmana do
wizualizacji wirów może jednak prowadzić do trudno interpretowalnych obrazów, gdyż jak pokazano rozkład natężenia nie jest prostą funkcją fazy obiektu. Ponadto nie jest znana analityczna postać tego odwzorowania. Użycie filtru Foucaulta jest bardziej odpowiednie, ponieważ znana jest relacja wiążąca funkcję fazową z natężeniem. Jego wadą jest kierunkowość, czyli zależność rozwiązania od orientacji filtru. Dalsza analiza filtru Foucaulta zostanie przeprowadzona w następnym rozdziale, w opisie układu optycznego dostosowanego do wymiarów tunelu aerodynamicznego.
Filtr pierwiastkowy pozwala obrazować dodatnie i ujemne gradienty fazy w postaci dodatnich lub
ujemnych natężeń dodanych do stałego tła równego połowie maksymalnego natężenia w układzie. Jego czułość jest jednak zdecydowanie niewystarczająca do wizualizacji śladu za osłoną. Z pracy (Nowicki i inni,
2003) wiadomo, że użyteczność tego filtru jest odpowiednia dla grubszych obiektów fazowych o gradiencie
( , )/ = 10 rad/mm liczonym w podobnym korelatorze.
Zaletą filtracji widma przy użyciu filtru Zernikego w porównaniu do innych metod wizualizacji fazy
jest to, że daje ona obraz obserwowanego przedmiotu, w którym rozkład natężenia zależy liniowo od funkcji
92
opisującej zmianę fazy w przedmiocie. Dodatkowo filtr nie jest kierunkowy, gdyż posiada symetrię obrotową, czyli niezależnie od orientacji filtru obraz jest taki sam. Własności tego filtru zostaną dokładniej zbadane w układzie optycznym dostosowanym do wymiarów tunelu aerodynamicznego.
9.3
Analiza parametrów układu optycznego przystosowanego do badania wirów w tunelu
aerodynamicznym
Przedstawione w poprzednim rozdziale metody obrazowania cienkich obiektów fazowych polegają
na filtracji widma obiektu w układzie koherentnego procesora optycznego 4f. Wprawdzie układ procesora 4f
(rys. 9.1) jest wygodny do prowadzenia teoretycznych analiz jakości wizualizacji, to jednak nie nadaje się
do łatwego wykorzystania w tunelu aerodynamicznym. Jego podstawową wadą jest zbyt mała apertura wejściowa wynosząca zaledwie 5 5 mm. Taki obszar nie pozwala na obrazowanie turbulencji w śladzie przepływu pomiędzy osłoną a drutem. Zbudowanie układu o większych średnicach soczewek przy jednoczesnym zachowaniu takich samych długości ogniskowych w zasadzie nie jest problemem. Trudność stanowi
jedynie wykonanie symulacji komputerowych, które dostarczyłyby informacji o własnościach obrazowania
układu. W symulacjach numerycznych aperturę soczewek można powiększyć na dwa sposoby. Pierwszy z
nich to zwiększenie liczby pikseli, co nie jest dobrym rozwiązaniem, ponieważ wymaga użycia ogromnych
mocy obliczeniowych komputerów i dużych zasobów pamięci RAM wykraczających kilkunastokrotnie poza
moc obliczeniową typowych komputerów klasy PC oraz poza możliwości programu Virtual Lab. Prostszym
rozwiązaniem jest zwiększenie rozmiaru piksela, choć i to rozwiązanie ma wady, gdyż wymusza wydłużenie
ogniskowych soczewek do długości kilkunastu metrów. Zachowanie stałej długości ogniskowych prowadzi
do ogniskowania światła w wielu punktach w wyniku działania zjawiska aliasingu (rozdział 9.5.2).
Jedynym rozwiązaniem problemu jest zmiana geometrii całego układu. Rozmiary apertur muszą być
dobrane tak, aby obejmowały interesujący obszar śladu przepływu natomiast długości ogniskowych odpowiednio dobrane do rozmiarów tunelu aerodynamicznego, w którym to prowadzono dotychczas badania
(Haman i inni 2001).
Zaproponowany przeze mnie układ, (rys. 9.10) posiada aperturę wejściową o polu 10 10 mm2.
Rozdzielczość pola falowego wynosi x 2 = 10 10 m2. Układ jest zbudowany z dwóch soczewek o ogniskowych f1 = 50 i f2 = 33 cm. Odległości d1 i d2 wynoszą odpowiednio 13 i 64,5 cm. Wartości f1, f2, d1, d2 i
l spełniają następujący warunek (Poon i Banerjee, 2001, § 2.4)
d1
l
d2
d1 d 2
f1
d1 d 2
f2
ld 1
f1
ld 2
f2
ld 1 d 2
f1 f 2
0
(9.48)
gdzie l jest równe f1, tak jak to pokazano na rysunku 9.10. Poprzeczne powiększenie układu jest równe
M
1
d2
f1
d2
f2
l
f1
ld 2
f1 f 2
d2
f1
1,29 .
(9.49)
Minus oznacza, że obraz jest odwrócony.
93
Filtr t f ( x ,
Płaszczyzna wejściowa
y
)
Płaszczyzna wyjściowa
Soczewka
Soczewka
l
f1
d1
t ( x, y )
f2
Płaszczyzna Fouriera
exp[ i ( x, y )]
d2
Rys. 9.10 Optyczny układ obrazujący do wizualizacji małych fluktuacji gęstości powietrza za osłoną termometru
chmurowego. Długości ogniskowych wynoszą f1 = 50 cm i f2 = 33 cm, odległość d1 = 13 cm jest równa połowie szerokości tunelu, a d2 = 64,5 cm
W poprzednim rozdziale przeprowadzono analizę jakości obrazowania obiektów przy użyciu czterech różnych typów filtrów widmowych: Foucaulta, Hoffmana, pierwiastkowego oraz Zernikego. Wyniki
modelowania numerycznego dowiodły, że trzy filtry: Zernikego, Foucaulta oraz Hoffmana zapewniają odpowiednio wysoką czułością układu, dostateczną do wizualizacji wirów powstających za osłoną termometru
chmurowego. Stwierdzono również, że wadą filtru Hoffmana jest brak analitycznego opisu tego odwzorowania oraz złożona zależność pomiędzy funkcją fazową a rozkładem natężenia w obrazie. Dlatego w zaproponowanym układzie optycznym sprawdzono tylko dwa filtry: Zernikego oraz Foucaulta.
Pierwszy filtrem przetestowanym w układzie (rys. 9.10) jest klasyczny filtr Zernikego z przesunięciem fazowym zerowego rzędu ugięcia równym 0,5 . Sprawdzono także kilka zmodyfikowanych wersji
filtru Zernikego z przesunięciami fazowymi w obrębie promienia Airy równymi: 0,2 ; 0,35 ; 0,65 oraz
0,8 . Promień obszaru przesunięcia fazowego dla każdego z nich wynosił 20 m. Transmitancja fazowa
badanego obiektu jest zadana wzorem
x, y
1
2
max
sin 2 x L sin 2 y L ,
(9.50)
gdzie okres funkcji sinus wynosi L = 5mm, maksymalne przesunięcie fazy max zmienia się w przedziale (0,
2 ) co 0,05 . Wybrany zakres przesunięć fazy obiektu zawiera wartość
(x,y)max = policzoną teoretycznie w rozdziale 9.2.
a
b
Rys. 9.11 Rozkład natężenia dany wzorem 9.49 na wyjściu układu przedstawionego na rysunku 9.10. a)
0,2 , max
/ 2, L 5 mm b)
0,2 , max
, L 5 mm
Do policzenia funkcji kontrastu, czyli zależności względnego natężenia elementów obrazu od maksymalnego przesunięcia fazy na wejściu użyto wzoru
94
C
I
I
0,5
0,5
max
max
I
I
0,5
0,5
.
max
(9.51)
max
Natężenia I(+0,5 max) i I(– 0,5 max) policzono w punktach odpowiadających maksymalnemu i minimalnemu przesunięciu fazy. Taka definicja kontrastu pozwala rozróżniać punkty o ekstremalnych przesunięciach
fazy.
Analiza funkcji kontrastu przedstawionej na rysunku 9.12 prowadzi do wniosku, że małe fluktuacje
gęstości powietrza wprowadzające przesunięcie fazy nie większe niż są optymalnie obrazowane przy wykorzystaniu filtru Zernikego z przesunięciem równym 0,5 .
1.0
Filter phase shift
0.2
0.8
0.35
0.5
0.65
0.8
Contrast
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Object phase shift [ rad]
Rys. 9.12 Funkcja kontrastu uzyskana dla filtru typu Zernikego z pięcioma różnymi przesunięciami fazy.
Wyniki symulacji przedstawione na rysunku 9.12 są zgodne z wynikami przedstawionymi w pracy
(Andreson, 1995). Z przeprowadzonych symulacji wypływa również drugi oryginalny wniosek; wizualizacja
obiektów o transmitancji czysto fazowej większej od 0,6 w przypadku zastosowania oryginalnego filtru
Zernikego (0,5 ) prowadzi do przesycenia kontrastu. Zatem dla obiektów zmieniających fazę o więcej niż
0,6 lepszy jest filtr zachowujący liniową charakterystykę kontrastu, czyli np. 0,2 .
Drugim filtrem częstości przestrzennych testowanym w układzie 9.10 pod kątem możliwości wizualizacji ścieżki wirów von Karmana jest filtr Foucaulta. Jak to zostało pokazane w poprzednim rozdziale, dla
< 0 filtr Foucaulta daje rozkład natężenia na wyjściu I(x,y) proporcjonalny do pierwszej pochodnej funkcji
fazowej. Dla obiektu zadanego równaniem 8.49 rozkład natężenia będzie zatem wynosił:
I x, y
1
L
2
x, y
x
1
m
2 x
2 x
cos
sin
.
2
L
L
(9.52)
95
a
b
Rys. 9.13 Rozkład natężenia w płaszczyźnie obrazowej układu przedstawionego na rysunku 9.10. a)
40μm, max
/ 2, L 5mm b)
40μm, max
, L 5mm .
W symulacjach sprawdzono, jakie położenie filtra daje najlepszy kontrast. Symulacje przeprowadzono dla kilku położeń przesunięć filtra o = 20, 40, 60 i 80 m. W tym przypadku kontrast obrazów otrzymanych w symulacji policzono ze wzoru
C
I max
I max
I min
.
I min
(9.53)
1.0
0.8
Contrast
0.6
Foucault filter position
0.4
0 0pixel
m
2 pixels
-20
m
4 pixels
-40
m
0.2
-60
m
6 pixels
-80
m
8 pixels
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Object phase shift [ rad]
Rys. 9.14 Funkcja kontrastu policzona dla pięciu różnych położeń filtru Foucaulta.
Optymalnym położeniem filtru Foucaulta jest przesunięcie o -40 m od osi optycznej. Mniejsze
przesunięcia prowadzą do przesycenia kontrastu, większe zaś dają zbyt mały kontrast. Wyniki pokazane na
rysunkach 9.12 i 9.14 są trudne do porównania, ponieważ natężenie w obrazach jest proporcjonalne do
funkcji fazy w przypadku filtru Zernikego i do jej pierwszej pochodnej dla filtru Foucaulta. Można jednak
stwierdzić, że filtr Zernikego z przesunięciem fazowym 0,5 jest najlepszy do obrazowania obiektów o małych fluktuacjach gęstości powietrza, ponieważ jest przezroczysty i zużywa całe światło w układzie optycznym. Ponadto bezpośrednia wizualizacja funkcji fazowych pozwala na łatwą interpretację. Jakkolwiek wizualizacja gradientów fazy przez użycie metody schlieren może być także użyteczna.
Na koniec (rys. 9.15) przedstawiono próby wizualizacji śladu aerodynamicznego za osłoną termometru chmurowego. Postać funkcji fazowej użytej do wizualizacji pochodzi z symulacji hydrodynamicznych.
Modelowanie wykonano w programie VirtualLab. Obrazy uzyskano w układzie przedstawionym na rysunku
9.10.
96
Gdy nie ma filtru w płaszczyźnie Fouriera, rozkład natężenia w obrazie jest stały, co oznacza, że
użyte soczewki mają dostateczne apertury. Filtr Foucaulta z = 0 daje rozkład amplitudy o dużym kontraście, proporcjonalny do pierwszej pochodnej fazy, czyli wynik jest zgodny z analizą przeprowadzoną w rozdziale 9.2.1. Warto zwrócić uwagę na smugę widoczną za osłoną. Powodem jej powstawania jest obecność
osłony, czyli obiektu z zerową transmitancją amplitudową. W przeprowadzonych badaniach nie uwzględniono w jaki sposób będą obrazowane obiekty o zmiennej transmitancji amplitudowej oraz obiekty czysto
fazowe z elementami obiektów amplitudowych. Istotną cechą obrazu jest orientacja smugi wynikająca z
położenia filtru. Obraz 9.15b uzyskano dla filtru, którego krawędź była ustawiona pionowo (prostopadle do
smugi). Obrót filtru spowoduje że kierunek smugi również obróci się o ten sam kąt.
Filtry Zernikego o przesunięciach fazy oraz /2 dają bezpośrednie wyobrażenie o przesunięciach
fazy w wirach. Filtr z mniejszym przesunięciem fazy /2 daje obraz przedstawiony na rysunku 9.15d. Można go uznać za najlepszy do naszych celów (Rosa i inni, 2003).
-1
a) Bez filtru
c) Filtr Zernikego , r = 63m ,
b) Filtr Foucaulta
d) Filtr Zernikego /2, r = 63m ,
-1
=1
=1
Rys. 9.15 Przykładowe wyniki symulacji uzyskane dla różnych metod filtracji widma. Obrazy przedstawiają rozkłady
natężenia światła w płaszczyźnie obrazu w układzie optycznym przedstawionym na rysunku 9.10. Obiektem wejściowym był dwuwymiarowy obiekt fazowo-amplitudowy przedstawiający osłonę oraz pole ciśnienia dla wybranej chwili
policzony w symulacji przepływu.
97
10 Końcowe podsumowanie i wnioski
W niniejszej pracy wykonano dwu- i trójwymiarowe symulacje przepływu powietrza oraz policzono
trajektorie ruchu kropel chmurowych przepływających wokół osłony ultraszybkiego termometru chmurowego. Termometr chmurowy (UFT), przeznaczony głównie do badania mikrofizyki chmur, jest montowany
pod skrzydłami samolotów i mierzy temperaturę wewnątrz oraz na zewnątrz chmur. Główną zaletą tego
urządzenia jest krótka stała czasowa 10-4 s, pozwalająca osiągnąć rozdzielczość pola temperatury rzędu centymetrów nawet przy prędkości80 m/s. Cienki drut oporowy (2,5 μm), z którego zbudowany jest czujnik
temperatury jest w stanie rejestrować zmiany temperatury poniżej 0,1 K. Wysoki poziom czułości powoduje, że drut mierzy także hydrodynamiczne zaburzenia w napływającym strumieniu powietrza. Te zaburzenia
powstają za osłoną umieszczoną z przodu czujnika, która pełni rolę ochronną głównie przed kroplami chmurowymi. Znajdujące się w chmurze krople zaburzają pomiar przez zmoczenie powierzchni drutu, co powoduje sztuczne zaniżenie wartości temperatury nawet o kilka stopni. Gdy krople uderzają w osłonę, to warstwa wody jest usuwana z jej powierzchni przez szczeliny, którymi zasysane jest powietrze. Celem pracy
było zrozumienie fizyki rejestrowanych fluktuacji temperatury przy wyłączonym odsysaniu, a następnie
oszacowanie wpływu odsysania na te fluktuacje i na kształt trajektorii kropel. Chociaż kształt osłony oraz
zakres prędkości samolotu były typowe dla tego szczególnego rozważanego urządzenia, to otrzymane wyniki dotyczące wpływu odsysania na ślad przepływu są natury ogólnej.
Wszystkie postawione cele pracy zostały zrealizowane, a tezy udowodnione.
Odsysanie jest konieczne, ponieważ:
 niszczy ścieżkę wirów von Karmana,
 jego włączenie zmniejsza wpływ grzania lepkiego do poziomu, który pozwala przyjąć założenie o
przemianie adiabatycznej,
 usuwa wodę gromadzącą się na osłonie.
Odsysanie źle wpływa na pomiar, ponieważ:
 zakrzywia trajektorie małych kropli o promieniu kilku mikrometrów i może powodować ich zderzenie z drutem pomiarowym.
Stwierdzono, że wiarygodność pomiaru zależy od prędkości samolotu, ponieważ:
 im większa jest prędkość, tym wyższy jest poziom szumu, jest to zależność liniowa,
 im większa jest prędkość, tym wyższa jest zmierzona średnia temperatura, jest to zależność kwadratowa,
 przy małych prędkościach samolotu zdarza się, że kąt natarcia jest większy od zera; wtedy, im większy jest kąt natarcia tym, przy włączonym odsysaniu, niższa jest zmierzona temperatura średnia,
 prędkość decyduje o sile odsysania, a wartość odsysania z kolei wpływa na kształt trajektorii kropel.
Pomiar temperatury powinien więc odbywać się przy kontrolowanej wartości odsysania, tzn. minimalnej zapewniającej stabilizację przepływu.
Przetwarzanie sygnału elektronicznego wymaga dopasowania:
 częstości odcięcia filtru dolnoprzepustowego do częstości próbkowania w celu uniknięcia aliasingu,
 częstości próbkowania sygnału analogowego z drutu pomiarowego do częstości schodzenia wirów.
Ponieważ częstość schodzenia wirów zależy od prędkości, to potrzebny jest A/D konwerter z regulowaną częstością próbkowania.
Poszukiwanie optycznej metody obrazowania fluktuacji ciśnienia występujących za osłoną podczas
przepływu powietrza potwierdziło przekonanie, że najlepiej je obserwować przy użyciu filtru Zernikego.
Obrazowanie śladu w zaproponowanym układzie optycznym przy użyciu tego filtru daje bezpośrednią informację o przesunięciach fazy w wirach. Do obrazowania wirów przesuwających fazę o ćwierć długości
fali świetlnej najlepszy jest filtr przesuwający fazę wiązki zerowego rzędu o 0,5 rad. Turbulencje intensywniejsze, przesuwające fazę fali świetlnej o 0,75 rad, wymagają filtru przesuwającego fazę wiązki zerowego rzędu o 0,2 rad, jednakże daje on mniejszy kontrast.
98
10.1 Elementy nowości pracy
Wszystkie przedstawione w pracy symulacje są oryginalne, chociaż do ich wykonania została wykorzystana dobrze ugruntowana wiedzy z dziedziny numerycznej mechaniki płynów oraz skalarnej teorii dyfrakcji. Do tej pory nikt nie przeprowadził symulacji przeznaczonych do tak konkretnego celu jak badanie
turbulencji za osłoną ultraszybkiego lotniczego termometru chmurowego. Dotychczasowa wiedza o procesach generowania i odrywania się wirów od osłony termometru była ograniczona, co znacznie utrudniało
udoskonalenie termometru, które powinno się osiągnąć przez optymalizację jego osłony.
Najważniejszym wynikiem pracy było wskazanie nowych źródeł szumu. Dotychczas konstruktorzy
uważali, że tylko adiabatyczne sprężanie i rozprężanie powietrza w okolicach elementu sondującego jest
źródłem rejestrowanych fluktuacji temperatury. W niniejszej pracy udowodniłem, że równie istotne jest
uwzględnienie poprawki na nieodwracalną dyssypację energii wywołaną działaniem sił lepkości. Elementy
płynu w strumieniu powietrza przepływające wokół osłony termometru nagrzewają się w obszarze o dużym
gradiencie prędkości, czyli w okolicach warstwy przyściennej osłony. Następnie, to ciepło jest transportowane w okolice czujnika temperatury i rejestrowane jako względna zmiana temperatury. Przy prędkości
samolotu 80m/s, dla trajektorii elementów płynu położonych blisko osłony ta poprawka odpowiada skokowi
temperatury powietrza o około 50 % w stosunku do wartości wynikającej z czysto adiabatycznego opisu
zjawiska. Poprawka na grzanie lepkie zależy też od prędkości samolotu — wraz ze wzrostem prędkości
wzrasta również jej gradient, co prowadzi do wzrostu grzania lepkiego.
Oryginalnym wynikiem pracy jest wyjaśnienie zjawiska powstawania dwóch i więcej częstości w
symulowanych fluktuacjach ciśnienia, w miejscu położenia elementu sondującego. Dwie częstości pojawiają
się gdy drut jest umieszczony blisko osi symetrii osłony. Termometr rejestruje jedną lub dwie podstawowe
częstości, zależnie od odległości od osi układu. Ta ważna obserwacja tłumaczy sposób, w jaki charakter
szumu aerodynamicznego zmienia się zależnie od precyzji wykonania termometru.
Wykazałem również, że pasożytnicze częstotliwości rejestrowane doświadczalnie nie są bezpośrednio związane ze zjawiskiem schodzenia wirów w ścieżce von Karmana. Częstotliwości schodzenia wirów są
około 5 razy większe od rejestrowanych w eksperymencie. Dowiodłem, że mierzone pasożytnicze częstotliwości są efektem aliasingu, czyli przemieszczania się częstotliwości w wyniku próbkowania sygnału analogowego. W wyniku aliasingu energia sygnału o wysokiej częstotliwości pojawia się jako energia sygnału o
niższej częstotliwości.
Ponadto pokazałem, że średnie ciśnienie, które jest proporcjonalne do temperatury, jest kwadratową
funkcją prędkości zarówno przy odsysaniu wyłączonym jak i włączonym. Amplituda fluktuacji ciśnienia w
przypadku bez odsysania rośnie liniowo z prędkością, a w przypadku, gdy odsysanie jest włączone, fluktuacje zanikają.
Wyniki symulacji ruchu kropel doprowadziły do kolejnych oryginalnych wniosków. Odsysanie
wpływa na prawdopodobieństwo zderzenia kropli chmurowych z detektorem w dwojaki sposób. Po pierwsze usuwa wodę z powierzchni osłony. To znacznie usprawnia funkcjonalność urządzenia, ponieważ redukuje przepływ wody wzdłuż powierzchni osłony to tylnego punktu stagnacji, gdzie może następować formowanie i odrywanie się nowych kropel. Po drugie, efektem odsysania jest zakrzywianie trajektorii kropel
chmurowych w kierunku osi śladu. Prowadzi to do zawężenia szerokości kanału, w którym krople nie mogą
się poruszać, a w konsekwencji do zwiększenia liczby kolizji z czujnikiem temperatury.
Wykazałem również, że minimalna wartość odsysania wystarczająca do stabilizacji przepływu jest
mniejsza od stosowanej obecnie. Progowa wartości odsysania zapewniająca stabilizację przepływu zależy
od prędkości. Na podstawie przeprowadzonych zgrubnych oszacowań dowiodłem, że optymalizacja wartości ciśnienia zasysania jest konieczna, gdyż może zmniejszyć liczbę kolizji kropel z drutem niemal o 50 %.
Przeprowadziłem również kilka symulacji z osłonami o nowych kształtach. Sprawdziłem, jak zachowuje się przepływ powietrza wokół pocisków standardowo wykorzystywanych w broni pneumatycznej
oraz wokół owiewki o kształcie „łodzi podwodnej”.
Zaprojektowałem układ optyczny do obrazowania cienkich obiektów fazowych. Liczne symulacje
numeryczne działania układu optycznego potwierdziły możliwość detekcji gradientu współczynnika zała99
mania powietrza wywołanego fluktuacjami temperatury. Adiabatyczne sprężanie i rozprężanie powietrza w
okolicach elementu sondującego wywołuje takie właśnie niewielkie wahania temperatury.
Wierzę, że niniejsza praca będzie pomocna w dalszym studiowaniu drobnoskalowych (101-10-3 m)
niejednorodności atmosfery, które odgrywają zasadniczą rolę w mikrofizycznych i dynamicznych procesach
zachodzących w chmurach.
100
LITERATURA
1. Anderson C. S., 1995: Fringe visibility, irradiance, and accuracy in common path interferometers for
visualization of phase disturbances. Applied Optics, 34, 7474-7485.
2. Bajer K., 2005a: Wpływ wirów na procesy transportu. Instytut Geofizyki UW, Warszawa, 104 str.
3. Bajer K., 2005b: Rapid formation of strong gradients and diffusion in the transport of scalar and vector
fields. W Mechanics of the 21st Century – ICTAM04 Proceedings, W. Gutkowski I T. A. Kowalewski
(Eds.) Kluwer, w druku.
4. Bajer K., S. P. Malinowski i K. Markowicz, 2000; Influence of the small scale turbulence on the concentration of cloud droplets, W Proceedings of the 13th International Conference on Clouds and Precipitation, Reno, Nevada, USA.
5. Batchelor G. K., 1970: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 615 str.
6. Bracewell R. N., 1968: Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. WNT, Warszawa, 413 str.
7. Boeker E. i Grondelle R., 2002: Fizyka Środowiska. PWN Warszawa, 517 str.
8. Chandrasekhar S., 1961: Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford At The Clarendon Press,
652 str.
9. CFD2000 pakiet programów do CFD http://www.adaptive-research.com
10. Clemens N. T., 2002: Flow Imaging, Encyclopedia of Imaging Science and Technology, J. P. Hornak,
John Wiley and Sons, New York, 390-419.
11. Cruette D., A. Marillier, J. L. Dufresne, J. Y. Grandpeix, P. Nacass i H. Bellec, 2000: Fast Temperature
and True Airspeed Measurements with the Airborne Ultrasonic Anemometer-Thermometer (AUSAT). J.
Atmos. Oceanic Technol., 17, 1020-1039.
12. Crowder J. P., 1998: Flow Visualization, The handbook of fluid dynamics, R. W. Johanson, CRC Press
LLC, Springer, 38 1-41.
13. FEATFLOW pakiet programów do CFD http://www.featflow.de
14. FLUENT pakiet programów do CFD http://www.fluent.com/software/fluent
15. FIDAP pakiet programów do CFD http://www.fluent.com/software/fidap
16. FLOTRAN pakiet programów do CFD http://www.ansys.com/products/flotran.htm
17. French J. R., T. L. Crawford, R. C. Johnson i O. R. Coté, 2001: A high-resolution temperature probe for
airborne measurements. Proc. 11th Symp. Meteorol. Obs. and Instrument., 139-144. Am. Meteorol.
Soc., Boston, MA.
18. Friehe C. A i D. Khelif, 1993: Fast-Response Aircraft Temperature Sensors. J. Atmos. Oceanic Technol.,
9, 794-795.
19. Fugal J. P., R. A. Shaw, E. W. Saw i A. V. Sergeyev, 2004: Airborne digital holographic system for
cloud particle measurements. Applied Optics, 43, 5987-5995.
20. Furuhashi H., K. Matsuda i Ch. P. Grover, 2003: Visualization of phase objects by use of a differentiation filter. Applied Optics, 42, 218-226.
21. Geary J. M., 1995: Intoduction to wavefront sensors. SPIE PRESS Washington, 180 str.
22. Glückstad J. i P. C. Mogensen, 2001: Optimal phase contrast in common-path interferometry. Applied
Optics, 40, 268-282.
23. Gniadek K., 1992: Optyczne przetwarzanie informacji. PWN Warszawa, 435 str.
24. Goodman J. W., 1993: Optyka statystyczna. PWN Warszawa, 459 str.
101
25. Grabowski W., 1983: Measurement of the size and position of aerosol droplets using holography. Optics
and Laser Technol. 14, 199-205
26. Haman K. E., 1992: A New Thermometric Instrument for Airborne Measurements in Clouds. J. Atmos.
Oceanic Technol., 9, 86-90.
27. Haman K. E. i S. P. Malinowski, 1996: Temperature measurements in clouds on a centimetre scale preliminary results. Atmos. Res., 41, 161-175.
28. Haman K. E, A. Makulski, S. P. Malinowski i R. Busen, 1997: A New Ultrafast Thermometer for Airborne Measurements in Clouds. J. Atmos. Oceanic Technol., 14, 217-227.
29. Haman K. E., S. P. Malinowski, B. D. Strus, R. Busen i A. Stefko, 2001: Two New Types of Ultrafast
Aircraft Thermometer. J. Atmos. Oceanic Technol., 18, 117-134.
30. Hoffman R. i L. Gross, 1975: Modulation Contrast Microscope. Applied Optics, 14, 1169-1176.
31. Horwitz B. A., 1978: Phase image differentiation with linear intensity output. Applied Optics, 17, 181186.
32. VirtualLab http://www.lighttrans.com.
33. Inverarity G. W., 2000: Correcting Airborne Temperature Data for Lags Introduced by Instruments with
Two-Time-Constant Responses. J. Atmos. Oceanic Technol., 17, 176-184.
34. Jaczewski A. i S. P. Malinowski, 2005: Spatial distribution of the cloud droplets in a turbulent cloud
chamber flow. Q. J. R. Meteorol. Soc., w druku.
35. Joannes L., F. Dubois i J.C. Legros, 2003: Phase-shifting schlieren: high-resolution quantitative schlieren that uses the phase-shifting technique principle. Applied Optics, 42, 5046-5053.
36. John V. i L. Tobiska, 2000: A Coupled Multigrid Method for Nonconforming Finite Element Discretizations of the 2D-Stokes Equation. Computing, 64, 307-321.
37. Kasprzak H, 1982: Differentiation of a noninteger order and its optical implementation. Applied Optics,
21, 3287-3291.
38. Kasprzak H., 1980: On the possibility of optical performing of non-integer order derivatives. Opt. Appl.,
10, 289-292.
39. Korolev A. V. i G. A. Isaac, 2000: Drop growth due to high supersaturation caused by isobaric mixing.
J. Atmos. Sci., 57, 1675-1685.
40. Kostinski A. B. i A. R. Jameson, 2000: On the Spatial Distribution of Cloud Particles. Journal of the
Atmospheric Sciences., 57, 901- 915.
41. Kostinski A. B., 2001: On the extinction of radiation by homogenous but spatially correlated random
medium. J. Opt. Soc. Am. A., 18, 1929-1933.
42. Kostinski A. B. i R. A.Shaw, 2001: Scale-dependent droplet clustering in turbulent clouds. J.Fluid
Mech., 434, 389-398.
43. Kozikowska A., K. Haman i J. Supronowicz 1984: Preliminary results of an investigation of the spatial
distribution of fog droplets by holographic method. Q. J. R. Meteorol. Soc. 110, 65-73.
44. Kukharets V. P. i L. R. Tsvang, 1998: A Radio-Controlled Aircraft to Investigate Atmospheric Turbulence. J. Atmos. Oceanic Technol., 15, 215-218.
45. Lancis J. T. Szoplik, E. Tajahuerce, V. Climent i M. Fernandez-Alonso, 1997: Fractional derivative
Fourier plane filter for phase-change visualization. Applied Optics, 36, 7461-4.
46. Lauterborn W. i A Vogel, 1984: Modern optical techniques in fluid mechanics. Ann. Rev. Fluid
Mech.,16, 223-44.
47. Lawrence C. E., 2002: Równania różniczkowe cząstkowe. PWN Warszawa, 631 str.
102
48. Lawson R. P. i W.A. Cooper, 1990: Performance of Some Airborne Thermometers in Clouds. J. Atmos.
Oceanic Technol., 7, 480-494.
49. Lyons R. G., 1997: Understanding Digital Signal Processing. Addison Wesley Longman, 544 str.
50. Malinowski P. S. i Leclerc M. Y., 1994: Fractal Properties of Temperature Fluctuations in the Convective Surface Layer. Boundary-Layer Meteorology, 71, 169-187.
51. Malinowski P. S., Zawadzki I. i Banat P. 1997: Laboratory observations of cloud-clear air mixing at
small scales. J. Atmos. Oceanic Technol., 15, 1060-1065.
52. McCarthy J., 1973: A method for correcting airborne temperature data for sensor response time. J. Appl.
Meteor., 12, 211-214.
53. Nowicki S., A. Sagan, B. Rosa, R. Buczynski, M. Kowalczyk i T. Szoplik, 2003: Visualization of phase
objects with real semi-derivative and schlieren filters – a comparison. Proc. of SPIE 5259, 97-105.
54. Norberg C., 2003: Fluctuating lift on circular cylinder: review and new measurements. Journal of Fluids
and Structures, 17, 57-96.
55. Ojeda-Castaneda J. i L. R. Barriel-Valdos, 1979: Classification scheme and properties of schlieren techniques. Applied Optics, 18, 3338-3341.
56. Pan G. i H. Meng, 2003: Digital holography of particle fields: reconstruction by use of complex almplitude. Optical Society of America, 42, 827-833
57. Pang T., 2001: Metody obliczeniowe w fizyce. PWN Warszawa, 392 str.
58. Pluta M., 1989: Advanced Light Microscopy vol.2. Elsevier, 494 str.
59. Poon T. C. i P. P. Banerjee, 2001: Contemporary optical image processing with Matlab. Elsevier, 262
str.
60. Pruppacher H. R. i J. D. Klett, 1978: Microphysics of Clouds and Precipitation. D. Reidel Publishing
Company, 714 str.
61. http://www.cfd-online.com/Resources/soft.html
62. Reynolds G. O., DeVelis J. B., Parrent G. B. i Thompson B. J., 1989: The new Physical Optics Notebook: Tutorials in Fourier Optics. SPIE Optical Engineering Press, 568 str.
63. Rosa B., Bajer K. i Szoplik T., 2003: „Analysis of performance of the ultrafast aircraft resistance thermometer.” Abstracts of 8th International Conference „Mathematical Modelling and Analysis”, May 2831, 2003 Trakai, Lithuania.
64. Rosa B., A. Sagan, K. E. Haman, i T. Szoplik, 2004a: Visualization of small scale density fluctuations in
the atmosphere using the semiderivative real filter. Proc. of SPIE 5237, 228-237.
65. Rosa B., K. Bajer, K. E. Haman i T. Szoplik, 2004b: Optimization of the atmospheric temperature field
measurements. Proc. of SPIE 5572, 355-365.
66. Rosa B., K. Bajer, K. E. Haman i T. Szoplik, 2005: Theoretical and experimental characterisation of the
ultrafast aircraft thermometer: reduction of aerodynamic disturbances and signal processing. J. Atmos.
Oceanic Technol., w druku.
67. Sagan A., S. Nowicki, R. Buczynski, M. Kowalczyk i T. Szoplik, 2003: Imaging phase objects with
square root, Foucault and Hoffman real filters – a comparison, Applied Optics, 42, 5816-5824.
68. Sanchez-de-la-Llave D. i M. D. Iturbe Castillo, 2002: Influence of illuminating beyond the object support on Zernike-type phase contrast filtering. Applied Optics, 41, 2607-2612.
69. Sandborn V. A., 1972: Resistance temperature transducers. Metrology Press, Fort Collins, Colorado 537
str.
70. SCILAB http://www.scilab.org
103
71. SCIFEAT pakiet procedur graficznych do wizualizacji wyników symulacji FEATFLOW w formacie
AVS http://www.weizmann.ac.il/home/fesegre/scistuff/scifeat/scifeat.html autor Enrico Segre 2002.
72. Settles G. S., 2001: Schlieren and schadowgraph techniques. Springer-Verlag Haidelberg, 376 str.
73. Shaw R. A., A. B. Kostinski, M. L. Larsen, 2002: Towards quantifying droplet clustering in clouds, Q. J.
R. Meteorol. Soc., 128, 1043-1057
74. Stevens B., D. H. Lenschow, G. Vali, H. Gerber, A. Bandy, B. Blomquist, J.-L. Brenguier, C. S. Bretherton, F. Burnet, T. Campos, S. Chai, I. Faloona, D. Friesen, S. Haimov, K. Laursen, D. K. Lilly, S. M.
Loehrer, S. P. Malinowski, B. Morley, M. D. Petters, D. C. Rogers, L. Russell, V. Savic-Jovcic, J. R.
Snider, D. Straub, M. J. Szumowski, H. Takagi, D. C. Thornton, M. Tschudi, C. Twohy, M. Wetzel i M.
C. van Zanten, 2003: Dynamics and chemistry of marine stratocumulus - Dycoms-II, Bull. Amer. Meteorol. Soc., 84, 579-593.
75. Szoplik T., V. Climent, E. E. Tajahuerce, J. Lancis i M. Fernandez-Alonso, 1998: Phase-change visualization in two-dimensional phase objects with a semiderivative real filter. Applied Optics, 37, 5472-5478.
76. Tajahuerce E., T. Szoplik, J. Lancis, V. Climent i M. Fernandez, 1997: Phase-object fractional differentiation using Fourier plane filters, Pure & Applied Optics, 6, 481-90.
77. Turek S., 1997: On discrete projection methods for the incompressible Navier-Stokes equations: An algorithmical approach, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 143, 271-288.
78. Turek S., 1999: Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems. An Algorithmic and Computational
Approach, Springer, Heidelberg, 1999.
79. Vorontsov, M. A., E. W. Justh, i L. A. Beresnev, 2001: Adaptive optics with advanced phase-contrast
techniques. I. High-resolution wave-front sensing. J. Opt. Soc. Am. A., 18, 1289-1299.
80. Williamson C. H. K., 1996: Vortex dynamics in the cylinder wake. Annu. Rev. Fluid. Mech., 28, 477539.
104