Rachunek prawdopodobienstwa Wykład 5.03.2014

Rachunek prawdopodobienstwa Wykład 5.03.2014

Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Instytut Matematyki
WFMIS
Politechnika Krakowska
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Andriej Nikołajewicz Kołmogorow
rosyjski matematyk,
twórca współczesnej teorii prawdopodobieństwa
1903 - 1987
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Kawalera de Mere
Paradoks Kawalera de Mere
Antoine Gombaud,
Chevalier de Méré
pisarz francuski
1607 - 1684
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Rzucamy trzema kostkami do
gry. Jaka jest szansa, że suma
oczek wynosi 11? A jaka, że
12?
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Kawalera de Mere
Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać
na tyle samo sposobów, co 12:
11 = 6 + 4 + 1
=6+3+2
=5+5+1
=5+4+2
=5+3+3
=4+4+3
12 = 6 + 5 + 1
=6+4+2
=6+3+3
=5+5+2
=5+4+3
=4+4+4
Wszystkich możliwości
6
6
6+2·
+
= 56
2
3
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Kawalera de Mere
Po uwzględnieniu kolejności
Wszystkich możliwości: 63 = 216
11 :
(6, 4, 1), (6, 1, 4),
2), (6, 2, 3), (3, 2,
1, 5), (1, 5, 5), (5,
(2, 5, 4), (5, 3, 3),
27 możliwości
(4, 1, 6), (4, 6, 1), (1, 4, 6), (1, 6, 4), (6, 3,
6), (3, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 3, 6), (5, 5, 1), (5,
4, 2), (5, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 5, 2), (2, 4, 5),
(3, 5, 3), (3, 3, 5), (4, 4, 3), (4, 3, 4), (3, 4, 4)
12 :
(6, 5, 1), (6, 1, 5),
2), (6, 2, 4), (4, 2,
6, 3), (3, 3, 6), (5,
(4, 3, 5), (4, 5, 3),
25 możliwości
Rachunek prawdopodobieństwa
(5, 1, 6),
6), (4, 6,
5, 2), (5,
(3, 4, 5),
Wykład 5.03.2014
(5, 6, 1),
2), (2, 6,
2, 5), (2,
(3, 5, 4),
(1, 5, 6), (1, 6, 5), (6, 4,
4), (2, 4, 6), (6, 3, 3), (3,
5, 5), (5, 4, 3), (5, 3, 4),
(4, 4, 4)
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Blaise Pascal
francuski filozof, matematyk,
pisarz i fizyk
1623 - 1662
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Paradoks Kawalera de Mere
Pierre de Fermat
matematyk francuski,
z wykształcenia prawnik
1601 - 1665
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Bertranda
Przykład
W przypadkowych momentach mogą nadejść do odbiornika dwa
sygnały. Odbiornik zostaje uszkodzony, gdy różnica w czasie
pomiędzy dwoma sygnałami jest mniejsza od τ (τ > 0). Obliczyć
prawdopodobieństwo uszkodzenia odbiornika w czasie T (T > τ ).
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Joseph Louis François
Bertrand
matematyk i ekonomista
francuski
1822 - 1900
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Paradoks Bertranda
Na okręgu o promieniu 1
skonstruowano losowo cięciwę.
Jaka jest szansa, że cięciwa
będzie dłuższa od boku trójkąta
równobocznego wpisanego w ten
okrąg?
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Bertranda
I rozwiązanie
Ω = [0, π]
π 2
A = [ , π]
3 3
1
P (A) =
3
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Bertranda
II rozwiązanie
Ω = [0, 1]
1
A = [0, ]
2
1
P (A) =
2
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Bertranda
III rozwiązanie
Ω = K(0, 1)
1
A = K(0, )
2
1
P (A) =
4
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Paradoks Bertranda
Ciekawe strony dotyczące paradoksu Bertranda:
http://web.mit.edu/tee/www/bertrand/problem.html
http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml
http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe
Dylemat więźnia
Spośród trzech więźniów, Mateusza,
Marka i Łukasza, dwóch ma być
straconych. Mateusz nie wie jednak
którzy to, zwraca się przeto do strażnika:
Z pewnością zostanie stracony Marek lub
Łukasz, tak więc jeżeli podasz mi imię
jednego z nich, Marka lub Łukasza, który
będzie stracony, to nic mi nie powiesz o
mym losie.
Po chwili namysłu strażnik odpowiedział: Marek będzie stracony.
Wtedy Mateusz poczuł się bardziej spokojny, ponieważ
prawdopodobieństwo jego stracenia wynosiło uprzednio 2/3, a
teraz po odpowiedzi udzielonej przez strażnika, pozostawało już
tylko dwóch więźniów, Łukasz i on sam, z których jeden nie będzie
stracony, prawdopodobieństwo stracenia zmalało więc do 1/2. Czy
słusznie Mateusz mógł się poczuć spokojniejszy?
Rachunek prawdopodobieństwa
Wykład 5.03.2014
Margareta Wiciak