Lista Zadan MAD-1 - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji
Uniwersytet Zielonogórski
Metody analizy danych
Automatyka oraz Robotyka – stopień pierwszy – tytuł inżyniera
Semestr III rok II
Zbiór zadań
1
Elementarz z kombinatoryki
1. Podać prawo sumy i mnożenia skończonych zbiorów.
2. W pewnej grupie 150 osób, 45 regularnie pływa,40 jeździ na rowerze a 50 uprawia jogging. Wiemy ponadto, że są 32 osoby, które uprawiają jogging ale nie jeżdżą na rowerze,
27 takich, które uprawiają jogging i pływają i 10 uprawiających wszystkie trzy rodzaje
aktywności.
(a) Ile osób uprawia tylko jogging tzn. nie pływa i nie jeździ na rowerze?
(b) Jeśli wiemy dodatkowo że 21 osób jeździ na rowerze i pływa, to ile nie uprawia żadnej
z powyższych aktywności.
3. Na ile sposobów można zawiesić na ścianie obok siebie trzy obrazy?
4. Ile liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można otrzymać z cyfr: 0,1,3,5?
5. W zespole występuje pięć tancerek i pięciu tancerzy. Zespół wchodzi na scene jedynymi
drzwiami, ale na początku zawsze idą panie. Ile istnieje wszystkich możliwych ustawień
przy wejściu na scenę, jeśli członkowie zespołu przechodzą przez drzwi pojedynczo?
6. Z cyklu przygód Mamy i małej Kasi. Kasia postanowiła, że dla brata kupi pod choinkę
prezent w postaci klocków Lego (zestaw kolejka). Klocki mają osiem różnokolorowych
segmentów torów w tym cztery czerwone, trzy niebieskie i jeden żółty. Na ile sposób
młodszy brat Kasi, będzie mógł połączyć segmenty aby zbudować tory dla kolejki?
7. Ile różnych słów (bez względu na sens) możemy zbudować ze słów:
(a) „matematyka”
(b) „dyskretna”
(c) „katarakta”
8. Ile liczb naturalnych parzystych sześciocyfrowych można utworzyć ze zbioru {2, 3, 4, 5},
wiedząc że cyfra trzy występuje w niej trzykrotnie, pozostałe zaś nie powtarzają się?
9. Ile liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z czteroelementowego zbioru cyfr {1, 4, 5, 7}?
1
10. Mamy zbiór trzech różnych cyfr: {5, 6, 7}. Ile różnych liczb naturalnych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z elementów tego zbioru?
11. Ile istnieje trzycyfrowych liczb naturalnych zakończonych cyfrą 3 lub 5?
12. Iloma sposobami można rozmieścić 3 różnokolorowe klocki w dwóch pudełkach?
13. Na ile sposobów można wybrać dwie osoby spośród 10 osobowej grupy?
14. W turnieju tenisa rozegrano 21 meczy systemem „każdy z każdym”. Ilu zawodników bierze
udział w turnieju, jeśli grają oni tylko raz?
15. Mamy cztery rodzaje słodyczy i chcemy zrobić paczki świąteczne. W każdej paczce możemy umieścić sześć opakowań słodyczy. Ile różnych paczek można utworzyć?
2
Elementy statystki opisowej
1. Podać wzory dla następujących średnich:
(a) średnia arytmetyczna – x (oraz średnia arytmetyczna ważona),
(b) średnia geometryczna – g (oraz średnia geometryczna ważona),
(c) średnia harmoniczna – h,
(d) średnia potęgowa rzędu r – p(r) .
2. (?) Wykazać, że dla średnich x, g, h, p(r) zachodzą następujące związki
(a) p(−1) = h, p(1) = x, limr→0 p(r) = g
(b) oraz h ≤ g ≤ x ≤ p2 ≤ p3 ≤ . . . gdy x1 = x2 = x3 = . . ..
3. Trzech robotników o różnych kwalifikacjach wykonuje tę samą pracę. W ciągu 8h pierwszy
robotnik wykonuje 120 elementów, drugi - 80, a trzeci - 60. Wyrazić średni czas wykonania
jednego elementu przez zespół, jako średnio czasów wykonania jednego elementu przez
każdego z robotników oraz ile wynosi średni czas pracy.
4. Dobowe zużycie gazu w ciągu kolejnych dziesięciu dni w pewnym przedsiębiorstwie wynosiło w metrach sześciennych: 30, 43, 52, 35, 44, 41, 27, 33, 34, 51. Wyznaczyć średnie
zużycie dobowe gazu w czasie tej dekady.
5. Pojazd przebył drogę złożoną z trzech odcinków, każdy o długości s. Pierwszy odcinek ze
v1 = 50 km/h, drugi v2 = 60 km/h i trzeci odcinek v3 = 70 km/h. Z jaką stałą prędkością
powinien poruszać się pojazd aby całą drogę 3s przebyć w tym samym czasie.
6. W ciągu pierwszej godziny pojazd poruszał się ze stałą prędkością v1 = 50 km/h, w ciągu
dwóch następnych ze stałą prędkością v2 = 60 km/h, w ciągu zaś kolejnych trzech ze stałą
prędkością v3 = 70 km/h. Z jaką stałą prędkością winień poruszać się pojazd wzdłuż całej
drogi, aby przebyć ją w tym samym czasie?
7. Roczny wskaźnik wzrostu wydajności pracy, tj. stosunek wydajności w danym roku do
wydajności w roku ubiegłym w pewnym przedsiębiorstwie w poszczególnym latach czteroletniego okresu, wynosił 1.23, 1.15, 1.12, 1.07. Wyznaczyć średni roczny wskaźnik wzrostu
wydajności pracy w tym okresie.
2
8. Pewna mieszanka zawiera 50 kg składnika A w cenie 15 tys. za kg., 30 kg składnika B,
w cenie 20 tys. za kg., 20 kg składnika C za 30 tys. za kg. Wyznaczyć cenę jednego kg.
mieszanki.
9. Przygotować histogram dla następujących danych: a, d, a, b, c, b, g, z, a, z, c, a, b, g.
10. Obserwowano przez siedem dni wartość ciśnienia atmosferycznego w pewnej miejscowości:
Ciśnienie xi
Liczność ni
753
1
755
2
758
3
762
1
(a) obliczyć średnią
(b) wariancję,
(c) standardowe odchylenie.
11. Z populacji generalnej pobrano n=50-elementową próbkę i przebadano ze względu na
cechę A. Otrzymano następujące wyniki: 3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5.2, 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, 3.9, 5.6,
3.5, 5.4, 5.2, 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8, 4.4, 4.6, 5.1, 4.7, 3.0, 5.5, 6.1, 3.8, 4.9, 5.6, 6.1, 5.9, 4.2,
6.4, 5.3, 4.5, 4.9, 4.0, 5.2s, 3.3, 5.4, 4.7, 6.4, 5.1, 3.4, 5.2, 6.2, 4.4, 4.3, 5.8, 3.7. Sporządzić
dla danej próbki szereg rozdzielczy.
12. Wyznaczyć średnią arytmetyczną badanej cechy dla szeregu rozdzielczego z zadania (11).
13. Dla następującego szeregu rozdzielczego, n = 150:
Numer klasy
1
2
3
4
5
6
Przedział klasowy
120 – 124
124 – 128
128 – 132
132 – 136
136 – 140
140 – 144
Środek klasy
122
126
130
134
138
142
Liczność klasy
20
30
50
10
15
25
Częstość klasy
2/15
3/15
1/3
1/15
1/10
1/6
Częstość skumulowana
2/15
1/3
2/3
11/15
5/6
1
(a) obliczyć średnią
(b) wariancję,
(c) standardowe odchylenie.
14. Z pomocą danych z zadania (10) pokazać zasadność stosowania poniższego wzoru do
wyznaczenia średniej arytmetycznej:
k
1X
x = x0 +
ni (xi − x0 ),
n i=1
gdzie x0 jest dowolną wartością rzeczywistą. Ponadto wykazać że,
P
(a) dla średniej arytmetycznej zachodzi wzór ni=1 (xi − x) = 0,
P
(b) oraz
iz wariancję
s2 = n1 ni=1 (xi − x)2 można także wyznaczyć ze wzoru s2 =
P
n
1
2
2
i=1 xi − x .
n
3
15. Obliczyć średnią arytmetyczną, wariancję i odchylenia standardowe połączonych pięciu
próbek.
Nr próbki i
1
2
3
4
5
Liczności próbki Ni
15
20
30
15
20
Średnia aryt. próbki xi
3.3
3.7
3.6
3.9
3.5
Wariancja próbki s2i
1.25
1.10
1.15
1.05
1.20
16. Wyznaczyć medianę dla szeregu rozdzielczego:
Nr klasy i
1
2
3
4
5
6
7
8
Środek klasy xi
23
25
27
29
31
33
35
37
Liczność ni
25
19
16
11
9
6
4
1
17. Wyznaczyć modę dla szeregu rozdzielczego zawierającego dane o wzroście (w cm.) grupy
117 osób:
Nr klasy i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Środek klasy xi
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
Liczność ni
2
7
15
21
32
18
11
7
3
1
18. Rozważmy parzystą liczbę 2k (k ≥ 2) dowolnych liczb uporządkowanych niemalejąco
x1 ≤ . . . ≤ xk ≤ xk+1 ≤ . . . ≤ x2k ,
spełniających warunek, że dwie środkowe liczby są różne : xk 6= xk+1 . Obierając dowolną
liczbę a taką, że
xk < a < xk+1
wykazać, że odchylenie przeciętne tych 2k liczb obliczane od dowolnej liczby a spełniającą
powyższą nierówność nie zależy od wyboru tej liczby.
19. Wyznaczyć średnią arytmetyczną oraz pierwsze cztery momenty centralne dla czterech
szeregów rozdzielczych.
4
Środek klasy xi
1
2
3
4
5
6
7
Szereg I
0
6
12
14
12
6
0
Szereg II
2
2
10
22
10
2
2
Szereg III
0
2
20
12
10
4
2
Szereg IV
2
4
10
12
20
2
0
20. W tabeli przedstawiono wyniki pomiarów siły zrywającej dla 125 odcinków przędzy wylosowanych z większej partii:
Siła zrywająca xi
179.5 – 188.5
188.5 – 197.5
197.5 – 206.5
206.5 – 215.5
215.5 – 224.5
224.5 – 233.5
233.5 – 242.5
242.5 – 251.5
251.5 – 260.5
Liczność
2
4
14
28
30
27
13
5
2
Obliczyć średnią arytmetyczną siły zrywającej, medianę, modę, odchylenie standardowe,
odchylenie przeciętne od średniej arytmetycznej jak również współczynniki zmienności,
nierównomierności, skupienia i eksces.
3
Prawdopodobieństwo
1. Osoba X wykonuje pewną pracę w ciągu 4, 5, 6 godzin i może popełnić przy tym 0, 1 lub 2
błędy. Zakładając jednakowe prawdopodobieństwo dla każdego ze zdarzeń elementarnych,
znaleźć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
(a) praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin (zdarzenie A),
(b) praca zostanie wykonana bezbłędnie w czasie 6 godzin (zdarzenie B),
(c) praca zostanie wykonana w czasie 5 godzin najwyżej z jednym blędem (zdarzenie
C),
(d) praca zostanie wykonana z co najwyżej jednym błędem (zdarzenie D).
2. Rozpatrujemy ilość (dm3 ) wody jaką może mieć do przeprowadzenia w ciągu sekundy
betonowy przepust. Maksymalna ilość wody to 300 dm3 /s, oraz wiadomo iż
(a) P (A) – prawdopodobieństwo, że ilość wody na sekundę przyjmie wartość z przedziełu
(125, 250i wynosi 0.6,
(b) P (B) – prawdopodobieństwo, że ilość wody na sekundę przyjmie wartość z przedziełu
(200, 300i wynosi 0.7 oraz P (A ∪ B) = 0.8.
Obliczyć prawdopodobieństwa:
0
0
(a) P (A , P (D )
5
(b) P (AB)
0
0
(c) P (A B )
0
(d) P (BA ),
0
(e) P (B ∪ A ).
3. Ze zbioru n elementów, wśród których jest n1 elementów mających cechę c i n2 = n − n1
elementów nie mających tej cechy, losujemy dwukrotnie po jednym elemencie. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że obydwa wylosowane elementy mają cechę C. Przyjąć n =
10, n1 = 7.
4. Istnieje 20 osobowa grupa studencka, w której ośmiu studentów jest aktywnie społecznie.
Na okres dwu tygodni wybrano trzyosobowy samorząd grupy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w samorządzie jest trzech studentów aktywnie społecznie.
5. Spośród cyf, 1, 2, . . . , 9 wylosowano bez zwrotu kolejno trzy cyfry C1 , C2 , C3 , układając
je w kolejności losowania w liczbę, która w układzie dziesiętnym ma zapis C1 C2 C3 . Przyjmując założenie, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakowo
prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że C1 C2 C3 < 444.
0
0
6. Wykazać, że jeśli zdarzenia A oraz B są niezależne, to również zdarzenia A oraz B także
są niezależne.
7. Spośród liter a, a, k, s, s, t, t, t, y, y losujemy bez zwrotu po jednej literce i układamy je
w kolejności losowania w słowa. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania w ten sposób
słów:
(a) as, akt, kat, syk, atak, kasa, styk, takt, tata, tyka, kasta,
(b) taksa, tasak, asysta, statyka, statysta, statystyk, statystyka.
8. Każda praca pisemna z egzaminu wstępnego jest sprawdzana dwukrotnie. Prawdopodobieństwo niezauważenia błędu przez pierwszą osobę sprawdzającą wynosi 0.08. Dla drugiej
osoby prawdopodobieństwo to wynosi 0.05. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd popełniony w pracy pisemnej nie zostanie zauważony.
9. Mamy n urn do losowania wypełnionymi kulami białymi i czarnymi. Prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej z k-tej urny jest równe pk , a prawdopodobieństwo wylosowania
k-tej urny wynosi ak > 0, k = 1, 2, 3, . . . , n. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że
wylosowana biała kula pochodzi z k-tej urny.
10. Jeśli n = 6, p = 1/3, q = 2/3, to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że uzyska się nie
więcej niż trzy sukcesy.
11. Rzucono kostką do gry cztery razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrzuci się sześć
oczek:
(a) dokładnie dwa razy,
(b) co najmniej dwa razy.
6
12. Z urny, w której znajduje się 20 kul białych oraz 2 czarne, losuje się kolejno n kul.
Znaleźć najmniejszą liczbę losowań n, taką że prawdopodobieństwo wylosowania chociaż
raz czarnej kuli jest większe od 0.5, dla dwóch przypadków:
(a) po każdym losowaniu kula ponownie wraca do urny,
(b) po każdym losowaniu kula nie wraca do urny.
13. W pewnej miejscowości rodzi się średnio 520 chłopców i 480 dziewczynek na 1000 niemowląt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rodzinie pięciodzietnej:
(a) liczba dziewcząt jest większa od liczby chłopców,
(b) wszystkie dzieci są tej samej płci.
4
Zmienne losowe dyskretne oraz ciągłe
1. Dla zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa danej tabelką
xi 1
2
3
4
5
pi 0.4 0.2 0.2 0.1 0.3
wyznaczyć wartość średnią, odchylenie standardowe oraz skonstruować dystrybuantę zmiennej X.
2. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:
x
(−∞, 1) [1, 3) [3, 6) [6, ∞)
F (x)
0
0.3
0.6
1.0
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
3. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie

 0 dla x ≤ 1
x−1
dla 1 < x ≤ 3
F (x) =
 2
1 dla x > 3.
Wyznaczyć wartość średnią oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
cx(1 − x) dla 0 < x < 1
f (x) =
0
pozatym,
gdzie c jest stałą dodatnią. Wyznaczyć wartość stałej c i następnie wyznaczyć wartość
średnią oraz odchylenie standardowa zmiennej losowej X.
5. Czas reakcji X na pewien typ bodźca jest ciągłą zmienną losową o gęstości rozkładu
3
dla 1 ≤ x ≤ 3
2x2
f (x) =
0 x < 1 lub x > 3.
Obliczyć prawdopodobieństwo P (1.5 ≤ X ≤ 2.5) i następnie wartość średnią oraz odchylenie standardowe zmiennej X.
7
6. Niech będą dane zmiennej losowe X i Y o łącznej gęstości danej wzorem
8xy dla 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0 w przypadku przeciwnym.
Wykazać, że gęstość brzegowa zmiennej losowej X ma postać
4x(1 − x2 ) dla 0 ≤ x ≤ 1
fx (x) =
0
w przypadku przeciwnym,
natomiast gęstość brzegowa zmiennej losowej Y
3
4y dla 0 ≤ y ≤ 1
fy (y) =
0 w przypadku przeciwnym.
Wykazać, że gęstość warunkowa zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa
Y przyjęła ustaloną wartość y ma postać
2x
dla 0 ≤ x ≤ y
y2
f (x|y) =
0 w przypadku przeciwnym.
oraz że gęstość warunkowa zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X
przyjęła ustaloną wartość x wynosi
2y
gdy x ≤ y ≤ 1
1−x2
f (y|x) =
0
w przypadku przeciwnym.
Podać gęstość warunkową zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = 1/2.
7. Udowodnić niezależność zmiennych losowych X i Y o łącznej gęstości
4
x(1 + y) gdy 0 ≤ x ≤ 1 oraz 0 ≤ y ≤ 1
3
f (x, y) =
0
w przypadku przeciwnym.
8. Rzucamy 30 razy kostką do gry. Podać oszacowanie prawdopodobieństwa, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą między 100 a 110.
9. Losowy błąd pomiaru pewnej wielkości ma rozkład o wartości przeciętnej α1 = 0 (brak
błędu systematycznego) i odchyleniu standardowym 0.08. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że błąd średniej 100 pomiarów nie przekroczy (co do wartości bezwzględnej) 0.1.
10. Prawdopodobieństwo, że w czasie T przestanie świecić jedna żarówka jest równe 0.1.
Obliczyć, prawdopodobieństwo, że w czasie T spośród 100 przestanie świecić od 7 do 19
żarówek przy założeniu, że żarówki przepalają się niezależnie.
11. W centrali telefonicznej znajduje się n linii działających niezależnie. Prawdopodobieństwo, że dowolna ustalona linia jest zajęta, jest równe 0.1. Jakie powinno być n, aby
prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 7 linii jest zajętych było równe 0.95?
12. Rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na
odcinku [0.5g, 1g], wiadomo też że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Ile w przybliżeniu wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciagu 30 dni
przekroczy 0.8g = 48min (lub równoważnie, że dojazdy w ciągu 30 dni zajmą więcej niż
dobę)?
13. Wzrost dorosłych Polaków jest cechą o rozkładzie normalnym µ = 176 cm i σ = 6.5 cm.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia X̄ dla prostej próby losowej o liczności 100
różni się od prawdziwej wartości µ o więcej niż 1.5 cm.
8
5
Podstawy wnioskowania statystycznego i hipotez statystycznych
1. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą prostą pobraną z populacji. Zakładając, że cecha X
ma skończoną i różną od zera wariancję σ 2 , zbadać czy tzw. wariancja empiryczna
n
n
2
1X
1X
S =
Xi − X , gdzie X =
Xi ,
n i=i
n i=1
2
jest estymatorem nieobciążonym nieznanej wariancji σ 2 .
2. Zmierzono wytrzymałość dziesięciu losowo wybranych z pewnej grupy elementów konstrukcji budowlanych i otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386,
378, 335, 344, 346. Zakładając, że rozkład wytrzymałości tych elementów jest rozkładem N (µ, σ) o nieznanych parametrach, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% - ową
realizację przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej µ badanej cechy populacji.
3. Z populacji włókien bawełny pobrano 300-elementową próbkę włókien i zmierzono ich
długości, grupując otrzymane dane w następujący szereg rozdzielczy:
Przedział [mm]
Środek przedziału xi
Liczność ni
(0, 5.5i
2.75
2
(5.5, 10.5i
7.75
5
(10.5, 15.5i
12.75
11
(15.5, 20.5i
17.75
19
(20.5, 25.5i
22.75
41
(25.5, 30.5i
27.75
117
(30.5, 35.5i
32.75
87
(35.5, 40.5i
37.75
18
Znaleźć 95%-ową realizację przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej µ długości włókna.
4. Z pewnej partii towaru pobrano (losowa) 20 sztuk. Wśród nich znalazły się dwie sztuki
wadliwe. Należy podać 95% - ową realizację przedziału ufności dla frakcji sztuk wadliwych
całej partii towaru.
5. Spośród 120 wylosowanych studentów okazało się że 17 regularnie nie uczestniczy w zajęciach. Wyznaczyć 95% - ową realizację przedziału ufności dla frakcji p studentów, którzy
nie uczestniczą w zajęciach.
6. Z populacji, gdzie badana cecha ma rozkład N (µ, 4) wylosowano próbkę złożoną z 9
obserwacji. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H : µ = 2 przy
alternatywie K : µ = µ1 < 2, jeśli średnia z próbki wynosi x = 1.4.
7. Zmierzono długości 198 włókien bawełny, a wyniki pomiarów przedstawiony jako poniższy
szereg rozdzielczy:
Nr klasy
Środek przedziału
Liczność
1
8
4
2
13
9
3
18
18
4
23
70
5
28
75
6
33
19
7
38
3
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że średnia długość włókna dla
całej partii poddanej badaniu jest równo µ = 24, wobec hipotezy alternatywnej K : µ 6=
24.
9
6
Regresja liniowa i wielomianowa
1. Z populacji przygotowano pięćdziesięcioelementową próbkę, w postaci następującej tabeli:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
38.5
41.1
37.8
36.0
32.2
36.8
33.5
35.3
31.1
42.5
yi
5.5
4.8
5.0
4.9
5.1
4.3
4.5
3.8
3.4
5.7
i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
39.5
42.1
38.0
36.5
40.0
36.5
34.0
34.5
44.5
38.0
yi
5.4
5.2
5.2
5.1
4.5
4.4
4.4
3.9
6.6
5.9
i
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
xi
40.0
36.5
38.8
34.5
36.1
34.2
39.1
37.5
35.5
36.6
yi
5.7
5.4
5.1
4.6
4.2
3.6
5.1
4.9
5.0
4.1
i
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
xi
40.5
37.2
34.5
38.5
34.0
33.5
32.5
36.4
37.5
41.5
yi
5.5
5.0
4.8
4.5
4.1
4.0
4.5
4.5
5.6
5.3
i
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
xi
39.5
38.1
35.7
39.5
35.5
40.5
37.5
33.5
42.5
38.0
yi
6.0
3.9
4.6
6.0
4.6
6.1
4.3
5.2
6.6
4.4
Podać diagram korelacyjny i tablicę, a także, wyznaczyć wartość współczynnika korelacji
liniowej.
2. Z pewnej partii towaru wylosowano dziesięć egzemplarzy i poddano badaniu ze względu
na cechy X oraz Y.
xi 3.5 3.4 2.1 5.4 1.1 5.1 6.9 4.0 4.5 2.5
yi 1.6 2.9 1.5 3.5 0.6 2.5 7.1 3.5 2.1 2.6
Wyznaczyć wartość współczynnika korelacji liniowej.
3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o gęstości
0.2(x + 2y) dla 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2,
f (x, y) =
0
dla pozostaych (x, y).
Wyznaczyć równanie linii regresji pierwszego rodzaju zmiennej losowej Y względem X.
4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład określony poniższą tabelą:
xi
yk
8
9
10 11
1.2 0.1 0.04 0
0
1.25 0.05 0.11 0.2 0
1.3
0
0.1 0.15 0.1
1.35 0
? 0.05 0.1
gdzie X jest wiekiem losowo wybranego dziecka, w pewnej grupie dzieci, zaś Y jego
wzrostem (w metrach). Obliczyć:
(a) P (X = 9, Y = 1.35),
(b) współczynnik korelacji między zmiennymi X i Y .
10
5. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład określony w poniższej tabeli:
yk
0
1
2
xi
5
6
7
0
0 0.1
0.1 0.2 0.1
0.3 0.1 0.1
Wyznaczyć równania i naszkicować wykresy prostych regresji drugiego rodzaju.
6. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) o rozkładzie określonym przez poniższą tabelę:
xi
yk
3
3.5
4
4.5
5
3 0.16 0
0
0
0
3.5 0.12 0.04 0
0
0
4 0.08 0.08 0.08 0
0
4.5 0 0.12 0.06 0.05 0.04
5
0
0 0.01 0.08 0.08
gdzie X jest średnią oceną w sesji egzaminacyjnej w pierwszym semestrze dla losowego
wybranego studenta, natomiast Y jest średnią oceną w sesji tego samego studenta w VI
semestrze:
(a) obliczyć współczynnik korelacji tych zmiennych losowych,
(b) podać równanie prostej regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej Y względem X,
(c) podać równanie prostej regresji pierwszego rodzaju zmiennej losowej Y względem
X.
7. Z populacji, przy wykorzystaniu pięciu różnych laboratoriów, pobrano dwudziestoelementową próbkę:
i
x1i
y1i
x2i
y2i
x3i
y3i
x4i
y4i
x5i
y5i
1
3.4
2.2
3.0
2.0
4.1
2.0
3.0
1.9
4.2
2.1
2
7.4
4.5
7.0
4.5
6.1
3.5
5.5
3.4
7.0
4.1
3
3.9
2.5
2.5
1.0
3.1
1.8
2.5
0.9
4.7
2.6
4
4.9
3.0
6.5
4.0
5.6
3.0
4.9
2.9
7.5
4.6
5
4.4
3.0
2.0
2.0
2.6
1.0
2.0
1.9
5.0
3.1
6
5.4
3.5
6.0
3.5
7.6
4.8
7.5
4.4
2.8
2.1
7
2.4
1.5
3.5
2.0
2.1
2.0
4.5
2.4
2.5
1.1
8
5.9
4.0
7.5
4.5
7.1
4.5
7.0
3.9
5.5
3.6
9
2.9
1.5
4.0
2.0
4.6
2.3
4.0
1.9
3.2
2.1
10
6.9
4.1
7.5
5.0
6.6
4.0
5.9
3.9
6.0
4.1
11
3.9
2.0
2.5
1.5
4.1
2.3
3.4
1.9
3.6
2.1
12
7.4
5.0
6.0
4.0
6.1
4.0
6.0
3.4
6.5
4.1
13
4.4
2.5
4.5
3.0
3.6
2.0
2.8
1.4
4.2
2.6
14
5.4
3.0
5.5
3.5
5.6
3.5
5.5
2.9
7.2
4.6
15
1.9
2.0
3.0
1.5
3.1
1.4
2.3
1.4
5.5
3.1
16
5.9
3.6
7.0
4.0
5.1
3.0
7.5
4.9
2.5
1.6
17
2.4
1.0
4.0
2.5
2.4
1.4
4.5
2.9
6.0
3.6
18
6.4
4.0
5.0
3.0
7.6
4.5
6.8
4.4
3.0
1.6
19
2.9
2.0
4.5
2.5
4.6
3.0
3.9
2.4
7.5
5.1
Wyznaczyć proste regresji dla poszczególnych próbek oraz poddać weryfikacji, czy proste
regresji są równoległe na poziomie ufności α = 0.05.
8. Z populacji, pobrano dwudziestoelementową próbkę:
11
20
6.9
4.6
5.5
3.0
7.1
4.0
6.5
3.9
4.6
3.1
i
xi
yi
1
5.5
3.3
2
3.5
1.5
3
6.5
3.7
4
4.5
2.5
5
5.0
2.8
6
7.5
6.5
7
5.5
4.0
8
4.5
2.0
9
1.5
1.3
10
4.0
1.7
11
6.5
4.8
12
8.0
8.2
13
6.0
4.5
14
2.0
1.0
15
2.5
0.8
16
7.5
7.5
17
7.5
6.2
18
3.5
1.0
19
2.5
1.4
Sporządzić na podstawie tabeli wykres, a następnie wyznaczyć krzywą regresji przy pomocy metody najmniejszych kwadratów i paraboli drugiego stopnia.
Literatura
[1]
J.Stankiewicz, K.Wilczek, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej,
Rzeszów, 2000.
[2]
W.Krysicki, J.Bartosz, W.Dyczka, K.Krolikowska, M.Wasilewski, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statysyka Matematyczna w Zadaniach, Cześć I, Rachunek prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999.
[3]
W.Krysicki, J.Bartosz, W.Dyczka, K.Krolikowska, M.Wasilewski, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statysyka Matematyczna w Zadaniach, Cześć II, Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999.
[4]
J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2006.
12
20
3.0
1.2