Logika Matematyczna

Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Logika Matematyczna
Marcelina Borcz
5 marca 2009
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Spis treści
1
Logika Matematyczna
2
Spójniki logiczne
¬
∧
∨
⇒
⇔
3
Tautologie
4
Dowodzenie
5
Kwantyfikatory
6
Zagadki
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw,
według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w
szczególności wnioskowania.
Logika matematyczna, to dział matematyki. Koncentruje się on na
analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z
wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i
narzędzi matematyki.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
α, β, p, q, r ...
Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można
przypisać jedną z dwóch wartości:
- prawdę - oznaczaną symbolem 1;
- fałsz - oznaczany symbolem 0.
Czy zdaniami są:
Polska leży w Europie.
Dzisiaj jest piątek.
Niedługo rozpoczną się ferie.
Ferie w woj. kujawsko-pomorskim rozpoczną się 1 marca.
Czy dzisiaj jest piątek?
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
¬
∧
∨
⇒
⇔
Zaprzeczenie
α ¬α
0 1
1 0
Przykłady:
α: Dzisiaj jest piatek.
¬α: Dzisiaj nie jest piatek.
β: ”Potop” nie został napisany przez Adama Mickiewicza.
¬β: ”Potop” został napisany przez Adama Mickiewicza.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
¬
∧
∨
⇒
⇔
Koniunkcja
α
0
0
1
1
β α∧β
0
0
1
0
0
0
1
1
Przykłady:
α ∧ β: Toruń leży w Polsce i Toruń leży nad Wisłą.
α ∧ β: Toruń leży w Polsce i nad Wisłą.
α ∧ β: Do działów matematyki należą logika i botanika.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
¬
∧
∨
⇒
⇔
Alternatywa
α
0
0
1
1
β α∨β
0
0
1
1
0
1
1
1
Przykłady:
α ∨ β: Toruń jest miastem w Polsce lub we Francji.
α ∨ β: Autorem „Potopu” jest Adam Mickiewicz lub Juliusz
Słowacki.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
¬
∧
∨
⇒
⇔
Implikacja
α
0
0
1
1
β α⇒β
0
1
1
1
0
0
1
1
Przykłady:
α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek.
α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie sobota.
α ⇒ β: Jeżeli dzisiaj jest środa, to jestem brytyjską królową.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
¬
∧
∨
⇒
⇔
Równoważność
α
0
0
1
1
β α⇔q
0
1
1
0
1
0
1
1
Przykłady:
α ⇔ β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj
była środa.
α ⇔ β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj
była Wielkanoc.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu
przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa).
Przykładowo: α ∨ ¬α
Asia ma rodzeństwo lub Asia nie ma rodzeństwa.
α: Asia ma rodzeństwo
¬α: Asia nie ma rodzeństwa.
α ¬α α ∨ (¬α)
0 1
1
1 0
1
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia:
¬(α ∧ ¬α)
¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β)
α ⇒ (¬α ∨ β)
¬(α ⇒ β) ⇔ (α ∧ ¬β)
Czy prawdziwe jest zdanie:
Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest
liczbą złożoną, to a = 4.
Jeżeli a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a
nie dzieli się przez 3 wynika, że a nie dzieli sie przez 5.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Logika pozwala na uzasadnianie twierdzeń korzystając z reguł
dowodzenia.
Jeżeli A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B jest tautologią, to
regułą dowodzenia.
A1 ,A2 ,...,An
B
jest
Jeżeli A1 ,A2B,...,An jest regułą dowodzenia, to A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B
jest tautologią.
A1 , A2 , ..., An - przesłanki
B - wniosek
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z
nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią
biegiem. Jak rozumował pies?
Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce.
Na pierwszej ścieżce nie było zwierzyny.
Zatem musi być na drugiej ścieżce!
α ∨ β, ¬α
β
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Czy prawidłową regułą dowodzenia jest:
α ∨ β, ¬α
?
β
Jeżeli x = 3 lub x = 5 i x 6= 3, to x = 5.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Czy prawidłowe jest wnioskowanie: „Jest czlowiek - jest problem.
Nie ma człowieka - nie ma problemu”?
α⇒β
¬α ⇒ ¬β
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
W matematyce dowodzić można „wprost”: Założenia ⇒ teza lub
też korzystając z dowodów nie wprost (przez sprzeczność). Jak
wygląda taki dowód? Jakie reguły dowodzenia wykorzystuje?
Przykład:
Suma dwóch całkowitych liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Załóżmy, że tak nie jest, czyli, że suma dwóch całkowitych liczb
parzystych nie musi być całkowitą liczbą parzystą. Niech zatem x i
y będą liczbami parzystymi, a ich suma z niech będzie nieparzysta.
Wówczas:
x +y =z
stąd: 2 ∗ x1 + 2 ∗ y1 = 2 ∗ z1 + 1
i dalej: 2 ∗ (x1 + y1 ) = 2 ∗ z1 + 1
co daje sprzeczność!
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
W dowodach nie wprost wykorzystuje się np. regułę dowodzenia:
¬α ⇒ (β ∧ ¬β)
α
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Kwantyfikator ogólny (dla każdego...): ∀
Kwantyfikator szczegółowy (istnieje...): ∃
Zdanie: x jest liczbą parzystą można zapisać:
∃a x = 2 ∗ a
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Zapisz zdania:
x jest liczbą nieparzystą.
x jest liczbą pierwszą.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Co jest złego w rozumowaniu:
Pytanie 1: Czy zdanie Każdy człowiek ma niebieskie oczy jest
prawdziwe?
Odpowiedz: Nie, jest fałszywe.
Pytanie 2: Czy zdanie Żaden człowiek nie ma niebieskich oczu jest
prawdziwe?
Odpowiedz: Nie, jest fałszywe.
Pytanie 3: Proszę podac zaprzeczenie zdania Każdy człowiek ma
niebieskie oczy.
Odpowiedz: Żaden czlowiek nie ma niebieskich oczu.
Pytanie 4: Czyli, zaprzeczenie zdania fałszywego jest fałszywe?
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Przenieśmy się na wyspę, której mieszkańcami są jedynie Rycerze i
Łotrzy. Rycerze zawsze mówią prawdę. Łotrzy zawsze kłamią.
Przeprowadzany jest akurat spis osobowy. Rachmistrz chodzi po
domach i pyta kto jest kim. Zapukał do pewnych drzwi i spytał
mężczyznę, który mu otworzył, kim jest oraz kim jest jego żona.
Oboje jesteśmy łotrami.
Kim jest mężczyzna a kim jego żona?
Mąż jest Łotrem, a żona Rycerzem.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Puka dalej...
Conajmniej jedno z nas jest łotrem.
Kim jest mężczyzna a kim jego żona?
Mąż jest Rycerzem a żona Łotrem.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Rachmistrz nadal pracuje...
Jeśli ja jestem Rycerzem, to moja żona także.
Kim jest mężczyzna a kim jego żona?
Mąż i żona są Rycerzami.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Na tej samej wyspie...
Spotykamy trzech mężczyzn: Artura, Bernarda i Cezarego. Chcemy
dowiedzieć się, czy są to Łotrzy czy Rycerze. Pytamy Artura: ”Czy
Bernard i Cezary są Rycerzami?”. Artur odpowiada, że tak. Na
następne pytanie: ”Czy Bernard jest Rycerzem?” Artur
odpowiedział, że nie. Czy Cezary jest Łotrzem, czy Rycerzem?
Cezary jest Łotrem.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Nadal jesteśmy na wyspie Łotrów i Rycerzy.
Przypadkowo spotkana osoba, twierdzi, że jest żonatym Łotrem.
Czy mówi prawde?
Jest nieżonatym Łotrem.
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Na tej samej wyspie...
Szukając drogi do władcy wyspy, stajemy na rozwidleniu dróg. Nie
wiemy, którą ścieżką iść. Decydujemy się zatem spytać o drogę
przypadkowo spotkaną osobę. Nie wiemy, czy jest to Rycerz, czy
Łotr. Jakie pytanie powinnismy zadać?
Czy jesteś takim mieszkańcem Wyspy, który powie mi, że władcy
powinienem iść w lewo?
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
W kasynie:
Krupier ma dwa banknoty 10 zł i 100 zł. Jeżeli gracz powie zdanie
prawdziwe, daje mu jeden z tych banknotów (nie wiadomo który).
Jeżeli gracz powie zdanie fałszywe, nie daje mu nic. jakie zdanie
powinien powiedzieć gracz, aby dostac 100 zł?
Nie dasz mi 10 zł
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Przenieśmy się na pewną planetę. Zamieszkujący ją kosmici dzielą
się na ziolonych i czerwonych. Czerwoni mieszkańcy północy
zawsze kłamią, zieloni mówią prawdę. Na południu jest na odwrót.
Pewnej nocy spotykamy kosmitę. Niestety nie widzimy jakiego jest
koloru. Nie wiemy też skąd pochodzi. Jakie pytanie powinniśmy
zadać aby poznać jego kolor?
Czy jesteś mieszkańcem północy?
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna
Logika Matematyczna
Spójniki logiczne
Tautologie
Dowodzenie
Kwantyfikatory
Zagadki
Marek, W., Onyszkiewicz, J. „Elementy logiki i teorii
mnogości w zadaniach”
Rasiowa, H. „Wstęp do matematyki współczesnej”
Smullyan, R „ Na zawsze nierozsztrzygalne”
Smullyan, R „ Szatan, Cantor i nieskończoność”
Pogonowski, J. - materiały z wykładów
Marcelina Borcz
Logika Matematyczna