andrzej banachowicz - Akademia Morska w Gdyni

PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO
AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI
nr 19
2006
SAMBOR GUZE
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Matematyki
NIEKTÓRE
POKRYTYCH
WŁAŚCIWOŚCI
GRAFÓW
DOBRZE
W artykule zostały podane podstawowe definicje z teorii grafów. Zdefiniowano zbiór niezależny,
liczbę niezależnego dominowania oraz liczbę niezależności. Wprowadzono także pojęcie grafu
dobrze pokrytego oraz opisano jego podstawowe właściwości. W dalszej części przedstawiono
właściwości grafów dobrze pokrytych o obwodzie co najmniej 5 i grafów dobrze pokrytych, które nie
zawierają cykli długości 4 i 5 jako podgrafów. Omawiane pojęcia i właściwości zilustrowane zostały
przykładami.
WPROWADZENIE
Grafem G nazywamy uporządkowaną parę zbiorów G = (V, E), gdzie V
lub V (G) jest zbiorem wierzchołków, natomiast E lub E (G) zbiorem
nieuporządkowanych par wierzchołków zwanych krawędziami. Moc zbioru
wierzchołków V (G) oznaczamy przez n = V(G) i nazywamy rzędem grafu G.
W podobny sposób moc zbioru krawędzi E(G) oznaczamy przez m = E (G)
i nazywamy rozmiarem grafu G.
Dowolne dwa wierzchołki v, u ∈ V nazywamy sąsiednimi (lub sąsiadami),
jeżeli {u, v}∈E, oraz niesąsiednimi, gdy {u, v}∉E. Dwie krawędzie e, f ∈ E (G)
nazywamy sąsiednimi, gdy e ∩ f ≠ ∅, natomiast gdy e ∩ f = ∅, to krawędzie te
są niesąsiednimi. Gdy wierzchołek v ∈ V (G) oraz krawędź e ∈ E (G), to
mówimy, że e jest incydentna do v, gdy e łączy v z jakimś dowolnym innym
wierzchołkiem, inaczej mówiąc, gdy v jest jednym z końców krawędzi e.
Dla danego dowolnego wierzchołka v ∈ V (G) zbiór N (v) = N G (v) określa
zbiór sąsiadów wierzchołka v, czyli tak zwane sąsiedztwo otwarte. Idąc dalej,
N [v] = N G [v] = N (v) ∪ {v} określa sąsiadów wierzchołka v łącznie z tym
wierzchołkiem i jest to sąsiedztwo domknięte. Uogólniając, dla X ⊆ V,
definiujemy sąsiadów podzbioru wierzchołków, a mianowicie N (X) = N G (X) =
=  x∈ X N (x) oraz N [X] = N G [X] = N (X) ∪ X.
Wielkość d (v) = d (v, G) = N (v) nazywamy stopniem wierzchołka.
Maksymalny stopień wierzchołka w grafie oznaczamy przez ∆(G), a minimalny
36
przez δ (G). Jeśli d (v, G) = 0, to v ∈ V (G) nazywamy wierzchołkiem
izolowanym, a gdy d (v, G) = 1, to nazywamy go liściem. Sąsiadujący z liściem
wierzchołek nazywamy suportem, a krawędź incydentną krawędzią wiszącą.
Uporządkowany ciąg wierzchołków u 1 , u 2 , ..., u k , taki że każdy
wierzchołek występuje w nim co najwyżej raz oraz dla każdego i zachodzi
{u i , u i+1 } ∈ E (G), nazywamy drogą łączącą dwa wierzchołki u 1 i u k w grafie G.
A jeżeli każda para wierzchołków w grafie G (rzędu co najmniej 2) jest
połączona jakąś drogą, to o tym grafie mówimy, że jest spójny. Odległością
między wierzchołkami u i v w grafie spójnym G, oznaczaną przez d (u, v),
nazywamy długość najkrótszej drogi łączącej wierzchołki u i v w tym grafie.
Graf G jest pełny, gdy każdy jego wierzchołek jest połączony z pozostałymi. Oznaczamy go symbolem K n , gdzie n jest liczbą wierzchołków w grafie.
Graf jest regularny stopnia r lub inaczej r-regularny, gdy wszystkie wierzchołki
mają stopień równy r. Cyklem C n nazywamy n-wierzchołkowy graf spójny,
2-regularny. Ścieżka P n jest cyklem C n bez jednej krawędzi. Kołem W n
nazywamy graf, który powstał z zespolenia cyklu C n–1 oraz pojedynczego
wierzchołka.
Podane definicje wprowadzają do tematyki teorii grafów i są niezbędne
do zrozumienia dalszej części pracy.
1. PODSTAWOWE DEFINICJE I LEMATY
Dwa wierzchołki u, v nazywamy niezależnymi, gdy nie są sąsiadujące,
tzn. gdy {u, v} ∉ E.
Definicja 1
Zbiorem wierzchołków niezależnych nazywamy podzbiór V′ ⊆ V, taki
że jeżeli u, v ∈ V′, to {u, v}∉ E. Ponadto zbiór ten nazywamy maksymalnym,
gdy nie można go powiększyć.
Przykład 1
Na rysunku 1 kolorem czarnym zaznaczono przykładowe maksymalne
zbiory niezależne.
(A)
(B)
Rys. 1. Maksymalne zbiory niezależne w grafie
Graf, który ma co najmniej dwa zbiory niezależne, można podzielić na co
37
najmniej dwie części, zwane składowymi. W zależności od tego, ile graf ma
takich składowych (k), nazywamy go k-dzielnym (jeżeli ma 2, to mówimy,
że jest on 2-dzielny). Ogólniej ujmując:
Definicja 2
Mówimy, że graf G jest k-dzielny (k ≥ 1), gdy jego zbiór wierzchołków V
można podzielić na k podzbiorów: G 1 , G 2 , ..., G k , k <V w taki sposób, że
każda krawędź grafu G łączy dwa wierzchołki z różnych podzbiorów.
Definicja 3
Graf k-dzielny nazywamy pełnym, jeżeli dowolny wierzchołek v jest
sąsiedni ze wszystkimi wierzchołkami nienależącymi do tego samego zbioru
niezależnego, do którego należy v. Jeżeli G i  = n i , dla i = 1, 2, ..., k, to pełny
graf k-dzielny oznaczamy symbolem K n1, n2, ..., n3 .
Zdefiniowaliśmy maksymalny zbiór wierzchołków niezależnych, więc
możemy teraz powiedzieć, czym jest moc największego i najmniejszego
takiego zbioru. Te definicje stanowią bowiem klucz do omawianej rodziny
grafów.
Definicja 4
Moc najmniejszego, maksymalnego niezależnego zbioru wierzchołków
w grafie G nazywamy liczbą niezależnego dominowania grafu G i oznaczamy
ją przez i (G).
Definicja 5
Moc największego, maksymalnego niezależnego zbioru wierzchołków w grafie
G nazywamy liczbą niezależności grafu G i oznaczamy ją przez α (G).
W celu zobrazowania dwóch ostatnich definicji posłużmy się przykładem.
Przykład 2
Kolorami czarnym i szarym zaznaczono wierzchołki w odpowiednim
maksymalnym zbiorze niezależnym (rys. 2).
największy maksymalny zbiór niezależny
najmniejszy maksymalny zbiór niezależny
38
Rys. 2. Najmniejszy i największy maksymalny zbiór niezależny
Mamy tutaj dla grafu (A): i (G) = 1, α (G) = 2, dla grafu (B): i (G) = 2,
α (G) = 3, natomiast dla grafu (C): i (G) = 2, α (G) = 4.
Definicja 6
Niech G będzie dowolnym grafem oraz D ⊂ V zbiorem wierzchołków tego
grafu. Mówimy, że D jest dominujący, gdy każdy wierzchołek z V (G) – D
ma co najmniej jednego sąsiada w D.
Zbiór dominujący D ma tę właściwość, że każdy z wierzchołków należący
do V albo jest w zbiorze D, albo ma tam sąsiada.
Definicja 7
Niech G będzie dowolnym grafem oraz D ⊂ V zbiorem. Mówimy, że D jest
totalnie dominujący, gdy każdy wierzchołek z V (G) – D ma co najmniej
jednego sąsiada w D oraz każdy wierzchołek z D ma sąsiada w D.
Powyższa definicja oznacza, że w wypadku gdy dodatkowo każdy
wierzchołek ze zbioru D ma sąsiada także ze zbioru D, wówczas mamy do
czynienia ze zbiorem totalnie dominującym. Różnica pomiędzy zbiorem
dominującym i zbiorem totalnie dominującym zilustrowana jest na rysunku 3.
Przykład 3
Kolorem czarnym oznaczono zbiór dominujący, natomiast szarym zbiór
totalnie dominujący (rys. 3).
(A)
(B)
(C)
Rys. 3. Zbiory dominujące: (A) i (B), totalnie dominujący zbiór (C)
Moc najmniejszego zbioru dominującego nazywamy liczbą dominowania
i oznaczamy symbolem γ (G). Natomiast γ t (G) określa liczbę elementów
39
w najmniejszym zbiorze totalnie dominującym.
W dalszej części będziemy potrzebować następującej definicji cyklu
bazowego:
Definicja 8
Cykl długości 5 w grafie G nazwiemy bazowym, jeśli cykl ten nie zawiera
dwóch sąsiednich wierzchołków stopnia 3 lub większego w naszym G.
Oznaczenie 1
Przez x oznaczamy część całkowitą liczby rzeczywistej x, czyli
największą liczbę całkowitą nie większą od x, tzn. x ≤ x.
Oznaczenie 2
Przez x oznaczamy najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą od x, tzn.
x ≥ x.
Wyznaczymy teraz liczby niezależnego dominowania oraz liczby
niezależności najpierw dla ścieżek, następnie dla cykli.
Lemat 1
n
n
Jeśli P n jest ścieżką długości n, to i ( Pn ) =   i α ( Pn ) =   .
3
2
Dowód [7]
n
Najpierw pokażemy, że i ( Pn ) =   . Załóżmy, że Pn = (v1 , v2 ,, vn ) .
3
Począwszy od wierzchołka v 2 wybieramy co trzeci wierzchołek z ciągu
i dostajemy zbiór wierzchołków niezależnych {v2 , v5 , v8 ,, v  n − 2  } . Łatwo
3
+2
 3 
zauważyć, że zbiór ten jest najmniejszym maksymalnym zbiorem wierzchoł-
n
ków niezależnych. Stąd i ( Pn ) =   .
3
n
Teraz dowiedziemy, że α ( Pn ) =   . Załóżmy, że Pn = (v1 , v2 ,, vn ) .
2
Począwszy od wierzchołka v 1 wybieramy co drugi wierzchołek z ciągu i dostajemy zbiór niezależny {v1 , v3 , v5 ,, v  n −1  } . Rozpatrzmy dwa przypadki:
2
+1
 2 
n
1) Jeśli n jest liczbą parzystą, to łatwo zaobserwować α ( Pn ) =   .
2
2) Gdy n jest liczbą nieparzystą, to
40
α ( Pn ) = α ( Pn −1 ) + 1 =  n − 1 + 1 =  n  − 1 + 1 =  n  .
2
2
2
Lemat 2
n
n
Jeśli C n jest cyklem długości n, to i (Cn ) =   oraz α (Cn ) =   .
2
3
Dowód [7]
n
Najpierw pokażemy, że i (Cn ) =   . Dzielimy cykl C n na dwie ścieżki P 3
3
i P n–3 (patrz rys. 4).
n
Zgodnie z lematem 1 i ( Pn ) =  . Stąd i (C n ) = i (P n–3 ) + i (P 3 ), czyli
3
i (Cn ) =  n − 3  + 1 =  n  −  3  + 1 =  n  .
3
3
3
3
V1
Vn
V2
V3
V4
V8
V7
V5
V6
Rys. 4. Cykl długości n
n
Zgodnie z lematem 1 również α ( Pn ) =   . Rozważmy dwa przypadki.
2
1) Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to z właściwości funkcji  .  mamy
n
2
n
2
n
2
α (C n ) = α ( Pn ) − 1 =   − 1 =   − 1 + 1 =   .
n
n
2) Jeśli n jest liczbą parzystą, to   = n =   , czyli
2
2
41
n
2
n
2
α (C n ) = α ( Pn ) =   =   .
2. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI GRAFÓW DOBRZE POKRYTYCH
Plummer zdefiniował rodzinę grafów dobrze pokrytych następująco [10]:
Definicja 9
Graf G nazywamy dobrze pokrytym, gdy i (G) = α (G).
Powyższa definicja oznacza, że w grafie dobrze pokrytym każdy
maksymalny zbiór niezależny wierzchołków ma taką samą moc. W celu
lepszego zrozumienia tej definicji na rysunku 5 pokazano kilka przykładów.
Przykład 4
Grafy (A), (B), (C) i (D) przedstawione na rysunku 5 są grafami dobrze
pokrytymi. Kolory czarny i szary oznaczają odpowiednie maksymalne zbiory
niezależne wierzchołków.
Rys. 5. Przykłady grafów dobrze pokrytych
W grafie (A) mamy i (G) = α (G) = 1, natomiast w grafach (B), (C), i (D)
mamy i (G) = α (G) = 2.
Poniżej przedstawiono właściwości grafów dobrze pokrytych dotyczące
zbiorów wierzchołków niezależnych. Zawarto je w trzech kolejnych lematach
[4], [10], [14].
Lemat 3
Jeśli G jest grafem dobrze pokrytym, natomiast I jest zbiorem niezależnym
w G, to G′ = G – N G [I] jest także grafem dobrze pokrytym i ponadto
α (G′) = α (G) – I.
Lemat 4
Jeśli I oraz J są wierzchołkowymi zbiorami niezależnymi w grafie G
takimi, że J<I oraz N G [I] ⊆ N G [J], to w grafie G spełnione jest
i (G) < α (G), co oznacza, że G nie jest dobrze pokryty.
Lemat 5
Jeśli v jest wierzchołkiem grafu dobrze pokrytego, to v jest połączony
42
co najwyżej z jednym liściem.
Dużo miejsca w opublikowanych pracach zajmują właściwości grafów
dobrze pokrytych związane z wierzchołkiem rozszerzalnym. Wierzchołek ten
pozwala budować większe grafy dobrze pokryte z grafów mniejszych.
Definicja 10
Niech G będzie grafem dobrze pokrytym. Wierzchołek x w grafie G
nazywamy rozszerzalnym, jeśli G – x jest grafem dobrze pokrytym oraz
α (G) = α (G – x). Natomiast, gdy N [x] jest pełnym podgrafem, to x nazywamy
wierzchołkiem symplicjalnym.
Przykład 5
W grafie z rysunku 6 kolorami oznaczone są poszczególne rodzaje
wierzchołków: kolor czarny oznacza wierzchołki rozszerzalne, natomiast kolor
szary wierzchołki symplicjalne. Gdy spojrzymy na wierzchołki d oraz e,
to zauważymy, że są one i symplicjalne, i rozszerzalne.
Rys. 6. Przykłady wierzchołków symplicjalnych i rozszerzalnych
Użyteczną właściwością jest to, że jeśli x ∈ V (G) jest rozszerzalny,
to każdy zbiór maksymalny niezależny I grafu V (G) – {x} zawiera wierzchołek
z sąsiedztwa N (x). Stwierdza to poniższy lemat [4].
Lemat 6
1) Wierzchołek x ∈ V (G) jest rozszerzalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
zbioru niezależnego I w grafie G – N [x] zachodzi N (x) – N (I)≥ 1.
2) Wierzchołek x ∈ V (G) jest nierozszerzalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taki zbiór niezależny S ⊆ V (G), że x jest wierzchołkiem izolowanym
w grafie G – N [I].
Z punktu 1 powyższego lematu wypływa następujący wniosek:
Wniosek 1
Każdy sąsiad wierzchołka prostego jest rozszerzalny.
Następny lemat mówi o zależności pomiędzy zbiorem niezależnym
w grafie dobrze pokrytym, który został pomniejszony o sąsiedztwo wierzchołka
rozszerzalnego, a rozszerzalnością tego wierzchołka w naszym pomniejszonym
grafie [5].
43
Lemat 7
Niech G będzie grafem dobrze pokrytym, a x wierzchołkiem rozszerzalnym w tym grafie oraz S będzie zbiorem niezależnym w grafie G – N [x].
Wówczas x jest rozszerzalny w grafie G – N [S].
Należy zauważyć, że wierzchołek nierozszerzalny może stać się rozszerzalnym, kiedy usuniemy jego sąsiedztwa zbiorów niezależnych.
Przykład 6
Graf C 7 przedstawiony na rysunku 7 jest dobrze pokryty i każdy
wierzchołek jest nierozszerzalny. Po usunięciu jednego wierzchołka wraz
z jego sąsiedztwem otrzymamy dwa wierzchołki rozszerzalne.
Rys. 7. Graf C 7
Opierając się na definicji 7, można wyznaczyć zależności pomiędzy
wierzchołkami rozszerzalnymi a liśćmi oraz pomiędzy wierzchołkami w cyklu
bazowym i ich rozszerzalnością [5].
Lemat 8
Niech G będzie grafem dobrze pokrytym. Wówczas:
1) każdy wierzchołek sąsiadujący z liściem jest rozszerzalny,
2) dowolny wierzchołek stopnia ≥ 3 w cyklu bazowym długości 5 jest
rozszerzalny.
4. GRAFY DOBRZE POKRYTE O OBWODZIE DŁUGOŚCI CO NAJMNIEJ 5
Obwodem nazywamy długość najkrótszego cyklu w grafie. Kluczem
do opisu grafów dobrze pokrytych o długości obwodu co najmniej 5 jest
przedstawiony w definicji 9 wierzchołek rozszerzalny.
Na podstawie wyników zawartych w [5] poniżej przedstawiono zależności
między dobrym pokryciem grafu a obwodem określonej długości. Zdefiniowano pewną rodzinę grafów, których zbiór wierzchołków można podzielić na
dwa podzbiory P i C. W ten sposób otrzymuje się rodzinę PC (rys. 8).
Definicja 11
Mówimy, że graf G należy do rodziny PC, jeśli jego zbiór wierzchołków
44
V (G) można podzielić na dwa podzbiory P i C, takie że P zawiera wierzchołki
incydentne z krawędziami wiszącymi i te krawędzie wiszące tworzą doskonałe
skojarzenie w podgrafie indukowanym przez P, a C zawiera wierzchołki
należące do wszystkich cykli bazowych grafu G i cykle te tworzą podział
zbioru C.
Rys. 8. Przykład grafu z rodziny PC
Poniżej znajdują się trzy twierdzenia [5] opisujące właściwości grafów
z rodziny PC.
Twierdzenie 1
Jeśli G jest grafem należącym do rodziny PC, to G jest dobrze pokryty.
Twierdzenie 2
Jeśli G jest grafem dobrze pokrytym oraz x i y są niesąsiednimi
rozszerzalnymi wierzchołkami w grafie G, to G′ = (V (G), E (G) ∪ { (x, y) } )
jest grafem dobrze pokrytym i ponadto α (G) = α (G′).
Twierdzenie 3
Jeśli G jest grafem dobrze pokrytym oraz U = {u 1 , u 2 , u 3 , ..., u k } jest
zbiorem niezależnym w G, gdzie każdy u i jest wierzchołkiem rozszerzalnym
w G, to G – U jest dobrze pokryty i ponadto α (G) = α (G – U).
Zajmijmy się teraz grafami o obwodzie większym bądź równym 5 oraz jego
wierzchołkami sąsiednimi, których stopień wynosi co najmniej 3, i przywołajmy 5 następujących lematów [5].
Lemat 9
Niech G będzie grafem dobrze pokrytym o obwodzie co najmniej 5. Niech
u, v będą wierzchołkami sąsiednimi w G i d (u, G) ≥ 3. Jeśli v jest wierzchołkiem rozszerzalnym w grafie G, to także wierzchołek u jest rozszerzalny
w grafie G.
Lemat 10
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym z obwodem większym
bądź równym 5 i niech v będzie wierzchołkiem rozszerzalnym w grafie G.
Wówczas dokładnie jedno z poniższych zdań jest prawdziwe:
1) suport v jest sąsiadem dokładnie jednego liścia,
45
2) v leży na cyklu C 5 , a jego sąsiedzi w cyklu C 5 są stopnia 2 w grafie G.
Lemat 11
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym o obwodzie większym
bądź równym 5, a v niech będzie wierzchołkiem rozszerzalnym. Jeśli v należy
do bazowego cyklu długości 5, to każdy sąsiad tego wierzchołka leżący poza
tym cyklem jest wierzchołkiem rozszerzalnym. Jeśli v jest suportem, to każdy
jego sąsiad, który nie jest liściem, jest rozszerzalny.
Lemat 12
Niech G będzie spójnym, dobrze pokrytym grafem o obwodzie co najmniej
5. Wtedy każdy rozszerzalny wierzchołek, niebędący suportem w grafie G, leży
w dokładnie jednym cyklu bazowym.
Lemat 13
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym o obwodzie większym
bądź równym 5. Żadne dwa bazowe cykle długości 5 się nie przecinają.
W ten sposób doszliśmy do drugiego twierdzenia ważnego dla charakteryzacji grafów dobrze pokrytych o obwodzie długości co najmniej 5, którego
dowód oparty jest na lematach 9–13 [5].
Twierdzenie 4
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym o obwodzie co najmniej
5. Graf G należy do rodziny PC wtedy i tylko wtedy, gdy G zawiera
wierzchołek rozszerzalny.
Tym twierdzeniem zakończyliśmy omówienie grafów spójnych dobrze
pokrytych o obwodzie większym bądź równym 5 , które należą do rodziny PC.
Okazuje się, że istnieją też grafy o omawianej właściwości, ale niebędące
w rodzinie PC – jest ich 5. Pokazane są na rysunku 9.
46
Rys. 9. Pięć grafów dobrze pokrytych o obwodzie ≥ 5, które nie należą do PC
Finbow, Hartnell i Nowakowski udowodnili, że są to jedyne spójne grafy
o tej właściwości. Mówi o tym poniższe twierdzenie [5].
Twierdzenie 5
Niech G będzie spójnym, dobrze pokrytym grafem o obwodzie co najmniej
5. Jeśli G nie zawiera wierzchołka rozszerzalnego, to G jest izomorficzny
z jednym z grafów: K 1 , C 7 , P 10 , P 13 , Q 13 , P 14 z rysunku 9.
Podsumujmy wszystkie wiadomości tej części pracy poniższym wnioskiem.
Wniosek 2
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym o obwodzie co najmniej 5. Wtedy G należy do rodziny PC lub jest izomorficzny z jednym
z grafów K 1 , C 7 , P 10 , P 13 , Q 13 , P 14 z rysunku 9.
4. GRAFY DOBRZE POKRYTE NIEZAWIERAJĄCE CYKLI C4 ANI CYKLI C5
W rozdziale tym przybliżono właściwości rodziny spójnych grafów dobrze
pokrytych, które nie zawierają cyklu C 4 ani C 5 jako podgrafu. W tym celu
posłużono się wynikami autorstwa Finbowa, Hartnella i Nowakowskiego
zawartymi w pracy [6]. Ponownie istotną rolę pełnią wierzchołki rozszerzalne
wprowadzone w definicji 10. Konieczne jest przy tym zdefiniowanie rodziny
grafów, których cechą zasadniczą jest to, że istnieje zbiór wierzchołków
{x 1 , x 2 , ..., x k } ⊆ V (G), gdzie x i jest wierzchołkiem symplicjalnym dla każdego i, N [x i ] ≤ 3 oraz {N [x i : i = 1,...,k} jest rozbiciem zbioru V (G).
47
Definicja 12
Mówimy, że graf G należy do rodziny F, gdy istnieje podzbiór
{x 1 , x 2 , ..., x k } ⊆ V (G), w którym każdy wierzchołek x i jest wierzchołkiem
symplicjalnym ⇒ N [x i ] ≤ 3 oraz {N [x i : i = 1,...,k} jest rozbiciem zbioru
V (G).
Łatwo zauważyć, że każdy graf z rodziny F jest dobrze pokryty [6].
Lemat 14
Jeśli G ∈ F, to G jest grafem dobrze pokrytym.
Następny lemat pokazuje pewne właściwości wierzchołków symplicjalnych
w grafach dobrze pokrytych [6].
Lemat 15
Załóżmy, że G jest dobrze pokryty i niech x oraz y będą wierzchołkami
symplicjalnymi w grafie G. Jeśli N [x] ∩ N [y] jest zbiorem niepustym, to
N [x] = N [y].
Definicja 13
Niech G oraz H będą spójnymi grafami. Mówimy, że H jest powiększeniem grafu G, jeśli H – G = N [v] dla pewnego wierzchołka v ∈ V (G).
Wierzchołek v nazywamy wtedy trzonem powiększenia H.
W kolejnym lemacie przywołano pewne właściwości rozszerzenia H grafu
G, gdzie H jest spójnym grafem dobrze pokrytym bez cyklu C 4 [6].
Lemat 16
Niech H będzie spójnym grafem dobrze pokrytym bez cyklu C 4 .
Przypuśćmy dalej, że istnieje niepusty zbiór niezależny S ⊆ H, który indukuje
spójny podgraf G = H – N [S ]. Wówczas istnieje podzbiór niezależny T ⊆ H,
taki że H – N [T ] jest powiększeniem grafu G.
Z lematu 16 wynika następujący wniosek:
Wniosek 3
Niech H będzie spójnym grafem dobrze pokrytym bez cyklu C 4 oraz niech
istnieje niepusty zbiór niezależny S ⊆ H, taki że G = H – N [S ] jest spójny.
Wówczas istnieje ciąg podgrafów G = G 0 ⊆ G 1 ⊆ G 2 ⊆ G 3 ⊆ ... ⊆ G n = H,
który jest powiększeniem grafu G i–1 dla 1 ≤ i ≤ n, G i .
Kolejne twierdzenie podaje charakteryzację grafów dobrze pokrytych bez
cykli C 4 oraz C 5 jako podgrafów [6].
Twierdzenie 6
Niech G będzie spójnym grafem dobrze pokrytym niezawierającym C 4 ani
48
C 5 jako podgrafu. Wówczas:
1) G zawiera rozszerzalny wierzchołek lub G ≅ K 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
G ∈ F,
2) w innym wypadku G jest izomorficzny z C 7 lub T 10 (rys. 10).
Rys. 10. Graf T 10
5. PODSUMOWANIE
Zaprezentowane zostały wybrane właściwości grafów dobrze pokrytych,
ułatwiając nam znalezienie liczby dominowania i zbiorów dominujących
w grafach. Teoria dominowania ma zastosowanie przy analizowaniu sieci
komunikacyjnych. Przykładem takiej sieci jest sieć teleinformatyczna. Na tę
sieć składają się połączenia między poszczególnymi urządzeniami. W sieciach
tych często spotykanym zadaniem jest wybór najmniejszej ilości urządzeń,
które będą dostarczały wszystkie usługi do pozostałych, tak aby każde
urządzenie, które nie może spełnić określonych usług, było bezpośrednio
połączone z takim, które gwarantuje taką usługę. Taką sieć możemy
przedstawić za pomocą grafu, w którym wierzchołkiem jest urządzenie
(komputer bądź inne urządzenie sieciowe), a krawędzią istniejące bezpośrednie
połączenie pomiędzy urządzeniami. Wówczas zagadnienie to sprowadza się do
znalezienia najmniejszego zbioru dominującego, czyli takiego zbioru
wierzchołków grafu, dla którego wierzchołek niebędący w tym zbiorze ma co
najmniej jednego sąsiada w tym zbiorze.
LITERATURA
1. Berge C., Some common properties for regularizable graphs, edge critical and
B-graphs, in ''Theory and Practice of Combinatorics'' (A. Rosa and G. Sabidussi,
49
Eds.), special edition of Ann. Discrete Math. 60, 31-44 (1982).
2. Campbell S.R., Ellingham M.N., Royle G.F., A characterization of well-covered cubic
graphs, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 13,
193-212 (1993).
3. Dean N., Zito J., Well-covered graphs and extendability, Discrete Mathematics 126,
67-80 (1994).
4. Finbow A., Hartnell B., A game related to covering by stars, Ars Combin. A 16,
189-198 (1983).
5. Finbow A., Hartnell B., Nowakowski R.J., A characterization of well-covered graphs
of girth 5 or greater, Journal of Combinatorial Theory, B 57, 44-68 (1993).
6. Finbow A., Hartnell B., Nowakowski R.J., A characterization of well-covered graphs
that contain neither 4- nor 5 – cycles, Journal of Graph Theory, 18, 713-721 (1994).
7. Guze S., Grafy dobrze pokryte, praca magisterska, Wydział Matematyki, Fizyki
i Informatyki, Uniwersytet Gdański, Gdańsk (2004).
8. Levit V., Mandrescu E., Well covered and König-Egervary graphs, Congressus
Numerantium 130, 209-218 (1998).
9. Lewin M., Matching-perfect and cover-perfect graphs, Israel Journal of Mathmetics
18, 345-347 (1974).
10. Plummer M.D., Some covering concepts in graph, J. Combin. Theory 8, 91-98 (1980).
11. Plummer M.D., Well-covered graphs: a survey, Quaestiones Mathematicae 16, 253-287
(1993).
12. Randerath B., Vestergaard P.D., Well-covered graphs and factors, Discrete Math.
(2002).
13. Ravidra G., Well-covered graphs, J. Combin. Inform. System Sci. 2, 20-21 (1977).
14. Staples J.A., On some subclasses of well-covered graph, Ph. D. disseration, Vanderbilt
University, 1975.
15. Staples J.A., On some subclasses of well-covered graphs, Journal of Graph Theory 3,
197-204 (1979).
SELECTED PROPERTIES OF THE WELL-COVERED GRAPHS
(Summary)
The elementary definitions of graph theory were given. An independent vertex set, an independent
domination number and a number of independenies number were defined. The definition of a wellcovered graph and its basic properties were introduced. Further, properties of well-covered graphs
with girth at least 5 and not included cycles of lengths neither 4 nor 5 as their subgraphs were
described. Considered notions and properties were illustrated by examples.
50