Slajd 1

Kolorowanie grafów
Jakub Skalak
Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Kraków, 01.03.2016
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Na początek trochę teorii…
Graf prosty G składa się z niepustego zbioru skończonego
V(G), którego elementy nazywamy wierzchołkami (lub
węzłami), i skończonego zbioru E(G) różnych par
nieuporządkowanych różnych elementów zbioru V(G),
które nazywamy krawędziami. Graf prosty jest nazywany
również grafem nieskierowanym.
Graf nazywamy spójnym, jeśli nie można go przedstawić w
postaci sumy dwóch grafów – w przeciwnym razie
nazywamy go grafem niespójnym.
Graf k-spójny to graf spójny, w którym usunięcie mniej niż k
dowolnych wierzchołków nie spowoduje jego rozspojenia.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Mówimy, że dwa wierzchołki v i w grafu G są sąsiednie, jeżeli
istnieje krawędź vw, która je łączy.
Mówimy też wtedy, że wierzchołki v i w są incydentne z tą
krawędzią.
Podobnie, dwie krawędzie e i f są sąsiednie, jeżeli mają
wspólny wierzchołek.
Grafem planarnym nazywamy graf, który można narysować
na płaszczyźnie bez przecięć – to znaczy tak, by żadne
krawędzie nie przecinały się na rysunku poza
wierzchołkiem, z którym są incydentne. Każdy taki
rysunek nazywamy rysunkiem płaskim lub grafem
płaskim.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Jeśli G jest grafem bez pętli, to mówimy, że G jest grafem kkolorowalnym, jeżeli każdemu wierzchołkowi możemy
przypisać jeden z k kolorów w taki sposób, by sąsiednie
wierzchołki miały różne kolory.
Jeśli graf G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k-1)kolorowalny, to mówimy, że jest on k-chromatyczny, lub
że jego liczba chromatyczna jest równa k; piszemy wtedy
X(G) = k.
UWAGA: Problem wyznaczania liczby chromatycznej jest
na ogół NP-trudny.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Mapa to graf planarny 3-spójny – nie zawiera rozcięć
mających 1 lub 2 krawędzie, nie ma wierzchołków stopnia
1 lub 2.
Mapa jest k-kolorowalna(f), jeśli jej ściany można
pokolorować k kolorami w taki sposób, by żadne dwie
ściany ograniczone wspólną krawędzią nie były
pokolorowane tym samym kolorem.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Mówimy, że graf G jest k-kolorowalny(e), jeśli jego
krawędzie można pokolorować k kolorami w taki sposób,
by żadne dwie sąsiednie krawędzie nie miały tego samego
koloru. Jeżeli graf G jest k-kolorowalny(e), ale nie jest (k1)-kolorowalny(e), to mówimy, że jego indeks
chromatyczny wynosi k i piszemy X’(G) = k.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Twierdzenie 1:
Jeśli G jest grafem prostym, w którym największym
stopniem wierzchołka jest ∆, to graf G jest (∆+1)kolorowalny.
Definicja:
Graf prosty, w którym każda para różnych wierzchołków
jest połączona krawędzią, nazywamy grafem pełnym.
Twierdzenie 2(Brooks, 1941):
Jeśli G jest spójnym grafem prostym, nie będącym grafem
pełnym, i jeśli największy stopień wierzchołka grafu G
wynosi ∆(gdzie ∆ ≥3), to graf G jest ∆-kolorowalny.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Teorii ciąg dalszy …
Twierdzenie 3:
Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny.
Twierdzenie 4(Heawood, 1890):
Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny.
Twierdzenie 5(Appel i Haken, 1976):
Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny.
Twierdzenie to jest zwane również zagadnieniem czterech
barw.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Algorytmy kolorowania grafów
Algorytm LF(largest first):
1. Uporządkuj wierzchołki grafu G nierosnąco według
stopni v1 … vn.
2. Koloruj wierzchołki zachłannie zgodnie z przyjętą
permutacją(kolejnością).
Własności:
1. Algorytm LF jest algorytmem statycznym, gdyż raz
ustalona kolejność wierzchołków nie zmienia się w
trakcie jego działania.
2. Ścieżka P6 jest najmniejszym dość trudnym grafem:
Kolejność wierzchołków: v2, v3, v4, v5, v1, v6
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Algorytmy kolorowania grafów
3. Najmniejszym trudnym grafem do kolorowania jest
tzw. „koperta”, która jest grafem 3-barwym, a algorytm
LF zużywa czterech kolorów.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Algorytmy kolorowania grafów
Algorytm SL(smallest last):
1. Znajdź wierzchołek o minimalnym stopniu i usuń go z
grafu.
2. Powtarzaj krok pierwszy tak długo, aż graf będzie
pusty (zapamiętaj kolejność usuwanych wierzchołków).
3. Koloruj wierzchołki zachłannie, zgodnie z ustaloną
wcześniej kolejnością (zaczynając od wierzchołków
usuniętych później).
Własności:
1. Algorytm statyczny
2. Przypadki pozytywne: drzewa, cykle, koła
3. Przypadki półpozytywne: grafy planarne
4. Przypadki negatywne: grafy dwudzielne
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Algorytmy kolorowania grafów
5. Najmniejszym dość trudnym grafem jest tzw. „pryzma”
6. Najmniejszym trudnym grafem jest „pryzmatoid”
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Algorytmy kolorowania grafów
Algorytm SLF(saturated largest first):
while istnieją niepokolorowane wierzchołki
do znajdź wierzchołek o maksymalnym stopniu
spośród wierzchołków o maksymalnym stopniu
nasycenia;
pokoloruj znaleziony wierzchołek zachłannie;
end
Uwaga: Stopień nasycenia wierzchołków, to ilość rożnych
kolorów incydentnych z tym wierzchołkiem.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Kolorowanie map
Historycznie zagadnienie czterech barw pojawiło się w
związku z kolorowaniem map. Prawdopodobnie
najbardziej znane sformułowanie twierdzenia o czterech
barwach mówi, że każdą mapę można pokolorować
czterema kolorami.
Definicja:
Grafem spójny G nazywamy grafem eulerowskim, jeśli
istnieje zamknięta ścieżka zawierająca każdą krawędź G.
Taką ścieżkę nazywamy cyklem Eulera.
Twierdzenie 6:
Mapa G jest 2-kolorowalna(f) wtedy i tylko wtedy, gdy
graf G jest grafem eulerowskim.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Kolorowanie krawędzi
Twierdzenie 7(Vizing, 1964)
Jeśli G jest grafem prostym, w którym największy stopień
wierzchołka wynosi ∆, to ∆ ≤ X’(G) ≤ ∆+1.
Twierdzenie to podaje bardzo dobre oszacowanie indeksu
chromatycznego grafu prostego G.
Nie wiadomo, które grafy mają indeks chromatyczny ∆ i
które mają indeks chromatyczny ∆ +1.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Przykłady zastosowania kolorowania
grafów
1. Harmonogram – gdy mamy do wykonania wiele prac,
których nie możemy wykonywać jednocześnie.
2. Dzięki kolorowaniu map, w sieciach GSM wystarczą tylko
4 częstotliwości, by zapobiec interferencji z sąsiednich
stacji nadawczych.
3. Obliczenia równoległe – do wieloprocesorowego serwera
wpływają zadania do wykonania. Niektóre mogą być
wykonane równocześnie, a niektóre nie. Niektóre zadania
mogą być wykonywane tylko na ściśle określonych
procesorach.
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak
Bibliografia
1. Robin J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów, PWN
2002
2. https://pl.wikipedia.org/wiki/Kolorowanie_grafu
3. http://www.mimuw.edu.pl/~sem/konferencja2010/materialy/Grzesik%20-%20Soczewka.pdf
4. https://inf.ug.edu.pl/~hanna/grafy/14_kolorowanie.pdf
www.fis.agh.edu.pl/~4skalak