Wykład 10 Grafy dwudzielne
Transkrypt
Wykład 10 Grafy dwudzielne
Wykład 10 Definicja. Niech u,v∈V(G) i uv∉E(G). Zbiór A⊆V(G) nazywamy zbiorem u-v oddzielającym w G wtedy o tylko wtedy gdy u i v naleŜą do róŜnych składowych grafu G-A. Twierdzenie. (Menger 1927). Jeśli każdy u-v oddzielający zbiór S w grafie G ma co najmniej k wierzchołków to w G istnieje (co najmniej) k wewnętrznie wierzchołkowo rozłącznych u-v dróg. Dość skomplikowany dowód pomijamy. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe charakteryzacja grafów dwuspójnych podana w poprzednim twierdzeniu jest szczególnym przypadkiem tw. Mengera (dla k=2). Stosunkowo nowy dowód twierdzenia Mengera podany przez McCuaig’a w 1984 jest wypasioną wersją dowodu tej charakteryzacji. Wniosek. (Oryginalne sformułowanie tw. Mengera) Maksymalna liczba wewnętrznie rozłącznych u-v dróg w G jest równa minimalnej liczności u-v oddzielającego zbioru w G. Grafy dwudzielne Definicja. Zbiór wierzchołków S grafu G nazywamy pokrywającym wtedy i tylko wtedy gdy kaŜda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w S niezaleŜnym wtedy i tylko wtedy Ŝadne dwa wierzchołki z S nie są połączone krawędzią w G. Definicja. Zbiór krawędzi D grafu G nazywamy pokrywającym wtedy i tylko wtedy gdy kaŜdy wierzchołek grafu G naleŜy do którejś krawędzi z D niezaleŜnym wtedy i tylko wtedy gdy krawędzie z D są parami rozłączne. Definicja. Graf G=(V,E) nazywamy dwudzielnym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podział zbioru V(G) na dwa zbiory niezaleŜne. Zbiory te nazywamy „klasami dwudzielności” Przykłady KaŜde drzewo jest grafem dwudzielnym. KaŜdy cykl prosty długości parzystej jest grafem dwudzielnym, a cykl długości nieparzystej nie jest. Definicja. Skojarzeniem doskonałym w grafie G nazywamy niezaleŜny zbiór krawędzi liczności | V (G ) | . 2 Twierdzenie. (O maksymalnym skojarzeniu w grafie dwudzielnym, Koenig, 1931). G jest grafem dwudzielnym. Wówczas maksymalna liczność niezaleŜnego zbioru krawędzi jest równa minimalnej liczności pokrywającego zbioru wierzchołków. Dowód. Oznaczmy przez k maksymalną liczność niezaleŜnego zbioru krawędzi, a przez m minimalną liczność pokrywającego zbioru wierzchołków. Z oczywistych powodów m≥k. Niech W i U będą klasami dwudzielności G. Dodajmy do G dwa nowe wierzchołki, w – sąsiadujący z wszystkimi wierzchołkami z W i u – sąsiadujący z wszystkimi wierzchołkami zbioru U. Otrzymany graf nazwijmy G*. Jasne jest, Ŝe kaŜdy zbiór wierzchołków pokrywający G jest u-w oddzielającym zbiorem w G* więc, na mocy tw. Mengera, w G* istnieje m wewnętrznie rozłącznych u-w dróg prostych. Wybierając z kaŜdej z nich jedną krawędź rozłączną z {u,v} otrzymujemy niezaleŜny zbiór krawędzi liczności m, stąd k≥m. Niech M będzie macierzą nad Z2. Dwie jedynki macierzy M nazywamy niezaleŜnymi gdy leŜą w róŜnych wierszach i kolumnach, zbiór linii (czyli wierszy i kolumn) macierzy nazywamy pokrywającym gdy kaŜda jedynka macierzy naleŜy do którejś z linii tego zbioru. Twierdzenie (O pokryciu jedynek w macierzy zerojedynkowej) Minimalna liczba linii pokrywających wszystkie jedynki macierzy zerojedynkowej M jest równa maksymalnej liczbie niezaleŜnych jedynek w M. Dowód Tworzymy graf dwudzielny G, którego wierzchołkami są wiersze i kolumny macierzy M, wiersz i-ty sąsiaduje z kolumną j-tą gdy M(i,j)=1. Łatwo widać, Ŝe pokrywające zbiory linii w M to pokrywające zbiory wierzchołków w G a zbiory niezaleŜnych jedynek w M odpowiadają niezaleŜnym zbiorom krawędzi w G. Twierdzenie Koeniga daje Ŝądany wynik. Udowodnimy teraz słynne twierdzenie małŜeńskie Philippa Hall’a z 1935 roku. Jest to jedno z najczęściej cytowanych twierdzeń teorii grafów. Rozpoczniemy od udowodnienia jego wersji zrównowaŜonej, udowodnionej implicite przez Frobeniusa w 1917 roku w pracy na temat wyznaczników. Twierdzenie (ZrównowaŜone twierdzenie małŜeńskie, Frobenius 1917) G jest grafem dwudzielnym z klasami dwudzielności X i Y, przy czym |X|=|Y|. Wówczas: G ma skojarzenie doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy (*) dla kaŜdego podzbioru S⊆X mamy |S|≤|N(S)| (warunek Hall’a). Dowód (Współczesny, powołuje się na późniejsze twierdzenie Koeniga a więc pośrednio na twierdzenie Mengera) (⇒) Oczywiste. (⇐) Dowód przez zaprzeczenie. Przypuśćmy, Ŝe G nie ma skojarzenia doskonałego. Istnieje zbiór pokrywający Bo: W, taki Ŝe |W|<|X|. Oznaczmy WX=W∩X i WY=W∩Y. |N(X-WX)|≤|WY| Bo: |WY|<|X|-|WX| Bo: |X|-|WX|=|X-WX| Bo: Koniec dowodu Bo: ZauwaŜmy, Ŝe tak naprawdę nigdzie w dowodzie twierdzenia Frobeniusa nie korzystaliśmy z faktu, Ŝe |X|=|Y|. ZałoŜenie to było potrzebne jedynie do tego aby móc uŜyć terminu skojarzenie doskonałe. MoŜemy więc podać twierdzenie ogólniejsze Twierdzenie (Twierdzenie małŜeńskie, P. Hall, 1935) G jest grafem dwudzielnym z klasami dwudzielności X i Y, przy czym |X|≤|Y|. Wówczas: G ma niezaleŜny zbiór krawędzi liczności |X| wtedy i tylko wtedy, gdy (*) dla kaŜdego podzbioru S⊆X mamy |S|≤|N(S)| (warunek Hall’a). Malownicza nazwa „twierdzenie małŜeńskie” pochodzi z następującego sformułowania twierdzenia Hall’a: Twierdzenie (Twierdzenie Halla o małŜeństwach). Mamy zbiór panien na wydaniu X i zbiór kawalerów Y, kaŜda panna x ma zbiór upatrzonych kandydatów na męŜa N(x).Panny ze zbioru X moŜna wydać za mąŜ za kawalerów ze zbioru Y tak, aby kaŜda dostała upatrzonego męŜa wtedy i tylko wtedy gdy dla kaŜdego zbioru panien S liczba kawalerów upatrzonych przez panny z S jest nie mniejsza niŜ |S|. Twierdzenie Hall’a moŜemy teŜ zapisać następująco Twierdzenie (Twierdzenie Hall’a o transwersali) Niech X i Y będą zbiorami skończonymi i niech F będzie funkcją F:X→2X. RóŜnowartościowa funkcja f:X→Y taka, Ŝe dla kaŜdego x, f(x)∈F(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŜdego S⊆X mamy |S|≤ U F ( x) . x∈S