Nr wniosku: 197691, nr raportu: 19255. Kierownik (z rap.): prof. dr

Nr wniosku: 197691, nr raportu: 19255. Kierownik (z rap.): prof. dr hab. Paweł Strzelecki
Projekt obejmował zagadnienia szeroko rozumianego rachunku wariacyjnego, należące do pogranicza geometrii, fizyki i
współczesnej teorii równań różniczkowych. (Rachunek wariacyjny to dziedzina matematyki, poszukująca m.in. stabilnych
położeń równowagi takich obiektów, których stan opisany jest nie przez jeden czy dwa różne parametry, ale przez
(potencjalnie) nieskończenie wiele różnych parametrów -- np. jako wykres dowolnej funkcji jednej czy kilku zmiennych.
Co ciekawe, różne problemy, które chciałoby się opisywać za pomocą funkcji nie tylko ciągłych, ale i gładkich - z
wykresami bez fałd, zagięć, rozdarć itp. - mają jednak naturalne osobliwości: przyroda zna np. samoprzecięcia błon
mydlanych, defekty ciekłych kryształów, wiry Abrikosowa w nadprzewodnikach. Opisywanie tego rodzaju osobliwości
jest zwykle poważnym wyzwaniem matematycznym.
Projekt doprowadził do dwóch istotnie nowych, ciekawych wyników.
Pierwszy z nich orzeka, że równania przekształceń harmonicznych - stanowiące uproszczoną wersję równań modelu
Ericksena ciekłych kryształów - są zawsze bardzo wrażliwe na dowolnie małe zaburzenia warunków brzegowych. Nawet
wtedy, gdy warunek brzegowy teoretycznie dopuszcza gładkie rozwiązania, dowolnie blisko niego są inne warunki
brzegowe, dla których rozwiązania rozpatrywanych równań mają dowolnie dużą, z góry zadaną, liczbę osobliwości. Aby
taki wynik wykazać, zdołaliśmy udoskonalić znane metody wprowadzania osobliwości, zwanych bąbelkami, tak, by
pasowały do małych zaburzeń wszystkich możliwych warunków brzegowych.
Drugi z głównych wyników projektu dotyczy zachowania rozwiązań podobnych równań, w których jako zmienna
dodatkowa występuje czas. Okazuje się, że jeśli ewentualne nieciągłości i osobliwości rozwiązań takich równań są
niezbyt duże po uśrednieniu, to koniec końców wcale ich nie ma: rozwiązanie spełniające taki warunek jest gładkie.