teoria dystrybucji

Program przedmiotu:
TEORIA DYSTRYBUCJI
30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń
1. Konieczność uogólnienia pojęcia funkcji klasycznych. Przykłady fizyczne wymagające
takiego uogólnienia. Definicja rozwiązania uogólnionego równania różniczkowego. Związek
między rozwiązaniem klasycznym i uogólnionym.
2. Funkcje gładkie i funkcje o zwartych nośnikach. Przestrzeń funkcji próbnych D, topologia
w tej przestrzeni. Działania w przestrzeni funkcji próbnych.
3. Przestrzeń dystrybucji D’. Przykłady dystrybucji. Dystrybucje regularne i syngularne. Delta
Diraca jako przykład dystrybucji syngularnej. Równość dystrybucji.
4. Działania na dystrybucjach: zamiana zmiennych, mnożenie dystrybucji przez funkcję
gładką. Różniczkowanie dystrybucji, własności różniczkowania, związki między pochodną
klasyczną i pochodną uogólnioną.
5. Nośnik dystrybucji. Twierdzenie o rozkładzie jedności.
6. Równania różniczkowe w przestrzeni dystrybucji D’. Twierdzenie o rozwiązaniu równania
f’(x)=0 w przestrzeni D’. Twierdzenie o rozwiązaniu układu równań różniczkowych
liniowych o współczynnikach z przestrzeni funkcji gładkich. Definicja funkcji pierwotnej.
7. Pewne równanie algebraiczne w przestrzeni D’ i jego zastosowania do równań
różniczkowych w przestrzeni D’.
8. Rozwiązanie podstawowe operatorów różniczkowych liniowych. Przykłady rozwiązań
podstawowych. Zastosowania w teorii równań różniczkowych.
9. Definicja iloczynu tensorowego i jego własności.
10. Splot dystrybucji, problem istnienia. Przykłady dystrybucji, dla których splot jest dobrze
określony.
11. Własności splotu, różniczkowanie splotu, zastosowanie do równań różniczkowych.
12. Przestrzeń Schwartza S, własności. Działania oraz topologia w tej przestrzeni.
13. Przestrzeń dystrybucji temperowanych S’. Przykłady dystrybucji temperowanych.
Działania w przestrzeni S’. Topologia w tej przestrzeni.
14. Transformacja Fouriera w przestrzeni Schwartza S i przestrzeni dystrybucji
temperowanych S’. Własności transformacji Fouriera. Przykłady transformat. Uwagi o
zastosowaniach w teorii równań różniczkowych.
Literatura:
1. V.S. Vladimirov, Uravnenija Matematiceskoj Fiziki, Nauka, Moskwa 1970.
2. V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji (skrypt), WMS AGH, Kraków 2007.
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
5 grudnia 2009