OBIEKT prosty (element) prosty (element) złoŜony (system)

OBIEKT prosty (element) prosty (element) złoŜony (system)

II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 1
OBIEKT – traktuje się jako pojęcie pierwotne, określające w zaleŜności od potrzeb:
• niepodzielny element (bez uwzględnienia jego struktury wewnętrznej),
• zbiór elementów tworzących system.
OBIEKT
złoŜony (system)
prosty
prosty (element)
(element)
S(t)
S4
S3
S2
S1
t
Rys. 2.1. Przykładowy wykres zmian stanu elementu
Rozpatrywany
element
Czy element podlega odnowie?
N
T
Element nieodnawialny
Element odnawialny
T
Czy odnowa
polega na naprawie?
N
Element odnawialny
nieremontowalny
Element
remontowalny
Rys. 2.2. Klasyfikacja elementów
1
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 1
Element nieodnawialny jest w pełni scharakteryzowany przez rozkład czasu funkcjonowania
τ (bezawaryjnej pracy).
F (t ) = P{τ < t} = Q (t ) - funkcja zawodności (dystrybuanta rozkładu),
R(t) = P{τ ≥ t} = 1 - F(t) – funkcja niezawodności,
dF (t )
f (t ) =
- gęstość prawdopodobieństwa.
dt
gdzie: F(t) – dystrybuanta zmiennej losowej, R(t) – prawdopodobieństwo funkcjonowania
elementu (niezawodność elementu), f(t) – gęstość prawdopodobieństwa rozkładu.
Względną gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej τ nazywa się intensywnością
niesprawności awaryjnych (uszkodzeń) – zwana jest ona równieŜ funkcją ryzyka:
f (t )
F ' (t )
1 dR(t )
λ (t ) =
=
=
⋅
(2.4)
R(t ) 1 − F (t ) R(t ) dt
λ (t )
I
II
0
III
t
Rys. 2.3. Typowy przebieg funkcji intensywności uszkodzeń
Poza
powyŜszymi
charakterystykami
(wskaźnikami)
niezawodności
elementu
nieodnawialnego (R(t), λ(t)) są podawane:
• Skumulowana intensywność niesprawności awaryjnych (uszkodzeń), zwana teŜ skumulowaną
funkcją ryzyka
t
Λ(t ) = ∫ λ (t )dt
(2.5)
0
Zachodzi związek
 t

(2.6)
R(t ) = R(0) exp  − ∫ λ (t )dt  = R(0) exp[− Λ(t )]
 0

Najczęściej zakłada się, Ŝe w chwili rozpoczęcia eksploatacji t = 0 element jest w stanie
zdatności, czyli Ŝe R(0) = 1. Wtedy
R(t ) = exp[− Λ(t )]
(2.7)
Λ(t ) = − ln R(t )
• Średnia wartość funkcji ryzyka (intensywności uszkodzeń) w przedziale [0, t]
Λ(t )
λ (t ) =
(2.8)
t
• Pozostały oczekiwany czas poprawnej pracy (do uszkodzenia)
t
∞
1
r (t ) =
R(t )dt =
R(t ) ∫t
E[τ ] − ∫ R(t )dt
0
(2.9)
R(t )
2
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 1
gdzie E[τ] jest oczekiwanym czasem funkcjonowania (poprawnej pracy) do uszkodzenia.
Pozostały oczekiwany czas poprawnej pracy lepiej charakteryzuje niezawodność elementu od
oczekiwanego czasu funkcjonowania E[τ]. Dla t = 0: r(t) = r(0) = E[τ], zaś dla
t > 0: r(t) ma zwykle przebieg malejący, gdyŜ w rzeczywistych urządzeniach zachodzą procesy
starzeniowe.
Element odnawialny ma w ogólnym przypadku cztery stany podstawowe: funkcjonowania,
remontu awaryjnego, remontu profilaktycznego, rezerwy.
Jeśli pominie się stany remontu profilaktycznego i rezerwy to modelem procesu eksploatacji
elementu odnawialnego jest proces odnowy o skończonym nie zerowym czasie odnowy. Przykład
takiego procesu przedstawiono na rys. 2.4.
T1
t0
T3
T2
t2
t1
t3
Θ1
t4
t5
t
Θ2
Rys. 2.4. Przykład procesu odnowy z niezerowym czasem odnowy
Ciąg t1, t3, ... , t2k+1, ... tworzą chwile kolejnych uszkodzeń, natomiast ciąg t2, t4, ... , t2k, ...
chwile odnowień.
Są tu równieŜ dwa ciągi zmiennych losowych T1, T2, ... , Tk, ... oraz Θ1, Θ2, ... , Θk, ...
określające czasy funkcjonowania (pracy) i czasy odnowy. Ciągi te tworzą dwa strumienie zdarzeń:
strumień niesprawności (uszkodzeń) i strumień odnów.
Rzeczywisty proces odnowy moŜna zatem analizować za pomocą dwóch procesów losowych:
{N (t ), t ≥ 0}, wyraŜającego liczbę uszkodzeń w przedziale czasowym [0, t];
o
o
{m(t ), t ≥ 0} , wyraŜającego liczbę odnowień w przedziale czasowym [0, t].
W związku z tym moŜna rozpatrywać dwie funkcje:
H(t) = E[N(t)]
(2.10)
wyraŜającą oczekiwana liczbę uszkodzeń w przedziale [0, t] i zwaną funkcją odnowy, oraz
I(t) = E[m(t)]
(2.11)
określającą oczekiwaną w danym przedziale czasowym liczbę odnów i mającą analogiczne jak
funkcja odnowy właściwości.
Gdy zmienne losowe Tk mają ten sam rozkład o parametrach E[T] i σ T oraz zmienne losowe
Θk o parametrach E[Θ] i σΘ (strumienie rekurentne), wówczas przy oszacowaniu funkcji moŜna
wykorzystać tzw. elementarne twierdzenie odnowy:
H (t )
1
lim
=
(2.12)
t →∞
t
E[T ]
zaś zmienna losowa H(t) ma rozkład asymptotycznie normalny o wartości oczekiwanej:
1
lim E[m(t )] =
(2.13)
t →∞
E[T ] + E[Θ ]
i wariancji
(σ T2 + σ Θ2 )t
lim Var[m(t )] =
(2.14)
t →∞
( E[T ] + E[Θ ]) 3
Wskaźnikiem niezawodności elementu, którego modelem niezawodnościowym procesu
eksploatacji jest rzeczywisty proces odnowy z niezerowym czasem odnowy jest współczynnik
gotowości.
Definiuje się go jako prawdopodobieństwo, Ŝe w chwili t obiekt znajduje się w stanie
funkcjonowania (zdatności)
3
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 1
i
∞
 i
K (t ) = ∑ P ∑ (Tk + Θk ) < t < ∑ (Tk + Θk ) +Ti +1 }
(2.15)
i =1  k = 0
k =0
Gdy wartość t jest dostatecznie duŜa moŜna posługiwać się asymptotycznym współczynnikiem
gotowości
E[T ]
K = lim K (t ) =
(2.16)
t →∞
E[T ] + E[Θ]
Dla przypadku, gdy czas funkcjonowania i czas odnowy mają rozkłady wykładnicze, mamy:
µ + λ exp[−( µ + λ )t ]
µ
K = lim
=
(2.17)
t →∞
µ +λ
µ +λ
gdzie: µ - intensywność odnowy, λ - intensywność uszkodzeń.
2
1,8
1,6
1,4
1,2
r(t)
lambda
1
Lambda
0,8
R(t)
0,6
0,4
0,2
0
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Rys. 2.5. Przebiegi funkcji R(t), λ(t), Λ(t) i r(t) w przypadku rozkładu EXP(b)
2
1,8
1,6
lambda, n = 2,5
1,4
Lambda, n = 2,5
1,2
R(t), n = 2,5
lambda, n = 0,5
1
Lambda, n = 0,5
0,8
R(t), n = 0,5
0,6
0,4
0,2
0
t /b
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Rys. 2.6. Przebiegi funkcji R(t), Λ(t) i λ(t) w przypadku rozkładu WEI(b, v), przy b = 1
i parametrze kształtu v > 1 (v = 2,5) i v < 1 (v = 0,5)
4
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 1
Tablica 2.1. Charakterystyki najczęściej stosowanych rozkładów
Rozkład
Wykładniczy EXP(b)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0
R (t)
λ (t)
Λ (t)
r (t)
exp(− t / b )
1/ b
t /b
b
[
b exp − (t / b) ν
Weibulla WEI(b, ν)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0, ν > 0
exp(-( t/b)ν )
ν
(t / b )ν −1
b
Wartości najmniejszych
MIV(b0, t0)
b0 > 0, t0 ≥ 0
exp[- exp((t - t 0 )/b0 )]
1
exp((t − t 0 ) / b0 )
b0
Potęgowy POW (b, δ)
T ∈ 〈0, b), b > 0, δ > 0
Gamma GAM(b, p)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0, p > 0
1−
Γ ( p, t / b )
Γ( p )
(t / b )
p −1
exp((t − t 0 ) / b0 )
[
δ
(t / b) δ −1 [1 − (t / b) δ ] −1
b
1 - (t/b) δ
(t / b )ν
iν +1
∞


ν (t / b)
(
1
1
/
)
b
(
1
)
Γ
+
ν
−
−
∑


i!(iν + 1) 
i =0

− ln 1 − (t / b )
exp(− (t / b )){ b [Γ( p ) − Γ( p, t / b )]}
−1
]
δ
]
− ln (1 − Γ( p, t / b ) / Γ( p ))
b [1 − (t / b)δ ]−1

1
 δ
+
(t / b)δ +1 − (t / b) 

δ + 1 δ + 1

b [ p − (t / b ) +
∞
∑ Γ( p + i + 1, t / b) / Γ( p + i + 1)] ×
i =0
[1 − Γ( p, t / b) / Γ( p )]−1
Normalny NOR(µ, σ)
µ ≥ 0, σ > 0
t −µ 
0,5 − Φ

 σ 
Logarytmo – normalny
LNOR(µ1, σ1)
T ∈ 〈0, +∞),µ1 ≥ 0, σ1 >
0
 ln (t ) − µ1 

0,5 − Φ
 σ1

∞
Γ(p) – funkcja gamma Eulera:
Γ( p ) = ∫ x
ϕ ( x) =
1
2Π
 ln (t ) − µ1  
 σ1t
ϕ
 σ1
 
−1

 ln (t ) − µ1  
 
0,5 − Φ
σ
1

 


 t − µ 
− ln 0,5 − Φ

 σ 

−1

 ln(t ) − µ 1 

− ln 0,5 − Φ
 σ1


x
p −1
0
ϕ(⋅) – funkcja Gaussa:
t −µ  
 t − µ  
ϕ
 σ 0,5 − Φ
 
 σ  
 σ  
exp(− x)dx ; Γ(p, x) – niekompletna (niepełna) funkcja gamma Eulera: Γ( p, x) = ∫ t p −1 exp(−t )dt ;
0
2
exp(−
x
x
) , Φ(⋅) – całka Laplace’a: Φ ( x) = ∫ ϕ ( z )dz
2
0
5