α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

Przykład 1. Policjant goniący przestępcę musi skoczyć z dachu jednego budynku na dach drugiego, który jest
niższy o 1,9 m. Odległość między budynkami wynosi 4,5 m. Jaką minimalną prędkość powinien mieć policjant
aby skok był udany?
Policjant skacząc z jednego dachu na drugi wykona odbicie pod
pewnym kątem  do poziomu. Krzywoliniowy ruch policjanta
możemy przedstawić jako złożenie dwóch ruchów prostoliniowych. Wzdłuż osi 0x – ruch jednostajny z prędkością v0 x . W
kierunku pionowym – rzut pionowy (przedstawiony w przykładzie 2.9). Równania opisujące położenie policjanta w funkcji
czasu zapiszemy w postaci:
y  v0 y t 
1 2
gt ,
2
x  v0 x t .
Eliminując czas z tych równań otrzymamy równanie toru:
y  v0 y
x 1  x
 g
v0 x 2  v0 x
2

 .

Składowe wektora prędkości początkowej są równe:
v0 x  v0 cos i v0 y  v0 sin .
Podstawiając je do równania toru obliczymy prędkość początkową policjanta:
2
x
1 
x 
gx 2
  x tan   2
y  v0 sin 
 g 
,
v0 cos  2  v0 cos  
2v0 cos 2 
x tan   y 
gx 2
2v02 cos 2 
 v02 cos 2  x tan   y  
gx 2
,
2




2
gx
1
2
,
v02 

gx
sin 


2 cos 2  x tan   y 
2
2
 2 y cos  
 2 x cos 
cos 




gx 2
gx 2

v02  

.
2
2

 2 x cos  sin   2 y cos   x sin 2  2 y cos 
Powyższe wyrażenie osiąga minimalną wartość, wówczas gdy mianownik będzie największy. Dla uproszczenia
oznaczmy:
A  x sin 2  2 y cos2  .
Maksimum tej funkcji szukamy licząc pochodną względem kąta  i przyrównując ją do zera:
1
dA
 2 x cos 2  2 y 2 cos  ( sin  )  2 x cos 2  2 y sin 2  0,
d
2 x cos 2  2 y sin 2 ,

x
 tan 2
y
 x
 2  arctan    .
 y
Przyjmując zgodnie z treścią zadania: x = z = 4,5 m oraz y = -h = -1,9 m, otrzymujemy:

4,5 
  67 ,
2  arctan  
  1,9 
  33,5 .
Podstawiając tę wartość do równania na prędkość wyliczamy minimalną wartość prędkości jaką powinien mieć
policjant aby bezpiecznie przeskoczyć z jednego dachu na drugi:
v0 
m
2
 4,5 m 
2
gx
s


x sin 2  2 y cos 2 
4,5m  sin 67  2  (1,9m)  cos 2 33,5
9,81
2
 5,41
m
.
s
m
a wybicie powinien skies
rować pod kątem   33,5 do poziomu. Prędkość tę możemy porównać np. z prędkością z jaką biegną sportowcy w biegu sprinterskim na 100 m. Jeśli czas pokonania tego dystansu przez biegacza wynosi około 10 s to
100m
m
prędkość jaką osiągają sprinterzy vsport 
jest prawie dwukrotnie większa od prędkości minimal 10
10s
s
nej policjanta.
Najmniejsza prędkości z jaką powinien biec policjant aby skok był udany to 5,41
2