Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz esc

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz esc

Algebra i jej zastosowania
konspekt wykladu, cześć
pierwsza
,
Anna Romanowska
26 marca 2014
1
Pólgrupy i monoidy
1.1
Wlasności podstawowe
Definicja 1.11. Pólgrupa, nazywamy pare, (P, ·), gdzie P jest zbiorem, a
· : P × P → P ; (a, b) 7→ a · b jest określonym w P dzialaniem lacznym,
tzn.
,
∀a, b, c ∈ P,
(a · b) · c = a · (b · c).
Definicja 1.12. Monoidem nazywamy trójke, (P, ·, 1), gdzie (P, ·) jest pólgrupa, a 1 jest elementem neutralnym (jednościa, monoidu), tzn.
∀a ∈ P,
a · 1 = 1 · a = a.
W dalszym ciagu
zarówno pólgrupe, (P, ·) (monoid (P, ·, 1)), jak i zbiór P
,
oznaczać bedziemy
czasem tym samym symbolem P . Jedność monoidu P
,
oznaczać bedziemy
czasem
symbolem 1P . Pólgrupa (monoid) P jest prze,
mienna (przemienny), jeśli dzialanie · jest przemienne, tj.
∀a, b ∈ P,
1.13.
a · b = b · a.
Przyklady pólgrup
(a) Dla niepustego zbioru X, zbiór wszystkich funkcji X X := {f : X →
X} wraz ze skladaniem funkcji.
(b) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n × k o elementach w pierścieniu
R wraz z dodawaniem macierzy.
(c) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n × n o elementach w pierścieniu
R wraz z mnożeniem macierzy.
1
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
2
(d) Rodzina zbiorów zamknieta
na przeciecia
z przecieciem
zbiorów.
,
,
,
(e) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyklym dodawaniem.
(f) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyklym mnożeniem.
Każdy z wyżej wymienionych przykladów jest również przykladem monoidu.
(Czym sa, jedności?)
Definicja 1.14. Podpólgrupa, (podmonoidem) pólgrupy (P, ·) (monoidu
(P, ·, 1)) nazywamy podzbiór R ⊆ P taki, że
∀a, b ∈ R,
a·b∈R
(w przypadku monoidu, również 1 ∈ R), z mnożeniem określonym, jak w P .
Jeśli R jest podpólgrupa, (podmonoidem) pólgrupy (monoidu) P , to piszemy
R ≤ P.
Stwierdzenie 1.15. Jeśli Pi , gdzie T
i ∈ I, jest rodzina, podpólgrup (podmonoidów) pólgrupy (monoidu) P , to i∈I Pi jest również podpólgrupa, (podmonoidem).
Jeśli A ⊆ P , to
\
{Pi | Pi ≤ P i A ⊆ Pi } =: hAi
i∈I
jest najmniejsza, podpólgrupa, (podmonoidem) P zawierajac
, a, A. Mówimy,
że A generuje hAi. W przypadku, gdy P = hAi, mówimy, że A generuje P .
Jeśli A = {a} i P = hai := h{a}i, to P jest pólgrupa, (monoidem) cyklicznym.
W przypadku, gdy P jest skończona, najmniejsza, liczbe, q, dla której istnieje
takie r ∈ N, że aq = aq+r nazywamy indeksem P i oznaczamy symbolem i.
Jeśli ai = ai+r , to dla każdego j ≥ i, mamy aj = aj+r . Najmniejsza, liczbe,
i
i+q nazywamy okresem P i oznaczamy przez p. Zauważmy,
q taka,
, że a = a
że
∀j ∈ N,
ai = ai+pj .
Ponadto, ∀k = i + jp + q, gdzie j ≥ 0,
0 ≤ q ≤ p − 1, mamy
ak = ai+jp+q = ai+jp+q = ai aq = ai+q .
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
Stad
,
3
hai = {a, a2 , . . . , ai+p−1 },
a w przypadku monoidu,
hai = {1, a, a2 , . . . , ai+p−1 }.
Definicja 1.16. Produktem (lub iloczynem) prostym
Q pólgrupQ(monoidów)
Pi , gdzie i ∈ I, nazywamyQpólgrupe, (monoid) ( i∈I Pi , ·)(( i∈I Pi , ·, 1)),
gdzie dla wszystkich f, g ∈ i∈I Pi
(f · g)(i) := f (i) · g(i),
a w przypadku monoidów, ponadto
1Q Pi (j) := 1Pj ·
Definicja 1.17. Niech P i R bed
, a, pólgrupami (monoidami). Przeksztalcenie
h : P → R nazywamy homomorfizmem pólgrup (monoidów), jeśli
∀a, b ∈ P,
h(a · b) = h(a) · h(b),
a w przypadku monoidów, dodatkowo h(1P ) = 1R .
Zauważmy, że obraz homomorficzny h(P ) jest podpólgrupa, (podmonoidem)
pólgrupy (monoidu) P .
Jeśli h jest bijekcja,
, homomorfizm h nazywa sie, izomorfizmem, a o pólgrupach
P i R mówimy, że sa, izomorficzne, co zapisujemy symbolem P ∼
= R. Jeśli
przeksztalcenie h jest różnowartościowe, homomorfizm h nazywa sie, monomorfizmem lub zanurzeniem. Automorfizm P jest to izomorfizm P na P .
Endomorfizm P jest to homomorfizm P w P .
Stwierdzenie 1.18. Niech (P, ·, 1) bedzie
monoidem cyklicznym. Jeśli zbiór
,
P jest nieskończony, to (P, ·, 1) ∼
(N,
+,
0).
Jeśli zbiór P jest skończony, to
=
monoid (P, ·, 1) jest wyznaczony jednoznacznie przez swój indeks i okres.
Definicja 1.19. Niech P bedzie
pólgrupa, (monoidem). Relacje, równoważ,
ności α ∈ EqP na zbiorze P nazywamy kongruencja, pólgrupy (monoidu) P ,
jeśli α ≤ P × P .
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
4
Niech CgP oznacza zbiór wszystkich kongruencji pólgrupy P . Niech α ∈
EqP . Wtedy
(α ∈ CgP ) ⇔ (∀a, b, a0 , b0 ∈ P, a α a0 , b α b0 ⇒ ab α a0 b0 ).
W zbiorze ilorazowym P/α określamy dzialanie
a/α · b/α := (ab)/α.
Zauważmy, że dzialanie · jest dobrze określone, ponadto (P/α, ·) jest pólgrupa.
, (A w przypadku, gdy P jest monoidem również (P/α, ·, 1P/α ), gdzie
1P/α := 1/α, jest monoidem.)
Stwierdzenie 1.110. Niech P i R bed
, a, pólgrupami (monoidami).
(a) Jeśli α ∈ CgP , to
nat α : P → P/α; a 7→ a/α
jest homomorfizmem pólgrup (monoidów).
(b) Jeśli h : P → R jest homomorfizmem pólgrup (monoidów), to relacja
ker h określona nastepuj
aco
,
,
(a, b) ∈ ker h :⇔ h(a) = h(b),
jest kongruencja, pólgrupy (monoidu)P .
Twierdzenie 1.111. (o izomorfizmie) Niech h : P → R bedzie
homo,
morfizmem pólgrup (monoidów). Istnieje wtedy izomorfizm i : P/ ker h →
h(P ) taki, że
i ◦ (nat ker h) = h.
Inaczej mówiac
, diagram poniżej jest przemienny.
P
nat ker h ↓
P/ker h
h
→
R
↑
∪
→
i
h(P )
Niech P bedzie
pólgrupa, (monoidem) i niech x ∈ P . Przeksztalcenia
,
Rx : P → P ; a 7→ ax,
Lx : P → P ; a 7→ xa
nazywamy odpowiednio prawym i lewym mnożeniem P przez x.
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
5
Twierdzenie 1.112. (o reprezentacji dla monoidów)Niech P bedzie
,
monoidem. Wtedy przeksztalcenie
R : P → P P ; x 7→ Rx
jest zanurzeniem monoidu P w monoid przeksztalceń zbioru P w siebie.
Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, jeśli przeksztalcenie R zastapić
przek,
sztalceniem
L : P → P P ; x 7→ Lx .
Niech P be,dzie pólgrupa, i niech 1 bedzie elementem nie należa,cym do
0
zbioru P . Wtedy zbiór P := P ∪ {1}, w którym dodatkowo określamy
0
x · 1 = 1 · x = x dla każdego x ∈ P , tworzy monoid.
Twierdzenie 1.113. (o reprezentacji dla pólgrup)Niech P bedzie
pólgrupa,.
,
Wtedy przeksztalcenie
0
0
0
R : P → (P )P ; x 7→ Rx : P → P
0
0
jest zanurzeniem pólgrupy P w pólgrupe, przeksztalceń zbioru P w siebie.
Wniosek 1.114. Każdy monoid jest izomorficzny z pewnym monoidem przeksztalceń. Podobnie, każda pólgrupa jest izomorficzna z pewna, pólgrupa, przeksztalceń.
1.2
Wolne monoidy i kody
Definicja 1.21. Pólgrupe, (monoid) P nazywamy wolna, w klasie wszystkich
pólgrup (wolnym w klasie wszystkich monoidów), jeśli istnieje taki zbiór X
generatorów P (tzw. zbiór generatorów wolnych), że każde przeksztalcenie
h : X → R, gdzie R jest zbiorem elementów dowolnej pólgrupy (monoidu),
może być rozszerzone do homomorfizmu pólgrup (monoidów) h : P → R.
Pólgrupe, wolna, o zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich
pólgrup nazywamy też krótko pólgrupa, wolna, nad X, a monoid wolny o
zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich monoidów nazywamy
monoidem wolnym nad X.
Twierdzenie 1.22. Jeśli P i P 0 sa, dwiema pólgrupami wolnymi, a ich
zbiory X i X 0 wolnych generatorów sa, równoliczne, to pólgrupy P i P 0 sa,
izomorficzne.
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
6
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla monoidów. Pólgrupe, wolna, nad
X oznaczamy czasem symbolem FP (X), a monoid wolny nad X symbolem
FM (X).
Konstrukcja wolnej pólgrupy
Niech X 6= ∅ bedzie
zbiorem. Niech X + := {x1 . . . xn | x1 , . . . , xn ∈ X},
,
przy czym elementy ciagu
x1 . . . xn moga, sie, powtarzać. W zbiorze X +
,
określamy dzialanie binarne · nastepuj
aco
,
,
x1 . . . xm · y1 . . . yn := x1 . . . xm y1 . . . yn .
Takie dzialanie nazywamy konkatenacja,.
Stwierdzenie 1.23. Zbiór X + z określonym wyżej dzialaniem · jest pólgrupa.
,
Twierdzenie 1.24. Pólgrupa (X + , ·) jest wolna w klasie wszystkich pólgrup. Elementy zbioru X tworza, zbiór generatorów wolnych.
W szczególności, pólgrupy X + i FP (X) sa, izomorficzne.
Niech teraz Λ bedzie
ciagiem
pustym, niech X ∗ := X + ∪ {Λ}. Rozsze,
,
∗
rzymy dzialanie · na caly zbiór X przyjmujac
,
Λ · x1 . . . xn = x1 . . . xn · Λ = x1 . . . xn ,
Λ · Λ = Λ.
Twierdzenie 1.25. Monoid (X ∗ , ·, Λ) jest wolny w klasie wszystkich monoidów. Elementy zbioru X tworza, zbiór generatorów wolnych.
A zatem, monoidy FM (X) oraz M ∗ sa, izomorficzne.
Przyklad 1.26. Wolny monoid nad zbiorem X = {0, 1} sklada sie, z Λ i
wszystkich skończonych ciagów
zero-jedynkowych.
,
Zbiór X nazywamy czasem również alfabetem, a elementy pólgrupy X +
i monoidu X ∗ slowami w alfabecie X.
Przyklad 1.27. Przykladami bed
w użyciu alfabetów sa:
,
, alfabet bi, acych
narny {0, 1}, alfabet Morse’a {·, −, }, alfabet RNA {U, C, A, E} używany
w genetyce, alfabet laciński {A, B, . . . , U, W, Z} itp. (Niepustymi) slowami
w tych alfabetach sa, elementy pólgrup wolnych nad tymi alfabetami, np.
011010001 ∈ {0, 1}+ , · − · − · · − − · · − · · · · − · · − ∈ {·, −, }+ ,
SLOWO ∈ {A, B, . . . , U, W, Z}+ .
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
7
Definicja 1.28. Podzbiór C zbioru A∗ nazywamy kodem nad alfabetem A,
jeśli
∀m,n ∈ Z+ , ∀ c1 , . . . , cm , d1 , . . . , dn ∈ C,
c1 . . . cm = d1 . . . dm ⇒ m = n, c1 = d1 , . . . , cm = dm .
Jeśli C jest kodem nad A, to każde slowo w C + może być jednoznacznie
odczytane jako konkatencja c1 . . . cn slów kodowych c1 , . . . , cn ze zbioru C.
1.29.
Przyklady i ćwiczenia
(a) Zbiór {0, 01, 10} nie jest kodem nad alfabetem {0, 1}, bo 010 = 01 · 0 =
0 · 10.
(b) Dla każdego n ∈ Z+ , An jest kodem nad alfabetem A, zwanym
kodem jednorodnym dlugości n nad A. W biologii molekularnej duża, role,
odgrywaja, kody jednorodne dlugości 3 nad alfabetem RNA.
(c) Wyróżnijmy pewien element alfabetu A (np. element ) i nazwijmy
go przecinkiem. Kodem przecinkowym C nad A nazywamy podzbiór A∗
zlożony ze slów, w których przecinek wystepuje
dokladnie raz, na końcu
,
slowa. Wykazać, że C jest kodem.
(d) Slowo v ∈ A∗ nazywamy wlaściwym przyrostkiem w slowie w, jeśli
istnieje slowo u ∈ A+ takie, że w = uv. Podzbiór C zbioru A∗ nazywamy kodem przyrostkowym, jeśli żaden element C nie jest wlaściwym przyrostkiem
w innym slowie C. Wykazać, że kod przyrostkowy jest kodem.
Stwierdzenie 1.210. Podzbiór C zbioru A∗ jest kodem wtedy i tylko wtedy, gdy zanurzenie e : C → A∗ ; c 7→ c rozszerza sie, do izomorfizmu
e : (C ∗ , ·, 1) → (hCi, ·, 1) z wolnego monoidu C ∗ nad C na podmonoid hCi
monoidu A∗ generowany przez C.
Inaczej mówia,c, podzbiór C zbioru A∗ jest kodem, gdy podmonoid generowany przez C jest monoidem wolnym nad C.
Wniosek 1.211. Niech C ⊆ A∗ . Jeśli istnieje alfabet B i taki monomorfizm k : (B ∗ , ·, 1) → (A∗ , ·, 1), że k(B) = C, to C jest kodem.
Homomorfizm k nazywamy homomorfizmem kodujacym.
,
Przyklad 1.212. Homomorfizm kodujacy
k z alfabetu angielskiego do alfa,
betu Morse’a ma wartości: k(A) = ·−, k(B) = −···, ···, k(Z) = −−··,
k() = .
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
1.3
8
Monoidy cykliczne i uklady dynamiczne
Ukladem dynamicznym nazywamy pare, (X, T ), gdzie X jest zbiorem, zwanym zbiorem stanów, a T : X → X przeksztalceniem zbioru X w zbiór X,
zwanym funkcja, zmiany stanów. Każdy x ∈ X przedstawia stan ukladu.
Przeksztalcenie T opisuje rozwój ukladu w czasie. Jeśli uklad znajduje sie, w
pewnej chwili w stanie x, to w chwili o jednostke, czasu późniejszej znajduje
sie, w stanie T (x).
Element T generuje monoid cykliczny hT i = h{T }i = {T n | n ∈ N}.
Latwo zauważyć, że przeksztalcenie
R : hT i → X X ; T n 7→ (T n : X → X; x 7→ T n (x) = T (. . . (T (x)) . . .)
jest homomorfizmem monoidu hT i w monoid X X . Obraz R(hT i) =: T N jest
oczywiście podmonoidem monoidu X X i jest również monoidem cyklicznym
(generowanym przez funkcje, T : X → X).
Definicja 1.31. Dzialaniem monoidu M na zbiorze X nazywamy homomorfizm monoidów
h : M → X X ; m 7→ (hm : X → X; x 7→ hm (x)).
W szczególności, prawym dzialaniem M na X nazywamy homomorfizm zapisywany nastepuj
aco:
,
,
R : (M, ·, 1) → (X X , ·, 1X ); m 7→ (Rm : X → X; x 7→ Rm (x) =: xm),
a lewym dzialaniem M na X nazywamy homomorfizm zapisany jako:
L : (M, ·, 1) → (X X , ·, 1X ); m 7→ (Lm : X → X; x 7→ Lm (x) =: mx).
Zauważmy, że monoid hT i jest monoidem wolnym {T }∗ nad {T }. A zatem
uklad dynamiczny (X, T ) wyznacza dzialanie wolnego monoidu {T }∗ nad
{T } na zbiorze X.
Podobnie określamy dzialanie pólgrupy M na zbiorze X.
Na dzialanie h monoidu M na zbiorze X można również patrzeć jako
na pare, (X, M ) zlożona, ze zbioru X i rodziny M operacji unarnych (tzn.
jednoargumentowych) hm : X → X dla m ∈ M . Otrzymujemy w ten sposób
tzw. algebre, unarna.
, W podobny sposób, jak to zrobiliśmy dla pólgrup,
można określić w algebrze unarnej pojecia
podalgebry, produktu prostego,
,
homomorfizmu i kongruencji (ćwiczenie!).
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
9
Jeśli (X, M ) jest dzialaniem M na X, to (X, M ) nazywamy czasem
również M -zbiorem. Orbita, elementu x ∈ X w M -zbiorze (X, M ) nazywamy zbiór
Orbx := {hm (x) | m ∈ M }.
W przypadku dzialania lewego piszemy również
M x := {mx = Lm (x) | m ∈ M },
a w przypadku dzialania prawego
xM := {xm = Rm (x) | m ∈ M }.
Dla ukladu dynamicznego (X, T ) i x ∈ X, orbita, x ∈ X jest zbiór T N (x) :=
{T n (x) | n ∈ N}. Każda orbita wyznacza uklad dynamiczny (T N (x), T |T N (x) ).
Orbity ukladu (X, T ) sa, uporza,dkowane wzgle,dem relacji inkluzji. Maksymalne elementy tego zbioru uporza,dkowanego nazywamy orbitami maksymalnymi. Strukture, ukladu dynamicznego (X, T ) można analizować wyznaczajac
, jego maksymalne orbity i badajac
, ich wzajemne zależności.
Przyklad 1.32. Orbitami ukladu dynamicznego (N, T ), gdzie T : N →
N; n 7→ 2n sa, zbiory T N (k) = {k, 2k, 22 k, . . . , 2n k, . . .} dla k 6= 0 i T N (0) =
{0}. Orbity maksymalne maja, postać T N (2i + 1) dla i = 0, 1, . . . lub {0}.
Każda z orbit jest podalgebra, algebry (N, T ). Zbiór N jest rozlaczn
a, suma,
,
zbiorów T N (2i + 1) oraz {0}.
Przyklad 1.33. Element x ∈ X jest punktem stalym dzialania M na X,
jeśli {x} jest podalgebra, algebry (X, M ). Zbiór F ix(X, M ) wszystkich
punktów stalych (X, M ) jest podalgebra, (X, M ).
1.4
Pólgrupy i automaty
Rozważać bedziemy
matematyczne modele skończonych maszyn sekwen,
cyjnych. Sa, to maszyny akceptujace
skończone ciagi
symboli wejściowych.
,
,
W określonej jednostce czasu maszyna taka znajdować sie, może w jednym ze skończonej ilości stanów. Istnieje również skończony zbiór symboli
wyjściowych. Stan maszyny, jak i symbol wyjściowy zależa, od wprowadzonego symbolu wejściowego i stanu, w jakim byla maszyna poprzednio.
Maszyny cyfrowe, i ich cześci
sa, takimi skończonymi maszynami sekwen,
cyjnymi.
Dla uproszczenia rozważymy najpierw jedynie maszyny ze skończonym
zbiorem symboli wejściowych i skończonym zbiorem stanów, i pominiemy
symbole wyjściowe.
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
10
Definicja 1.41. Automatem nazywamy trójke, (S, X, δ), gdzie S =
{s1 , . . . , sn } jest skończonym zbiorem niepustym, zwanym zbiorem stanów,
X = {x1 , . . . , xk } jest skończonym zbiorem niepustym zwanym zbiorem symboli wejściowych, a δ : S ×X → S jest funkcja, zwana, funkcja, zmiany stanów.
Przyklad 1.42. (Pulapka na myszy). Niech X = {x1 , x2 } oraz S =
{s1 , s2 }. Symbol x1 oznacza mysz w zasiegu
pulapki, natomiast x2 oznacza
,
brak myszy w zasiegu
pu
lapki.
Pu
lapka
jest
w
stanie s1 , jeśli jest nastawiona,
,
a w stanie s2 , jeśli nie jest nastawiona. Funkcje, zmiany stanów przedstawia
poniższa tabelka.
δ x1 x2
s1 s2 s1
s2 s2 s2
Definicja 1.43. Algebra, automatu (S, X, δ) nazywamy (unarna)
, algebre,
(S, (fx )x∈X ), gdzie ∀x ∈ X, fx : S → S; s 7→ δ(s, x).
Algebre, automatu można uważać za uogólnienie systemu dynamicznego.
Zamiast jednej operacji unarnej T , mamy tu rodzine, operacji unarnych
(fx )x∈X . Podobnie, jak system dynamiczny (X, T ) wyznacza {T }∗ -zbiór
(X, {T }∗ ), tak algebra automatu (S, (fx )x∈X ) wyznacza X ∗ -zbiór (S, X ∗ ).
Przypomnijmy, że X ∗ = FM (X) jest wolnym monoidem nad X. Dzialanie
X ∗ na S określone jest nastepuj
aco.
Przeksztalcenie
,
,
f : X → S S , x 7→ (fx : S → S; s 7→ fx (s) =: sx)
rozszerza sie, jednoznacznie do homomorfizmu monoidów
f : X ∗ → S S ; x1 . . . xn 7→ (f x1 ...xn : S → S;
s 7→ f x1 ...xn (s) = sfx1 fx2 . . . fxn =: sx1 x2 . . . xn ).
Homomorfizm f jest dzialaniem X ∗ na zbiorze S. (Uwaga: f (Λ) = id.)
Funkcje fx , dla x ∈ X, nazywamy operatorami elementarnymi, funkcje
postaci f x1 ...xn operatorami zlożonymi.
Definicja 1.44. Monoidem automatu (S, X, δ) nazywamy obraz homomorficzny f (X ∗ ), gdzie f : X ∗ → S S jest (jednoznacznym) rozszerzeniem przeksztalcenia f : X → S S do homomorfizmu f z wolnego monoidu X ∗ nad X
w monoid S S .
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
11
Twierdzenie 1.45. Dla każdego skończonego monoidu M istnieje automat,
którego monoid jest izomorficzny z M .
Uwaga. Dowolny monoid może być monoidem wiecej
niż jednego automatu.
,
W tzw. algebraicznej teorii automatów dowodzi sie,
, że wiele podstawowych wlasności automatów znajduja, swój obraz w odpowiednich wlasnościach monoidów. Niżej podane sa, przyklady takich odpowiedniości.
Definicja 1.46. (a) Automat A0 = (S 0 , X, δ 0 ) nazywany podautomatem automatu A = (S, X, δ) i piszemy A0 ≤ A, jeśli S 0 ⊆ S i δ 0 = δ|S 0 ×X , tzn. jeśli
(S 0 , (fx )x∈X ) ≤ (S, (fx )x∈X ).
(b) Przeksztalcenie h : S → S 0 nazywa sie, homomorfizmem automatu
(S, X, δ) w automat (S 0 , X, δ 0 ), jeśli
h : (S, (fx )x∈X ) → (S 0 , (fx )x∈X )
jest homomorfizmem.
(c) Automat (S, X, δ) nazywamy iloczynem prostym automatów (S 0 , X 0 , δ 0 )
i (S 00 , X 00 , δ 00 ), jeśli S = S 0 × S 00 , X = X 0 × X 00 i
δ : S 0 × S 00 × X 0 × X 00 → S 0 × S 00 ;
(s0 , s00 , x0 , x00 ) 7→ (δ 0 (s0 , x0 ), δ 00 (s00 , x00 )) = (fx0 0 (s0 ), fx0000 (s00 )) =: f(x0 ,x00 ) (s0 , s00 ).
Uwaga. W teorii automatów rozważa sie, również pojecie
homomorfizmu
,
ogólniejsze od wyżej zdefiniowanego. Niech (S, X, δ) i (S 0 , X 0 , δ 0 ) bed
, a, au0
0
tomatami i ϕ : S → S , ψ : X → X funkcjami. Pare, (ϕ, ψ) nazywamy
homomorfizmem, jeśli
∀x ∈ X, ∀s ∈ S, ϕ(δ(s, x)) = δ 0 (ϕ(s), ψ(x))
0
lub równoważnie, jeśli ϕ(fx (s)) = fψ(x)
(ϕ(s)).
Twierdzenie 1.47. Jeśli (S, X, δ) ≤ (S 0 , X, δ 0 ), to monoid (S, X, δ) jest
obrazem homomorficznym monoidu (S 0 , X, δ 0 ).
Uwaga. Iloczyn dwóch automatów nazywa sie, również ich ukladem równoleglym. W teorii automatów rozważa sie, również automaty zwane ukladami
szeregowymi automatów. Maja, one jednak znacznie naturalniejsza, interpretacje, po dola,czeniu zbioru symboli wyjściowych.
1
PÓLGRUPY I MONOIDY
12
Uzupelniajac
, trójke, (S, X, δ) o zbiór Y symboli wyjściowych otrzymamy
piatk
e
(S,
X,
δ,
Y, λ), gdzie Y jest niepustym, skończonym zbiorem, zwanym
, ,
zbiorem symboli wyjściowych, a λ : S × X → Y jest funkcja,
, zwana, funkcja,
wyjścia.
Uklad szeregowy automatów A1 i A2 definiuje sie, wtedy jako automat
(S1 × S2 , X1 , Y2 , δ, λ),
gdzie X2 = Y1
oraz
δ((s1 , s2 ), x1 ) := (δ1 (s1 , x1 ), δ2 (s2 , λ1 (s1 , x1 ))),
λ((s1 , s2 ), x1 ) := λ2 (s2 , λ1 (s1 , x1 )).
W algebraicznej teorii automatów istnieja, metody konstruowania automatów z ukladów równoleglych i szeregowych automatów o szczególnie
prostej postaci. Z drugiej strony, istnieje twierdzenie (Krohna–Rodesa)
mówiace
o tym, że każdy automat można rozlożyć używajac
,
, tych dwóch
konstrukcji na automaty takiej prostej postaci. W wymienionych konstrukcjach i rozkladach duża, role, odgrywaja, pewne metody rozkladu pólgrup na
pólgrupy prostszej postaci.
Wprowadzone wyżej pojecia
i wlasności dotyczace
trójek (S, X, δ) daje
,
,
sie, na ogól przenieść na pia,tki (S, X, δ, Y, λ). Istotna, role, odgrywa pojecie
,
równoważności automatu. (Te same wejścia określaja, w obu automatach te
same wyjścia). Jedno z ważnych twierdzeń teorii automatów mówi, że dla
każdego automatu istnieje dokladnie jeden (z dokladnościa, do izomorfizmu)
równoważny mu automat minimalny (tzn. z minimalna, liczba, stanów).