Hydrodynamika – Prawo Darcy`ego równanie Eulera i Bernoulliego

Hydrodynamika – Prawo Darcy`ego równanie Eulera i Bernoulliego

Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego
równanie Eulera i Bernoulliego
Laminarna warstwa graniczna
3 listopada 2013
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego – przepływ przez ośrodki porowate
Henri Darcy, francuski inżynier-hydrolog. W połowie 19. wieku
nadzorował prace związane z zaopatrzeniem w wodę miasta Dijon,
stolicy francuskiej Burgundii.
Prawo wywodzi się z bardzo prostych założeń, dotyczących
mechanizmu przepływu płynu przez ośrodek porowaty – transport
płynu odbywa się poprzez cały układ nieregularnych i powykręcanych
w różne strony kanalików.
1 Prędkość przepływu jest bardzo mała. Zwykle są to prędkości
rzędu kilku centymetrów/dzień – chyba, że znajdujemy się w
bezpośrednim sąsiedztwie źródła (lub upustu), kiedy taka
prędkość może być rzędu 1m/dzień. Ten fakt uprawnia nas do
położenia pochodnej śledczej prędkości („lewa” strona równ. N-S)
równej zeru.
2 Całkowita siła działająca na element objętości płynu składa się z:
grawitacji, sił ciśnienia (zwykle bez ciśnienia zewnętrznego, np.
atmosferycznego) i sił tarcia lepkiego i jest równa zeru:
(1)
ρg − ∇P + f tarcie lepkie = 0.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego, c.d.
Założenie Darcy’ego polega na przyjęciu, że te ostatnie siły (tarcie
lepkie – cały czas odniesione do jednostki objętości) są proporcjonalne
do właściwego wydatku przepływu u – objętości cieczy, która
przepływa w 1s przez powierzchnię 1m2 , prostopadłą do kierunku û
(zauważmy, że jest to wielkość wektorowa; jest to po prostu prędkość
transportu płynu w ośrodku).
Jeżeli wprowadzić pojęcie prędkości średniej płynu w ośrodku v, to te
dwie wielkości są powiązane z sobą poprzez porowatość ośrodka u = v.
(2)
Założenie Darcy’ego to
(3)
µ
f tarcie lepkie = − u
k
(µ – lepkość płynu; k – przepuszczalność (permeability) ośrodka,
wielkość której definicja wynika właśnie z powyższego równania).
Tak więc – uwzględniając siły tarcia lepkiego według pomysłu
Darcy’ego w (1)
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego, c.d.
(4)
ρg − ∇P −
u=
(5)
µ
u = 0,
k
albo
k
[ρg − ∇P ] .
µ
Dla pola sił ciężkości g(0, 0, −g) trzy składowe skalarne to
ux
uy
uz
k ∂P
,
µ ∂x
k ∂P
= −
,
µ ∂y
kρg
∂
P
= −
z+
µ
∂z
ρg
= −
Te trzy równania to równania pojawiające się w książce Clarka; –
pamiętajmy P to całkowite ciśnienie (modyfikowane +
hydrostatyczne).
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Hydrolodzy wprowadzają jeszcze jedną stałą, zapisując trzy równania
w notacji wektorowej
(6)
u = −κ grad Φ
gdzie
kρg
µ
to tzw. przewodność hydrauliczna, a
κ=
(7)
Φ=z+
P
ρg
to tzw. wysokość słupa wody gruntowej – wysokość na jakiej ustala
się poziom wody, w otwartej pionowej rurze, liczony względem
(dowolnie wybranego – wszystko jest pod znakiem gradientu!)
poziomu odniesienia.
W powyższych rozważaniach „zapomnieliśmy” o ciśnieniu
zewnętrznym (atmosferycznym). Oczywiście, jeżeli ono występuje to
wysokość słupa wody gruntowej będzie odpowiednio (o ca. 10 m)
mniejsza. Ale b.często ciśnienie zewnętrzne jest pomijane – transport
wód podziemnych odbywa się „w izolacji” od wpływów zewnętrznego
ciśnienia atmosferycznego.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego, c.d.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego, c.d.
Przepływ przez porowatą kolumnę.
(8)
u=−
k dP
.
µ dx
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Prawo Darcy’ego, c.d.
Ze względu na duże podobieństwo tego wzoru ze wzorem
Hagena-Poiseuille’a można było to empiryczne prawo Darcy’ego
poddać dalszej analizie. Równ.
uz = −
1 dp 2
a .
8µ dz
można uogólnić do postaci
v=
(9)
m2 ∆P
,
k0 µ L r
gdzie k0 to pewna stała, Lr – długość rury, a m – to tzw. promień
hydrauliczny
(10)
m=
przekrój rury
.
(zwilżany) obwód rury
Dla „zwykłej” rury o promieniu a wielkość m = πa2 /2πa = a/2 i
równ. (9) staje się identyczne z równ. H-P dla k0 = 2.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
W „prawdziwym” ośrodku porowatym
(11)
m=
objętość porów
V
=
,
(zwilżana) powierzchnia ośrodka porowatego
V (1 − )S0
gdzie V to całkowita objętość ośrodka, – jej ułamek zajęty przez
pory – porowatość; S0 to powierzchnia właściwa: jest to powierzchnia
ośrodka porowatego przypadająca na jednostkową objętość frakcji
stałej ośrodka
(12)
S0 =
powierzchnia ośrodka porowatego
.
jednostkowa objętość frakcji stałej ośrodka
Wielkość v występująca po lewej stronie równ. (9) to średnia
prędkość w porach, która jest związana z prędkością u z prawa
Darcy’ego (równ. (8)) związkiem v = u/.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Po odpowiednich podstawieniach równ. (9) przybiera postać
(13)
u=
3
∆P
1
.
2
k0 µ S0 (1 − )2 Lr
W przypadku ośrodka porowatego Lr to długość „typowej” rurki
ośrodka, która może być powiązana z rzeczywistym wymiarem
liniowym L ośrodka poprzez stałą Kożennnego K:
K=
(14)
Lr
k0 ;
L
po tym podstawieniu równ. (13) ma postać
(15)
u=
1
3
∆P
.
2
2
Kµ S0 (1 − ) L
Wartość stałej K bywa różnie przyjmowana, w zależności od typu
ośrodka porowatego (np. K = 5). Zauważmy też, że z (15) i prawa
Darcy’ego otrzymujemy wzór na współczynnik przepuszczalności:
(16)
k=
3
.
KS02 (1 − )2
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Płyny nielepkie i równanie Eulera
Płyn nielepki („sucha woda”) opisuje równanie N-S, w którym
kładziemy µ = 0.
(17)
ρ
∂u
+ ρ(u · ∇)u = −∇P + ρg.
∂t
Jest to tzw. równanie Eulera (już pierwszego rzędu, ale w dalszym
ciągu nieliniowe). Z tego też powodu, w równaniu tym pojawia się
dodatkowy problem: nie ma w nim miejsca na warunek braku poślizgu
(zerowanie się prędkości na nieruchomych ściankach) – kontury
graniczne obszaru przepływu są także liniami prądu.
Przepływ potencjalny albo bezwirowy to taki, w którym wirowość
(rotacja wektora prędkości) jest równa zeru:
(18)
ω = ∇ × u = 0.
Bezwirowe przepływy to takie, w których cząsteczki płynu
poruszające się wzdłuż linii prądu nie doznają obrotów. Twierdzenie
Kelvina o zachowaniu (bez)wirowości w przypadku płynu nielepkiego:
przepływ (np. opływ sfery), który zaczął się jako bezwirowy (gdzieś
daleko ) pozostaje bezwirowym także i jej bezpośrednim sąsiedztwie.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Wektor, którego rotacja jest równa zeru można zawsze przedstawić
jako gradient pewnej funkcji skalarnej – potencjału prędkości φ. Z
równ. (18) wynika więc
(19)
u = ∇φ.
Dla cieczy nieściśliwej i przepływu potencjalnego mamy raz jeszcze
(20)
∇2 φ = 0,
do którego muszą być dołączone odpowiednie warunki brzegowe.
Z powyższego wynika, że opis przepływu potencjalnego cieczy
nielepkiej sprowadza się w zasadzie do rozwiązywania równania
Laplace’a. Dla przepływów dwuwymiarowych (o dwóch stopniach
swobody – jak np. opływ sfery) istnieje jeszcze bardzo skuteczna,
elegancka i „fizyczna” metoda odwzorowań konforemnych , albo
potencjału zespolonego. Podstawy tej metody, także w zastosowaniu do
przepływów można znaleźć we wspomnianym już pierwszym rozdziale
wykładu MMF. Metoda odwzorowań konforemnych to naprawdę
piękny przykład zastosowań matematycznego narzędzia – rachunku
funkcji zmiennej zespolonej, do rozwiązywania problemów fizycznych.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Równanie Bernoulliego
Na wykładzie fizyki równanie to pojawia się zazwyczaj jako bilans
energii w przepływie ustalonym (a więc taki, dla którego można
określić linie i rurki prądu). Jest to równanie ruchu; dla ustalonego
przepływu cieczy nielepkiej równanie Eulera (17) można zapisać
1
(u · ∇)u = − ∇P + ∇G,
ρ
(21)
gdzie ∇G ≡ g; a więc G to potencjał siły ciężkości (objętościowej).
Lewą stronę (21) można przekształcić wykorzystując tożsamość
algebry wektorów (podwójny iloczyn wektorowy!)
1
(u · ∇u) = ∇
u · u − u×(∇ × u)
2
i wprowadzając wirowość (równ. (18)). Po podstawieniu mamy
(22)
∇
1
1
u · u − u × ω = − ∇P + ∇G.
2
ρ
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Po podstawieniu mamy
∇
(23)
1
1
u · u − u × ω = − ∇P + ∇G.
2
ρ
Pierwszy wyraz po prawej stronie to
!
Z
1
1
dp
− ∇P = − ∇p ≡ ∇
,
ρ
ρ
ρ
(24)
gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż linii prądu. Tak więc
!
Z
∇
(25)
dp 1
+ u · u − G = u × ω.
ρ
2
Mnożąc obie strony (25) skalarnie przez u dostajemy
!
Z
u·∇
(26)
dp 1
+ u · u − G = 0,
ρ
2
albo
(27)
Z
dp 1
+ u · u − G = stała wzdłuż linii prądu.
ρ
2
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Dla ρ = constans i G = −gz (oś 0z skierowana pionowo w górę)
(28)
p 1 2
+ u + gz = stała wzdłuż linii prądu
ρ 2
– powszechnie znana postać „prawa zachowania trzech energii: energii
sił ciśnienia, kinetycznej i potencjalnej sił ciężkości” w przepływie
ustalonym.
Warto jeszcze na zakończenie dodać, że dla przepływu potencjalnego
równ. (29) jest też słuszne, ale w sposób „mocniejszy” – stała po
prawej stronie jest stała globalną (taką samą w całej objętości cieczy).
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Laminarna warstwa graniczna
Można powiedzieć, że nauka o mechanice płynów to także nauka o
sztuce kompromisu.
W wielu przypadkach opisujemy realne sytuacje jako przepływy
płynów w zasadzie nielepkich i okazuje się, że takie podejście w
zasadzie nieźle działa.
Ale nie działa ono do końca poprawnie w warstwach płynów
bezpośrednio przylegających do pewnych stałych powierzchni,
opływanych przez płyn.
Innymi słowy: nawet jeżeli „prawie wszędzie” przepływ jest nielepki,
to musimy pogodzić się z faktem, że istnieje coś co nazywamy warstwą
graniczną, w której rzeczywisty płyn zachowuje się jak płyn lepki. W
szczególności, w warstwie tej spełniony jest warunek zerowania się
prędkości płynu na (nieruchomych) powierzchniach ograniczających
przepływ.
Takie tworzenie się warstwy granicznej obserwowaliśmy już na
rysunku, w którym dolna ściana naczynia zaczyna, w chwili t = 0 ruch
z prędkością U .
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Przepływ cieczy z (niezaburzoną) prędkością U nad
długą i płaską płytą
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
W tym przypadku uznajemy (znowu umownie) warstwę graniczną, za
obszar w którym prędkość cieczy u ¬ 0.99U .
Warstwa graniczna z rysunku jest już w pełni ukształtowana, a więc
upłynął już dostatecznie długi czas aby przepływ osiągnął stan
ustalony.
W odróżnieniu od poprzedniej sytuacji, w której płyta była
nieskończenie długa i poruszając się względem płynu powodowała
stopniowe narastanie warstwy granicznej w kierunku pionowym – a
więc nie było tam sytuacji, którą kojarzymy z przepływem ustalonym,
– tutaj mamy warstwę graniczną, w której nieruchoma płyta
przekazuje znajdującemu się nad nią płynowi „ujemny pęd” (hamuje
go).
Warstwa graniczna narasta w dodatnim kierunku osi 0x, a jej
nachylenie powoduje, że wytwarza się pewna, różna od zera, składowa
prędkości w kierunku pionowym (osi 0y).
Składowa x-owa równań N-S (jak zwykle ignorujemy skutki siły
ciężkości) (ux ≡ u; uy ≡ v) ma postać
!
(29)
u
∂u
1 ∂p
∂u
+v
=−
+ν
∂x
∂y
ρ ∂x
∂ 2u
∂ 2u
+
.
∂x2
∂y 2
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Aby rozwiązać to równanie należy go . . . maksymalnie uprościć,
odrzucając te wyrazy które są wyraźnie mniejsze od pozostałych.
Grubość warstwy granicznej δ = δ(x) jest zwykle bardzo mała w
porównaniu w wartościami x i y dla których szukamy rozwiązania
(30); małe są także różnice w grubości warstwy dla różnych x-ów.
Możemy ( (30)) uprościć do postaci
u
(30)
∂u
∂u
∂ 2u
.
+v
=ν
∂x
∂y
∂y 2
Mamy też równanie ciągłości
∂u
∂v
+
=0
∂x
∂y
(31)
i warunki brzegowe:
(32)
u = v = 0 dla y = 0
u=U
dla y = ∞
Rozwiązanie układu równań (31) i (32) jest trudne (Blasius, 1908)
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Można wprowadzić (tak, jak robimy to metodzie potencjału
zespolonego) funkcję prądu Ψ:
z faktu, że spełnione jest (32) wynika, że istnieje Ψ = Ψ(x, y), takie
że
(33)
u=
∂Ψ
,
∂y
v=−
∂Ψ
.
∂x
Przy takich podstawieniach równ. (31) przyjmuje postać
(34)
∂ 3Ψ
∂Ψ ∂ 2 Ψ
∂Ψ ∂ 2 Ψ
=
ν
.
−
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
∂y 3
Następnie dokonujemy podstawienia (ma ono m.in. związek z
operacją pozbawiania wymiarów wielkości w równaniu):
√
y
Ψ(x, y) = νU xf (η);
η= √
2 νx/U
po nietrudnych, ale żmudnych rachunkach dochodzimy do na pozór
prostego równania
(35)
f 000 + f f 00 = 0,
z warunkami: f = f 0 = 0 dla η = 0; f 0 (∞) = 2.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Rozwiązanie (36) można uzyskać numerycznie i wykorzystać
obliczoną funkcję f i jej pochodne – obliczone dla konkretnej wartości
bezwymiarowej zmiennej η – do wyliczenia u i v.
Na przykład, można wyliczyć że przy kryterium dla „brzegu” warstwy
granicznej: u = 0.99U , jej grubość δ ma postać
r
(36)
δ = δ(x) = 5x
ν
1
≡ 5x √
.
Ux
Rex
Wielkość Rex = U x/ν to liczba Reynoldsa warstwy granicznej.
Powyższe wzory są intuicyjnie dość oczywiste.
Wynika z nich np., że gdy U rośnie to rośnie także Rex , a więc
grubość warstwy granicznej maleje.
Im większe U tym większa bezwładność warstw płynu w sąsiedztwie
płyty i tym trudniej „poddają się” one wpływom lepkości.
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Dalsze rachunki pozwalają np. wyliczyć składową tensora naprężeń na
powierzchni płyty:
U U 1/2 00
∂u =
.
.
.
=
f (0).
(37)
τxy |y=0 = µ
∂y 4 νx
y=0
Po skorzystaniu z danych numerycznych otrzymujemy
(38)
τxy |y=0 = 0.332µU
U
νx
1/2
.
Ta składowa tensora naprężeń, to strumień x-tej składowej pędu w
kierunku osi 0y,
tzw. opór naskórkowy opływanej przeszkody (płyty).
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera
Nawiązując do prawa Newtona (rozdz. 2) możemy wprowadzić
współczynnik oporu naskórkowego płyty:
(39)
Cf x =
τxy |y=0
ρU 2 /2
= . . . = 0.664Rex−1/2
i jego wartość średnią, dla płyty o długości L
(40)
Cf L
1ZL
−1/2
=
Cf x dx = . . . = 1.32ReL .
L 0
Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera