1 Przykład makroekonomicznego modelu wielorównaniowego Ct

Transkrypt

Ekonometria – modele wielorównaniowe
opracowanie: Jakub Boratyński
Przykład makroekonomicznego modelu wielorównaniowego1
C t =α 1 D t +α 2 C t - 1 +α 0 + ε 1 t
I t =β 1 R t +β 2 (D t −D t - 1 )+β 0 + ε 2 t
D t =C t +I t +G t
Gdzie C – konsumpcja, D – dochód narodowy (PKB), I – inwestycje, R – stopa procentowa,
G – wydatki rządowe (ε oznacza składniki losowe) .
Zmienne modelu wielorównaniowego dzielimy na:
• endogeniczne – objaśniane przez równania modelu (w powyższym przykładzie są to
zmienne C, I, D),
• egzogeniczne – wartości tych zmiennych pochodzą spoza modelu (w powyższym
przykładzie są to zmienne R, G).
Dodatkowo wyróżnia się grupę tzw. zmiennych z góry ustalonych. Do zmiennych z góry
ustalonych zaliczamy zmienne egzogeniczne oraz zmienne endogeniczne opóźnione.
W powyższym przykładzie do zmiennych z góry ustalonych zaliczyć można zmienne Rt, Gt,
Ct-1, Dt-1. Pozostałe zmienne to zmienne endogeniczne bieżące (nieopóźnione), lub inaczej –
zmienne objaśniane – Ct, It, Dt.
Modele wielorównaniowe dzielimy na:
• proste,
• rekurencyjne,
• współzależne.
Model prosty – model, w którym nie występują związki między zmiennymi objaśnianymi
(inaczej: brak związków jednoczesnych między zmiennymi endogenicznymi). Tym samym
zmienne endogeniczne nieopóźnione są funkcjami wyłącznie zmiennych z góry ustalonych.
Model rekurencyjny – model, w którym zależności między zmiennymi objaśnianymi są
jednokierunkowe (np. jeżeli zmienna Y wpływa na Z, to Z nie wpływa – ani bezpośrednio, ani
pośrednio – na Y).
Modele wielorównaniowe, które nie należą do jednej z dwóch powyższych klas, nazywane są
modelami współzależnymi. W modelach tej klasy występuję łączna współzależność między
co najmniej dwiema zmiennymi objaśnianymi (np. zmienna Y wpływa na Z i jednocześnie Z
wpływa na Y).
Przynależność danego modelu do jednej z powyższych klas najłatwiej określić na podstawie
analizy grafu.
1
por. K. Kukuła (red.), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 1999,
str. 284
1
Postać modelu. Mnożniki.
Model wielorównaniowy można zapisać w postaci:
• strukturalnej,
• zredukowanej,
• końcowej.
Postać strukturalna:
A0yt + A1yt–1 + … + Asyt–s + B0xt + B1xt–1 + … + Brxt–r = εt
gdzie y – wektor zmiennych endogenicznych, x – wektor zmiennych egzogenicznych,
ε – wektor składników losowych, A i B – macierze parametrów.
Równania w postaci strukturalnej odzwierciedlają bezpośrednio teorię ekonomiczną, leżącą
u podstaw budowy modelu.
Dalej posługiwać się modelem będącym uproszczeniem modelu zapisanego wyżej:
Ayt + A1yt–1 + Bxt = εt
Postać zredukowana – w tej postaci wektor zmiennych objaśnianych yt przedstawiany jest
jako funkcja wyłącznie zmiennych z góry ustalonych (i składników losowych):
yt = –A–1A1yt–1 – A–1Bxt + A–1εt = D1yt–1 + D0xt + A–1εt
Macierz D0 nazywana jest macierzą mnożników bezpośrednich.
Postać końcowa – w tej postaci wektor zmiennych objaśnianych yt przedstawiany jest jako
funkcja opóźnionych zmiennych egzogenicznych oraz początkowych (startowych) wartości
zmiennych endogenicznych (tj. wartości w okresie startowym: t–S):
S −1
yt = D1S yt–1 +
S −1
∑ D1s D0 x t −s +
∑D A
s =0
s =0
s
1
−1
ε t −s
Z postaci końcowej modelu wynikają formuły mnożników:
mnożniki bezpośrednie: D0
mnożniki pośrednie: M s = D1s D 0
mnożniki skumulowane: C s = D 0 + D1D 0 + D12 D 0 + K + D1s D 0
∞
mnożniki całkowite (długookresowe): N = ∑ D1s D0 = (1 − D1 ) −1 D 0
s =0
[przekształcenie we wzorze na mnożniki całkowite prawidłowe jest przy spełnieniu
określonych założeń]
Interpretacja mnożników omówiona zostanie w przykładzie 2.
2
Przykład 1
Określ do jakiej klasy (prostych, rekurencyjnych, współzależnych) należy poniższy model
wielorównaniowy. Zapisz model w macierzowej postaci strukturalnej:
y 1t =α1 y 4t + α2 y 2t +α3 y 2t-1 + α4 y 4t-1 + α0 + ε 1t
y 2t =β 1 y 4t +β 2 y 3t +β 3 y 1t-1 + β 4 x 1t + ε 2t
y 3t = λ 1 x 1t +λ 2 x 2t + λ 0 + ε 3t
y 4t = δ1 y 3t + δ2 y 2t-1 + δ3 x 1t + δ4 x 2t + δ0 + ε 4t
Rozwiązanie
Do zaklasyfikowania modelu najwygodniej posłużyć grafem zależności między zmiennymi
endogenicznymi (wyłącznie nieopóźnionymi):
y1t
y2t
y4t
y3t
Rozważany model należy do klasy rekurencyjnych, ponieważ przedstawione na grafie
powiązania (ani żaden fragment systemu powiązań) nie mają charakteru cyklicznego.
Przed zapisaniem modelu w postaci macierzowej wygodnie jest uporządkować
równania:
y1 t − α2 y2 t
− α1 y4 t
− α3 y2 t -1
− α4 y4 t -1
y2t −β 2y3t −β 1y4t −β 3y1t-1
−β 4x1t
y3t
−λ1x1t −λ2x2t
− δ1y3t
+y4t
− δ2y2t-1
− δ3x1t − δ4x2t
blok zmiennych
endogenicznych
nieopóźnionych
1 − α 2
0
1
0
0
0
0

 0
− β
+ 4
−λ
 1
− δ3
blok zmiennych
endogenicznych
opóźnionych o 1 okres
− α 1   y1t   0
− β 2 − β 1  ⋅  y 2t  +  − β 3
1
0   y 3t   0
− δ1
1   y 4t   0
A0
yt
0
−α0 
ε 1t 
x 
0
0   1t  ε 2t 
⋅ x =
− λ 2 − λ0   2t  ε 3t 
 1
 
− δ 4 − δ 0    ε 4t 
B
xt
εt
0
0 − α 4   y1t −1 
0
0  ⋅  y 2t −1  +
0
0   y 3t −1 
0
0   y 4t −1 
A1
yt-1
−α3
0
0
−δ2
3
blok zmiennych
egzogenicznych
poszczególne
− α0 =
=
−λ0 =
− δ0 =
ε1t
ε2t
ε3t
ε4t
Przykład 2 – analiza mnożnikowa2
Dany jest prosty model makroekonomiczny o oszacowanych parametrach. Oblicz
i zinterpretuj mnożniki bezpośrednie oraz pośrednie i skumulowane pierwszego i drugiego
stopnia.
C t =0,3 D t +0,5 C t - 1 +10+ e 1 t
I t =−0,1 R t +0,2( D t − D t - 1 )+5+ e 2 t
Dt=Ct+It+Gt
gdzie:
Ct – konsumpcja,
It – inwestycje,
Dt – dochód narodowy (PKB),
Rt – stopa procentowa (w %),
Gt – wydatki rządowe,
e1t, e2t – reszty empiryczne.
Zmienne C, I, D, G wyrażone są w mln zł, w cenach stałych.
Rozwiązanie
W zapisie macierzowym model ma następującą postać:
0 − 0,3 C t  0,5 0
0  C t −1   0
1
0 10  Rt   e1t 
 0 1 − 0,2 ⋅  I t  =  0 0 − 0,2 ⋅  I t −1  + − 0,1 0 5  ⋅ Gt  + e2t 
− 1 − 1
1   Dt   0 0
0   Dt −1   0
1 0   1   0 
Aby uzyskać postać zredukowaną modelu, należy obie strony układu pomnożyć lewostronnie
przez macierz:
−1
0 − 0,3
1
1,6 0,6 0,6
 0 1 − 0,2 = 0,4 1,4 0,4
− 1 − 1
 2
1 
2
2 
0 − 0,3  C t  1,6
1,6 0,6 0,6  1
0,4 1,4 0,4 ⋅  0
1 − 0,2 ⋅  I t  = 0,4
 2
2
2  − 1 − 1
1   Dt   2
1,6 0,6 0,6   0
0 10  Rt  1,6
+ 0,4 1,4 0,4 ⋅ − 0,1 0 5  ⋅ Gt  + 0,4
 2
2
2   0
1 0   1   2
0,6 0,6 0,5 0
0   C t −1 
1,4 0,4 ⋅  0 0 − 0,2 ⋅  I t −1  +
2
2   0 0
0   Dt −1 
0,6 0,6  e1t 
1,4 0,4 ⋅ e2t 
2
2   0 
W wyniku otrzymujemy postać zredukowaną modelu:
C t   0,8 0 − 0,12  C t −1  − 0,06 0,6 19   Rt  1,6 0,6 0,6  e1t 
 I t  = 0,2 0 − 0,28 ⋅  I t −1  +  − 0,14 0,4 11 ⋅ Gt  + 0,4 1,4 0,4 ⋅ e2t 
 D   1 0 − 0,4   D   − 0,2
2 30  1   2
2
2   0 
  t −1  
 t 
yt
D̂1
yt-1
D̂ 0
xt
D0 jest macierzą mnożników bezpośrednich.
2
por. K. Kukuła (red.), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 1999,
str. 284; przykład opracowany dodatkowo przez B. Fraszczyka.
4
Interpretacja mnożników bezpośrednich:
− 0,06 0,6 19  C t
 − 0,14 0,4 11 I t
 − 0,2
2 30 Dt
Rt
Gt
1
Wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy spowoduje w bieżącym okresie:
- spadek konsumpcji o 0,06 mln zł,
- spadek inwestycji o 0,14 mln zł,
- spadek dochodu narodowego o 0,2 mln zł.
Wzrost wydatków rządowych o 1 mln zł spowoduje w bieżącym okresie:
- wzrost konsumpcji o 0,6 mln zł,
- wzrost inwestyci o 0,4 mln zł,
- wzrost dochodu narodowego o 2 mln zł.
Należy zwrócić uwagę na dwa istotne zjawiska:
- Wpływ np. stopy procentowej na inwestycje jest większy (-0,14) niż wynikałoby to z
interpretacji odpowiedniego parametru postaci strukturalnej (-0,1). Wynika to z faktu,
że mnożnik pokazuje efekt uwzględniający występowanie sprzężeń zwrotnych w
systemie (wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy powoduje początkowo
spadek inwestycji o 0,1 mln zł, niższe inwestycje oznaczają niższy dochód narodowy,
obniżenie dochodu narodowego z kolei wpływa na dalsze ograniczenie inwestycji oraz
konsumpcji itd. aż do osiągnięcia pewnego stanu równowagi).
- Zmienne egzogeniczne mogą oddziaływać na wszystkie zmienne endogeniczne, nie
tylko na zmienne dla których są zmiennymi objaśniającymi wg specyfikacji
poszczególnych równań (wynika to z podobnego mechanizmu jak opisany powyżej.
Mnożniki pośrednie stopnia s wyznaczamy wg wzoru:
ˆ =D
ˆ sD
ˆ
M
s
1 0
dla s=1 mamy:
 0,8 0 − 0,12   − 0,06 0,6 19   − 0,024 0,24 11,6 
ˆ =  0,2 0 − 0,28  ⋅  − 0,14 0,4 11  =  0,044 − 0,44 − 4,6 
M
1

 
 

2 30   0,02
− 0,2
7 
 1 0 − 0,4   − 0,2
Interpretacja:
 − 0,024 0,24 11,6  C t
 0,044 − 0,44 − 4,6  I
t


0,02
−
0,2
7
D


t
Rt
Gt
1
Wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy, który nastąpi jednorazowo (tzn. że w
kolejnych okresach stopa procentowa wróci do bazowej ścieżki), spowoduje, że w
następnym okresie:
- konsumpcja będzie o 0,024 mln zł mniejsza niż w wariancie bazowym (tzn. gdyby
zmiana stopy procentowej nie nastąpiła),
- inwestycje będą o 0,044 mln zł większe niż w wariancie bazowym,
- dochód narodowy będzie o 0,02 mln zł większy niż w wariancie bazowym.
Jednorazowy wzrost wydatków rządowych o 1 mln zł spowoduje, że w następnym okresie:
- konsumpcja będzie o 0,24 mln zł większa niż w wariancie bazowym,
- inwestycje będą o 0,44 mln zł mniejsze niż w wariancie bazowym,
- dochód narodowy będzie o 0,2 mln zł mniejszy niż w wariancie bazowym.
5
Dla s=2 mamy:
 0,8 0 − 0,12   0,8 0 − 0,12   − 0,06 0,6 19   − 0,0216 0,216 8 , 44 
ˆ
M 2 =  0,2 0 − 0,28  ⋅  0,2 0 − 0,28  ⋅  − 0,14 0,4 11  =  − 0,0104 0 ,104 0 , 36 

 
 
 

2 30   − 0 , 032 0 , 32 8 , 8 
 1 0 − 0,4   1 0 − 0,4   − 0,2
Jednorazowy wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy, spowoduje, że po dwóch
okresach:
- konsumpcja będzie o 0,0216 mln zł mniejsza niż w wariancie bazowym,
Jednorazowy wzrost wydatków rządowych o 1 mln zł spowoduje, że po dwóch okresach:
Należy zwrócić uwagę, że z reguły im odleglejsza perspektywa czasowa, tym obserwowane
efekty są słabsze, na co wskazuje porównanie mnożników bezpośrednich oraz pośrednich
stopnia 1 i 2.
Mnożniki skumulowane wyznaczamy wg wzoru:
ˆ =D
ˆ +D
ˆ D
ˆ
ˆ2ˆ
ˆsˆ
C
s
0
1 0 + D1 D 0 + K + D1 D 0
Dla s=1 mamy:
 − 0,06 0,6 19   − 0,024 0,24 11,6   − 0,084 0,84 30,6 
ˆ
C 1 =  − 0,14 0,4 11  +  0,044 − 0,44 − 4,6  =  − 0,096 − 0,04 6,4 

 
 

2 30   0,02
− 0,2
7   − 0,18
1,8
37 
 − 0,2
Interpretacja:
 − 0,084 0,84 30,6  C t
 − 0,096 − 0,04 6,4  I
t


−
0,18
1,8
37

 Dt
Rt
Gt
1
Trwały wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy (tzn, że stopa procentowa jest w
kolejnych okresacho 1 punkt procentowy wyższa niż na zakładanej ścieżce bazowej)
spowoduje, że w następnym okresie:
- konsumpcja będzie o 0,084 mln zł mniejsza niż w wariancie bazowym (tzn gdyby
zmiana stopy procentowej nie nastąpiła),
Trwały wzrost wydatków rządowych o 1 mln zł spowoduje, że w następnym okresie:
6
Dla s=2 mamy:
 − 0,06 0,6 19   − 0,024 0,24 11,6   − 0,0216 0, 216 8 , 44 
ˆ
C 1 =  − 0,14 0,4 11  +  0,044 − 0,44 − 4,6  +  − 0,0104 0 , 104 0 , 36  =

 
 

2 30   0,02
− 0,2
7   − 0, 032 0 , 32 8 , 8 
 − 0,2
 − 0,1056 1,056 39,04 
=  − 0,1064 0,064 6,76 


 − 0,212 2,12 45,8 
Interpretacja:
 − 0,1056 1,056 39,04  C t
 − 0,1064 0,064 6,76  I
t


−
0,212
2,12
45,8

 Dt
Rt
Gt
1
Trwały wzrost stopy procentowej o 1 punkt procentowy spowoduje, że po dwóch okresach:
- konsumpcja będzie o 0,1056 mln zł mniejsza niż w wariancie bazowym,
Trwały wzrost wydatków rządowych o 1 mln zł spowoduje, że po dwóch okresach:
7
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Określ do jakiej klasy (prostych, rekurencyjnych, współzależnych) należy każdy z poniższych
modeli wielorównaniowych. Zapisz modele w macierzowej postaci strukturalnej.
a)
Q t = α12 N t + β 11 +β 12 QM t + ε 1t
N t = α23 K t + β 21 + ε 2t
K t = α32 N t + β 31 +β 33 I t + ε 3t
b)
y1t= δ0 + δ1y2t + δ2 x1t+ δ3 x2t-1+ δ4y3t + ε1t
y2t=λ0+λ1x1t+λ2y3t+λ3x2t-1+ε2t
y3 t = φ0 + φ1 y2 t + φ2 y3 t -1 + ε3 t
c)
D t = α 0 + α 1 P t +α 2 M t + ε 1 t
Qt=β 0+β 1Qt-1+β 2Pt+ε2t
Zadanie 2
Zbudowano następujący model objaśniający kształtowanie się podaży pewnego produktu (y) i
jego ceny (p):
y t = 0,2 p t + 0,7 z t + e 1 t
p t = 1,5 y t + 0,875 m t + e 2 t
gdzie:
z – możliwości produkcyjne
m – średni dochód nabywców produktu
e 1, e 2 – reszty empiryczne
Zapisz model w postaci zredukowanej i zinterpretuj parametry tej postaci.
Literatura
Gajda J. B., Ekonometria. Wykład i łatwe obliczenia w programie komputerowym,
Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2004.
Kukuła K. (red.), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa
1999 (lub nowsze wydania).
8

1 Przykład makroekonomicznego modelu wielorównaniowego Ct

Transkrypt

Podobne dokumenty

Pobierz klucz z odpowiedziami na pytania z zawodów okręgowych

Odjazdy linii Ząbki-1 z pętli przy centrum handlowym M1

lista tytułów w pdf

Nazwa kierunku Informatyka i ekonometria Tryb studiów

AY = BAY •= BAY += BAY •=