AY = BAY •= BAY += BAY •=
Transkrypt
AY = BAY •= BAY += BAY •=
Funkcja logiczna NOT AND OR NAND IEEE distinctiveshape IEEE rectangularshape WyraŜenie algebraiczne tabelka zerojedynkowa Y=A Y = A •B Y = A +B Y = A •B A Y 0 1 1 0 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NOR XOR XNOR Y = A +B Y = A ⊕B ( Y = AB + AB) Y = A ⊕B ( Y = AB + AB) A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 KaŜdej sieci przełączającej odpowiada wyraŜenie algebry Boole’a lub zbiór takich wyraŜeń. Rodzaj wyraŜeń zaleŜy od budowy sieci i od elementów podstawowych z których jest ona zbudowana. Jedną z klas opisujących sieci zerojedynkowe są alternatywne wyraŜenia normalne (postać normalna sumy). Alternatywne wyraŜenia normalne. Alternatywne wyraŜenie normalne jest dowolną sumą iloczynów zmiennych lub ich negacji o tej własności, Ŝe w Ŝadnym iloczynie nie występują wielokrotnie te same czynniki, a w sumie nie ma powtarzających się składników. Pojęcie „iloczynu” moŜe oznaczać tylko jeden czynnik (zmienną lub jej negację), „suma” moŜe zawierać tylko jeden składnik, tzn. pojedyncze iloczyny. Przykłady alternatywnych wyraŜeń normalnych: x 1 x 2 + x 2 x 3 , x 1 x 2 x 3 + x 2 x 4 , x 1 + x 2 + x 4 , x1 x 3 , x 3 , x 2 poniŜsze wyraŜenia nie są wyraŜeniami normalnymi: x1 x 2 + x 2 x 4 + x 2 x 4 (występują dwa jednakowe składniki w sumie), x1 x 2 + x 2 x 3 x 3 (powtarzają się czynniki w iloczynie). Postać wyraŜeń normalnych wynika bezpośrednio z toŜsamości logicznych w algebrze Boole’a. Iloczyny, które nie są toŜsamościowo równe zeru, mogą mieć co najwyŜej n czynników (n - liczba zmiennych). Iloczyn róŜny od wartości stałej, który zawiera dokładnie n czynników jest nazywany iloczynem pełnym. Cechą charakterystyczną iloczynu pełnego jest to, Ŝe jest równy 1 dla tylko jednego ciągu wartości zmiennych. Np. dla n = 4: x1 x 2 x 3 x 4 jest iloczynem pełnym, który jest równy 1, gdy: x1 = x 2 = x 4 = 1 ∧ x 3 = 0 . Jeśli oznaczymy ciąg zmiennych jednym symbolem x = x 1, x 2 , x 3 , x 4 , moŜna stwierdzić Ŝe iloczyn jest równy jeden, gdy: x = 1101. Jeśli znamy postać ciągu zerojedynkowego moŜemy zapisać iloczyn, np. gdy x = 0110 iloczyn ma postać x1 x 2 x 3 x 4 . Iloczyn, zawierający n-1 czynników jest równy 1 dla dwóch róŜnych wartości ciągu x. Np. dla n=4 iloczyn x 2 x 3 x 4 jest równy 1 gdy x 2 = x 4 = 1 ∧ x 3 = 0 , wartość zmiennej x1 nie ma znaczenia poniewaŜ nie występuje ona w iloczynie. Ciąg zmiennych moŜna zapisać: x = -101. Kreska oznacza, Ŝe wartości zmiennych w określonym miejscu ciągu x są bez znaczenia (mogą przyjmować wartość 0 lub 1). Zatem po podstawieniu 0 lub 1 do ciągu x= -101 otrzymamy dwie kombinacje dla których iloczyn jest równy 1: 0101 i 1101. Iloczynom zawierającym n-2 czynniki odpowiadają ciągi z dwiema kreskami (cztery kombinacje zmiennych wejściowych dają wartość ciągu = 1). Np. iloczynowi x 2 x 3 (dla n=4) będzie odpowiadał ciąg -10- (kombinacje: 0100, 0101, 1100, 1101). Uogólniając powyŜsze moŜna stwierdzić, Ŝe dowolnemu alternatywnemu wyraŜeniu normalnemu, odpowiada zbiór wszystkich ciągów, odpowiadających składnikom wyraŜenia. Np. wyraŜeniu: x1 x 2 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 x 4 + x1 odpowiada zbiór ciągów: 10 – –, 11 – 1, 1 – 0 0 , 0 – – –. Oczywiście mając zbiór ciągów moŜna zapisać odpowiadające mu wyraŜenie alternatywne: Np. zbiorowi: 1 – 0 –, 0 – 1 1, 1 0 0 0, 0 – 1 – odpowiada wyraŜenie x1 x 3 + x1x 3 x 4 + x1 x 2 x 3 x 4 + x1x 3 . Tablicę zerojedynkową wyraŜenia w = x1 x 3 + x 4 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 i wszystkich jego składników przedstawiono poniŜej: iloczyny x1 x2 x3 x4 x1 x 3 x4 x1 x 2 x 4 x1x 3 w 100– 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0–1– 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ciągi 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1–0– 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 –––1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Zamiast zapisu w tabelkach zerojedynkowych stosuje się zapis w tzw. Tabelach Karnaugh’a. Krawędzie tabel Karnaugh’a opisane są przy pomocy kodu Graya (refleksyjnego), co pozwala na łatwe znajdywanie 1 dla określonego iloczynu zmiennych, kombinacje, w których tylko jedna zmienna ma inną wartość są swoimi sąsiadami. X1 X1 X2 0 X2 1 00 X3 0 0 1 1 n=2 01 11 n=3 10 X1 X2 X3 X4 X1 X2 00 01 11 10 X3 X4X5 00 000 01 001 11 011 10 010 n=4 00 01 11 10 110 111 101 100 n=5 Przykład zapisu funkcji zerojedynkowej w tabelce zerojedynkowej i w tabeli Karnaugh’a: Koniunkcyjne wyraŜenia normalne. Koniunkcyjne wyraŜenie normalne jest dowolnym iloczynem sum zmiennych lub ich negacji o tej własności, Ŝe w Ŝadnej sumie nie występują jednakowe składniki, a w iloczynie nie ma powtarzających się czynników. Przykłady koniunkcyjnych wyraŜeń normalnych: ( x1 + x 2 )( x 2 + x 3 ) , ( x1 + x 2 + x 3 )( x 2 + x 4 ) , x1 + x 2 + x 4 , x1 x 3 , x 3 , x 2 poniŜsze wyraŜenia nie są wyraŜeniami normalnymi: ( x 1 + x 2 )( x 2 + x 4 )( x 2 + x 4 ) (występują dwa jednakowe czynniki w iloczynie), ( x1 + x 2 )( x 2 + x 3 + x 3 ) (powtarzają się składniki sumy). Sumy, które nie są toŜsamościowo równe 1, mogą mieć co najwyŜej n składników (n - liczba zmiennych). Suma róŜna od wartości stałej, która zawiera dokładnie n składników jest nazywana sumą pełną. Cechą charakterystyczną sumy pełnej jest to, Ŝe jest równa 0 dla tylko jednego ciągu wartości zmiennych. Np. dla n = 4: x1 + x 2 + x 3 + x 4 jest sumą pełną, który jest równy 0, gdy: x 1 = x 2 = x 4 = 0 ∧ x 3 = 1 . Jeśli oznaczymy ciąg zmiennych jednym symbolem x = x1, x 2 , x 3 , x 4 , moŜna stwierdzić Ŝe suma jest równa 0, gdy: x = 0 0 1 0. Jeśli znamy postać ciągu zerojedynkowego moŜemy zapisać sumę, np. gdy x = 0 1 1 0 suma ma postać x1 + x 2 + x 3 + x 4 . Podobnie jak w przypadku wyraŜeń alternatywnych moŜna stwierdzić, Ŝe dowolnemu koniunkcyjnemu wyraŜeniu normalnemu, odpowiadających czynnikom iloczynu. odpowiada zbiór wszystkich ciągów, Np. wyraŜeniu: ( x1 + x 2 )( x1 + x 2 + x 4 )( x1 + x 3 + x 4 )x1 odpowiada zbiór ciągów: 0 1 – –, 0 0 – 0, 0 – 1 1 , 1 – – –. Oczywiście mając zbiór ciągów moŜna zapisać odpowiadające mu wyraŜenie koniunkcyjne: Np. zbiorowi: 0 – 1 –, 1 – 0 0, 0 1 1 1, 1 – 0 – odpowiada wyraŜenie ( x1 + x 3 )( x1 + x 3 + x 4 )( x1 + x 2 + x 3 + x 4 )( x1 + x 3 ) . Tabelę zerojedynkową wyraŜenia w = ( x1 + x 3 )x 4 ( x1 + x 2 + x 4 )( x1 + x 3 ) i wszystkich jego składników przedstawiono poniŜej: sumy x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x1 + x 3 x4 x1 + x 2 + x 4 x1 + x 3 w ciągi 0–1– 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 –––0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 011– 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1–0– 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 W przypadku wyraŜeń alternatywnych normalnych stanem aktywnym w sieci opisanej takimi wyraŜeniami są jedynki. Jeśli sieć jest opisana przy pomocy wyraŜeń koniunkcyjnych stanem aktywnym jest zero.