cum udar

Teoria Obwodów 2
Wykład 3 – Metoda Klasyczna – część II
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/8
tel: (071) 320 21 60
fax: (071) 320 20 06
email: [email protected]
®
1
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1
Stan nieustalony w gałęzi RC ........................................................................................................................................................................................ 4
1.1
Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe ............................................................................................................................................... 4
1.2
Zwarcie w gałęzi szeregowej RC zasilanej początkowo napięciem stałym ........................................................................................................ 11
1.3
Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne ................................................................................................................................ 16
®
2
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Analiza obwodu w stanie ustalonym przed
komutacją
Warunek początkowy dla t=0-
Historia obwodu
t<0
t=0-
Warunek początkowy dla t=0+
Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe
dla pochodnych dla t=0+
t=0+
Układ równań Kirchhoffa
Równanie różniczkowe szukanej wielkości
Przyszłość obwodu
RSRN
składowa ustalona (wymuszona)
Analiza obwodu w stanie ustalonym
po komutacji
RORJ
składowa przejściowa (swobodna)
t>0
Określenie przewidywanej postać
składowej przejściowej na podstawie
wielomianu charakterystycznego
t->+inf
Wyznaczenie wartości składowej
ustalonej dla t=0+
Dla układów wyższego rzędu
wyznacznie wartości pochodnych
składowej ustalonej w chwili t=0+
Wyznaczenie wartości składowej
przejściowej w chwili to=+, oraz, dla
ukłądów wyższego rzędu, wartości
pochodnych składowej przejściowej w
chwili t=0+
Wyznaczenie stałych składowej
przejściowej
Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej)
oraz składowej przejściowej (swobodnej)
RORN=RSRN+RORJ
®
3
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1 Stan nieustalony w gałęzi RC
1.1 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe
t=0
R
i(t)
uR(t)
E
Dane:
e ( t ) = E = const. Jeden element zachowawczy – C
R, C
Równanie różniczkowe oprzeć na
uc ( t )
C
uc(t)
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
uC ( t ) = 0 , dla t < 0
uc ( 0 − ) = 0
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających
same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na
kondensatorze zachowuje prawo komutacji.
uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 0
®
4
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego
t>0
R
i(t)
uR(t)
E
uc(t)
E = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C
E = RC
C
duC ( t )
dt
uC ( t )
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
E = RC
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze uC t w stanie nieustalonym znajdziemy jako:
()
RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t )
4.
t → +∞ , analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa
ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) uCu ( t )
Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym po komutacji prąd w gałęzi z kondensatorem
będzie równy zeru. Stąd na rezystorze nie zanotujemy napięcia, a rozkład napięć w obwodzie podpowie
jak zwykle II Prawo Kirchoffa
E = Riu ( t ) + uCu ( t ) = 0 + uCu ( t ) → uCu ( t ) = E
®
5
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:
uCu ( 0+ ) = E
uCp ( t )
duCp ( t )
RC
+ uCp ( t ) = 0
dt
V ( λ ) = RCλ + 1
1
stwierdzamy jeden pierwiastek
RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = −
RC
5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)
Równanie jednorodne
Wielomian charakterystyczny
Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego
Przewidywana postać składowej
przejściowej
W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+
®
rzeczywisty
uCp ( t ) = Aeλt = Ae
uCp ( 0+ ) = A
6
−
1
t
RC
, dla t > 0
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+
uC ( 0 + ) = uCu ( 0 + ) + uCp ( 0 + )
Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej
0 = E + A ⇒ A = −E
Ostatecznie składowa przejściowa:
uCp ( t ) = − Ee
−
1
t
RC
, dla t > 0
6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej
(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):
RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) = E − Ee
®
7
−
1
t
RC
1
−
t ⎞
⎛
= E ⎜ 1 − e RC ⎟ , dla t > 0
⎝
⎠
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
uc(t)
E
uCu ( t ) = E
i(t)
uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t )
t
uCp ( t ) = − Ee
−
E
R
1
t
RC
1
t
E − RC
iC ( t ) = e
R
t
-E
®
8
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Gdyby padło „niestandardowe” pytanie o przebieg prądu w stanie nieustalonym w obwodzie z
kondensatorem, to po wyznaczeniu napięcia możemy zawsze skorzystać ze związków prądowonapięciowych tj.
duC ( t )
i ( t ) = iC ( t ) = C
dt
1
1
1
t ⎞
t ⎛
t
−
−
−
d⎛
1
E
⎞
RC
RC
RC
⋅⎜−
iC ( t ) = C ⎜ E − Ee
, dla t > 0
⎟= e
⎟ = −CEe
dt ⎝
⎝ RC ⎠ R
⎠
Idąc dalej możemy odkryć przebieg napięcia na rezystorze w stanie nieustalonym
1
1
t
t
−
E − RC
RC
= Ee
, dla t > 0
uR ( t ) = Ri ( t ) = R e
R
I tak otrzymujemy rozkład napięć, a raczej przebiegów napięć w stanie nieustalonym, w analizowanym
obwodzie
Sprawdzenie: II Prawo Kirchhoffa:
Wymuszenie: e t = E , dla t > 0
()
Rezystor:
uR ( t ) = Ee
Kondensator:
−
1
t
RC
, dla t > 0
uC ( t ) = E − Ee
®
e ( t ) = uR ( t ) + uC ( t ) , dla t > 0
−
1
t
RC
E = Ee
, dla t > 0
9
−
1
t
RC
+E−E
−
1
t
RC
=E
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Dla rozważanego przypadku stała czasowa obwodu
τ =−
1
λ
= RC . Stąd wniosek, że szybciej będzie
zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje.
Dla porównania, relacje dla stałej czasowej w szeregowym obwodzie RL wskazywały odwrotny kierunek
tj.
τ=
L
, skąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w gałęzi RL zawierającej duże
R
rezystancje.
uc(t)
E
τ2
i(t)
τ1 > τ2
τ1
E
R2
τ2
C1 = C2
R1 > R2
τ2
τ1 > τ2
τ1
E
R1
τ1
R1 >R2
t
t
τ2 τ1
®
10
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RC zasilanej początkowo napięciem stałym
t=0
R
i(t)
uR(t)
E
Dane:
e ( t ) = E = const. Jeden element zachowawczy – C
R, C
Równanie różniczkowe oprzeć na
uc ( t )
C
uc(t)
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym przed komutacją prąd w gałęzi z
kondensatorem był równy zeru, a w związku z tym napięcie na rezystorze też miało wartość równą zero.
Jedyne napięcie w oczku oprócz wymuszenia to napięcia na kondensatorze, więc
E = 0 + uC ( t ) → uC ( t ) = E , dla t < 0
uc ( 0 − ) = E
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po przełączeniu łącznika w pozycję zwierającą gałąź RC nie stwierdzamy oczek zawierających same
kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na kondensatorze
zachowuje prawo komutacji.
uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = E
®
11
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego
t>0
R
i(t)
uR(t)
uc(t)
0 = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C
0 = RC
C
duC ( t )
dt
uC ( t )
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
0 = RC
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. A zatem
szukane rozwiązanie tj. napięcie na kondensatorze uC t w stanie nieustalonym zawierać będzie
jedynie RORJ tj. składową przejściową (swobodną):
()
RORJ ⇒ uC ( t ) = uCp ( t ) , RSRN = 0 ,uCu ( t ) = 0
Potwierdza to również analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji. Jak widzimy, obwód poprzez
komutację zostaje pozbawiony wymuszenia, a energia pola elektrostatycznego rozładuje się w
zamkniętym obwodzie RC i ostatecznie napięcie na kondensatorze spadnie do zera.
uCu ( t ) = 0
®
12
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
uCp ( t )
duCp ( t )
+ uCp ( t ) = 0
RC
dt
V ( λ ) = RCλ + 1
1
stwierdzamy jeden pierwiastek
RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = −
RC
4. t>0, składowa przejściowa (swobodna)
Równanie jednorodne
Wielomian charakterystyczny
Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego
Przewidywana postać składowej
przejściowej
W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+
rzeczywisty
uCp ( t ) = Aeλt = Ae
uCp ( 0+ ) = A
−
1
t
RC
, dla t > 0
uC ( t ) = uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+
uC ( 0 + ) = uCp ( 0 + )
Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej
E = A⇒ A= E
Ostatecznie składowa przejściowa:
uCp ( t ) = Ee
®
13
−
1
t
RC
, dla t > 0
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
5. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym
RORJ ⇒ uC ( t ) = uCp ( t ) = Ee
−
1
t
RC
, dla t > 0
A prąd w analizowanej szeregowej gałęzi RC:
1
1
1
t ⎞
t ⎛
t
−
−
duC ( t )
d ⎛ − RC
1
E
⎞
RC
RC
i ( t ) = iC ( t ) = C
= C ⎜ Ee
⋅⎜ −
, dla t > 0
⎟=− e
⎟ = CEe
dt
dt ⎝
R
⎝ RC ⎠
⎠
u (t)
E
C
uC ( t ) = uCp ( t ) = Ee
1
t
−
RC
iC(t)
, dla t > 0
uCu ( t ) = 0 , dla t > 0
t=0
-E
t
E − RC1 t
, dla t > 0
iC ( t ) = − e
R
R
t
t=0
®
14
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Dla szeregowej gałęzi RC stała czasowa obwodu
τ =−
1
= RC . Stąd wniosek, że szybciej będzie
λ
zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje.
uc(t)
i(t)
C1 = C2
E
τ2
R1 > R2
τ1
t
τ1
0
τ1 > τ2
C1 = C2
R1 > R2
τ2
τ1
−Ε
τ1 > τ2
R
1
t
0
τ2
τ2
−Ε
τ1
R
2
®
15
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
1.3 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne
Dane:
Jeden element zachowawczy – C
R i(t)
t=0
e(t)
uR(t)
uC(t)
C
e ( t ) = Em sin (ωt + ψ e ) Równanie różniczkowe oprzeć na
uc ( t )
R, C
e(t)=Emsin(ω t+ψe)
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0Przed komutacją obwód pozostawał bez wymuszenia, w danych brak jest informacji o wstępnym
naładowaniu kondensatora, zatem możemy obwód traktować jako bezenergetyczny:
uC ( t ) = 0 , dla t < 0
uc ( 0 − ) = 0
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających
same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na
kondensatorze zachowuje prawo komutacji.
uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 0
®
16
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego
t>0
e(t)
e ( t ) = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C
uR(t)
uC(t)
C
Em sin (ωt + ψ e ) = RC
duC ( t )
dt
uC ( t )
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
e(t)=Emsin(ω t+ψe)
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
Em sin (ωt + ψ e ) = RC
duC ( t )
dt
+ uC ( t )
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze uC t w stanie nieustalonym znajdziemy jako:
()
RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t )
t → +∞ , analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa
ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) uCu ( t )
Ze względu na sinusoidalne wymuszenie e ( t ) = Em sin (ωt + ψ e ) , w stanie ustalonym po komutacji
4.
nie możemy traktować kondensatora jako „przerwy w obwodzie”, tak jak byłoby to przy wymuszeniu
®
17
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
stałym, ale raczej jako reaktancję. Do wyznaczenia składowej ustalonej
wykorzystać metodę symboliczną:
R
t → +∞ R i(t)
u
e(t)
uRu(t)
uCu(t)
uCu ( t )
Iu
U
C
Cu
E
Zapis
symboliczny
możemy zatem
-jX C
U
Ru
e(t)=Emsin(ω t+ψe)
Wartości rzeczywiste, czasowe
Zapis symboliczny, wektor zespolony, wskaz
Em
jψ e
E Ee
E j (ψ e −ϕ )
= e
=
Iu = =
jϕ
z
ze
z
uCu ( t ) = U Cum sin (ωt + ψ Cu ) =
®
R + 1
2
ωC
)
2
e
⎛−1
⎞
2
ω
C
⎜
⎟
z= R + 1
ωC ,ϕ = arctg ⎜ R ⎟
⎝
⎠
(
π⎞
1 Em
⎛
=
sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟
ωC z
2⎠
⎝
(
2
Powrót z zapisu
symbolicznego
18
U Cu
)
2
= − jX C ⋅ I u = 1
E j (ψ e −ϕ −π 2 )
ωc ⋅ z e
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
j (ψ e −ϕ )
Teoria Obwodów 2
W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:
1 Em
π⎞
⎛
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟
2⎠
ωC z
⎝
5. t>0, składowa przejściowa (swobodna) uCp ( t )
duCp ( t )
Równanie jednorodne
+ uCp ( t ) = 0
RC
dt
V ( λ ) = RCλ + 1
Wielomian charakterystyczny
1
Pierwiastki wielomianu
stwierdzamy jeden pierwiastek
RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = −
RC
charakterystycznego
uCu ( 0+ ) =
rzeczywisty
Przewidywana postać składowej
przejściowej
W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+
®
uCp ( t ) = Ae = Ae
λt
uCp ( 0+ ) = A
19
−
1
t
RC
, dla t > 0
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+
uC ( 0 + ) = uCu ( 0 + ) + uCp ( 0 + )
Wyznaczenie stałej A i
pełnej postaci składowej
przejściowej
1 Em
1 Em
π⎞
π⎞
⎛
⎛
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ + A ⇒ A = −
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟
0=
2⎠
2⎠
ωC z
ωC z
⎝
⎝
Ostatecznie składowa przejściowa:
1 Em
π ⎞ − RC1 t
⎛
uCp ( t ) = −
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
, dla t > 0
ωC z
2⎠
⎝
UWAGA:
Proszę zwrócić uwagę, że stała A przy składowej przejściowej nie
zawiera zmiennej czasu t. Jest to wartość funkcji sinusoidalnej w
konkretnej chwili czasowej t=t0=0.
6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej
(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):
RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t )
π ⎞ 1 Em
π ⎞ − RC1 t
1 Em
⎛
⎛
uC ( t ) =
sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ −
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
, dla t > 0
ωC z
2 ⎠ ωC z
2⎠
⎝
⎝
®
20
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Chcąc wyznaczyć pełen rozkład napięć w obwodzie w stanie nieustalonym, na podstawie wyrażenia na
uC t możemy najpierw wyliczyć prąd przepływający przez kondensator:
()
duC ( t )
1 Em
π⎞
⎛
cos ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ ⋅ ω +
i (t ) = C
=C⋅
2⎠
dt
ωC z
⎝
1 Em
π ⎞ − RC1 t ⎛ 1
⎛
⋅⎜ −
−C ⋅
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
2⎠
ωC z
⎝
⎝ RC
⎞
⎟=
⎠
⎛
Em
1 Em
π π ⎞
π ⎞ − RC1 t
⎛
=
sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − + ⎟ +
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
, dla t > 0
z
2 2 ⎠ ω RC z
2⎠
⎝
⎝
Jest to prąd w całej gałęzi szeregowej RC. Stąd napięcie na rezystorze u R ( t )
Em ⋅ R
R ⋅ 1 Em
π ⎞ − RC1 t
⎛
uR ( t ) = R ⋅ i ( t ) =
sin (ωt + ψ e − ϕ ) +
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
, dla t > 0
z
2⎠
ω RC z
⎝
Sprawdzenie II Prawa Kirchhoffa:
Em ⋅ R
1 Em
π ⎞ − RC1 t
⎛
e( t ) = u R ( t ) + uC ( t ) =
sin (ωt + ψ e − ϕ ) +
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
+
z
2⎠
ωC z
⎝
1 Em
π ⎞ 1 Em
π ⎞ − RC1 t
⎛
⎛
sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ −
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
,dla t > 0
2 ⎠ ωC z
2⎠
ωC z
⎝
⎝
®
21
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 ) , R = 1Ω , C = 1F ,τ = RC = 1s
uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]
ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e
1
uc [V]
0.5
0
-0.5
-1
0
®
1
2
3
4
5
t [s]
22
6
7
8
9
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 ) , R = 1Ω , C = 1F ,τ = RC = 1s
ur - RC; tau=1[s]
i - RC; tau=1[s]
uru
urp
ur=uru+urp
e
1
0.5
0.5
0
0
i [A]
ur [V]
1
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
1
2
3
4
®
5
t [s]
6
7
8
icu
icp
ic=icu+icp
-1.5
9
23
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Oceniając pracę obwodu RL załączanego na napięcie sinusoidalne wprowadziliśmy współczynnik udaru
prądowego (przetężenia), jako relacje pomiędzy maksymalną chwilową wartością prądu w stanie
nieustalonym a amplitudą prądu w stanie ustalonym. Współczynnik ten jest miarą przetężenia w obwodzie.
Podobnie próbując ocenić jakościowo miarę wpływu stanu przejściowego w obwodzie RC możemy
zdefiniować tzw. współczynnik udaru napięciowego, określony jako stosunek maksymalnej wartość
napięcia w stanie nieustalonym do wartości maksymalnej (amplitudy) przebiegu ustalonego. Dla zadanych
parametrów obwodu RC oraz amplitudy napięcia zasilającego Em, przebieg napięcia w stanie
nieustalonym, a co za tym idzie, możliwe wartości maksymalne, jakie może osiągnąć, zależeć będzie od
momentu komutacji t=t0 oraz fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e . Przy przyjęciu chwili załączenia
t=0, będziemy poszukiwać takiej fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e = ψ m , przy której napięcie na
kondensatorze w stanie nieustalonym osiągnie wartość największą z możliwych. Z matematycznego
punktu widzenia musimy zatem zbadać ekstrema funkcji uC t ,ψ e , ze względu na ψ e , czyli miejsca
(
zerowe pochodnej cząstkowej:
∂ uC ( t ,ψ e )
=0
∂ ψe
)
Dla odnalezionej z powyższego równania fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e
kroku poszukiwać będziemy chwili czasowej t=tm dla której
= ψ m , w następnym
uC ( t ,ψ e = ψ m )
osiągnie wartość
maksymalną. To zaś wymaga zbadania ekstremum funkcji ze względu na zmienną czasową:
∂ uC ( t ,ψ e )
=0
∂t
®
24
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Podstawiając za
uC ( t ) :
⎧ ∂ uC ( t ,ψ e )
=0
⎪ ∂ψ
⎪
e
⎨
⎪ ∂ uC ( t ,ψ e ) = 0
⎪⎩
∂t
⇒
ψ e = ψ m , t = tm
1 Em
π ⎞ 1 Em
π ⎞ − RC1 t
⎛
⎛
uC ( t ) =
sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ −
sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e
, dla t > 0
2 ⎠ ωC z
2⎠
ωC z
⎝
⎝
Otrzymamy:
tm
⎧ ∂ uc ( t ,ψ e )
Em ⎡
1
− RC
⎤
ω
sin
ω
t
ψ
ϕ
cos
ψ
ϕ
e
=
+
−
−
−
=0
(
)
(
)
m
m
m
⎪
⎢
⎥
=
t
t
m
∂t
Z ωC ⎣
RC
⎦
⎪⎪
ψ e =ψ m
⎨
tm
Em ⎡
− RC
⎪∂ uc ( t ,ψ e )
⎤ =0
sin
ω
t
ψ
ϕ
sin
ψ
ϕ
e
=
+
−
−
−
(
)
(
)
m
m
m
⎥⎦
⎪ ∂ψ e
t =tm
Z ωC ⎢⎣
ψ e =ψ m
⎪⎩
®
25
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Przekształcając:
tm
1
− RC
⎧
⎪ sin (ωtm + ψ m − ϕ ) = RωC cos (ψ m − ϕ ) e
⎨
⎪ sin (ωt + ψ − ϕ ) = sin (ψ − ϕ ) e − RCtm
m
m
m
⎩
Po podzieleniu stronami:
sin (ψ m − ϕ )
1 cos (ψ m − ϕ )
1
→
=
= tg (ψ m − ϕ )
RωC sin (ψ m − ϕ )
RωC cos (ψ m − ϕ )
1
1
Jednocześnie dla szeregowej gałęzi RC: −
= tg (ϕ ) →
= tg ( −ϕ )
RωC
RωC
tg (ψ m − ϕ ) = tg ( −ϕ )
1=
ψ m − ϕ = −ϕ + kπ
ψ m = kπ k = 0 , ± 1 , . . .
WNIOSEK: Największe wartości udaru napięciowego na kondensatorze w obwodzie RC możliwe są,
kiedy komutacja nastąpi dokładnie w chwili przejścia napięcia zasilającego przez zero.
Na przykład dla ψ e = ψ m = 0 ⋅ π = 0 napięcie na kondensatorze wyniesie:
uc ( t ) = −
®
Em ⎡
− t
cos (ωt − ϕ ) − cos (ϕ ) ⋅ e RC ⎤
⎦
Z ωC ⎣
26
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
Przy czym tm spełnia równanie:
e
t
m
− RC
sin (ωtm − ϕ )
=−
sin (ϕ )
Ostatecznie:
tm
Em ⎡
− RC
⎤=
uc max = uc ( tm )
t
=−
−
−
⋅
cos
ω
ϕ
cos
ϕ
e
(
)
(
)
m
⎥⎦
Z ωC ⎢⎣
ψ m =0
sin (ωtm − ϕ ) ⎤
Em ⎡
=
⎢ cos (ωtm − ϕ ) + cos (φ )
⎥=
Z ωC ⎣
sin (ϕ ) ⎦
sin (ωtm )
Em
=
⎡⎣ sin (ϕ ) cos (ωtm − ϕ ) + cos (ϕ ) sin (ωtm − ϕ ) ⎤⎦ = U cm
Z ωC sin (φ )
sin (ϕ )
Stąd można określić współczynnik udaru napięciowego:
ku =
sin (ωtm )
uc max
=−
= 1 + R 2ω 2 C 2 sin (ωtm ) = 1 + ctg 2 (ϕ ) ⋅ sin (ωtm )
Ucm
sin (ϕ )
®
27
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
(
e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 )
2
R = 1Ω ,C = 1F ,τ = RC = 1s
ku = 1.0762 ,tm = 0.723s
R = 1Ω ,C = 1F ,τ = RC = 1s
ku = 1.6191,tm = 0.4591s
uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]
uc - RC: tau=1[s], ku=1.0762, tm=0.723[s], psie=90[deg]
ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e
1
0.5
uc [V]
uc [V]
ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
)
e ( t ) = 2 sin 2π ⋅1 ⋅ t + π
1
2
3
4
®
5
t [s]
6
7
8
9
0
28
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski
Teoria Obwodów 2
UWAGA:
ƒ Odrębnym zagadnieniem praktycznym jest pojęcie przepięć w obwodach elektrycznych;
bezpośrednich i pośrednich – powstałych na skutek zjawisk atmosferycznych, uderzeń pioruna, bądź
łączeniowych.
ƒ Bliższe omawianemu zagadnieniu udaru napięciowego są zjawiska przepięć łączeniowych w
obwodach elektrycznych. W tym jednak przypadku zjawisko przepięć rozpatruje się przy udziale
indukcyjności L i pojemności, a wiec w ogólności układów RLC, nie tylko RC lub RL.
W skrócie:
zjawisko udaru prądowego – układy RL
zjawisko udaru napięciowego – układy RC
zjawisko udaru prądowego, napięciowego oraz przepięcia łączeniowe, oscylacje prądu – układy RLC.
®
29
Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski