Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2

Transkrypt

Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep
˛
Informacja niepewna, miary niepewności
Rozszerzenia zbiorów rozmytych
Logika rozmyta typu 2
Rozszerzenia zbiorów rozmytych.
Adam Niewiadomski
Instytut Informatyki, Politechnika Łódzka
Warszawa, 12 maja 2012 r.
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Reprezentacja informacji niepewnej
Miary niepewności informacji
Jezyk
˛
naturalny, informacja lingwistyczna
Informacja pewna
Źródła informacji pewnej
Dedukcja
Z prawdziwych przesłanek wynikaja˛ prawdziwe wnioski, np.
(p → q) ∧ p ⇒ q
Indukcja matematyczna
De facto jest to dedukcja
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Informacja pewna
Źródła informacji pewnej
Dedukcja
Z prawdziwych przesłanek wynikaja˛ prawdziwe wnioski, np.
(p → q) ∧ p ⇒ q
Indukcja matematyczna
De facto jest to dedukcja
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Informacja niepewna
Źródła informacji niepewnej (uncertain, także „niedoskonała” – imperfect,
vague – „niewyraźna”)
Indukcja wyliczeniowa
Uogólnienie na podst. przypadków, np. Case-Based Reasoning
Pomiary
Mam 184-186cm wzrostu, auto spala 7.0-7.4 litrów/100km
Percepcje (obserwacje, opinie)
Piekny
˛
dom, interesujaca
˛ dziewczyna, ciekawy film
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Informacja niepewna
Pomiary
Piekny
˛
dom, interesujaca
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Informacja niepewna
Pomiary
Piekny
˛
dom, interesujaca
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Zapis informacji niepewnej metodami tradycyjnymi. . .
. . . prowadzi do utraty jej cześci
˛ lub do jej (nieuprawnionej)
nadinterpretacji
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Zapis informacji niepewnej metodami tradycyjnymi. . .
. . . prowadzi do utraty jej cześci
˛ lub do jej (nieuprawnionej)
nadinterpretacji
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Informacja niepewna + miara niepewności = informacja użyteczna
Prawdopodobieństwo, statystyka
Próby losowe, miary zbiorów zdarzeń, testy, momenty, centyle, itp.
Trzecia wartość logiczna, zbiory i logiki wielowartościowe
Jutro bedzie
˛
bitwa morska – Arystoteles, Logika
Dom jest dość duży – element należy do zbioru (spełnia własność)
w pewnym stopniu
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jutro bedzie
˛
w pewnym stopniu
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jutro bedzie
˛
w pewnym stopniu
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
naturalny, informacja lingwistyczna (1/3)
Jezyk
˛
naturalny – najbardziej powszechny sposób komunikacji,
także w IT, np.
Jezyki
˛
programowania zmierzaja˛ w kierunku jezyka
˛
naturalnego, 3 GL,
4 GL, 5GL
Nowoczesne interfejsy użytkownika rozpoznaja˛ i generuja˛ mowe˛
ludzka˛
W jezyku
˛
naturalnym można przekazać praktycznie każda˛
informacje,
˛ zarówno pewna˛ jak i niepewna˛
Informacja zakodowana w jezyku
˛
naturalnym to
informacja lingwistyczna
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
Jezyk
˛
także w IT, np.
Jezyki
˛
˛
naturalnego, 3 GL,
4 GL, 5GL
ludzka˛
W jezyku
˛
informacje,
˛
naturalnym to
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
Jezyk
˛
także w IT, np.
Jezyki
˛
˛
naturalnego, 3 GL,
4 GL, 5GL
ludzka˛
W jezyku
˛
informacje,
˛
naturalnym to
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
Jezyk
˛
także w IT, np.
Jezyki
˛
˛
naturalnego, 3 GL,
4 GL, 5GL
ludzka˛
W jezyku
˛
informacje,
˛
naturalnym to
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
Niektóre metody reprezentowania informacji lingwistycznej
Logiki nieklasyczne dwuwartościowe (modalne, parakonsystentne,
temporalne),
np. konieczne że p to możliwe że p, p → ^p
Logiki nieklasyczne wielowartościowe (Łukasiewicz 1918)
Skończony zbiór n wartości logicznych: {0, n−1 1 , n−2 1 , . . . , nn−−21 , 1}
Nieskończony przeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ0
Nieskończony nieprzeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ1
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
temporalne),
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
temporalne),
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
temporalne),
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać
˛
np. paradoks łysego:
JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy
Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy
—————
Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy
Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku:
Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!)
W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
˛
—————
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
˛
—————
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
˛
—————
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
˛
—————
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Jezyk
˛
˛
—————
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Zbiór rozmyty jako reprezentacja informacji lingwistycznej
Zbiór rozmyty, fuzzy set [1]
A = {hx , µA (x )i : x ∈ X}
µA : X → [0, 1] – funkcja przynależności
Własność ≡ (rozmyty) zbiór posiadajacych
˛
ja˛ obiektów
Miara˛ niepewności jest compatibility level
Adam Niewiadomski
˛
Informacja pewna
Informacja niepewna
Jezyk
˛
Zbiór rozmyty jako reprezentacja informacji lingwistycznej
Zbiór rozmyty, fuzzy set [1]
A = {hx , µA (x )i : x ∈ X}
µA : X → [0, 1] – funkcja przynależności
Własność ≡ (rozmyty) zbiór posiadajacych
˛
ja˛ obiektów
Miara˛ niepewności jest compatibility level
Adam Niewiadomski
˛
Rzeczywiste i inne stopnie przynależności
L -fuzzy sets
Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova
Przedziałowe zbiory rozmyte
Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova
Zbiory rozmyte typu 2
Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1].
Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy
precyzyjnymi wartościami
Wartość funkcji przynależności
Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2]
Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3]
Przedział – interval-valued fuzzy sets [4]
Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets
—————
Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5]
Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3]
Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???)
Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets,
L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
—————
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
—————
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
—————
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
—————
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
—————
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
L -fuzzy sets 1967 Goguen [2] (1/3)
Niech „5” – relacja binarna o własnościach cześciowego
˛
porzadku
˛
cz.-up., tj. 1) zwrotna, 2) przechodnia i 3) antysymetryczna, tj.
∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
porzadku
˛
∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y.
˛
...
Zbiór L ⊆ X nazywamy cze˛ściowo uporzadkowanym
. . . wtw. na jego elementach istnieje relacja cz.-up. Ozn. hL , 5i.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
porzadku
˛
∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y.
˛
...
Zbiór L ⊆ X nazywamy cze˛ściowo uporzadkowanym
. . . wtw. na jego elementach istnieje relacja cz.-up. Ozn. hL , 5i.
Zbiór cz.-up. hL , 5i jest łańcuchem. . .
. . . wtw. każde dwa jego elementy sa˛
porównywalne, tj. ∀x1 ,x2 ∈X x1 5 x2 ∨ x2 5 x1
Np. 0000 5 1000 5 1100 5 1110 5 1111
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
L -fuzzy sets (2/3)
Krata˛ zupełna˛ . . .
0
. . . nazywamy zbiór cz.-up., w którym dla każdego
podzbioru
L ⊆L
istnieja˛ kresy dolny i górny: ∀L 0 ⊆L L , ∅ → ∃inf L 0 ∧ ∃sup L 0
L -fuzzy set – zbiór L -rozmyty
Niech hL , 5i – krata zupełna. Zbiór L -rozmyty A w pewnej X
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
gdzie µA : X → L – funkcja przynależności A .
Zauważmy, że przedział [0, 1] i relacja 5 także stanowia˛ krate˛ zupełna.
˛
Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem L -fuzzy sets.
Adam Niewiadomski
(1)
˛
L -fuzzy sets
L -fuzzy sets (2/3)
0
podzbioru
L ⊆L
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
˛
Adam Niewiadomski
(1)
˛
L -fuzzy sets
L -fuzzy sets (2/3)
0
podzbioru
L ⊆L
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
˛
Adam Niewiadomski
(1)
˛
L -fuzzy sets
L -fuzzy sets (3/3) – operacje teoriomnogościowe
Niech A , B – zbiory L -rozmyte w pewnej X, hL , 5i – krata zupełna.
Oczywiście µA , µB : X → L
Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . .
. . . sa˛ zbiorami L -rozmytymi, takimi że
µA ∩B (x ) = inf{µA (x ), µB (x )} ∧ µA ∪B (x ) = sup{µA (x ), µB (x )}
Niech N – jednoargumentowy operator odwracajacy
˛ relacje˛ 5 na L .
Dopełnienie A c zbioru L -rozmytego A . . .
. . . jest zbiorem L -rozmytym takim, że:
µA c (x ) = NµA (x )
Dla zbiorów rozmytych: inf ≡ min, sup ≡ max, N ≡ 1 − (·)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3]
Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem
w matematyce i logice.
Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova
Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1]
– funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1
Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x )
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X}
πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Reprezentacje graficzne dla I-fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12]
Niech A – zbiór I-rozmyty w X.
Operator „Box” (necessity)
Moc konieczna i możliwa A
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
cardnec (A ) = card(A ) =
Operator „Diamond” (possibility)
Â =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X}
A , Â sa˛ zbiorami rozmytymi.
, ^ : IF S(X) → F (X)
Zwiazki
˛
z logikami modalnymi [11]
Adam Niewiadomski
µA (x )
P cardpos (A ) = card(Â ) =
1 −νA (x )
P
x ∈X
x ∈X
Entropia – suma rozmytych indeksów
intuicjonistycznych
E (A ) =
X
πA (x )
x ∈X
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Â =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X}
, ^ : IF S(X) → F (X)
Zwiazki
˛ z logikami modalnymi [11]
Adam Niewiadomski
µA (x )
1 −νA (x )
P
x ∈X
x ∈X
intuicjonistycznych
E (A ) =
X
πA (x )
x ∈X
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Â =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X}
, ^ : IF S(X) → F (X)
Zwiazki
Adam Niewiadomski
µA (x )
1 −νA (x )
P
x ∈X
x ∈X
intuicjonistycznych
E (A ) =
X
πA (x )
x ∈X
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Â =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X}
, ^ : IF S(X) → F (X)
Zwiazki
Adam Niewiadomski
µA (x )
1 −νA (x )
P
x ∈X
x ∈X
intuicjonistycznych
E (A ) =
X
πA (x )
x ∈X
˛
L -fuzzy sets
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Â =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X}
, ^ : IF S(X) → F (X)
Zwiazki
Adam Niewiadomski
µA (x )
1 −νA (x )
P
x ∈X
x ∈X
intuicjonistycznych
E (A ) =
X
πA (x )
x ∈X
˛
L -fuzzy sets
Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets
Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X
. . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że
µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )}
µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )}
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Dopełnienie A c . . .
. . . jest zbiorem I-rozmytym, takim że
A c =df {hx , νA (x ), µA (x )i : x ∈ X}
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Dla zbiorów rozmytych: ∀x ∈X νA (x ) = 1 − µA (x ) ∧ πA (x ) = 0.
Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem I-fuzzy sets.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets
1
Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium?
TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW,
15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało).
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Stad
˛ µ = 0.6, ν = 0.25, a rozmyty indeks intuicjonistyczny π = 0.15.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Stad
NIE: John Kovalsky JEST Polakiem w 1/2 (po ojcu). NIE JEST
Polakiem w stopniu 0.99, bo prawie nie zna polskiego.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Stad
2
Czy nierówność π = 1 − µ − ν musi zachodzić?
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Stad
2
Czy nierówność π = 1 − µ − ν musi zachodzić?
Niekoniecznie, bo µ i ν mierzone sa˛ wzdłuż różnych osi.
Problem cześciowo
˛
rozwiazuj
˛ a˛ tzw. bi-lattices L ∗ [13].
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej)
Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Fonction φ-flous (fr.) [4]
Interval-Valued Fuzzy Sets (IVFSs) [14, 15, 16]
Interval Type-2 Fuzzy Sets (IT2FSs) [17]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Fonction φ-flous (fr.) [4]
Interval-Valued Fuzzy Sets (IVFSs) [14, 15, 16]
Interval Type-2 Fuzzy Sets (IT2FSs) [17]
Zbiory rozmyte typu 1,5 (żartobliwie)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Arytmetyka przedziałów
Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19].
Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ .
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
[a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
[a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ]
[a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
[a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ]
[a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ]
h
i
[a , a ] · [b , b ] = min{a b , ab , ab , ab }, max{a b , ab , ab , ab }
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
[a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ]
[a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ]
h
i
[a , a ] : [b , b ] = [a , a ] · b1 , b1 , jeśli tylko b , 0 oraz b , 0
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
[a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ]
[a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ]
h
i
[a , a ] : [b , b ] = [a , a ] · b1 , b1 , jeśli tylko b , 0 oraz b , 0
[a , a ]r = [a r , a r ] dla nieujemnych a , a
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Zbiory rozmyte powiazane
˛
z IVFS, liczby kardynalne
Niech A – przedziałowy zbiór
rozmyty w X.
Moc dolna i górna A
card(A ) = card(A ) =
Zbiory rozmyte A i A
P
x ∈X
A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X}
P
x ∈X
A
µ (x )
A
µA (x )
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Moc przedziałowa A
(·), (·) : IVF S(X) → F (X)
card(A ) = [card(A ), card(A )]
Dla zbiorów rozmytych
card(A ) = card(A ) = card(A )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
rozmyty w X.
P
x ∈X
A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X}
P
x ∈X
A
µ (x )
A
µA (x )
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Moc przedziałowa A
(·), (·) : IVF S(X) → F (X)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
rozmyty w X.
P
x ∈X
A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X}
P
x ∈X
A
µ (x )
A
µA (x )
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Moc przedziałowa A
(·), (·) : IVF S(X) → F (X)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
rozmyty w X.
P
x ∈X
A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X}
P
x ∈X
A
µ (x )
A
µA (x )
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Moc przedziałowa A
(·), (·) : IVF S(X) → F (X)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
rozmyty w X.
P
x ∈X
A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X}
P
x ∈X
A
µ (x )
A
µA (x )
A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Moc przedziałowa A
(·), (·) : IVF S(X) → F (X)
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych
Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X
. . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że
µ
µ
A ∩B
A ∪B
(x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )}
A
B
(x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )}
A
B
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
µ
µ
A ∩B
A ∪B
A
B
A
B
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
µ
µ
A ∩B
A ∪B
A
B
A
B
. . . jest przedziałowym zbiorem rozmytym, takim że
A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X}
A
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
µ
µ
A ∩B
A ∪B
A
B
A
B
A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X}
A
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
µ
µ
A ∩B
A ∪B
A
B
A
B
A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X}
A
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
µ
µ
A ∩B
A ∪B
A
B
A
B
A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X}
A
Dla zbiorów rozmytych: ∀x ∈X µ (x ) = µA (x ). Zbiory rozmyte sa˛
A
szczególnym przypadkiem przedziałowych zbiorów rozmytych.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Podobieństwa IVFS i IFS
Porównanie rozszerzeń zbiorów rozmytych: Deschrijver i Kerre [20].
Podobieństwa sa˛ głównie natury syntaktycznej: Cornelis [13].
1
µ(x ) w IVFS jest równoważna µ(x ) w IFS
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
2
µ(x ) w IVFS jest równoważna 1 − ν(x ) w IFS
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
2
µ(x ) w IVFS jest równoważna 1 − ν(x ) w IFS
3
konkluzja z 1. i 2.: µ(x ) − µ(x ), czyli szerokość przedziału
[µ(x ), µ(x )] jest równoważna π(x ) = 1 − ν(x ) − µ(x )
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Różnice IVFS i IFS
1
W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria
moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
2
konkluzja z 1.: w IFS w-k 0 5 µ + ν 5 1 nie musi być sensowny –
czasem wymusza sie˛ jego spełnienie przez nienaturalne badź
˛
nieintuicyjne ograniczenia; w IVFS naturalne jest, że: µ 5 µ
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
2
˛
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
1
2
˛
3
...
4
...
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Rozmyte stopnie niepewności
Wyrażenia niepewne reprezentowane przez fuzzy sets [21]:
Typu 1 (type-1) – łatwo je uzależnić od jednego parametru,
np. wysoki człowiek (cm), duża suma pieniedzy
˛
(mln $)
Typu 2 (type-2) – zależne od cech niemierzalnych, nominalnych,
bardzo subiektywne itp., np. piekny
˛
dom, ciekawy film
Mendel: different words (numbers, descriptions, linguistic quantities) can
mean different things to different people [22]
Postulat: do opisu wiedzy lingwistycznej potrzebne sa˛ „niepewne
miary niepewności”, np. niepewne stopnie przynależności
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
(mln $)
˛
dom, ciekawy film
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
(mln $)
˛
dom, ciekawy film
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
˛
(mln $)
˛
dom, ciekawy film
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Zbiór rozmyty typu 1, tradycyjny zbiór rozmyty
A = {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Zbiór rozmyty typu 2, type-2 fuzzy set, T2FS
Ã = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X}
µÃ : X → F ([0, 1]) – funkcja przynależności typu 2;
przypisuje x’om zbiory rozmyte w [0, 1]
W jakim stopniu x należy do Ã ?
W stopniu bliskim 1 albo w stopniu ok. 0.25
analogia do średniej i mediany – drugi moment opisuje dodatkowo pierwszy
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A = {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Ã = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X}
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
A = {hx , µA (x )i : x ∈ X}
Ã = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X}
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (1/2)
µÃ (x ) =
Z
µx (u)/u
u ∈J x
Pierwszo- i drugorzedne
˛
funkcje
i stopnie przynależności
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Triangular Type-2 Fuzzy Set – 4T2FS
µÃ (x ) =
Z
µx (u)/u
u ∈J x
Pierwszo- i drugorzedne
˛
funkcje
i stopnie przynależności
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Interval Type-2 Fuzzy Set – IT2FS
(
µx 0 ( u ) =
1,
0,
jeśli u ∈ [ax 0 , bx 0 ]
w przeciwnym przyp.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
(
µx 0 ( u ) =
1,
0,
w przeciwnym przyp.
De facto: przedziałowy zbiór rozmyty (IVFS).
Podobieństwa, różnice: Niewiadomski [23]
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
(
µx 0 ( u ) =
1,
0,
w przeciwnym przyp.
De facto: przedziałowy zbiór rozmyty (IVFS).
Podobieństwa, różnice: Niewiadomski [23]
Adam Niewiadomski
FOU – footprint of uncertainty
{hx , ui : x ∈ X, u ∈ Jx , µx (u) > 0}
˛
L -fuzzy sets
Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2
Ã = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx }
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Ã = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx }
Przedstawmy A jako Ã :
(
µx 0 (u) =
1,
0,
jeśli u = µA (x 0 )
w pozostałych przyp.
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Ã = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx }
(
µx 0 (u) =
1,
0,
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Ã = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx }
(
µx 0 (u) =
1,
0,
Ã = {hx , µA (x ), 1i : x ∈ X}
Jx 0 = {µA (x 0 )}
Adam Niewiadomski
˛
L -fuzzy sets
Ã = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx }
(
µx 0 (u) =
1,
0,
Ã = {hx , µA (x ), 1i : x ∈ X}
Zbiory rozmyte typu 2 zawieraja˛
w sobie zbiory rozmyte, przedziałowe
zbiory rozmyte i (?) intuicjonistyczne
zbiory rozmyte jako szczególne
przypadki
0
J = {µA (x )}
x0
Adam Niewiadomski
˛
Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2
Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2
Podsumowania lingwistyczne typu 2
Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2
Suma, iloczyn i dopełnienie zbiorów rozmytych typu 2
Zmienna lingwistyczna typu 2 rozszerza definicje˛ Zadeha [24]
Adam Niewiadomski
˛
Spójniki i, lub, nie reprezentuje sie˛ jak dla zbiorów rozmytych typu 1.
µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x )
iloczyn (meet)
Adam Niewiadomski
˛
iloczyn (meet)
µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x )
suma (join)
µÃ ∪B̃ (x ) = µÃ (x ) t µB̃ (x )
Adam Niewiadomski
˛
µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x )
iloczyn (meet)
µÃ ∪B̃ (x ) = µÃ (x )t µB̃ (x )
R
µÃ c (x ) = u ∈J µx (uÃ ) (1 − uÃ )
suma (join)
dopełnienie
Ã
Adam Niewiadomski
x
˛
Liczby kardynalne zbiorów rozmytych typu 2 [25]
e| =
|A
P
sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1}
x ∈X
Adam Niewiadomski
˛
e| =
|A
P
sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1}
x ∈X
Adam Niewiadomski
˛
e| =
|A
P
sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1}
x ∈X
e| =
|A
Adam Niewiadomski
1
2
P LMFAe (x ) + UMFAe (x )
x ∈X
˛
e| =
|A
P
sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1}
x ∈X
e |α =
|A
e| =
|A
1
2
P 1
2
P LMFAe (x ) + UMFAe (x )
x ∈X
inf{u ∈ Jx : µx (u) > α} + sup{u ∈ Jx : µx (u) > α}
x ∈X
Definicje obejmuja˛ zbiory rozmyte (typu 1) jako przypadki szczególne
Adam Niewiadomski
˛
Własności zbiorów rozmytych typu 2
Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne
˛
do
reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26]
Liczby kardynalne
Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous
Adam Niewiadomski
˛
˛
do
Liczby kardynalne
Adam Niewiadomski
˛
˛
do
Liczby kardynalne
Nośnik (support)
Skończoność i przeliczalność zbioru rozmytego typu 2
Stopnie rozmycia in(·), rc(·)
Adam Niewiadomski
˛
˛
do
Liczby kardynalne
Nośnik (support)
Wypukłość i normalność zbioru rozmytego typu 2
Adam Niewiadomski
˛
˛
do
Liczby kardynalne
Nośnik (support)
Wypukłość i normalność zbioru rozmytego typu 2
TODO: α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych
terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby
kardynalne, modyfikatory
Adam Niewiadomski
˛
Modyfikatory
Potega
˛ zbioru rozmytego A (wyrażenia bardzo, nieco itp.)
r
∀x ∈X µA r (x ) = µA (x )
Adam Niewiadomski
˛
Modyfikatory
Potega
r
∀x ∈X µA r (x ) = µA (x )
Koncentracja przedziałowego zbioru rozmytego:
µAcon (x ) = [µ
Acon
(x ), µAcon (x )] = [µ2 (x ), µ2A (x )]
Adam Niewiadomski
A
˛
Modyfikatory
Potega
r
∀x ∈X µA r (x ) = µA (x )
Koncentracja przedziałowego zbioru rozmytego:
µAcon (x ) = [µ
Acon
(x ), µAcon (x )] = [µ2 (x ), µ2A (x )]
A
TODO: Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi
˛ funkcji
przynależności typu 2, itp.
Adam Niewiadomski
˛
Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (1/3)
e I ) i w drugiej
Wyrażenie kwantyfikowane lingwistycznie w pierwszej (Q
II
e )
formie (Q
e x’ów jest S
f1
Q
e x’ów które sa˛ S
f2 jest S
f1
Q
Adam Niewiadomski
˛
e I ) i w drugiej
II
e )
formie (Q
e x’ów jest S
f1
Q
f2 jest S
f1
Q
TODO: Inne formy wyrażeń – wg TGQ ok. 30 rodzajów wyrażeń
kwantyfikowanych lingwistycznie, np. wiecej
˛
A niż B jest C, wiekszość
˛
A
i B jest C lub D
Adam Niewiadomski
˛
e I ) i w drugiej
II
e )
formie (Q
e x’ów jest S
f1
Q
f2 jest S
f1
Q
TODO: Inne formy wyrażeń – wg TGQ ok. 30 rodzajów wyrażeń
kwantyfikowanych lingwistycznie, np. wiecej
˛
A niż B jest C, wiekszość
˛
A
i B jest C lub D
e (normalny, wypukły i w R+ ∪ {0})
Zbiór rozmyty typu 2 Q
Z
Q̃ =
x ∈R+ ∪{0}
µQe (x )/x
może być kwantyfikatorem rozmytym typu 2.
Adam Niewiadomski
˛
Kwantyfikator absolutny – zbiór rozmyty typu 2 w R+ ∪ {0}
(także w N), reprezentuje określenia około 1000, prawie 50, itp.
Adam Niewiadomski
˛
Kwantyfikator absolutny – zbiór rozmyty typu 2 w R+ ∪ {0}
(także w N), reprezentuje określenia około 1000, prawie 50, itp.
Kwantyfikator wzgledny
˛
– zbiór rozmyty typu 2 w [0, 1] reprezentuje
określenia około połowy, mniej niż 1/3, wiekszość
˛
z. . . (wzgledem
˛
pewnej całości).
Adam Niewiadomski
˛
eI i Q
e II :
Stopnie prawdziwości wyrażeń Q


f1 | 
 |S

f
T Q x’ów jest S1 = µQ 
M
f1 | jest liczba˛ kardynalna˛ S
f1 , M = |X| jeśli Q jest wzgledny,
gdzie |S
˛
lub
M = 1 jeśli Q jest absolutny, oraz


f1 ∩ S
f2 | 
 |S

f
f
T Q x’ów które sa˛ S2 jest S1 = µQ 
f2 |
|S
(tylko kwantyfikacja wzgledna).
˛
Adam Niewiadomski
˛
eI i Q
e II :
Stopnie prawdziwości wyrażeń Q


f1 | 
 |S

f
T Q x’ów jest S1 = µQ 
M
f1 | jest liczba˛ kardynalna˛ S
f1 , M = |X| jeśli Q jest wzgledny,
gdzie |S
˛
lub
M = 1 jeśli Q jest absolutny, oraz


f1 ∩ S
f2 | 
 |S

f
f
T Q x’ów które sa˛ S2 jest S1 = µQ 
f2 |
|S
(tylko kwantyfikacja wzgledna).
˛
Adam Niewiadomski
˛
Podsumowania lingwistyczne typu 2 (1/4)

 V1 (y1 ) V2 (y1 ) . . .
 V (y ) V (y ) . . .
2 2
 1 2
D = 
..
..
..

.
.
.

V1 (ym ) V2 (ym ) . . .
Vn (y1 )
Vn (y2 )
..
.
Vn (ym )
 
 
 
 
 = 
 
 
d1
d2




.. 
. 
dm
gdzie di = hV1 (yi ), V2 (yi ), . . . , Vn (yi )i, i = 1, 2, . . . , m, to krotki opisujace
˛
obiekty y1 ,. . . , ym oraz di ∈ X1 × X2 ×. . . ×Xn ; podmioty podsumowań P
Adam Niewiadomski
˛

 V1 (y1 ) V2 (y1 ) . . .
 V (y ) V (y ) . . .
2 2
 1 2
D = 
..
..
..

.
.
.

V1 (ym ) V2 (ym ) . . .
Vn (y1 )
Vn (y2 )
..
.
Vn (ym )
 
 
 
 
 = 
 
 
d1
d2




.. 
. 
dm
gdzie di = hV1 (yi ), V2 (yi ), . . . , Vn (yi )i, i = 1, 2, . . . , m, to krotki opisujace
˛
obiekty y1 ,. . . , ym oraz di ∈ X1 × X2 ×. . . ×Xn ; podmioty podsumowań P
Adam Niewiadomski
˛
Podsumowania lingwistyczne typu 2 oparte sa˛ o wyrażenia
kwantyfikowane lingwistycznie
e P jest/ma S
e [T ]
Q
e=S
e1 i S
e2 i . . . i S
en
gdzieS
Adam Niewiadomski
˛
Podsumowania lingwistyczne typu 2 oparte sa˛ o wyrażenia
kwantyfikowane lingwistycznie
e P jest/ma S
e [T ]
Q
e=S
e1 i S
e2 i . . . i S
en oraz
gdzieS
e jest/ma S
e
Q P które sa/maj
˛
a˛ W
e jw. W
e =W
e g1 i . . . i W
e gx oraz g1 , . . . , gx ∈ {1, . . . , n}
gdzie S
Adam Niewiadomski
˛
Podstawowe miary jakości podsumowań lingwistycznych,
tzw. degrees of truth, oznaczane T1 oparte sa˛ o stopnie
prawdziwości wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie.
Adam Niewiadomski
˛
Istnieje kilkanaście innych miar jakości podsumowań, np.

Yn
T2 = 1 − 
j =1
Adam Niewiadomski

ej )| 1/n
|supp(S

|Xj | 
˛
Istnieje kilkanaście innych miar jakości podsumowań, np.

Yn
T2 = 1 − 
j =1

ej )| 1/n
|supp(S

|Xj | 
Podsumowanie optymalne:
T = T (T1 , . . . , Tn ; w1 , . . . , wn ) =
Xn
i =1
w i · Ti
gdzie w1 + . . . + wn = 1
Adam Niewiadomski
˛
Podsumowania atrybutów o wartościach rozmytych
200 recenzji artykułów nadesłanych na AWIC 2005
6 atrybutów np. relevance, originality, technical soundness itp.,
Adam Niewiadomski
˛
których wartości lingwistyczne bad, weak, fair, good, excellent,
reprezentowane sa˛ przez (tradycyjne!) zbiory rozmyte w [0, 1], np.:



 −10x + 1,
µbad (x ) = 


0,
Adam Niewiadomski
jeśli x ∈ [0, 0.1]
w pozostałych przypadkach
˛
których wartości lingwistyczne bad, weak, fair, good, excellent,
reprezentowane sa˛ przez (tradycyjne!) zbiory rozmyte w [0, 1], np.:



 −10x + 1,
µbad (x ) = 


0,
jeśli x ∈ [0, 0.1]
w pozostałych przypadkach
about_half of papers are of the excellent relevance [0.81]
few of papers are of the weak presentation [0.93]
almost_none of papers of fair relevance are of bad originality [1.0]
about_half of papers of good techn. soundness have weak references [0.87]
Adam Niewiadomski
˛
Nadal olbrzymi i niewykorzystany potencjał aplikacyjny
Barwise’a i Coopera teoria uogólnionej kwantyfikacji (TGQ) – ponad
30 rodzajów kwantyfikatorów lingwistycznych (!) [27] np. wiecej
˛
A niż
B jest C, wiekszość
˛
A i B jest C lub D
α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach,
koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne itp.
Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi
˛ funkcji
Metody generowania podsumowań lingwistycznych typu 2
pełny przeglad,
˛ podsumowania interaktywne, miary jakości
podsumowań lingwistycznych typu 2 (nowe miary, zależności
funkcyjne pomiedzy
˛
miarami istniejacymi,
˛
adekwatność, itp.)
Adam Niewiadomski
˛
˛
A niż
˛
A i B jest C lub D
˛ funkcji
pełny przeglad,
funkcyjne pomiedzy
˛
˛
Adam Niewiadomski
˛
˛
A niż
˛
A i B jest C lub D
˛ funkcji
pełny przeglad,
funkcyjne pomiedzy
˛
˛
Adam Niewiadomski
˛
˛
A niż
˛
A i B jest C lub D
˛ funkcji
pełny przeglad,
funkcyjne pomiedzy
˛
˛
Adam Niewiadomski
˛
Bibliografia
Zadeh, L. A., Fuzzy sets, Information and Control, Vol. 8, 1965, pp. 338–353.
Goguen, J., L -fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl., Vol. 18, 1967, pp. 145–174.
Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets. Theory and Applications, Springer Verlag, 1999.
Sambuc, R., Fonctions Φ-floues. Application à l‘aide au diagnostic en pathologie thyroidienne,
Ph.D. thesis, Univ. Marseille, France, 1975, (in French).
Wu, X., Fuzzy interpretation of discretized intervals, IEEE Transactions On Fuzzy Systems, Vol. 7,
No. 6, 1999, pp. 753–759.
Pawlak, Z., Rough Sets, International Journal of Information and Computer Sciences, Vol. 11(5),
1982, pp. 341–356.
Pal, S. K. and Skowron, A., editors, Rough Fuzzy Hybridization: A New Trend in Decision Making,
Springer-Verlag, 1999.
Nanda, S. and Majumdar, S., Fuzzy rough sets, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 45, 1992,
pp. 157–160.
Radzikowska, A. M. and Kerre, E. E., On L-Fuzzy Rough Sets, Lecture Notes in Artificial
Intelligence, Vol. 3070, 2004, pp. 526–531.
Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 20, 1986, pp. 87–96.
Niewiadomski, A. and Szmidt,
E.,Niewiadomski
Handling Uncertainty
in Natural
via rozmyta
Intuitionistic
Adam
Rozszerzenia
zbiorów Sentences
rozmytych. Logika
typu 2

Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Biblioteka Polska w Paryżu

Olsztyńskie biblioteki, których już nie ma