Matlab (4) - Obliczenia symboliczne

Matlab (4) - Obliczenia symboliczne
Pakiet Matlab może posiadać zainstalowany dodatek Symbolic Toolbox, umożliwiający obliczenia
symboliczne. Wykorzystanie obliczeń symbolicznych wymaga zadeklarowania abstrakcyjnych zmiennych nie posiadających wartości. Służy do tego polecenie o postaci:
syms arg1 arg2 arg 3 itd
Symboliczne rozwiązywanie równań – funkcja solve()
Przykład:
syms x a
f=a-x^2
f=
a-x^2
solve(f, x)
ans=
a^(1/2)
-a^(1/2)
Symboliczne operacje macierzowe
syms A a b c d e f g h
A=[a b; c d]
A=
[ a, b]
[ c, d]
B=[e f ; g h]
B=
[ e, f]
[ g, h]
il_m=A*B
il_m =
[ a*e+b*g, a*f+b*h]
[ c*e+d*g, c*f+d*h]
il_e=A.*B
il_e =
[ a*e, b*f]
[ c*g, d*h]
Obliczenia na wyrażeniach symbolicznych - funkcja subs( )
Gdy znamy wartości liczbowe poszczególnych zmiennych wynik liczbowy obliczeń symbolicznych
uzyskujemy wykorzystując funkcję subs .
Przykład:
syms a b c x
% definicja 4 zmiennych symbolicznych
y = solve(a*x^2+b*x+c)
% rozwiązanie równania względem zmiennej x
y=
-1/2*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/a
-1/2*(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/a
a=3; b=4; c=1;
% Przypisanie wartości liczbowych a b c
w = subs(y) % Obliczenie wartości liczbowej dla y
w=
-0.3333
-1.0000
Zadania
1. Wyprowadzić symboliczne wzory na obliczanie wyznaczników macierzy:
ℎ
2. Wyjaśnić na obliczeniach symbolicznych podnoszenie do kwadratu macierzy kwadratowej:
4
3
macierzowo i elementowo.
3. Znaleźć symboliczne wyrażenia dla rozwiązań równania 4 stopnia:
2
ax +bx +cx +dx+e=0
Następnie obliczyć pierwiastki równania, wykorzystując poznaną wcześniej funkcję
roots, wstawić jeden z pierwiastków do rozwiązań symbolicznych, sprawdzając rozwiązanie funkcją subs. (Dodatkowo: przedstawić znalezione wyrażenia w MS Word przy
pomocy edytora równań w strukturze matematycznej).
Obliczenia granic ciągów i funkcji - funkcja limit( )
Do obliczania granic na podstawie wyrażenia symbolicznego służy funkcja limit. Jej składnia może być następująca:
limit(F,[zmienna],[b])
wyznaczenie granicy dla wyrażenia symbolicznego F, względem wskazanej zmiennej,
granica dla zmienna→b,
Uwagi:
Zmienna jest opcjonalna, jeśli wyrażenie zawiera jedną zmienną.
b opcjonalne, jego pominięcie oznacza granicę dla zmienna→0.
limit(F,zmienna,b,'left')
wyznaczenie granicy lewostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b,
limit(F,zmienna,b,'right')
wyznaczenie granicy prawostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b.
Przykład
Obliczenie granicy ciągu:
1 − 3
lim
→ 1 + syms n
limit((1-3*n)/(1+n), inf)
ans =
-3
Uwaga: inf jest symbolem ∞ (nieskończoność)
Obliczanie pochodnych funkcji - funkcja diff( )
Dla obliczenia pochodnych funkcji służy funkcja diff. Jej parametrami są: funkcja, której pochodna będzie liczona, oraz (opcjonalnie) zmienna, względem której pochodna jest liczona, także
rząd pochodnej.
Przykłady:
Obliczenie pochodnej funkcji
f(x)=x2
syms x
p=diff(x^2)
p=
2*x
"
Obliczenie pochodnej funkcji f (x, y, z )= xyz + !
cząstkowe):
f=(x*y*z)^x+(1/(x*y))^2
p1=diff(f)
p1 =
(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2
według każdej zmiennej (pochodne
p2=diff(f,x)
p2 =
(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2
p3=diff(f,y)
p3 =
(x*y*z)^x*x/y-2/x^2/y^3
p4=diff(f,z)
p4 =
(x*y*z)^x*x/z
Obliczenie pochodnej
#$ %
&' $
"
funkcji f (x, y, z )= xyz + ! :
p5=diff(f,x,2)
p5 =
(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)^2+(x*y*z)^x/x+6/x^4/y^2
Całkowanie funkcji - funkcja int( )
W Matlabie można obliczać całki za pomocą funkcji int. Jej argumentem jest funkcja symboliczna,
oraz opcjonalnie zmienna całkowania oraz granice całkowania (dla całek oznaczonych).
Przykłady:
Obliczenie całki nieoznaczonej funkcji f(a,b)=a+b
syms a x
c=int(a+x)
c=
a*x+1/2*x^2
c=int(a+x, a)
c=
1/2*a^2+a*x
Obliczenie całki oznaczonej:
syms x
c=int(x^2,1,3)
+
) * " *
c=
26/3
Zadania
1. Obliczyć granicę ciągu:
2. Znaleźć pochodne funkcji:
f(x)= tg2x
f(x)= 1- cos3x
4" − 1
lim
→ 3" + − 2
f(x)= $
√'/
3. Obliczyć symboliczny wzór na całkę nieoznaczoną funkcji: f(x)=sin2x. Zilustrować
wyrażenie edytorem równań.
4. Obliczyć całkę oznaczoną funkcji f(x)=x2+1 w przedziale całkowania od -3 do 3.
Wykresy funkcji symbolicznej
Wykres funkcji symbolicznej i jej pochodnej można utworzyć wykorzystując funkcję ezplot o postaci:
ezplot(f)
ezplot(f,[xmin xmax])
Przykład:
syms x
f=x^2
p=diff(f)
ezplot(f,[-10, 10])
hold on
ezplot(p,[-10, 10])