Rozwiązania etap wojewódzki
Transkrypt
Rozwiązania etap wojewódzki
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 12 lutego 2015 Czas 90 minut Rozwiązania i punktacja Zadanie 1. (1 punkt) Średnia arytmetyczna liczb 0, 3 · 102015 i 2, 2 · 102014 jest równa: a) 5, 2 · 102014 c) 2, 6 · 102014 b) 5, 2 · 102015 d) 1, 125 · 102014 e) 2, 6 · 102015 Zadanie 2. (1 punkt) Koza pasie się na polu kapusty. Kapusty wystarczy kozie na 30 dni. W nocy zakrada się zając i podjada kozie kapustę. Okazało się, że po dwudziestej nocy zabrakło kapusty dla kozy. Na ile dni wystarczyłoby kapusty na tym polu dla samego zająca, gdyby koza nie jadła kapusty? a) 20 b) 40 c) 60 d) 45 e) 80 Zadanie 3. (1 punkt) Monitor o rozdzielczości 600 na 800 pikseli ma przekątną 40 cali. Ile pikseli znajduje się w jednym calu kwardatowym tego monitora? a) 300 b) 1200 c) 625 d) 12000 e) 768 Zadanie 4. (1 punkt) Sześcian o długości krawędzi 10 cm rozcięto na sześciany o długości krawędzi 1 cm. Ile wynosi łączna długość krawędzi wszystkich, powstałych w ten sposób, sześcianów? a) 103 cm b) 6 · 103 cm c) 12 · 103 cm d) 12 · 102 cm e) 6 · 102 cm Zadanie 5. (1 punkt) Na farmie jest o 20% więcej krów niż koni. Jaki jest stosunek liczby koni do liczby krów na tej farmie? a) 5 : 4 b) 5 : 6 c) 6 : 5 d) 4 : 5 1 e) 1 : 5 Zadanie 6. (1 punkt) Funkcję f opisujemy następująco: każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy sumę tej liczby i liczby większej od niej o 2 Rozwiązaniem równania f (x) + 4 = 0 jest: a) x = −1 b) x = −6 c) x = 2 e) x = −3 d) x = 1 Zadanie 7. (1 punkt) Mamy dane koło, kwadrat i trójkąt równoboczny, każde o obwodzie równym 1. Pole koła oznaczamy przez A, pole kwadratu przez B, pole trójkąta przez C. Które z poniższych wyrażeń jest prawdziwe: a) A < B < C b) B < A < C c) C < B < A d) A = B = C e) C < A < B. Zadanie 8. (1 punkt) Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 1800◦ . Ile boków ma ten wielokąt? a) 10 b) 11 c) 13 d) 12 e) 15 Zadanie 9. (1 punkt) Okręgi przedstawione na rysunku są styczne zewnętrznie i mają równe promienie długości r, natomiast trójkąt ABC jest równoboczny. Pole P zacieniowanej części wynosi: a) √ r2 3 4 − 16 πr2 b) √ r2 3 4 − 13 πr2 √ c )r2 3 − 13 πr2 √ d) r2 3 − 14 πr2 e) √ r2 3 4 − 14 πr2 Zadanie 10. (1 punkt)Ile wynosi stosunek pól powierzchni kul, gdy stosunek objętości tych kul wynosi 27 : 8? a) 3 : 2 b) 4 : 9 c) 1 : 3 d) 9 : 4 2 e) 2 : 3 ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ich treścią. Zadanie 11.(3 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt trapezu równoramiennego o kątach wewnętrznych przy dłuższej podstawie α = 60◦ . Na łące pasie się koza przwiązana w wierzchołku jednego z kątów ostrych, na łańcuchu o długości 24 m. Odległość między równoległymi bokami ogrodzenia wynosi 12 m. Jaką długość ma siatka ogradzająca łąkę, jeżeli koza ma w zasięgu dokładnie połowę łąki? Rozwiązanie: 1) Obliczenie długości ramienia - 1 punkt : √ c=8 3 2) Obliczenie pola wycinka koła o promieniu długości 24 cm i kącie 30◦ i obliczenie h - 1 punkt : √ √ 1 PW = 12 π242 = 48π; h2 = (8 3)2 − 122 , czyli h = 4 3 , lub obliczenie pola trójkąta równoramiennego o podstawie długości 24 cm √ i wysokości h = 4 3 1 √ √ punkt : 1 PT = 2 · 24 · 4 3 = 48 3. 3 3) Obliczenie obwodu L trapezu - 1 √ punkt : √ √ √ 1 a+b PT + PW = 2 2 · 12, stąd a + b = 16 3 + 16π. Czyli L = 2 · 8 3 + 16 3 + 16π = 32 3 + 16π. Zadanie 12.(3 punkty) Dwie piłki i skakanka kosztują razem 80 zł, piłka i dwie deskorolki kosztują razem 110 zł, a skakanka i deskorolka kosztują razem 60 zł. Ile kosztuje deskorolka, ile piłka, a ile skakanka? Rozwiązanie: 1) Napisanie poprawnego układu równań - 1 punkt : 2p + s = 80 p + 2d = 110 s + d = 60 gdzie p - cena piłki, s - cena skakanki, d - cena deskorolki 2) Rozwiązanie układu z błędem - 1 punkt lub bezbłędne rozwiązanie układu - 2 punkty Przykładowe rozwiązanie układu: Trzecie równanie mnożymy przez −1 i dodajemy równania stronami. Otrzymujemy: 3p + d = 130 a stąd d = 130 − 3p. Podstawiając do drugiego równania d = 130 − 3p, otrzymujemy p = 30. Teraz możemy obliczyć już pozostałe niewiadome: d = 130 − 90 = 40, oraz s = 60 − 40 = 20. 4 Zadanie 13.(2 punkty) Czy kwadratowy arkusz brystolu o polu powierzchni równym 81 dm2 wystarczy, aby skleić model czworościanu foremnego o polu powierzchni całkowitej równym 18 dm2 ? Odpowiedź uzasadnij. Czworościan foremny jest ostrosłupem, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Rozwiązanie: • 1) Narysowanie siatki i obliczenie a lub h - 1 punkt lub Obliczamy długość boku a jednego trójkąta równobocznego wiedząc, że pole całkowite czworościanu foremnego wynosi 18dm2 i składa się z czterech q √ przystających trójkątów √ √ a2 3 2 równobocznych: 4 · 4 = 18, czyli a = 6 3. Stąd a = 6 3 ≈ 3, 2. √ Następnie obliczamy wysokość h jednego trójkata równobocznego: h = a 2 3 , czyli h ≈ 2, 8. 2) Wyjaśnienie uwzględniające drugi wymiar a lub h - 1 punkt. W pierwszym przypadku należy zauważyć, że 2a < 9, oraz 2h < 9. W drugim przypadku należy zauważyć, że 2, 5a < 9, oraz h < 9. 5 • 1) Narysowanie siatki i obliczenie pola największego trójkąta równobocznego, jaki można wpisać w kwadrat o boku długości 9dm - 1 punkt 2 √ Obliczamy pole trójkata równobocznego o boku długości 9dm: P = 9 4 3 ≈ 35, 03. 2) Wyjaśnienie uwzględniające pole największego czworościanu, jaki można zbudować z kwadratowego arkusza. - 1 punkt Należy zauważyć, że 18 < 35, 03. • 1) Obliczenie a lub h - 1 punkt Obliczamy długość boku a jednego trójkąta równobocznego wiedząc, że pole całkowite czworościanu foremnego wynosi 18dm2 i składa się z czterech q √ przystających trójkątów √ √ a2 3 2 równobocznych: 4 · 4 = 18, czyli a = 6 3. Stąd a = 6 3 ≈ 3, 2. √ Następnie obliczamy wysokość h jednego trójkata równobocznego: h = a 2 3 , czyli h ≈ 2, 8. 2) Wyjaśnienie uwzględniające wielkość pola P jednego trójkąta - 1 punkt Należy zauważyć, że P = 3,2·2,8 = 4, 48 < (4, 5)2 . 2 6 Zadanie 14.(3 punkty) Oblicz (1012 + 511 · 29 − 513 · 28 ) : (4 · 55 · 106 ) Rozwiązanie: 1) Zapisanie potęg o podstawach 2 i 5 lub 5 i 10. - 1 punkt 2) Wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias i skrócenie. - 1 punkt 3) Doprowadzenie rachunków do końca. - 1 punkt 212 · 512 + 29 · 511 − 28 · 513 28 · 511 · (24 · 5 + 2 − 52 ) = = 80 + 2 − 25 = 57 22 · 55 · 26 · 56 28 · 511 lub 1012 + 52 · 109 − 55 · 108 108 · 53 · (5 · 24 + 2 − 52 ) = = 80 + 2 − 25 = 57 102 · 53 · 106 108 · 53 7 Zadanie 15.(3 punkty) Pociąg długości 600 m jechał z prędkością 48 km i miał przed sobą h tunel. Od momentu wejścia czoła lokomotywy do tunelu do chwili, w której ostatni wagon opuścił tunel, upłynęło 2,5 minuty. Ile czasu jechał maszynista przez tunel? Jaka była długość tunelu? Rozwiązanie: 1) Poprawne zastosowanie wzoru na prędkość uwzględniające poprawne (ujednolicone) jednostki - 1 punkt 2) Obliczenie długości tunelu - 1 punkt 3) Obliczenie czasu jazdy maszynisty przez tunel - 1 punkt Przykładowe rozwiązanie: x− długość tunelu s = 0, 6 + x− droga [km] 1 − czas [h] t = 24 V = 48− prędkość [km/h] Poprawnie zbudowane równanie : 0, 6 + x = 1 24 · 48. Stąd x = 1, 4. 7 Obliczenie czasu jazdy maszynisty: 1, 4 : 48 = 240 [h], co daje 1min 45s. lub 1 0, 6 : 48 = 80 [h]co daje 0,75min. A więc 2, 5 − 0, 75 = 1, 75[min] czyli 1min 45s. 8