Całki podwójne - E-SGH

Transkrypt

Całki iterowane
Całki po obszarach normalnych
Całki po obszarach nieograniczonych
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Całki podwójne
Definicja całki podwójnej
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
25 maja 2016
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Definicja całki podwójnej
Załóżmy, że f : K → R, gdzie K = ha, bi × hc, di ⊂ R2 , jest
funkcją ograniczoną. Niech x0 , x1 , . . . , xm , y0 , y1 , . . . , yn będą
takimi punktami, że
a = x0 ¬ x1 ¬ · · · ¬ xm = b, c = y0 ¬ y1 ¬ · · · ¬ yn = d.
Oznaczmy przez Kij = hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i oraz
P = {Kij : i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n}. Zbiór P
nazywamy podziałem prostokąta K .
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Definicja cd
Sumą dolną funkcji f na prostokącie K dla podziału P
nazywamy liczbę
s(f , P) =
m X
n
X
inf f (Kij )|Kij |,
i=1 j=1
sumą górną funkcji f na prostokącie dla podziału P
nazywamy liczbę
S(f , P) =
m X
n
X
sup f (Kij )|Kij |,
i=1 j=1
gdzie |Kij | = (xi − xi−1 ) (yj − yj−1 ).
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Definicja cd
Całką dolną funkcji f na prostokącie K nazywamy liczbę
¨
f (x, y )dxdy = sup s(f , P),
K
P
całką górną funkcji f na prostokącie K nazywamy liczbę
¨
f (x, y )dxdy = inf S(f , P).
K
Jacek Kłopotowski
P
Całki podwójne
Całki iterowane
Definicja cd
Mówimy, że funkcja f : K → R jest całkowalna w sensie
Riemanna na prostokącie K wtedy i tylko wtedy, gdy
¨
¨
f (x, y )dxdy .
f (x, y )dxdy =
K
K
Wspólną wartość tych całek nazywamy całką Riemanna
funkcji f na prostokącie K i oznaczamy symbolem
¨
f (x, y )dxdy .
K
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Interpretacja geometryczna
Z definicji wynika, że dla funkcji ograniczonej i nieujemnej
f : K → R, gdzie K ⊂ R2 , całkę
¨
f (x, y )dxdy
K
możemy interpretować jako objętość bryły
n
o
A = (x, y , z) ∈ R3 : (x, y ) ∈ K ∧ 0 ¬ z ¬ f (x, y ) .
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Całki iterowane
Twierdzenie
Jeśli funkcja f : K → R, gdzie K = ha, bi × hc, di, jest ciągła,
to f jest całkowalna na K . Ponadto
¨
K
f (x, y )dxdy =
!
ˆ b ˆ d
ˆ
=
f (x, y )dy dx =
a
c
d
c
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
ˆ
b
!
f (x, y )dx dy .
a
Całki iterowane
Całki iterowane
Całki po prawej stronie nazywamy całkami iterowanymi.
Zapisywać je będziemy odpowiednio w postaci
!
ˆ b ˆ d
ˆ b ˆ d
f (x, y )dy dx =
dx
f (x, y )dy ,
a
ˆ
c
d
ˆ
a
b
ˆ
!
f (x, y )dx dy =
c
a
c
ˆ
d
dy
c
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
b
f (x, y )dx.
a
Całki iterowane
Przykład
Przykład
Obliczymy całkę
¨
(x + y ) dxdy ,
K
gdzie K = h0, 1i × h0, 3i .
Rozwiązanie
¨
ˆ
(x + y )dxdx =
K
ˆ
1
dx
0
Jacek Kłopotowski
3
(x + y ) dy = 5.
1
Całki podwójne
Całki iterowane
Definicja
Niech A ⊂ K będzie zbiorem niepustym. Funkcję ograniczoną
f : A → R nazywamy całkowalną na zbiorze A wtedy i tylko
wtedy, gdy funkcja
(
g (x, y ) =
f (x, y ) dla
(x, y ) ∈ A,
0
dla (x, y ) ∈ K − A
jest całkowalna na zbiorze K . Przyjmujemy wówczas
¨
¨
f (x, y )dxdy =
g (x, y )dxdy .
A
K
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Zbiory normalne
Definicja
Mówimy, że zbiór A ⊂ R2 jest normalny względem drugiej osi
współrzędnych wtedy i tylko wtedy, gdy
A = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b ∧ g (x) ¬ y ¬ h (x)} ,
gdzie g , h są funkcjami ciągłymi. Analogicznie definiujemy
zbiór normalny względem pierwszej osi współrzędnych. Zbiór A
nazywamy normalnym, jeśli jest normalny względem pierwszej
lub drugiej osi współrzędnych.
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Twierdzenie
Jeśli
A = {(x, y ) : a ¬ x ¬ b ∧ g (x) ¬ y ¬ h (x)} ,
tzn. A jest normalny względem pierwszej osi współrzędnych,
funkcja f jest ciągła na A, to f jest całkowalna na A oraz
¨
ˆb
f (x, y ) dxdy =
a
A
ˆh(x)
dx
f (x, y ) dy .
g (x)
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zbioru normalnego
względem drugiej osi współrzędnych.
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Przykład
Przykład
Obliczymy całkę
˜
f (x, y ) dxdy , gdzie
A
n
o
A = (x, y ) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1 ∧ x 2 ¬ y ¬ x , f (x, y ) = (x−y ).
Rozwiązanie
Mamy
ˆ 1 ˆ x
ˆ
dx
(x − y ) dy =
0
x2
0
Jacek Kłopotowski
1
1 2
1
1
x − x 3 + x 4 dx = .
2
2
60
Całki podwójne
Całki iterowane
Przykład
Przykład
Obliczymy całkę
¨
f (x, y ) dxdy ,
A
gdzie A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (0, 1),
f (x, y ) = x 2 y .
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Zbiór A możemy zapisać w postaci
1
A = (x, y ) ∈ R : 0 ¬ x ¬ 2 ∧ 0 ¬ y ¬ − x + 1 ,
2
2
zatem
¨
ˆ
ˆ
2
f (x, y ) dxdy =
dx
0
A
− 21 x+1
ˆ
=
x 2 ydy =
0
2
ˆ
− 12 x+1

0
Jacek Kłopotowski

x 2 ydy  dx =
0
Całki podwójne
2
.
15
Całki iterowane
Przykład
Przykład
Obliczymy całkę
˜
f (x, y ) dxdy , gdzie
A
1
A = (x, y ) ∈ R : x > 0 ∧ ¬ y ¬ 4 − 3x , f (x, y ) = x.
x
2
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Rozwiązanie
Rozwiązanie
1
x
n
= 4 − 3x ⇔ x =
n
A = (x, y ) :
1
3
1
3
o
, {x = 1}
¬x ¬1∧
¨
1
x
o
¬ y ¬ 4 − 3x .
ˆ
1
f (x, y ) dxdy =
A
1
3
Jacek Kłopotowski
ˆ


4−3x
1
x
xdy  dx =
Całki podwójne
4
.
27
Całki iterowane
Podamy przykłady całek funkcji f (x, y ) na nieograniczonym
zbiorze normalnym. Rozważać będziemy funkcje f (x, y ) które
mają stały znak na tym zbiorze.
Przykład
Obliczymy całkę
¨
f (x, y )dxdy ,
A
2
gdzie f (x, y ) = e −x , A = {(x, y ) ∈ R2 : −x ¬ y ¬ x} .
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Rozwiązanie
Rozwiązanie
A = {(x, y ) ∈ R2 : 0 ¬ x < ∞ ∧ −x ¬ y ¬ x}, zatem
¨
ˆ
f (x, y )dxdy =
A
ˆ
∞
dx
0
x
2
e −x dy =
−x
!
ˆ ∞ ˆ x
−x 2
=
e dy dx = 1.
0
Jacek Kłopotowski
−x
Całki podwójne
Całki iterowane
Zamiana zmiennych
Twierdzenie
Jeśli zbiór A ⊂ R2 jest normalny, odwzorowanie
H : A → H(A) ⊂ R2 jest różnowartościowe i ma ciągłą
pochodną H 0 taką, że jakobian det H 0 (u, v ) 6= 0 poza
skończoną liczbą punktów, to
¨
¨
f (x, y ) dxdy =
(f ◦ H) (u, v ) |det H 0 (u, v )| dudv .
H(A)
A
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Współrzędne biegunowe
Dowolny punktu (x, y ) ∈ R2 wyznacza takie liczby
r ∈ h0, ∞) , ϕ ∈ h0, 2π), że x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Liczby
r , ϕ nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu (x, y ).
Dla współrzędnych biegunowych tzn odwzorowania
H(r , ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) mamy wzór
¨
¨
f (x, y ) dxdy =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.
H(A)
A
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Przykład
Przykład
Obliczymy całkę
¨ x 2 + y 2 dxdy ,
K
gdzie K = {(x, y ) ∈ R2 : x 2 + y 2 ¬ 4}.
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Dowolny punkt (x, y ) płaszczyzny R2 możemy przedstawić za
pomocą współrzędnych biegunowych (r , ϕ) w postaci
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Korzystając z tego przedstawienia
otrzymujemy, że K = H (A), gdzie
A = {(r , ϕ) : 0 ¬ r ¬ 2 ∧ 0 ¬ ϕ < 2π} ,
H (r , ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ).
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Rozwiązanie cd
Jakobian odwzorowania H jest równy r , zatem stosując
twierdzenie o zamianie zmiennych, otrzymujemy
¨ K
¨
2
x +y
2
ˆ2π
2
r |r | drdϕ =
dxdy =
A
Jacek Kłopotowski
ˆ2
r 3 dr = 8π.
dϕ
0
Całki podwójne
0
Całki iterowane
Przykłady
Przykłady
Obliczyć
˜ √ całki:
a)
1 − x 2 − y 2 dxdy , gdzie K = {(x1 , x2 ) : x 2 + y 2 ¬ 1} ;
K
˜
2
2
b) e −x −y dxdy ;
R2
˜
−2
c) (1 + x 2 + y 2 ) dxdy ;
R
˜2 2
2
2
d) (x + y 2 ) e −x −y dxdy , gdzie A = h0, ∞) × h0, ∞).
A
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
Całki iterowane
Przykłady
Przykłady
12 Wykazać, że:
´∞ −x 2
√
a)
e dx = π, wskazówka: skorzystać ze wzoru
−∞
˜
e −x
2 −y 2
dxdy =
R2
b)
c)
´∞
2
e −x dx =
0
´∞
1 2
´
R
2
e −x dx ·
´
R
1√
π,
2
e − 2 x dx =
√
2π.
−∞
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne
2
e −y dy .
Całki iterowane
Przykłady
Przykłady
Obliczyć objętość zbiorów:
a) A = {(x, y , z) : x 0 ∧ y 0 ∧ z 0 ∧ x + y + z ¬ 2}.
b) K = {(x, y , z) : x 2 + y 2 + z 2 ¬ 1} .
Jacek Kłopotowski
Całki podwójne

Całki podwójne - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wzory na całki krzywoliniowe

Analiza matematyczna - 6. Całki nieoznaczone Wiemy już, że jeśli w

Matematyka I SYLABUS - BIOL

Całki nieoznaczone - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Spis tabel zamieszczonych w tekscie