Pobierz za darmo

!#"%$'&#&)(#"
*,+.-/102/435)+!6879+%:%+;5=<?>@02ACB 5)D/E02/1F0G/4H/43I5#685)+!AC3J>@AK0GBML:!6M6N3O
5)D/QPAK7RAI:./1SCTVUWAC+%3XY6802Z[+%3/4\L6N:%+.5=<
]_^
Valentino Magnani `;abdcfe2g
Rhji@klm#nokqprtsu!v'w1x_w@y_z{w@u!|.}~w@y€=.u!|!‚fu!}„ƒw†…x|.y‡'ˆ'
‰@Š8w4ˆ'|.y
‹}~…'w4…'}Œ2w†|.w†squ!}~‚]'}„Ž~}„u^Cu!v'w†y|.w†z{
€y_|{]#yu!v‘€‡'s'’@u!}„y_s'Ry€I]#y‡'s'…'w†…‘‹o‚o|.}“‚fu!}~ys‚os'…”=y])yŽ~w@‹•€‡'s'’@u!}~ys'
–4—4|.y=y€˜‚|.w™]‚o!w@…‘y_s‘‚
.^=.u!w†zR‚fu!}~’8‚oˆ'ˆ'Ž~}~’†‚ou!}„y_sy€'u!v'wC”=y]#y_Ž„w@‹qšq—jy}~s'’
‚o|.›8}~s'w†œ=‡‚oŽ~}u^‚os'…u!v'w8.yož’
‚oŽ~Ž~w@…|.w†ˆ'|.w†!w@squ%‚fu!}~ys
€y_|.z‡'Ž~‚'–
Ÿ_ ¢¡=£'¤K¥I¦I§)¡¨t¤¢ ©«ªR¬j­
¬j­´jµ
­ ­q¶ ´ ´·­qµ
¶ µ
­
´j¼¯­
eb¯®±°)²R³
c ³ e
bdcW³°b ³ °¹¸Yº1» ec†b¯®
¶
¶ ­
´j´jµ
¬
¬ ¬j­qµ µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
¬ÇÆ
¼¯­_È ¶
e Ê ¸½º ¶ b¯¾ ¸¿
É
¶ e ¶ °Ge#µ » ³° ­ b¯À µ ´ ° ¸ ª{¬j­ ¸Yb¯­ Á µ ³´ bžeÂjµ
b ­q´jbóŵ
ÄE
­ °)­q²R
¶ ·°#³ ¼ µ °)­ ·°
¼e ¸
²­qtµ
º ­q¶ »³b¯° ­ c° ­ µ c†­ ³ e'³b¯¾¬ ¸
À
)
°
º
q
c
Ë
c
À
)
°
º
c
c
Ì
³
e
e
À
;
²
e
•
®
b
¬ ¼
¶ ¼ ­ÑÐ
¼ ­ ¶ ´ ­
µ ¶
¶ ÄÍ°)­ ²
¸Y¬jb¯Á ­9×­ ³­q¶À °)­q® µ ³ µ b c_´ Î1Ï bd» ­qe ¼¯¼Gc
Ø°•
b
»
1
º
¸
1
º
»
d
b
¸
e
c
#
e
»
W
c
Ã
Ò
Ó
'
Ô
!
Õ
4
Ë
1
Ö
°
b
@
c
o
³
e
»­ Î
¶
¶Ù­_Ú
´j¼¯­
¶ ¶
È2­ µ
³
bdc  À™À °)º bdce{Ï
°Ï
e®
°)²1e ° »_°)®•®ÑºY³oe'³b c@³ e'³b¯¾ ¸
µ ´
À °)º ª{¬j­ Ò ÛÜ'¼ Õ!Ë
¼4¶
¶
Æ
¼¯­_È
¶
¶
¶
¶
¶
¬
¶ ­
»
#
e
c
c
d
b
=
»
e
#
°
³
¯
b
°
c
)
°
²
)
°
·
Â
°
t
²
º

»
³
¯
b
°
9
c
e
«
¸
)
°
¢
²
t
²
º

»
³
¯
b
°
c
˜
Ï
Ã
b
³
·
Â
)
°
º
¸ ¸­
È µ
¶¿­_Ú ­q¶
¬j­ ­q¶j­qµ ¼
¶ ­_Ú
µ
­
µ ´
¼¯¼
e bže'³b¯°
³ ¸½³°Ý³
À
e »_° ³ ³Þ°)²˜c†³ e'¶ ³b¯¾ ¸[
­ À °)º ¬ c«e#cW¼ ²t° °¼¯Ï
¼ cqËIß
¶
­qµI¼¯­
¶GÈ µ ¶ È2­
µ ­q¼
X1 , . . . , Xm e ¸àÏ cfeqę³ e'³e °¹»=e ÄÌc
ºj®«á
»_° c
bd¼¯­¸
ž
²
I
³
b
e
ž
b
e
³

»
³
°
¾
j
¸
c
¶
¶
¶ ¶ ´·­q¶
­
µ
­
µ ´
¬
®‘e ²tº »³b¯° u ° µ e ° ¶ ¼ c†ºjÂ1­qµ c È ³ ΩÈ2°)­ ²Keàc@³ e'³b¯¾ ¸â¶ À ­
°)º ñ G ¶ e#cRã
­ ä
åæ#ç¹µ
­ è·éGêfé µ
ë#ìíî.ì#ï;î æèÇb¯²{bófcÙ¸Ybdc†³ b¯ÂjºY³b¯° e ¸ b e'³b
e#¸Y° ® e#c†º
²t°
Xj u bdcWeð¾ bó
­_È2­qµ
¼¯¼
µ
¶ ¼ ­qµ È
È2­
µ
­
­
µ
­ Ä j µ=­_È2­q1,µ . . . , m Ëò%²Ì
¶ e ¸Ybdc@³ b¯ÂjºY³b¯° e ¸ µ­_b È2e'­q³µ b c Xj1 · · · Xjp u¬j­qe ¶ ­ ® e'á
c
º c9²t°
Ä p ≤ k e ¸ js ∈ {1, . . . , m} ²t°
Ä s = 1, . . . , p ÎG³
Ï cfeqÄ
¬
¬
¶
µ ­
ª{¬j­•× Æ
¼¯­_È
³ e'³ u e#cWãàä
åæç¹è¢é2êoé k á ë#ìíî.ì#ï;î æè1ÎCe ¸Ï bó u ∈ BVkH (Ω) Ë
á °)·°
´ ­
­
j
¶
­
¶
¶
¼
j
¬
­
q
­
¶
µ
¼
µ
¯
¼
‘
­
j
´
¼
­
¬j­
cÈ2­ e#» µ W­qHk,p
½
¸
b
e
e
)
°
)
À
)
°
1
º
Ù
c
˜
Ï
q
e
¢
Ä
N
ó
³
»
³
e
°
q
e
Ä
,
¸
G
Â
ô
Ä
³
(Ω) bdcÙ¸ ¾
¼
¬j­q¶ ¼¯­ µ ¶
¬j­
´ ¶ ¬j­ µ ¼ ­qµ
¬j­
µ
°)¬j²V­ ³
c†³ ¼¯¼¯e'­ ³
á
­ »³° ¼ ¾ ­ ¸jµ c Xj¶ bdc˜³ ­q¼ » ¬j­ e ËN­ ò ²;­ e#»µ ³=η³ Äݬjc ­ e µ ³ ´ ¾ ­ c@³ ¶ eq¶ Ä
b¯ö ¾ µ
¸?
e À ö  µ eMe ¬jø ¸QĹbµ ¸õ³ ¶ À ­ °)® ­q­Ñ
³ ÆÄõ
°)²Ì³ ¶
À ­q°)¼ º Θ¸ ¾ b Àdz
c†°#á%»=e ¸
¶
­
e ¶ °#³†÷ µ ­qe µ e'³ °¹¸Y­ ° ĵ
¸Yµ
bdc†­ ³oe ¼ » `;c ­ ¶ µ »³b¯° ­ Óà¬j ­{¶ °ÏgoË ¶
­qµ
­q¶
¼
ò ° µ ¸ ­qµ ³°c†³o¶ e'³ ¬j­R
°)º Ð
c¼ †º ­ ³fcq¶ ÎÏ ¶ b ­_³ Ú °¹¸Y¬ º1» ³ ­ ¶ °#³b¯¶ ° °)­ ²Iù Lp Ø ¸Yb¯Á ö ¼ ³bže­qÂj
b
µ
û)¶ á
bóŶ ÄW°)²1° ¸ ¶ k úfË#ò ³
º1» bd¸ ¶ e »_¶ ° ³ ³³ bdc¸ ¾ bób¯° À)° c­ Â4e#» ³° e ¸
e ¸ü4ĹÀ)®Ñº ¸[ҍýÕ!ÎI҄ÔÕ!Ë·þÿ
²tº µ
­à»­_³Ú b¯° u ∈´ L¼ ploc¶ (Ω) bd¼ ccebd¸ð³°â¬  Lp­q¶jé î­ ê í ê_è ï;­ î.ì µ
å­q¯­ ê
j
¬
q
­
í í
e'³ ­ x ∈¼ Ω b¯²K³
°)º1c˜¸ À
¼¯æ­ Ùæ é2¬ ê ¶ k µ˜
¬ ¬ bdc†³fce ° Ä °)®âbže P[x] °)² °)®•°)À
ccR³ e °
º4e ³° k c
º1» ³ e'³
!"#%$'&()) *+,-.0/
—4|.}~zR‚o|;^ 1
2345 ”=w†’†ys'…‚o|;^ 76+8
–
9 :<;>=@?
–Ì‚oxs‚os'}
4
`†Óg
Bx,r
|u(y) − P[x] (y)|p dy
1/p
= o(rk )
e#c r → 0+ .
ªR¬j­ ¶
µ ´
µ
­
µ ´ µ
­ µ
­
¬j­Ñ¶
¶
¬
­q¶j­
­
e bdc
°#³ ° Ä°)²c@³ e'³b¯¾ ¸À °)º c
ºjb c™³
°#³b¯° °)² °)®•°)À
°)º1cภá
µ
­q­
´ ¼ ¶
¼
¬ ¬
¶
Ø)­ ¶
¶
¬j­
­ ¬
À­_È2­qµ °)²™e µ ° ¶ Ä °)­ ®•bže ­q­ ÎÆ Ï bd» ­ e®•¶ °)º ³fcW³ªR
°¬j³o­â
e ´ ¼ b ¶ ³°,e#»q»_¼ °)º ³Þ³
¶ ù%Ï b¯À ­q¼ ³†ú°)­ ²
° Ä °)®•
¶j­ Ľ»_¶ °° ¸Yb e'³ ¼¯`;¼¯c ­
¬jºj­ Â1c »p³b¯° ­qÓ#µ
˓­qÜ)¶ goË ¼
µ bž­qe µ P[x] bdc̺ ­ b ¬ º ­_Ä[
È2­q¸ µ á
¾ ¶ ¸Ee ¶ ¸,bóW¬ bdcÙ»=¬ e ¸,³
ù ­qLµ
­q¶ ¸Yb¯Á ¼¯­ ³bže µ °)­q² µ u °)²9° ¸
k úfË°#³ ³ e'³
­ ¬j­Ì­ È Ä
³bžeÂ
°)²° ¸
ºjb á
²tº ¼¯­q¶ »³b¯° ¶ u Ï ¶ bd» bdc Lp ¸Yb¯Á
k e'³ x ∈ Ω ce'³bdc
¾ cR³
e
³»_° ¸Ybób¯°
|u(y) − P[x] (y)| p
lim
dy = 0,
`!Ü)g
%(x, y)k
r→0+
Bx,r
­ ¬
¶ K­
­q¼¯¼Ø¶
¶ ¬
­qµ
­q¶
¼
µ
¶
e#c™Ï c °­ Ϭjb ­ ¶ ®•®‘
°Ï ¶j­ô³ ´je'µ ³ ´·L­qpµ ¸Y­ b¯Á
³bž¶ eÂjb bóŶ ijº ¬ c
µ e
¼ Ó#ËdÓ=¶ ý¹ËN­qò!´ ³àbdcÏ
°)ºY³ð¶ ³°E
e'¶ ³º ¶ e »_Æ ° » ¼¯­_ȳ𳰿¶ c†³º1¸¹¶ Äõ¾ ¶½Ð
° ¼ ­ ³¶ b cð´ °)²Ù­ ²tº »¶ ³b¯° ¬ c Ïbó ­
­ Â È ³µ
·°)º ¸ ­q¸ µ
­q¶ e bže'³b¯¼ ° e ¶ ¸ °)´j·´j° µ Ú ²tº »³¶ b¯° ¬j
cW­ b µ
­ º1» bd¸ µ«e Æ c e#¼¯­_» È cqËIò ¶ ³ ¶bdcÙ»=e#c ¶
Lp ¸Yb¯Á
³µ bže¶Âjb bóÅÄ¿
° b¯®e'³b¯° ³ ­q­ ° ¼ ®âcW²t°
°)·° ¶ ²tº¬j­»µ
³­ b¯° ­qµ
c«
­
¶
¶ e ­ ¸E
¶ e
­q¶ »=e ­
 ¬j­q²tµ
°)­ º ¶ ¸‘²t° b c@³oe » b ҄ÜÕ!Î8Ò Û)ÕÃ÷¢Ò„ÔÕ!ÎNÒÃÓ 'Õ!ó¹c
e c
°ðÒ Û1ӁÕ!ÎNÒ ÛGý'ÕKe ¸â³
²
» c
³
bµ
­_È Ë
µ
­ ¼
¶Ý¬ ¬j­qµ µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
¶
µ
­
µ ´
¶
a
¯
b
)
°
1
º
c
c
º
f
³
˜
c
°
¯
b
À
°
¸
Y
¸
¯
b
Á
³
ž
b
e
j
Â
b
Ã
b
Å
³
Í
Ä
b
@
c
³
'
e
³
¯
b
¾
Ý
¸
À
)
°
º
c
=
»
e
­
¶
¶
ª{¬j­
´ µ ¶ ­
¬ ¬j­qµ µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
­
µ
 ¶ ²t°)¶ º ­ ¸Ebµ ÒÃӁÕ!Ë ¬j­ôµ
­ b¯­q® ¶ ° ¶ ³oe ­qµ
» ­ °)² ¶ b¯À
° ¶ ¸ ­ ¸Yb¯¶ Á
µ ³bž­qeµ Âjb ´ bóÅÄ¿
¶ c@³ ®â­ cѲt°
b c†³oe » ² °)® ³
» ³Íb ³
c†³ðb c@³º1¸¹Ä¹b ÀMc »_° ¸ ° ¸
°)b ³ÅÏbdc ¸Yb¯²žá
­qµ
­q¶
¼
×
¶GÈ2­_Ú
¶
¶
ª{¬j­´jµ
­ ­q¶
²´ ´·­qµ³bžeÂjb ¶ bóÅÄQ­ °)² ¬ á%»_° ¬
²tº »³b¯° ­_È2cô­q¼ ÒÃÓ ´
'Õ!έq҄Ü'¶ Û#Õ!Î҄Ü#ý'Õ!ÎÒ Û#­[
Õ!έ_Ò Ú )ý'­qÕ!¶ Ë
¬j­E´jµ
c ­_È ³
e µ
­ »=e ¼  ³ ´ °)¶ºjÀ ³ °)²âe#´jcô
e
¸
°
®
ô
³
)
°
²
Ã
Ò
_
Ó
!
Õ
ó
Ï
³
¸
³
¼¯­qµ ´j´jµ
¬
¬ ¬ ¼
´j´j¼ ­
× Æ
¼¯­_bÃÈ á
°)º1¶ c
c
¶ º ³fcð
×e#­q¸Yµ
­ ° ³b ­ ÀÇe½¶ c
b¯®
­ e Ú °Ge#» ¼ Ï ¶ bd» ¶ e c†°Ç
¶ e ñ b ­ c‘³° ¬j­qá µ °)·¬j° ­
²tµ
º ­ »³b¯° ¶ cqË ¬j­
϶ µ µ ¸Y° °#³Ñº1c ´jµ ®‘e b¯®e ²tº µ»³µ
b¯­ ° c«
e
¸ ¶ e#¸ N®‘
cÙ³ °#¶ á
¼
­ e#»
®Í
Ë ­ ³ ¼ »_´j° µ ³ È e ­ Ä2ÎKe#¶ ce«
G
Â
Ä
¹
°
Y
¸
1
º

»
à
³
)
°
²
)
°
º
†
c
º
f
³
à
c
e
¸
)
°
²
â
®
‘
®
e
¹
¬j­qµÞ´jµ
ñ
­
¬j­qµ ¬j­ µ
­
¶
µ ËdÓ#Ë •­ b
ÒÃÓ=ýÕ!ÎCÏ
e c†°
° bd¸ e °#³
°°)²°)² e#¸ ®‘e#»
cѳ ° ®±° c@³ e'³b¯¾ ¸
µ ´
À °)º cqµ Ë µ
µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
¬j­ µ
­
­
¼¯¼
K­
¸Y× b¯Á
³ ¬ju­qµ
:­ Ω →
­ º ¾ ¶ c@³R° ¶ ¸
¶ ³bže­ Âjb È bóÅđ
µ ³ ° ¶ ® ¶ bdc{¼¯­ c@³oe'³ ¸ðe#c9²t° °Ïc_Ë
R  eÞ²tº »³b¯° °)² á!·°)º ¸ ¸ e bže'³b¯° e ¸
³ β = Q/(Q − 1) ÎjÏ
Q bdc
¬j­˜×
µ
­q¶
¶
¬j­ µ ´ ªR¬j­q¶
­
­qµ
­q¶
¼¯­ ¶
β
³ ­qµ
­qe¶ º1c¸Y¼° Áµ
¸Yµ
­b¯® ´ ¶ c†b¯° °)²1³ ¬j­ À ­q¶ °)º Ë
u bdce¹Ë Ë L ¸Yb¯Á
³bže¼  ­q¼ e ¸Þbö ³fc
¬ ¬
¬j­
¸Yb¯¶ Á
³´ bže µ »_°
c ¬j­ ° ¬j¸j­ c9³°Ñ­ ³ µ
¸ ­ c†bóÅđ°)² ­qD
e
1
Â
ua ÎGÏ bd» bdc³
H
­ÑÆ­
¶
µ´jµ
­ ­ c
° ­ ºY³ ¶ Ä»_¶ ° á
DH u `;c
³b ºj°)º1c e ³°)²³
³
® e#c
º
»³b¯° Ó̲t°
»_bdc ö ¸ ¾ bób¯° cfgoË
ªR¬j­ÑÐ
¼ ­ ¶È2­qµ ¶
¬
µ
­ ¼ ¬
­q­q¶ µ ´jµ È2­
¼ ­qµ
û)¶ ¶
º1¶ » bd¸ e ­q­ c
b¯¼ ° °)²V
³
d
b
c
c
º
³
#
e
c
Â
¾
†
c
³
°
¸
G
Â
Ä
e ¸
e µ ¸
­ ­qµ
­qµ ´jµ
¶¿ª{¬j­ µ
­
ü4µ ĹÀ)­q®Ñ
cµÙÆ °°)²
µ º ¸ ­qµ
ҍý'­qÕÌ
¶ `;c ¼ e c
°ôµ
­ Ö ¸ ¼
¼¯­_b È
¶ ° ¶ ®±ÛjË ¬ Ë j`!Ü#ý2gW°)²WÒÃÓ=ý'ՏgoËVµ
Ö­ b c†¼ ³
°µ
­ ¸
¸YØb¯¶ Á ¶ ³¶ bžeÂj¬jb ­ bóÅÄ ­q¶j­qc†µ º ¼ ³fcà­ ²t° ¶ °)·°
²tº ¼ ¶ »³b¯° ­ cµ Ϙbó ´ 1 <
e ¬j­ á
­ p < ∞ e¶
e#¸¹¶ Ä µ
ø °Ï ¶j­ b ¼ ³
À
e µ c ³
­ ³b ¬ À‘°)²¸Yµ °)ºj µ b Àâµ ® ­qµ ³ bd»Ùc­qµ
­qe#¶ » c™e#¸Y¼ ®•bó
³b ¼ À•³ ´
a¼ °)­ b »=e Æ b ¼¯­_º4È e bóÅÄÇ
Ë ¶ º µ ® ¶ ³ °¹¸²t° ¾ ªR¬jc†­³à° ¸ ¶ ¸Y­ b¯Á µ
­ ³bžeÂjb bóŵ Ä ´je ´jc
µ °Íe ¬ á
´j
¶ Ò 'Õ!
b ¶ c{³° ¶ °)·¬j° ­
²t­ º »³b¯°¬j­c˜Æ ²t° e ¼¯­_È Ä p ≥¶ 1 Ë µ
ø ¶j®
°G¼¯e#¼¯­ »
­ eb ¼ ² e'³º cR¶ °)²I°)º ¬j­ e
»_µ
° ­q´jc
µ
bd­ c@³W­qb ¶ ³ ¶ º1c µ °)²³ ¼
°)·° ­
÷a°)b ¼¯¼ »=e
bªR¬j­qµ
º4­Ñe ­_bÃÚ ³ÅÄQ` 2ge ¸ ­q³ ¶ c†¶ °#á%»=¼ e ¶ ¸
ù ¶ c ³oe'³¬ b¯° ¬ ²t° ®Þµ˜
º ­_eÈ2úf­q΢µ c†³oe'³ ¶ ¸ e#c¶ ²t° °Ï
¶ cqË ∞
¶ bdc†³f­_c
È2­qe‘µ ¸Yb¯® ´·­q¶ c
b¯° ¼¯e ¼ »_° á
c†³oe ³ C c
º1» ³ e'³²t°
Äð²tº »³b¯° u b C (Ω) e ¸
Äð°
Â4e Bx,2r
- ,-& 3- . ) !. & ´
»_°)®
`
2g
48
¼
¶
¶j­
¶
¬j­à´ ¶
­Ù­
­
e#»³ Í
Ä »_° ³oeb ¸ðb Ω Î1³
°)b ³ÅÏbdc
c@³b¯®‘e'³
|u(x) − uBx,r | ≤ C
Bx,r
|∇H u(y)|
dy
%(x, y)Q−1
ö µ ¬jø
¬j­qµ
­
¬j­ ö µ
¶
µ
¶ ­ ­q­WÆ­
¶
µ
µ
­
°­ ¸jcq¼ ÎYÏ ªR¬ % bdc9
³
e
#
°
†
³
÷
e
'
e
³
¹
°
Y
¸
°
Í
Ä
Y
¸
d
b
†
c
o
³
e
»
;
`
c

»
³
¯
b
°
™
Ó
t
²
°
•
®
°
µ
¼
¶
µ
­
µ ´ ¬
­q­q¶ ´jµ È2­
­q­
¸ ¼ ³oeb cogoË
bdc²t° ®Ñº ¶ e° c†³ e'³b¯¾ ¸ôÀ °)º c e#cÂ
° ¸ôÂGÄ ºMÒ
YÓ_՘`;c
e c
°
ª{ÒìjÓ ­Õ!ÎCÒÃÓ µ
­Õ!ÎCÒÃÓ '¬jÕ­•e ´j¸½
µ
­ Ò
­q¶ ՏgoË ´ ´·­qµÙ´·­qµ ¶
¬ ¬j­qµ µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
»_°
°)²³
c ³ e
³oeb cà³° b¯À
° ¸
¸Yb¯Á
³bžeÂjb bóÅÄ2Î
¬ ¬M´ ­ ¶ È2­q¼
¼ ­
­
¬j­Í¶ ¶
È
¬j­ÍÈ2­
µ
Ï ­q¼ bd»
°2c c °
¸Y¶ b â»_º ³b ¬jcq­ θY¬ º µ ³° ­q³ µ
° ¶ »_°)®•®Þ
Y
º
o
³
'
e
³
b
Ã
b
Å
³
Ç
Ä
)
°
²
³

»
³
°
¬j­
­qµ
­q¶
¼
¶
¾ ¸jc X1 , . . . , Xm Ë1ò ²;e#»³=Îj³
¸Yb¯Á ¼¯­ ³bž¶Ge È Pµ [x]¶ b `†Óg
¶
µ
¶ ¼ ­qµ È
È2­ » e e#»³ µ
­ be'³µ
b¯­ ° °)²I³
º1­qc
µ
b ­q¶ ÀǸY¼ bdc@³ ´·b¯Âj
²ž³ ­ b µ
­ e bže ¶j³Í
­ ¸Yb¯²ž¶ á
­qµ ºY³b¯° µ e ¶ ¸ b e'É ³b c ¬j­ °)² u ¶ µ
ºjø b É c͵
Øe,¬ Â4e#c
bdc°)² ¬j
aI°)b »=­qe µ ÷ ­ b
°)Á4
2
÷
õ
ß
Ã
b
³
«
³
³
°
®
°
»=e
²­_Ú¹´j¼ ³bže ¼ ° ¶ e'³µ° cÑ° G¬ Ë Ä ³
´
¶
d
b
_
»
Ã
b
³
Q
Ä
_
»
°
†
c
³
1
º

»
ð
³
c
1
º
»
e
4
Â
#
e
c
d
b
â
c
G
Â
M
Ä
Ã
b
³
'
e
³
õ
¸
_
»
)
°
®
2
°
c
Ã
b
³
¯
b
°
‘
c
)
°
²
X1 , . . . , X m Î
­q­q¶
µ
µ ­qµ ¼¯­
¶GÈ µ ¶
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ
¶ ­ ­q¶ ­
c µ ´ e#c‘¾ ¶ c†³ ° ¸ ´jµ È ²ž³ ­ b e ¬ bže µ ³Í¸Y­qb¯Á µ
³bž¶ e °
e'³° ªRc_¬ ˘þ´jc µ e[
´ »_° c ¶Çº ´j¼ » Î
a ° µ °2c
bó¼b¯° µ ¼¯­ ¹ËdÓ ¶ ¬j° ­ bd¸ µ câe­q» ¶ e e#»³ ¶ b e'³b¯° ¶ °)² ¬ P[x]
° µ °2c
bób¯° µ ­qµ eqÄYc
¬ Ë ¶j¶jbdc ­
eð
»
1
º
_
»
ž
b
e
°
b
³
e
)
À
j
º
®
W
³
G
Â
ô
Ä
b
Y
¸
1
º

»
³
¯
b
°
Ï
d
b
»
_
»
°

»
f
³
W
c
¾­_È2­qc@³W
­qµ
­q¶
¼
¬ ¬j­qµ µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
­ ¬
¬
µ ° ¸ ¶ ¸Yb¯²ž¶ á
²
³bžeÂjb bóÅÄ ³° b¯À
¸Yb¯¼¯Á ­
³µ bžeÂj­qµ b bóÅÄ2ËK¶ ß
c¬ °Ï¶ ³ ¬j
e'³ ­
­q° µ
­q¸ ¶
­ IJtº »³b¯°
u ∈ BVkH (Ω) bdc L1 ¸Yb¯Á
³
ž
b
e
Â
)
°
{
²
°
¸
k e ¸ ³ e'³Wb ³
=
»
#
e
c
­qµ
­q¶
¼¯­
¬j­
­ µ ­qµ
¬j­qµ
­
¶ Ð k <¼ Q­ bö ³
°)²¶ ³ ªR¬jc­ e® µ
­ ° ¸ Î8Ï
» bd´j¸ µ e
bdc ´ Lγ­ ¸Yb¯Á¬ µ
­ ³bže¼ Â
γ = Q/(Q − k) Ë8ò
­ ¬
¬j­àÐ
¼ ­ º1¶ð
c e#» c9³ bd­ c c
º ¶ ³R¾Y³fc{¶ b ´ ¼ ° ¶ ® Ó2¼ `btg°)²
Ã
Ò
Ó
'
!
Õ
Ë
#
°
³
³
'
e
9
³
³
1
º
»
d
b
¸
e
¬ ¬
¼ µ
­q´j¼ ­ ¬j­‘ª
¼ µÙ°­_Ú °)²
°)´ ²à¶ ÒÃÓ 'Õ¶ º1c cÙ¬j®•­ b b¯®•
bóo¼¯e­  ­qÄ ¼
e#­q»µ
­q¶ ³ ´j´jµ eqÄ ° ¬ ¶ á
¶ b qb ¶ À ¬j° ­q¶ Ä ­ °)®•¼¯bž¼ e cqÎK¶ Ï bd» c
ºj´j
e c
b¯° °)²C³
²tº »³b¯° Î
» ²t° °Ïb ÀeÞ»_°)®
³ Äð¸Yb¯Á
³™e
°Ge#» Ë·ò
¶ ¼
­Ì´jµ È2­ ¬
­_È2­qµ
¶
¶
¶
­
­qµ
k,p
e e °)À)°)º1cϘeqÄ2Î1Ï
°
³ e'³
ÄͲtº »³b¯° u b WH (Ω) bdc™e¹Ë Ë Lp ¸Yb¯Á á
­q¶
¼¯­
µ ­qµ
¶
¬
¶ ¬j­
­
­
q
­
µ
q
­
¶
¼¯­
°)²° ¸
»=e#c kp < Q bóàbdcàe¹Ë Ë Lη ¸Yb¯Á
³bže Î
k e ¸³ e'³àb ³
¬j³­qbžeµ
­Â
Ï
¶ η ¼¯=
¼ Qp/(Q
­
È2−
­ kp)µ Ë ­
È2­qµ†È ­
¬j­‘´jµ
­ ­q¶ ´ ´·­qµ Æ­
¶
­
I
Ö
b
e
2
Ä
Î
Ï
)
À
b
»³b¯­° ­qÓâ
È ­
´jµ
­q¼
¶ µ eͶ  b ²˜¶ °
¶ b Ï °)²{³
¼ c ­ ³ ¶ e ¬j­ Ë
¶ bdcÞ¸ ­ á
°#³ ¶ ¸ ³° ­Ù´jµ b¯È2®•
­ b Ke­ Ä °#³b¯° c e ¶ ¸ Â4­ e#c
bd»Í
È2­ ³°° c‘º1´jc ¼¯­ ¸ µ b ³ ­q¶ c
ºj¼¯Â1­ c ¶ º ³ðc ¬j»­ á
³Ø)b¯­ ° cq­ Ë4ß
°­
®•¶ ®eðÓ#ËdÓ=ý‘¶Í
e Ƹͭ Ï À)¶ b
eâ­c†´jb¯® µ È2­ e ¬j­ À)ºj® ñ ³ ­ e#¸Y¶jb ¶ À‘³¶ °âÈ2³ ­qµ
Ä ¶ c@³b¯®‘
'
e
³
Ì
c
!
`
Ü
2g{e ¸ `!ܹÓgoË1ò

»
³
¯
b
°
Ì
Ü
Ï
bž¶ e
¬j­ ­q¼¯¼4ض
¶ ö ¼ ­qµ
û)¶
¶
­q° µ
­q¶ ³
¼c
ºjÂYá b ®‘¶ e
‡
c
b¯° °)²¢³
Ï
°Ï
e ¸
÷Yü4ĹÀ)®Þº ¸‘¸Yb¯Á
³bžeÂjb bóÅÄâ°)²8²tº »³b¯° cÏbó
¶ ­ È µ
¶
´jµ
µ µ
µ ­qµ
­qµ
­q¶
¼
µ
­ ¼
·°)­ º ¸ È2­ ¸ ¶ e bž¬je'­q³b¯µW
° ´jËj
þ
9
c
à
e
G
Â
Ä
¹
°
Y
¸
1
º

»
{
³
)
°
N
²
)
°
º
¾
@
c
{
³
°
¸
¸Y¶ b¯Á µ ³bže­ Âjb bÃ³ÅµÄ ´ c
º ³fc_¶ Î
µ
¬j­‘ñ
­
¬j­qµ ¬j­ µ
­
Ï Æ­ À)b ¶ e °#­³ ´jµ È2­°¬ °)²{¬j°)­q²9
³ ¼ ° ® ° ¶ c†³ ¶ e'³b¯¶¾ ¸½À °)º cq˶ ò
µ ³ µ ­qµ e#¸ ®‘
­qµ
e#­q¶»
»³b¯° Ï
°
b¯À
° ¸
¸Yb¯Á
³bžeÂjb bóÅđ°)²8²tº »³b¯° c9b BVkH (Ω) e ¸
¶
b WHk,p (Ω) Ë
§ N C
¤ ¹
¥ !¹ ·#¡ "#©
¼
¬ ¶j%
Ø $ ¶ ­q¼¯'
­ & µ
­q¼¯¼
µ
µ
e b¶
¼
¶
µ ¶
¬j­ òeµ
® Ø À ¬ e#´ ¸Þ³°à
¶ ³ ¶e ¼
­ ° Âjbd­ ¸ µ b4²t¶ ° ö eµ
² ¶ ºjbó
á
²tö º µ ¸Ybdc¬j»_ø º1c
c
b¯° µ ¸Y´º b ­ À‘³ ¬j­q¼ ù%ß,° c µ
Ø ° ¶ ° þ ¶ e È2ÄY­qµc†bdce )
¸)
¶ ( & °)®µ ¬ ³ ÄÍb ¬ e °#³†÷
°¹Ø¸Y° ¬jÄô
c * µb ¬ c†Ø bóÅÄ
¼ e e'³ ¬ ¶j
­ c µ e#» ¶ c@ú ­qµ ¸ e'³àþ ö ´ e c¶ e#+
¶ ° ¶GÈ e » ¶ Ô,á '³ ÎIÜ -´j ¼¯
¹­ ËNò
e c
µ
°â
³
e
³
°
G
À
e
b 1
º
=
»
e
e
)
°
À
•
e
t
²
°
d
b
c
b
¸Ý­ b bö ³oe'³b¯° ËNò!³™
­
¬ ¶jØ µ
慪
È ¼
¼¯­
¬ bdc™e ¬ ¶je'Ø á
c
º È ³¶j° ¶ ³ e ¼ ­qµ ºjb¯À)bV¶ þ®Ñ 0
°¶ 2c
& b¯°²t2¼ °1
bdµ c e ¼¯¼ º4¶ eÂ
c†ºjÀ)À ­qc†¶³b¯° ¶ cqËCòRϘ$ bdc µ
µ ³°¶ ³ µe ° ­qe µ bÌþ Â ³bÌe /
¸ .Ge
e
²t° »=e b ÀÇ®WÄQe'³
³ ³b¯° ³°
° ° c†° ° c
´(™b¯´·
e
Ë
¬
¼
–Ì‚oxs‚os'}
4
½¨ 1£¨"#©
´j¼
¶j¶j­ ­ ¶ ¼¯´ ­q¶ ­
þ ï;íì#ï;î êfé
í æçÙbdcec
b¯®
ÄÞ»_°
»³ ¸ b °#³ ³ b
­
¬
µ ­ ­ ¼ ­ µ
¬ ¬
­
´ ­
¶
À °)º G ¸Y°Ï ¸ÍÏbó e«À e#¸ ¸ b e À  e G ÎjÏ bd» bdc¸ »_°)® °2c ¸Ýb ³° e
µ
­
´ ­
­
¬j­
¶
¶
µ9­_È2­qµ
¸Yb »³˜c
ºj® °)²Cc†ºj¶ Â1c e#» c Vj c
ºj¬j­q»¶j³9­_³È2°W
»_° µ
¸Y­ bób¯° ­qµ V¬ j+1¶ = [V
­qµ ³
´ j , V1È2]­ ²t° ¶ ­ ­qµ Ä
³ e e ¶ °2c†bó­ b
j ∈ N \ {0} ÎVe ¸ Vj = {0} Ï
¬j­
Ú
¶ ­ ­qµ j bd¬ cÑÀ ¬ e'³
¼¯b ¼ ³ À ¬j­ Ë
­ ­q¶ ­
Vι 6= {0} e ¸ðÏ »=e bó˜³
e
¯
b
Ñ
®
j
º
®
b
³
À
c
1
º
»
³
'
e
³
ß
¸ °#³ ÂGÄ ι ³ µ ®‘
¬j­ ï
¬j­ µ ´ ñ˜­ ¼¯¼ ¬
µ µ
µ µ
´ ­
è î jæ ï ê_èfêé2ê
í êfê° ³
êÌ°)²4³
À °)º Ë
»=e ³ e'³²t° e Âjbó e Ä«c
ºjÂ1c e#» c
­ ­ ¶j­
V, W ⊂ G Ï ¸ ¾
Y ] | X ∈ V, Y ∈ W } Ë
ª{¬j­
´
¶ [V,
¬ W ] = span{[X,
´j¼
¶j¶j­ ­
¶ ¶ ¼¯´ ­q¶ ­q¶ µ
­
¬
Ä»_°
»³ ­ ¸½e ¸ µ
´j¬ b °#³ ªR³ ¬j­ c†µ º c¶ ³ e'³
¬j­ ­_Ú¹´ e#¶jc
­qc
ºj
¶ ® ¼ ³b¯° ´ ³ e'³ G bdcàc
b¯®
³
³bže ®‘
À e#¸Yb ÀÇ°)¬ ²
¼¯¼ °
­ e ¶j­ exp¼ : G¶ →¶ G¬jbd­ cðeE
µ ¸Yb¯´ Á °)®•
­ °
´ bdc†®ÝË
¸
¾
Y
¸
b
'
e
³
¯
b
°
‘
c
°
³
À
)
°
º
9
Î
.
b
Ë
Ë
‘
®
e
c
G eP°Ïcâº1c•³°[
δ
:
G
→
G Ïbó
t
Pι
¬j­qµ
­
¶ Pι
¬j­ ¶ ­Ù
µ
­q´jµ
­
ι
j
vj ∈ G bdcR³
δt ( j=1 vj ) = j=1 t vj ÎjÏ
t>0 e ¸
º b º
á
­q¶
¶
È2­
µ
¬
µ˜­_È2­qj=1
µ
ªR¬ ¶
¶
c ¼ ³oe'³b¯¶ ° °)²e È »³­ ° °)² G ¬jÏ­ bó vj ¬ ∈ Vj ¬j²t° ­
Ä´ j = ¶ 1, . . . , ι Ë
bdc °#³b¯° °)²
¸Yb e'³b¯° µ bd´Ý
cR®•
²;¬j
e#»­q³R
»_°)® °2c
­ bób¯° ¼¯¼ exp­ ◦¬jδ­ t ◦ ln ­ : G → G¼
¬ °#³b e'³ µ
¸ð
´jÂG¬ đ³
µ
­ ³ e'³˜³
−1
bdceÞ­qÀ ¶ °)º ­ °)¼ ®•°)®•
Ϭjb ­ º1c ¶ ³­qµ
¼ cf¶ e®
¶ ° ¬ bdc
®Í
¬ ÎjÏ µ
­«µ
­ ln =
¶ exp
¬j­ µ Ëjß ´ ª{
­ c@ŵ ®Þ·°
³°Í
¸
#
°
³
Y
¸
b
'
e
³
¯
b
°
à
c
Ï
d
b
»
e
#
e
ô
¸
°
³
À
)
°
º
Ë
º
¸
¹
Ä
b
Ý
À
®
³ ´ bd»Þ­ °)²
¬j­ µ ´
¼¯­
¶GÈ µ ¶ ñ ­
¶j¶ ¶
­ µ
¬ ¬
¬j­
³
˵
­ °)º µ ¬ bdcWe ¶ ¼ ²ž³Wb ­ e ¬ bže ³ ¬j­qµ b ®‘e­ bž¼¯e ¼ ¼ ® ³ bd» µ
­ g­qµ c
º1» ¬j³ ­ e'­ ³Ù³ ­ µ c
ºjÂ1c e#¼¯»¼¯­ c
° ³ °)À)° e ª{¬j³­à
° ñ e#­ » °#¶j³ ¶ ËG¶‘ß È ¼ Ϙb ­ e ¶Ï˜eqÄYc È2­q² ¶ ³°Ì³ µc ® ­ ³ bd»q­ cqε »=e ¸¼¯¼
Vj e
í
ì éGêf
;
ï
o
í
î
b ®e ¼¯­ µ bže ¬ ° ºj®
° ¼¯­ G À)¶Gb È µ ÂG¶ ÄeÙ¬jÀ ­q¶ e#¸ ­ ¸® ³ bd»
­ ­qé ¶ •­ ê oË
× Ïb µ
 ­ ¸ µ
°#­ ³ ¸QÂG¬jÄ ­ vµg Ëò!´ ³bdc‘» µ™­ e ­ ³ e'³ ¶ vg bdc ¶ ²ž³b­ e ¼¯¼ bže ¼ ³=Î
»
Ã
b
³
d
b
c
e
e)e
µ ­
vg (A) = |A| Î
® ¬j­qe#µ
c
­ º
°)²V³
À °)º ËN­ Ö1° µ e#c ¼¯­ °)² ­ °#³oe'¶ ³b¯° ΢­ Ï ¼¯Ï¼ b ­ e c
°
Ï
Ã
b
³
¬j­
¼
¬j­q¶
Ï ¶ ­ µ A ¶ ⊂ G bdc
¶ e,® ­qµ
­ e#c
º e ¬Eµ
­ c ´·³=­ Î{e ¸MÏ ¬j­ðϘñ b ­ º1c ¶j¶ ³ ¶[c@È Ä¹®Þ¼ ·° ­ dx ­ Ï µ
­
b ³ À ªR¬je'­ ³b¯° È2­qbdµ cÞ»_­ ° c†bd¸¶ ­ ¸E
c »³Þ³°
bže
° ºj® ­ ® ¶j­ e#c
º
µ ¼ Ïbó
¼¯­ ³
´ b ®e
e
eÀ ¸ b ³ À e °)²Ñe[c
ºj®•®‘eÂ
®‘e u : A → R bdc¸ ¾ ¸?e#c
vg Ë
uA = A u = |A|−1 A u Ë
ö µ ¬jø
ª{¬j­ ö µ
¶
µ
¶ ­ ­ ­q­q¶
´ ¶
¶
e Ø °#¶ ³†÷ ¬j
e ­ e'³ ¶ °¹¸Y° Ľ¸Ybdc@¬j³oe­à¼¯»­q¶  ¬ ³ÅÏ
³ÅÏ9°¼ ­q°)¼ b ³fc ¶ x e ¶ ¸ x0 bdcെ°)È2ÂY­ á
¶j­
³oe­ b ¸ð¶ ÂGđ­q¶ ³oe b ÀÞ³ ¬j­ ¬ b ¾jµ ®Þºj¶ ® °)¼ ²C³
¶ À#¼¯³ ­ cR¶°)²eÂ1c
¶j° ¶jºY­ ³ Äð
¶ »_° ³b ºj°)¬ º1c0»_º ªR¬j­ c
e¼¯¹­qË ¶ ËR³o¬ e À ³Ý¶j³¶j°Ç
³
°
b q° ³oe
†
c
j
º
j
Â
j
Â
º
¸
e
¸
_
»
°

»
³
b
À­ µ x Ïbó x Ë
­ ¶
µ†È2­
´ ­
µ ­
¬j­q¶ ­ ¬j­
c«
ö µ
À#¶ ³ °)ö ²™»_µ ° ¬jø »³b À[
µ »_º
¶ bdc«
­ »_°)® ¼¯ºY­ ³ ¸Ç
¶GÈÂGÄ¿
µ e¶ À e#¸ ¶ ¸Ç® ¬ ³ bd» ¬jg­ Î
´ » µ ³ ¶
e ¼ ¶ °#³†÷ ´jµ e ´·e'­q³ µ °¹¸Y° ÄE¸Ybdc@³oe » % bdc ²ž³Ùb ¬je ­qbžµ
e ­ ³Þe ¸,bó e#cà­q³ ­
b¯µ ® ¶ ° ³o¶ e ­ ³
x, x0 ∈ G `;c
c»=e b À
°
³ÅÄ %(δt x, δt x0 ) = t%(x, x0 ) ÎIÏ
²t° b c@³oe »
­ ­q¶ ­
¬j­ ´·­q¶
¼¯¼
­q¶ ­qµ
¶ µ
¬ µ
­
x
r
>
Ò„Ü ´·'­ ՏgoË¹ß ¬j¸ ­ ö °#³ µ
¶ ÂGÄ B
³
°
4
Â
e
)
°
I
²
»
³
e
¸
#
e
Y
¸
¯
b
1
º
c
ö x,rµ ¬jø
µ
¶ ­ É ¼¯¼
µ
­q¶ ­q0µ
­ Ïbó ¬j­ á
c ¶ »³­q¼¯³­ °à³ ­q¶
e °#¬j³†÷ ­ e µ e'³ ´ °¹¸Y¼¯¼ ° đ
e'³³
­ ¸Y­qbdc†¶ ³oe ­ » Ë e ´j¼ c°)² e#¸Yb¯º1c r­ » ¼¯³ ¼ µ
­¸‘
­q¶ ¼
º bó
®
³ e °)²·³
À
)
°
º
Ï
b
Â
¸
#
°
³
‘
¸
†
c
¯
b
®
«
Ä
G
Â
Ä
˜
Ï
b
²
º
³ Ä
Br Ë)ß
­ ¬j­
¼¯¼
¶
¼ ¶ ´jµ ´·­qµ
º1c ³
²t° °Ï˜b Àâc»=e b À
°
³ÅÄ
µ
© à£#¨
´
­q¶
`Ûg
µR­_È2­qµ
t² °
¬Wµ
Ä ­
G Ϙbó
¬ ¶ ¬j­
³& e µ
­ ³ ¶
b ²t°
¶ °
e ¸½Ò ÛÜ'Õ!Ë
¶
x ∈ G e ¸ðe
´·­
¬j­
c ´ »³¼ ³°³ ¼
³µ ° ° °)À)¶ bd»=e ¶
®‘e'³b¯° °
|Bx,r | = |B1 |rQ
¶
ª{¬j­ ¶ ­ ­qµ
¬j­à×
µ
­q¶
¶
ö Ä µ r¶ > 0ö Ë µ ¬jb ø ³ À µ Q bdc9³¶ ­ ¶ eº1c¸Y° Áµ ¸Yb¯® ¼ c†µ
b¯°­ ­q°)µ ²
e ­q¶ °#³†÷ ¶ e e'³ °¹¬j¸Y­ ° ÄÞ
µ ¸Ybd´ c†³oe ¬j» ­q¶je ­_È2¸W
­qµ bóbdcc@³ ¶ bd»³ ÄÙÀ ­q¼ e'³ ¶
¸Yb¯µ®
c
­ b¯° qµ °)²
³
À
)
°
º
Ï
´
¶ ­
¶
µ ¶ G ¶ bdc ­ °#¶ ³Wþ bže Ë
c@³ e'³b¯¾ ¸ÍÀ °)º cR»=e  ²t°)º ¸ð²t° b c†³oe » b ÒÃÓÜÕ!ÎKÒÃÓÔ'Õ
- ,-& 3- . ) !. & 4
4
­ ¶ µ
­ ¬j­ íî ï%ì
¶
ß
b ³ °¹¸Yº1» ³
æ
æ#è ì fê Hp G = {X(p) | X ∈ V1 } e'³ p ∈ G e ¸
­qµ ¬j­
¶
¶ ¶
¼¯¼ ¬j­ ­
´ ­
¬ ¬j­ µ
­q¼¯­_È ¶ È2­
µ
»_° ¶ c bd¸ ¼¯­ ³ ´ ¼ ¸Ybdc @°)bª{¬ ³«º b¯° ¼¯¼¯­ °)²e ¶ ³ µ c c
ºj
»³°
¬jÂ1
­ c e#» cÑ
¼¯¼¯­ Ϙbó ³ íî ï%ì e ³
Âjº­q¶ ¸ ­ ³° ° °)À#Ä2Ë Æ
bdc‘¬ »_° ­ »³b¯° ¶ ²t° ®‘
cÞ¬ ³ µ c†°#¶ á%»=e ¼ ¸
æ ¶ ¼¯æ#­ è µ
­ fç4¼¯å¼¯­ åç¹è¢é ¯ê_Î
¬j­
¸ °#³ ¸‘ÂGÄ HG Ë ®•°°#³ c »³b¯° c9°)²8³
° bq° ³oe c†ºjÂjÂjº ¸
e
»=e ¶ ¸ ´·æ ­qí ¶ ä
­
­
j
¬
µ
¬
j
¬
ð
­
´
·
´
q
­
µ
¬
î æè ï%ì ë ê ï æ í ê ¯éfËVß
e ¬ µ ³ ¶e'³ Ω
­
µ
­
µ e#´ cc†ºj® ªR¬j³ ­ °)´ ºjÀ ­ °)ºY³‘³
¬Ý
¼IÈ2­ bdcâe µ ° ­q¼
c
ºjÂ1c ³°)²e•c†³ e'³b¯¾ ¸À °)º G Ë
c e#» °)²Vc
®•°°#³
° bq° ³oe
»³° ¾ ¸jc
­q¶ ­
¶
¬j­ ¶j­
´
¼
´j´ µ ­ ¬ µ
¶ ¼
°È2)­² Ω µ bdc̸ ­q¼ °#³ ¸ ÂGÄ Γ (HΩ) e ­ ¸ô
³
°
)
°
9
²
_
»
)
°
®
#
e

»
³
Ä
†
c
º
°
³
¸
¬
¬ µ
¶ ¼4È2­
µ ­q¼
¶ ­ ° bqµ ° ³o­qe ¶
»¬j³­ ° ¾µ ¸ ¼ ϕ­q»=µ e Â Ï bó
ªR³ ¬j­
»P
³° ¾ ¸jcÂGÄ Γc¬j(HΩ)
­qµ
­ Ë °#³ ³ e'³{e ° bq° ³oe
m
(X
,
.
.
.
,
X
)
V1 ⊂ G Ë
ϕ
X
e#c
1
Î
Ï
d
b
c
Þ
e
4
Â
#
e
c
d
b
c
)
°
²
³
¾ c†³ eqÄ
1
m
j
j
j=1
Pm
­ ¶j­
¶
­q¶ ­
­
t
î
ë
í
X ϕ e ¸•bóbdc¸
ãàä†é ê 2ê_
è fêV°)² ϕ bdc¸ ¾ ¸e#c
°#³ ¸âÂGÄ divH ϕ Ë °#³
¬
¬j­ ­ ¶
¶
×
È2­qµ ­q¶ ­ j=1 ­ j ¶ j ­q´·­q¶
¶ ¬j­ ¬
­
¬j­
³ e'³³ ª{¬j¸ ­ ¾ ­«¶bób¯° ¶ °)² ¼¯á%¼ ¸Yb
À » ¶ ¸Y° µ c °#­³¸ ¶
¸Ñ¶ ° ³
» ¶°)bd» ­ °)²1È ³ µ Â4e#c†¶ bdc
°¶)² V1µ Ë ¼¯¼ c
°#³b¯° ­ cÙe °¬jÏ ­ º1c™³°ð
b
³
¹
°
Y
¸
1
º
»
t
²
º

»
³
¯
b
°
Ì
c
)
°
²
·
Â
)
°
ñ ­
¶j¶ ¶
µ
µ
­
¬jº ­ ¸ µ ¸ ´ e bže'­q­³b¯° c
e'³º e µ Ä e#µ
c
­ c
°¹»_¶ bže'³ µ ¸³°‘³ ¶
c
ºjÂYá b ®‘e
bže c@³ º1»³º
°)²³
À °)º `;c
Ò 'Õ!Î
Ò„Ü ÕK²t° ®•°
b ²t° ®‘e'³b¯° goË
Ó#Ëdӑ` × á ÉÊ ²tº ¶ »³b¯° ¶ cog Wß ­ cfeqĕ³ ¬ e'³˜e̲tº ¶ »³b¯° ¶ u ∈ L1(Ω) bdc
¶
¶
µ ¬ µ
¶
eÞ²tº »³b¯° °)² H á_åæçYè·é2êoé ë#ìíî.ì#ï;î æè`²t° c ° ³=΢e ãàä fç¹è ï;î æ#èNg9b¯²
n
o
|DH u|(Ω) := sup
u(x) divH ϕ(x) dx ϕ ∈ Γc (HΩ), |ϕ| ≤ 1 < ∞.
¶
­
Ω
¶
¬j­ ´ ­
¶
¶
×
¶ ­
ßÈ µ ¸ °#¶ ³ ¶ ÂGÄ BV¼ H (Ω)
¼¯¼ e × ¸ BV¶ H,loc
­ (Ω)
È µ ³ ¶ c e#µ
­ » ´·°)­ ²N²tº È2­q»¼ ³b¯° c9°)² á!·°)º ¸ ¸
e bže'³ b¯° e ¸ð°)² °¹»=e Ä
á!·°)º ¸ ¸ e bže'³b¯° Î c »³b Ä2Ë
É
¬j­ñ ­ µ
­q´jµ
­ ­q¶
¶ ¬j­ µ
­
­ ­ ¬j­­_Ú
­q¶ ­
¶ ¶j¶j­
È2­
Ä
c ¶ ³oe'³b¯° É ³ µ
° ­q¼ ®
bdc@³ ¬ » ¬ °)²1e °
ÀGe'³b µ
ñ
¶ ³ ­ b µ
c ­ ­ Ï ¶ À ³C³
|DH u| e ¸W°)²·e °
e#¸Y° ® ­ e#c
º
&
µ
­ È2­qµ µ­_È2­qµ c »³b¯° ν °)² HΩ¬jc†­ º1» ¼¯¼ ³ e'³ ¶ |ν(x)|
¶ ­ =µ 1 ²t° ¶
|DH u|áÅe¹Ë Ë x ∈ Ω Ë ° °
t
²
°
Ä
φ ∈ Γc (HΩ) ³
t
²
°
°
Ï
b
‘
À
b
³ À e'³b¯°
´ µ
µ
¼ ¬ ¼
ÂGÄ e ³fc˜²t° ®Ñº e ° ¸jc ` )g
­q¶
­
Ω
u(x) divH φ(x) dx = − hφ, νi d |DH u|.
Ω
ªR¬j­RÈ2­
µ È ¼ ­
­
µ
­
­q¶ ­
ª{¬j­
¼
a
ν |DH u| bdc¸
DH u Ë

»
³
°
á
e
º
‘
¸
®
#
e
c
º
#
°
³
•
¸
G
Â
Ä
@
c
¹
Ä
Ñ
®
·
Â
°
¶
¶
µ ¬j­
¼ ­q¼
¶ ¶
´ µ
¶
¬j­ ¶ c ¼ |D
µÙH´ u|µ
s
e ¸ |DH u|µ
­ c†´·³oe ­ ¸ È2²t­q° ¼ ³ ­ eÂ1¼ c†° ºY³ ­ Ä,
³b È2ºj­ °)º1c µ e ­ ³Ñe µ
­¸ô³
c†b À)º e
e ³
¶j­ »_° ¬j­W
a
°)²¶ |DH u| Î c »³b Ä2Ë¢ß
e c
°¸ ¾
³
»³° ® e#c†º c DH u = ν |DH u|a
s
s
e ¸ ª{D¬jH
­ u ­q=¶ ν |DH u| Ë a
¬Eµ
­ ´·­
¬j­ ×
µ
­
µ
­
¬j­ µ ´
DH u Ϙbó
¸
†
c
Ã
b
Å
³
[
Ä
)
°
²
c

»
Ñ
³
³
°
³
)
e
e
®
#
e
c
º
)
°
˜
²
³
­q¶ ­
¶
µ µ
­q¶
­
¼¯¼
¶
­qµ
­ À °)º µ ¼¯bd­ c
È2¸ ­ °#³ µ ¸½ÂG¶ Ä ∇¶ H u ËCò ¬ðÈ °)º ¼ ­ e À)¶ ºj® m ³fcÌ
ª{Ï ¬ Ïb ´ »_° c
bd¼¯¸­ ¬j∇­q¶jH­_uÈ2­qe#µ cÙe ­Ì® µ
­ e#­qc
µ º e ¶
»µ ¬ ³° ¶ ²tº µ »³¼ b¯° Ϙbó
e º cb R Ë
bdc˜bdc ­ °2c
c
¬ b¯Â
Ï
ϼ
² ³°¬je­q¶
° ³ ° ° ®‘e Â4e#c†bdc (X1 , . . . , Xm ) °)² V1 Ë °#³ ³ e'³«b¯² u bdcÑ°)²» e#c
c C 1 ÎI³
∇H u = (X1 u, . . . , Xm u) Ë
Ó#˓Ü` × á ÉÊ k ²tº ¶ »³b¯° ¶ cog É Äb ¶ ¸Yº1»³b¯° ¶ ° ¶ k ≥ 2 Ï ­ ceqij ¬ e'³
­
µ ¼¯­
´
¬
µ ¬ µ
¶
e½® e#c
º eÂ
®e u : Ω → R e#cÝãä
åfæç¹è¢é2êfé k ä ë#ìíî.ì#ï;î æè?`²t° c ° ³=ÎRe
×
µ
¶
j
¬
­
µ
¶
¼
q
­
µ
È
2
È
­
á BVk fç¹è ï;î æèNg™b¯²9²t° e Ä i = 1, . . . , m ³
¸Ybdc@³ b¯ÂjºY³b¯° e ¸ b e'³b c X u
i
–Ì‚oxs‚os'}
4
1
µ
­™µ
­q´jµ
­ ­q¶
¼¯­
¶
¶
¬×
¶ ­
È µ
¶
­
e
c ³oeÂ
G ĕ²tº » ³b¯° c9Ϙbó
á!·°)º ¸ ¸ (k − 1)á e bže'³b¯° ˹ß
j
¬
­
´
­
¼
¯
C
¼
×
¶
¶
GÂ Ä BVkH (Ω) ³
c #e » °)²Ve
á BVk ²tº »³b¯° cqË
Ó#Ë Ç` × á Æ °)·° ¼¯­_È ²tº ¶ »³b¯° ¶ cfgÞþ ²tº ¶ »³b¯° ¶ u ∈ Lp(Ω) Â
µ ¼¯¼
¶
¬j­qµ
­™­_Ú
³° WHk,p (Ω) b¯²N²t° e ¬ js ¬ ∈ {1, . . . , m} e ¸ s = 1, . . . , k ³
bdc@³fc˜e̲tº
p
vj1 ,...,jk ∈ L (Ω) c
º1» ³ e'³
`.ý2g
Ω
u(y)(Xj1 · · · Xjk φ)(y) dy = (−1)k
¸
­q¶
­
°#³
­q¼ ¶
° À2c
¶
¶
»³b¯°
vj1 ,...,jk (y)φ(y) dy
Ω
µ­_È2­qµ
¬j­qµ
­
¶ µ ¬ ¶ µ
¼
­
²t°
Ä φ ∈ Cc∞ (Ω) Î#Ï
(X1 , . . . , Xm ) bdce ° ³ ° ° ®‘e Â4e#c†bdc°)² V1 Ë)ß
­q¶ ­
j
¬
­
´
­
­
µ
¯
¼
­
¶
¶
­
j
¶
­
¶
¬
¬
k,p
(Ω) ³
¸ °#³ ÂGÄ WH,loc
c e#» °)²® e#c†º eÂ
²tº »³b¯° c¸ ¾ ¸Ý° Ω Ï bd»
­q¼ ¶
µR­_È2­qµ
´·­q¶ ­
´
¼
¶
¶j­
¶
k,p
0
0
 ° À•³° WH (Ω ) ²t°
Ä °
c ³ Ω »_°)® e#»³ Äð»_° ³oeb ¸Íb Ω Ë
Ó#ËÛ Ìß ­ °)Â1c ­qµ†È2­ ³ ¬ e'³ $™­ ¾ ¶ bób¯° ¶ cÓ#˓ÜÙe ¶ ¸Ó#Ë
Ù¸Y° ¶ °#³{¸ ­q´·­q¶ ¸° ¶
¬j­ ¬
­
¬j­ µ ¬ ¶ µ
¼
³
» °)bd» °)²C³
° ³ ° ° ®‘e Â4e#c†bdc (X1 , . . . , Xm ) Ë
© î ìí ™ì
´ µ ¶
¼
µ
µ
© æ è è¢é¢æGåfæ ¯ê ë æ î è ìí î è¢ê_ç ì îï;î êÙò%® ° ³oe ³³°° c²t° °)º
µ
­ ¬j­
¶ µ
ø ¶j­ ¼
¶
¬j­ÝÆ
¼¯­_È
¶ µ
ø ¶j­ ¼
¶
c†³º1
³ µ ´ aI°)b ªR»=¬je ­ ­ b ¶j­ º4e ¼ bóÅÄÇ
µ ¸¹Ä¿e­
­ e ¬ ¸½¼ ³ µ °)·° ¬ ÷a°)¶ b »=e ¶ b ¶ º4e µ
bí ³ÅÄE­q° ¶
c­q†³ µ e'¼ ³ö b¯¾ µ
¸ ¶ À °)ö º µ c_Ë ¬jø c µ b ´ º4e ­ bób ­qc ¶ ° ¸‘
­ ²t° c
®•
¬ °°#³ ²tº ­ »³b¯° × c{)°µ ®•¶ ° ­qµVÀ È2­ á
e µ ­q¼e °#³†÷ ´ e e'¶ ³ ­ °¹¸Y° Äâ¶c e#» c ­q¸Yµ °Ï ¶ ¸«
Ϙµ
­ bó ¼ ec†ÄYc†³ ®¶ ¼ °)² ­ ®‘
¬j­ e ¸ ¶ µ
»ø á
³¶j° ­ ¾ ¼ ¸jc_Ë8þ™c ¬¿
°)bµ
­ ³ ´·¸
)
°
Y
º
³
b
Ò
2
'
Ü
!
Õ
Î
.
d
b
c
°
c
c
º
•
³
„
Ò
Ü
'Õb » º1¸ c™³
­
¬j­ p ¶ µ
µÞ­_È2­qµ
¶ aI¬j°)­qb µ »=e ´
L ° ®±²t°
p ∈ [1, ∞[ Ëþ °#³
b´jµ º4¬e bóÅÄEϘ¬jbí ³
c¶ µ
»ø ³«³¶j°
³
Ä
­ ¼
µÈ2­
µ ­q¼
¬
µ
­ ­q¶ ¼
­q­q¶ ­_È2e ­q¼ á
»³¶ ° ¬j¾ ­ ¸jc ­ e#c » ­ ³ µ Ä´ Â
¸ ´j¼¯­ á
´·°G­ e#» ³° ³ ¶ a¶j°)­qb ¼¯¼ »=e ¶ b & µ º4e bóŭqÄô
¼¯¼ ²t°
°´jµ ¸ ÂGÄ ¬je ­ »_° ¶ b{µ
ø e ¶j
¸ ­ ° ¼ Âjbd¸ ¬ bÒ„Ü ­qÕ!­qËC¶ ò È2³ ­q¶ »=e#c Ê °)µ ² ´ b ¼ À °)º cWeð­qc†­ b¯® ¼
°°)²¶ °)²K³
a°)b »=e
b
º4e bóÅÄ e#c{Â
À)b
ÂGÄ e ° °)º °2cÙÒ Û 'Õ`;c
e c
°
҄Ü)Ô'ÕIe ¸½Ò Û ÕgoË
¶ µ
ø ¶j­ ¼
Ó#Ëô`;a°)b »=e
b
º4e bóÅÄ1gCê ï Ω åê ì è½æjêè oç4å _ê ï æ" G ì è·é
ï
ï
í
î
¯ê 1 ≤ p < ∞ ê_è
ê êôê ï ì oæè ï%ì è ï C > 0 fç ï ì#ï _æ í ê ë ê í
ì
ì
ì
ì ï ï%ì#î è·êoé î è Ω ê ìë ê
u ∈ C ∞ (Ω) è·é è å B
oæ oæè
x,2r
`!Ô)g
ª{¬j­
¶
e ½
¸ Ò
2Ô'Õ!Ë
²t°
¼¯¼
¶
Bx,r
°Ïb À
Æ
|u(y) − uBx,r |p dy ≤ Crp
°)·°
¼¯­_È
¶
÷a°)b »=e
µ
ø
b
¶j­
¼
Bx,r
º4e bóÅÄ
|∇H u(y)|p dy.
¬
e#cÂ
­q­q¶ô´jµ 2È ­
¶
° ¸b ÒÃÓÕ!ÎVÒ
YÓ_Õ
Æ
¼¯­_È
¶ µ
ø ¶j­ ¼
Ó#Ë~ýM` °)·°
÷a°)b »=e
b
º4e bóÅÄ1g Kê ï Ω åfê ì èMæjê_è fç4å _ê ï
ì
ï
ï
í
î
ï
æ G è¢é ¯ê 1 ≤ p < Q ! ê_è
ê êê ì fæè ï%ì è ï C > 0 fç ï ì#ï _ æ í
ê ë ê í" u ∈ C ∞ (Ω) Î qê ï.ï;î è γ = Qp/(Q − p) Î#ê ìë ê
1/γ
1/p
|u(y) − uBx,r |γ dy
≤ Cr
|∇H u(y)|p dy
.
` 2g
Æ
¬
Bx,r
Bx,r
´j´jµ Ú
¶
¶
¶
¶ ­ È µ
¶
¼
È ¼ ¼¯­
•
®
°
#
°
³
e
°
¯
b
®
'
e
³
¯
b
°
°
)
·
²
t
²
º

»
³
¯
b
°
c
)
°
·
²
·
Â
)
°
º
¸
¸
e
ž
b
'
e
³
¯
b
°
d
b
c
e
†
c
W
°
e
ö µ ¬jø
¶ ­q¶j­qµ ¼ ö µ
¶
µ
´ ­
¬j­q¶ ¬j­´jµ
­_È
Æ eb e¼¯­_ È
b À ¶ µ
ø e ¶j­e °#¼ ³†÷ e ¶ e'³ ¬j­ °¹Y
¸ ° ­ ÄÞc e#» c˜Ò„¶ Ü'Õ!­à
Îj҄­_Ü)Ú Ü'Õ!ó­q³¶ ­ ³ × ÉÊ b¯°)º1c ¶ °)·° ¶ ÷
a°)b »=e
b
º4e bóÅÄðb ³
»=e#c p = 1 »=e Â
³ ¸ ¸Í³ ° á
²tº »³b¯° c_Ë
- ,-& 3- . ) !. & 4
Ó#Ë“Ô Kê ï Ω åfê ì èMæ Yê_è fç·åqê ï æ G ì è¢é ¯ê ï β = Q/(Q − 1) ï
í
î
ê_è
ê êÞê ï ì fæè ï%ì è ï C > 0 fç ï ì#ï _æ í ê ë ê í u ∈ BVH,loc (Ω) ì è·é
ì è å ì B
ì ï oæè ï%ì#î è·êoé î è Ω ê ì#ë ê
x,2r oæ 1/β
|DH u|(Bx,r )
`2g
.
|u(z) − uBx,r |β dz
≤ Cr
|Bx,r |
Bx,r
­
¬
¶ ­ ­q¶ ­
­{¬ È2­ ¬j­ ¼¯¼
¶
¶ µ
ø ¶j­ ¼
°#µ³ × ³ ÉÊe'³e#cV¶ e™»_° ¶ c º » °)²`2gCÏ
e
³
²t° °Ïb ÀÌaI°)b »=e
b
º4e á
bóÅÄ t² °
á
²tº »³b¯° c `†Ó2g
|u(z) − uBx,r | dz ≤ Cr|DH u|(Bx,r ).
Bx,r
© 8©
¶ ¬
í î ì#ï í
ì#íoîï ì
í ï;î.ì î îï í í
p î
­
¶ ­ æ ¶ µ ê ê­ #ç0­_ È2­qµ ¼R¶ è·é L¶ é ê ­ ê_è ؽµ
­å ¼ µ ææ é2µ ê k­ àò µ ³ ¼¯bd­ c
c
ºj¶ Â1c »³¶ b¯° ¶ Ï bµ ³ °¹¸Y
c
º ´jµ e Ú
­ º1» µ c ´ e ­ °#³­ b¯° ¶ c«°)²RÏ µ
­ e ¼¯¼ ¶ À)º ¬je ­Wbö ³ÅÄE²t° ¶ ® e#´j
²tº »­ ³b¯° ¶ c™° ¶ c†³ e'³b¯¾ ¸À °)º cqË4ß
 À)b ÂGÄ
»=e b Àâ³
°#³b¯° °)²e
° bÃá
®‘e'³ »_° ³b ºjbóÅÄ2Ë
Ó#Ë «`;þ ´j´jµ ° Ú b¯®‘e'³ ­ »_° ¶ ³b ¶ ºjbóÅÄ1gWß ­ ceqÄà³ ¬ e'³ u ∈ L1 (Ω, Rm )
loc
¬
¶
e#ce ì í æ î ì#ï ê î îï λ ∈ Rm e'³ x ∈ Ω b¯²
lim
r→0+
Bx,r
|u(y) − λ| dy = 0.
¶ j
¬ ­
­
­
¬
¶
¶
x bdce ì í æ î ì#ï ê fæ#è ï;î è1ç îï jæ î è ï e ¸
ò ­ ³ q­ ¶ =» e#­ c λ = u(x)
Ï
f
c
q
e
Ý
Ä
³
'
e
³
¬j­
­
¼¯¼ ´j´jµ Ú
­
¶ ¶
´ ¶
c
ºjÂ1c ³°)²Ve e
° b¯®‘e'³ »_° ³b ºjbóÅÄ °)b ³fc˜°)² u Ë
Ï ¸ °#³ GÂ Ä Au ³
Ó#Ë °#³bd» ­ ³ ¬ e'³³ ¬j­ e ´j´jµ ° Ú b¯®e'³ ­¼ b¯®•bóbdcº ¶ b º ­q¼ Ä⸠­ ¾ ¶j­ ¸ e ¶ ¸
­ ¶
­q´·­q¶
¶ ¬j­µ
­q´jµ
­ ­q¶
È2­R­q¼¯­ ­q¶
¶ ¬j­¶j­_Ú ´jµ ´
¶
bó­
¸Yµ
° ­ c ¼¯¼ °#³¸ ´j´jµ ¸Ù
Ú ° ³ ­
¶ ¶ c ³oe'³b ¶ ® ¶ ³I°)¶ ² upË'ò ³
¶ ³ ¬j­ ° °2c
bó¼ b¯°¶
Ï´jµ ´·­q»=µ e páÅe
° b¯®‘e'³¶ ­ »_ ° ­q³¶ b ºj­ bóÅđ°)¬ ²K²tº µ
­ »³b¯¼ ° c{µ b L (Ω)­Rº1¬ c
b È2ÀW
¸Y°)ºj b À
­ ³
|Ω \Au | = 0 Ë
°
³ÅÄÞ°)² G Ë)þ™ce™»_° c º » °)²1³ bdc c
º ³²t° p = 1 Ï
e
Ó#ËdÓ Cê ï u ∈ Lploc (Ω, Rm ) ì è·é ¯ê ï 1 ≤ p < ∞ êè _æ í
ì tê x ∈ Ω ê ìë ê
`†Ó)Óg
|u(y) − u(x)|p dy = 0.
Bx,r
í
Æ µ
­
µ ´ ­q¶
­
¬ ¬j­ Ù
µ ¼¯­
¶GÈ µ ¶ È ¼
­
­
¸ ¼ µÀ °)º c ¼ ¶ ¸Y°Ï ´ ô
¸ ­ Ïbó ª{¬j³ ­qµ
­ b µ ­²žª{
³Ù¬jb ­ e µ
­ žb e ³ ° ºj®
® e'á
µ
­ æ µ æ­ ¶Ç³´ 'e µ ³b¯¾ ½
c
º È ¼ e ¼¯­ b ¶ e ³bd»_º ´je¼ ­ ¸Y°)¬ ºj b À½
Ë ¬j°)­ ²ÞÒÃÓ=¼¯ý#¼ ÕRbdc
µ c ­ e#» cqË
¶ ²t° µ{­_È2­qµ ° ® Ü˹
e ¶ e b ¼ e ­_e Ú ¸ bó{b¯®
b À b¯®•bó
db c†³fc
b c³ e'³R²t°
lim
ªR¬j­q¶
Ï
­
r→0+
­
À ³
lim sup
r→0+
Bx,r
Bx,r
e¹Ë Ë x ∈ Ω e ¸²t°
Ä q ∈ Qm ³
²t°
|u(y) − q|p dy = |u(x) − q|p .
|u(y) − u(x)|p
¶
¬
´j¼¯­ ­ ¬j­à´jµ
e ¸ ³ bdc»_°)®
³ R
c ³
°°)²ÅË
1/p
≤ 2 |u(x) − q| → 0
e#c q → u(x),
°Ï˜á
–Ì‚oxs‚os'}
4
­ ­ ¶j­
µ ¶
#Ó ËdÓ)Ó Ìß
¸ ¾
nj = dim Vj ²t° e Ä j = 1, . . . , ι Î m0 = 0
¶
µ ¶
­
¬
e ¸ m¶ i = j=1 nj ²t° e Ä i = 1, . . . , ι ËYß
cfeqđ³ e'™
³ eÑÂ4e#c†bdc (W1 , . . . , Wq ) °)²
ì
ì
ï
ì
î
é êoé å b¯²
G db ce
`†ÓÜ)g
Pi
µ
¶
(Wmj−1 +1 , . . . , Wmj )
bdceÞÂ4e#c
bdcR°)² Vj ²t° e Ä j = 1, . . . , ι Ë
¶ µ ­qµ
ؼ¯­ ¬j­9¬ ¬j­qµ µ ­qµ ´j´jµ Ú
­
­qµ
­q¶
¼
×
k
b¯À ­ ­q¼¯¼2° ظ ¶ e ¶
° b¯®‘e'³ ¸Y´ b¯Á ¼ ¶ ³bžeÂj¼b bóÅÄÑ
¶ ò ° ¶ ¸ ­ ³°³o¼¯e#¼2» µ
­ ¼¯³ ¼
¶ °)² µ á BV­
²tº µ »³´ b¯° cCÏ ­ Ïb ¼¯¼9µ
­ »=­qe µ c
°)® ö ¬ Ï ´ ­qµ °Ï ö ²;e#»³fce·°)ºY³ ¶ ° Ä ¶ °)®•bže cC° c@³ e'³b¯¾ ¸
À °)º cqËß
Ïb
² ³°
e ³
Ó#Ë °)²ÑÒÃÓÔ'Õ!Ëþ ²tº »³b¯° P : G → R bdcÞe
î.ì {æ#è G b¯²R³ ¬j­ »_°)® ´ °2c
bób¯° ¶ P ◦ exp bdc«e ´ ° ¼ Ä ¶ °)®•bže ¼ ° ¶ G Ë K­ ³Þº1c
jæ è·æ
Ú ¶
´ ­
¶
¼
µ
¾ªR¬j­qe ¶ð­_e#È2¸1­qe µ ³ ´ ¸ð¼ Â4¶ e#c†bdc (W
¼ 1 , . . . , Wq ) e ¸ ¶ bófc˜
­Ì¸Yµ
­qº4´je µ
­ Â4­qe#¶ c†bdcR
­ °)²9Ӂá!²t° ®âc (η1 , . . . , ηq ) Ë
Ä ° Ä °)®•bže P : G → R »=e Â
c ³ ¸e#c
X
`†Ó 2g
P =
cα xα ,
α
¬j­qµ
­
Ú¹­
µ ¶ ­
­
¶
È2­q¶
Ï
¸â»_°° ¸Yb e'³ c†ÄYc†³ ® ° G À)b
ÂGÄ xi = ηi ◦ exp−1
(x1 , . . . , xq ) bdce™¾
µ
­ ­
™
µ
_
­
2
È
q
­
µ
¶
¶j¼
¶ ­
αq
α1
α
q
²t¶ ° i =
1, . . . , q, Ï
c
³
x = x1 · · · xq ²t°
Ä
α ∈ N ÎNe ¸° Äeâ¾ bó
¶
È ¶ ¬
­qµ
­
­q¶
ºj®Ñª{ ¬j­ °)²
­ »_µ
° ­q­ •»_b ³fc cα ∈ R­q¼¯¸Y¼ ° ­ °#³ ¶j­ e bdc Ë ¬j­•µ
­q¼
¶
ª{¬j­q¶
­
di °)² Wi bdcÏ
¸ ¾ ´ ¸,
ÂG¶ Äô³ ¼
e'³b¯° Wi ∈ V¬
Ë Ú¹´jµ
­ Ï ¶
di ­_
­ ¶j­ ¬j¸ ­ À
¼
¸ ¾
³
æ •æ Gê_è·êoæç «é2ê í êfê°)²e ° Ä °)®•bže P : G → R Ϙbó
cc
b¯°
`†Ó 2gRe#c
¬ ­
á%¸ À (P ) = max{d(α) | cα 6= 0},
Pq
¬j­qµ
­
ª{¬j­ ´ ­
´ ¼ ¶
¼
¬
­q¶j­
­ µ
­q­
ϼ¯­
°)º1c˜¸ À
¬ d(α)
¶ µ˜=­ k=1
¼ dk αk Ë ¼¯¼ ­ c ­q¶ e#» ­ °)² ° Ä °)®•bže c˜°)² °)®•°)À
ccR³ e °
º4e ³° k Ïb  ¸ °#³ ¸ÍÂGÄ PH,k (G) Ë
­_Ú
­à­_Ú ­q¶
¬j­ ­ ¶
¶
­qµ
­q¶
¼
µ ­qµ
µ
p
­ µ ³=Îj´ Ï ª{¬ ³ ¶ ¸ð³ ¶ ¸ ¾ bó­ b¯° °)ö ² L
¼ ­qµ
¸Yû)b¯¶Á ¶ ³bžeÂjb bóÅÄͶ °)²° ­q¸ ­ k ³¶ °âc†³ e'³
á
b¯¾ ¸ðÀ °)º cqË
bdc °#³b¯° bdc˜¸Yº ³° e ¸
e ¸Ýü4ĹÀ)®Ñº ¸[`;c
ҍý'Õe ¸½Ò„ÔՏgoË
Ó#ËdÓÜÑ` Lp ¸Yb¯Á ­qµ
­q¶ ³bžeÂjb ¼ bóÅÄÌ°)²¹° µ ¸ ­qµ k g Ùþ[²tº ¶ »³b¯° ¶ u ∈ L1 (Ω)
­
¬j­qµ
­˜­_Ú
´ ¼ ¶ loc ¼
bdccebd¸«³°à Lp é î ¬ ê í ê_¬ è ï;î.ì å¯êææ í é2ê í k ì#ï x ∈ Ω b¯²4³
bdc†³fce ° Ä °)®•bže
T[x] ∈ PH,k (G) c
º1» ³ e'³
1/p
`†Ó_Ûg
|u(y) − T[x] (y)|p dy
= o(rk ) e#c r → 0+ .
Bx,r
ªR¬j­ p
q­ µ
­q¶
¼
µ ­qµ
¼
¶ ­q¼
¶ Ó#ËdÓ
¶ ¬ L ¬ ¸Yb¯Á p ³ bže ­q°)µ
­q²N¶ ° ¸ ¼¯­ k bdc9e µ Ϙ­qeqµ ÄYcº b º đ¸
k e'³ x bdcÑe
ò ²;­qe#µ
»­q³=¶ ÎVeͲtº ¼¯­ »³b¯¶ ° ­ f Ï bd» db c L Y
¸ b¯Á
³bžeÂ
°)²R° ¸
¸Yb¯Á
³bže ηc
b »
1/p
|u(y) − T[x] (y)| dy ≤
|u(y) − T[x] (y)|p dy
,
¶
Bx,r
Bx,r
­ j
¶ ­
¸ Ë
¼ ¾ 8
c
° L1 á
¬ ­qµ
­
j
ªR¬j­q¶ N­
´j¼ ­
¶ ­q¶j­
Æ
¼ µ ¼
¶j­
¶
Ï ¬j­ Ø 1¬ ≤ p <µ
∞
Ë
â
®
‘
®
‘
e
#
Ó
d
Ë
_
Ó
«
Û
¯
b
®
b
R
c
º
b
º
c
q
c
Ë
b
¯
•
®
b
e
Ä
N
j
Î
°
=
»
e
­ ­q¶j­qµ ¼¯¼
­qµ
­q¶
¼
µ ­qµ
´ ¼ ­
j
­qµ
­q¶
» » ¼ ³ e'³˜®•µ ° ­qµ À
e ¬j­ Ä Lp ¸Y­àb¯Á´ ¶ ³bžeµ Âjb bü¯³Å¼ Äð°)²C° ¸
b c Lr Y
¸ b¯Á
á
k b¯®
k e'³˜³
³bžeÂjb bóÅÄð°)²° ¸
ce®
°)b ³²t° e 1 ≤ r ≤ p Ë
- ,-& 3- . ) !. & Ó#ËdÓ_Û Cê ï P ∈ PH,k (G) åfê f ç
lim
r→0+
Bx,r
4
ï ì#ï
|P (y)|
dy = 0.
rk
ê è1ç0 Yæ è¢æ î.ì ê_è P î ï Ù
í
É
¼¯­
µ ¶ ¼
¶
¬j­ ¶
­q¼¯­ ­q¶
¬j­ µ ´
æ­ æ ¬ Äõe
²ž³³ e ­ c Ú e'³b¯° e'³
³
º
Ã
b
³
®
³
)
°
²
³
À °)¶ º
Ï
µ ¶ ­
­
e#c­ c†ºj® ¶ ³ µ e'³ ­ x = e ËßP ¾ e »_°° ¸YÆ b e'´j³ ´ c†­ ÄYc@³ ® (x
,
.
.
.
,
x
)
°
G
Î
q¶
¶ µ1
¬
α
°2c ÂGÄð»_° ³ e#¸Ybd»³b¯° ³ e'³ P
Ï »=e Ï bó P (y) = d(α)≤k cα y Ë º
È ¶ ¬ ¶
ª{¬j­q¶ ¬j­ ¶ ­ ­qµ
­q¼¯¼ ­ ¶j­
e bdc b ÀjË P ³
b ³ À
p = min{d(α) | cα 6= 0} bdcÏ
­
É
¬j­Ì¬
­q¶j­
¼¯¼ ¸ ¾ ¬ ¸,e
α
c ³ P1 (y) = d(α)=p cα y Ë Ä‘³
°)®•°)À
bóÅÄð°)² P1 bó˜²t° °ÏcR³ e'³
X
P (δr y) = rp P1 (y) +
cα rd(α)−p y α .
­
¶
=
»
e
¬ ­q¶ ­
j
¶ »
bdc °#³
¶
­
¸ÝÏ
d(α)>p
$™­
P
¶ ¶
­à¶ ­ ¬
b À Qr (y) = d(α)>p cα rd(α)−p y α ÎYÏ
°#³ ³ e'³
¾
sup |Qr (y)| → 0
y∈B1
É
¬ ¶ ­
È µ
¼¯­ ­à¬ È2­
ÄÍeÞ» e À °)² e bžeÂ
Ï
e
|P (y)|
`†Ó)g
e#c r → 0+ .
|P (δ y)|
r
dy → 0 e#c r → 0+ .
rk
rk
Br
B1
ªR¬j­q¶
µ
­q¶ ¼
¼¯¼
­
¶
²t° e«c†º â»_b ³ ÄÍc†®‘e r ∈ ]0, 1[ Ï °)ÂY³oeb
1 |P (δ y)|
r
p−k
dy
≥
r
|P
(y)|
dy
−
|Q
(y)|
dy
≥
|P1 (y)| dy.
1
r
rk
2
B1
B1
B1
B1
Æ ¶ ­
¶ ¶GÈ ¶ ¬ ¶ ´ ¼ ¶
¼ ¬
¶j­ ¼
¶ µ
b » P1 bdce ° e bdc b À ° Ä °)®•bže Î1³ bdcRb
º4e bóÅÄÍ»_° ³ e#¸Ybd»³fcÑ`†Ó)goË
ª{¬j­™¶j­_Ú ¼¯­
´jµ È2­ ¬
¶
¶
­ È ¼¯­q¶
Ó#ËdÓ ³ ®•®‘e
° c³ e'³R»_° ¸Ybób¯° `†Ó_Ûgbdc
ºjb e
³
³°
|u(y) − T[x] (y)| p
dy = 0.
lim
`†Ó=ý2g
%(x, y)k
r→0+
Bx,r
#Ó ËdÓ=ý Cê ï g ∈ L1loc (Ω) åfê fç ï ì#ï g ≥ 0 ì t ê î è Ω ì è·é Ãê ï α > 0 ê_è ï êoæè·é îï;î æè Bx,r g = o(rα ) ì r → 0+ î î ê ï ì#ï
dy =
`†ÓÔ)g
lim
r→0+
Bx,r
g(y)
dy = 0.
%(x, y)α
í
K­
¶ ¼¯­
­
­q¶ ¼
¯¼ ¼
­ ­ ¶j­
»_b
³ Þ
Ä c
®‘e Ë ß
¸ ¾
rk = r2−k
µ˜­_È2­qæµ æ ¶ ­ ³ q­ xµ ∈ Ω e ¸ ªR¬j­q³ ¶ r >à
­ 0¬ Â È2­ c
º â
k ≥ 0Ë
t² °
Ä b ³ À
Ï
e
–Ì‚oxs‚os'}
1
Bx,r
∞
k=0
Bx,rk
g(y)
2α X 1
dy
≤
%(x, y)α
|Bx,r |
rkα
≤
g(y) dy = 2
α
∞
X
2−kQ
k=0
2α
−α
sup
s
1 − 2−Q 0<s≤r
Bx,s
rkα
g(y) dy
Bx,rk
g(y) dy → 0
e#c r → 0+ Ë
© 8©
í
ï%ì#ï;î æè _æ í Ñç0 ì Ùþ ¶ °#³ ¬j­qµ b¯® ´ ° µ ³oe ¶ ³³°° ¼ bdc³ ¬j­ ù µ
­q´jµ
­ c ­q¶ ³oe'á
ê êqêè
¶
µ
¼
­
¶ ¬j­•¶j­_Ú
¬j­ µ
­
ª{¬
µ
¼
¼¯¼¼¯­
¬j­
³´ b¯° ¶ ²t° ®Þ­Ùº ­ eú«c†³oe'³ ­ ¸,b ³ ¶
³Ì³ ¬ ° ´j®Í
bdØ)cÌ
¼ Ë
­ ²t° µ ®Ñ¼¯­ º e‘
¶ Ïb µ e#­ ¸ô
¬ º1cà³°ð³
°)b ³ÅÏbdc
c@³b¯®‘e'³ cÙ`!Ü2gRe ¸,`!ܹÓg³ e'³ eqÄÍe
Ä ° b °)º ® ³ °¹¸³°«°)ÂYá
¶
­qµ
­q¶
¼
µ
­ ¼
¶ ¬j­¶j­_Ú
¬j­ µ
­
­
­ ¬j­µ
­q´jµ
­ ­q¶
¶
³oeµ b ¸Y¼b¯Á µ× ³bžeÉÂjÊ b bóÅÄ ¶ c†º ¶ ³fcq˹ò ³ ´jµ
³¶ ³ ­˜
° ­ ® ¼ Ï c@³oe'³ ¶j­ ³
c
o
³
'
e
³
¯
b
°
µ ¶
¶ ­ ¼
²t¼ ° ®Ñ¶ º e¬j²t° ­ ­ á ¬ ²tº »³b¯° Æcq¬Ë¹ò!³fµ c ´jµ °°)²N»=e  ¬j­µ
­qe#´jc
b µ
­ ÄÞ­q°)¶ ÂY³oeb ¶ ¸•²t° µ b ¼c@³oe » ¶ ²t¼ ° á
°­ Ïb À¶ ³ ¶ ® ³ °¹¶ ¸Ù°)²KÒÃÓ Õ!Ë ¶ô´ ° ³ µ °¼°)²µ cI°)²Y³­
­q¶
¶ c ¬j³oe'­ ³b¯° ¬ µ
²t´ ° µ
®Ñ­ º e˜
¼ »=e e c
°
 ¬j­q²t°)µ
­ º ¸
b
Ò
'
Õ
e
Ç
¸
Ò
'
!
Õ
8
Ë
ò
e
³
d
b
_
»
º
e
8
Î
Ï
®
³
¯
b
°
³
c
e
†
c
º
¶
µ
­ ­q¶j­qµ ¼ ­ µ
­ ¶
¬j­ ¶ ­ µ ¼ ¶ ¬j­‘µ
­q´jµ
­ ³Ì
­q¶ °)²Ò
'¶Õ!Î
Ï µ
μ Cb eð®•
°
À
e
®
³
d
b
‘
»
c
³
³
b
j
À
I
Î
³
b
³
À
e
b
³
c
³oe'³b¯°
¶
­qµ
­
¶ ¬j­
¼¯¼
¬ ´
¼Kµ
²t° ®Ñº eÞbdc˜»_° c
bd¸
¸Í° ³
Â4e Ϙbó ° ³b¯®‘e e#¸Yb¯º1c_Ë
ñ˜­q´jµ
­ ­q¶
¶
µ
¼
Ó#ËdÓԑ`
c ³oe'³b¯° ²t° ®Ñº e2g Kê ï Ω ⊂ G åê ì èÍæ jê_è oç4å _ê ï ê_è ï ê í ê«ê î ï ì fæ#è ï%ì è ï C > 0 oç ï ì#ï _æ í ê ë ê "í å ì Bx,2r fæ ì ï ï%ì#î è·êoé î è Ω ê ì#ë ê
oæè
`†Ó2g
|u(x) − uBx,r | ≤ C
Bx,r
1
d|DH u|(z)
%(x, z)Q−1
í ê ë ê í u ∈ BV
êè¢ê ë ê í x ∈ Bx,r ∩ Au H,loc (Bx,r ) ­
¶
µ ­ µ ­
¶
¶ j
¬ ­ µ
­
¼¯¼
µ™­_È2­qµ
Ï bó `†Ó2g˜º1c
b À 1
Ö ºjÂjb b c™³ ° ® e#c™²t° °Ïc_ËNÖj°
Ä α>1
­à¬ ß È2­ »=e
Ï
e
∞ 1 1
d|DH u|(z) = (α − 1)
dt d|DH u|(z)
%(x, z)α−1
tα
_æ
Bx,r
Bx,r
∞
%(x,z)
r
|DH u|(Bx,r ∩ Bx,t )
|DH u|(Bx,t )
|DH u|(Bx,r )
dt = (α − 1)
dt +
;
tα
tα
rα−1
0
0
¬
´j¼ ­
¬ ¶ ­
È µ
¼¯­
³ e'³b¯®
b cRÂGÄðeÞ» e À °)² e bžeÂ
= (α − 1)
`†Ó2g
Bx,r
1
|DH u|(Bx,r )
1
α − 1 |DH u|(Bx,tr )
d
|D
u|(z)
=
dt +
.
H
%(x, z)α−1
rα−1
tα
rα−1
0
ªR¬j­àµ
­q´jµ
­ q­ ¶
¶
µ
¼
¼ ¶
¬
­q¼
¬j­
¯¼ ¼
¶
¬ ­ µ ­
j
c ³oe'³b¯° ²t° ®Ñº e•e ° À«Ïbó `†Ó2gĹb ¸jcR³
²t° ° Ϙb À•³ ° Í
® Ë
#Ó ËdÓ
ï
%
ì
ï
oæè è C > 0 fç
Cê ï Ω ⊂ G åfê ì få æç¹è¢é2êféÝæjê_è _ê ï ê_è ï ê í â
ê ê î ï ì
ï ì#ï _æ í ê ë ê í å ì B
ì ï o æè ï%ìî è·êoé î è Ω ê
x,2r oæ 1
- ,-& 3- . ) !. & ì#ë ê
|DH u|(Bx,tr )
|DH u|(Bx,r )
`!Ü2g
|u(x) − uBx,r | ≤ Cr
dt +
(tr)Q
rQ
0
í ë í u ∈ BV
_æ ê ê
ê_è¢ê ë ê í x ∈ Bx,r ∩ Au H,loc (Ω) ¶
­
­
¶ ­ ­q¶ ­ ­à¬ È2­ ¬j­
¼¯¼
¶
µ ¼¯¼ µ
þce b¯®â® ¸Ybže'³ »_° c º » Ï
e
³
²t° °Ï˜b À‘»_° ° e Ä2Ë
Ó#ËdÓ Cê ï Ω ⊂ G åfê ì åæçYè·é2êoé•æjê_è qê ïì è·é Ãê ï 1 ≤ p < ∞ ê_è ï ê í ê«ê î ï ì fæ#è ï%ì è ï C > 0 oç ï ì#ï _æ í ê ë ê "í å ì Bx,2r fæ ì ï ï%ì#î è·êoé î è Ω ê ì#ë ê
oæè
1
`!ܹÓg
|u(x) − uBx,r | ≤ Cr
+
n 1 0
Bx,tr
Bx,r
_æ
í ê ë ê í u ∈ W 1,p (Ω) H,loc
|∇H u(y)|p dy
|∇H u(y)|p dy
êè¢ê ë ê í x ∈ Bx,r ∩ Au 1/p
1/p o
dt
.
8©˜¨t£"_¡W¤4£¥£«¥I¨
£#¹ ·¡'¨ ¨ ¨ž¡4©
­ ­ ¶ ¬
­
¶
¬
­´jµ
­
 ¼¯¼ À)b ³ ªRbdc9
¼¯­
¬
¼¯¼ ­
­ ¶ ¬ß
¬jµc »³b¯¬° Ïbó ¬j­Rc†´ °)® ´·­qµ ­ á
b¯®•b e Ä ®â®‘e#cI³ e'³Ï˜b  º1c ¸«b Ï e'³²t° °Ïc_Ë
°)ºjÀ °)ºY³³
e
Ï
¼¯¼ ­ ¬j­Ì¶
¶
µ ¬j­
´
¬j­qµ
­
¶
Ïb ­ º1c ¬ ³
°#³oe'³b¯° v ∗ ²t° ³ ¶ ®‘e x 7→ hv, ln xi ÎYµ Ï ´Í¬ x ∈ G µ
e ´j¬ ¸ v ∈ V1 Ë
°#³ ³ e'³ v ∗ (δr x) = rv ∗ (x) e ¸ v ∗ : G → R bdceÞÀ °)º
°)®•°)®•°
bdc
®ÍË
ì
ÜËdÓ Kê ï µ åê ì è·æè1è¢ê ì#ï;îtë ê
éGæè•ê ì fç í ê½æè Ω fç ï ì)ï
ï ê í êÞê î ï ì oç4å _ê ï N ⊂ Ω æã ì2ìí •ê ì fç í ê ê í æ ì è·é µ(Ω \ N ) = 0 ê_è
limr→0+ µ(Bx,r )r−Q = 0 _æ íÑì tê x ∈ Ω í
É
¶ µ
¶
­¬
­
µ ¼¯­
­
¬
ææ ¬ ÄQ¬ »_° ³ e#¸Ybd»³b¯° ÎRb¯²àÏ
e#¸ e½® e#c†º eÂ
c†ºjÂ1c ³ A ⊂ Ω Ïbó
|A| > 0 c†º1» ³ e'³
µ(Bx,r )
>0
lim sup
rQ
r→0+
µÌ­_È2­qµ
¬j­q¶
­
¼
­
­
µ ¼¯­
­
¬
²t´ °
Ä
Ï
9
Ï
)
°
º
¸
À
W
³
e
®
#
e
c
º
e
Â
c
j
º
1
Â
c
³
x ∈ A Î8³
A0 ⊂ A \ N Ϙbó
È2­
­
µ
­ ¶
¬ ¬
s u|(A0 ) ≥ λµ(A0 ) > 0 Ë ªR¬ bdcc†³oe ¶ á
°2µ c
bób
® e#¶ c
º ­ e ¬j¸ ­ Ø)λ­ > 0 µ c†º1¶ » ³ ¶ e'­ ³ |DH
ªR¬j­ µ
­
¶
¸1e ¸½ªR²;e#¬j»­q³«
° ®âcÞÜËdÓ ¹ËdÓÔe ¸¿ÜËdÓ ¹ËdÓ Ý°)²
¶ »=e ¬j­ Â ¶j­ » » ¼ ­¸[²t° b c@³oe » ÂGÄ
ÒÃÓ=ýÕ!Ë
³
b
º4e bób c
¼
¶
µ
0 < µ(A0 ) ≤ µ(Ω \ N )
¶ µ
¶
e#¸ðº1cR³°âeÞ»_° ³ #e ¸Ybd»³b¯° Ë
ÜË“Ü Kê ï u ∈ BVH,loc (Ω) êè _æ íÝì tê x ∈ A∇H u ì è¢é½ê ë ê í"
c ∈ RÎ
|DH (u − ∇H u(x)∗ − c)|(Bx,r )
= 0.
lim
rQ
r→0+
¼¯­
–Ì‚oxs‚os'}
1 í
¶
¬j­ ­ ¶
¶
¬ ­
j
¼ ­q¼
ææ *™c†b ÀÙ³
¸ ¾ bób¯° 9
c °)²·³
eÂ1c
° ºY³ Äâ»_°
¼ ˜
µ ´ µ
¶j­
¶ ¬j­ Ø
¬
¼
e
e ³ °)² |DH u| °
»=e » » ˜
Ï bó )° ºY³¸Ybâ»_º ³Åij
¶
¬
¶
´ µ ¶
¶
³b j
º °)º1c e ³{e ¸âc
b À)ºYá
e'³
!` Ü)Ü)g
|DH (u − ∇H u(x)∗ − c)| = |∇H u − ∇H u(x)| vg + |DH u|s .
K­
µ
¬j­ Ø ¬
µ ­
­Ì¬ È2­
³º1cR¾ c@³™» » ³ e'³²t° e¹Ë Ë x ∈ Ω Ï
e
s
|DH u| (Bx,r )
`!Ü 2g
lim
= 0.
rQ
r→0+
ªR¬j­ðñ
¶
Ø 1
¬j­ µ
­
È2­
­
µ ¼¯­
­
¬
e#¸Y° ÷ b °¹¸ ® ³ ° ® À)b c«º1c«e® e#c
º eÂ
c†ºjÂ1c ³ N ⊂ Ω c
º1»
¬
³ e'³
¶
|N | = 0 e ¸
|DH u|s (N c ) = 0.
ªR¬j­q¶
K­
¬j­â¼
¬ ¼
­ ¶
¶ ­ ­q¶ ­ ¬j­
ÂG´ Ä ¶ ®•¬ ®eÍÜËdÓ«³ ¶ ´jb¯´j®âµ bó
Ú `!Ü 2g ­ ° ¸j¶ cѶ e¹Ë ËCb ´ Ω¶ ËþcWeÍ»_° c ¶ º ¼ » ­ γ ¬j­
e#cµ c†ºj® ³b¯° ³ e'³ x bdc{e e
° b¯®‘e'³ »_° ³b ºjbóÅÄ °)b ³R°)² ∇H u »_° » º1¸ c{³
´j
°°)²ÅË
ö ¼ ­qµ
û)¶ ¶
ª{¬j­Ù¶j­_Ú
¬j­ µ
­
¬
­q­q¶´jµ È2­
¶
µ
¶
³
e#c
e­q­ ¸ô¼ ü4ĹÀ)®Ñº ¸Í²t° ²tº »á
¶
¶ ³ ­ ° È ®µ
¶  ¶ÍÐ
¼ ° ­ ¸Ý¶ ÂGÄ ´ e ­ ¸
³b¯° c˜°)²Â·°)º ¸ ¸ e bže'³b¯° b
º1» bd¸ e c e#» cÙҍýÕ`;c
e c†°ÒÃÓ=ý'ՏgoË
ö ¼ ­qµ
û)¶
¶
ÜË Q` e ¸
÷Yü4ĹÀ)®Þº ¸4g Cê ï u ∈ BVH,loc (Ω) ì è¢é Ãê ï β =
Q/(Q − 1) ê_è u î Lβ é î ê í êè ï;î.ì å¯êæ æ í é2ê í 1 ì#ïÙì tê x ∈ Ω ì è¢é ï ê
a u
é î ê í ê_è ï;î.ì î í ê í ê_ê_è ï%ì åÃê ì ∇H u(x)∗ Î# ê í ê ∇H u î ï êÞé2ê_è îï æ" DH
í
$
­
N­
µ ­
­à¬ È2­
ææ º ³°
®â®‘e«Ü˓ÜÎj²t° e¹Ë Ë x ∈ Au ∩ A∇H u Ï
e
|DH v|(Bx,r )
= 0,
rQ
¬j­qµ
­
¶
¬
É
u(x)∗ (x−1 y) − u(x) e ¸ x ∈ Av Ïbó v(x) = 0 Ë Ä
Ïj
¬ ­ µ v(y)
¶ ¼¯­ =¶ju(y)
­ ¼− ∇H­à
¬ È2­
³
³ bže À b
º4e bóÅÄ Ï
e
1/β 1/β
|v(y)|β dy
≤
|v(y) − vBx,r |β dy
+ |vBx,r |.
`!Ü'Ûg
ªR¬j­•Æ
lim
r→0+
Bx,r
¼¯­_È
¶
µ
ø
¶j­
¼
Bx,r
¶
¬j­Ñ­
­
È2­
¶
¶
°)¬ ·° ¬ ÷a°)b »=e
b
º4e bóÅÄÇ`2g™e ¸ ³
c†³b¯®‘e'³ `!Ü2gÀ)b
e‘»_° c@³oe ³
C1 c†º1» ³ e'³
1/β
(25)
|v(y)|β dy
Bx,r
1
|DH v|(Bx,tr )
|DH v|(Bx,r )
≤ C1 r
dt +
= o(r),
(tr)Q
rQ
0
¬j­qµ
­ ¬j­Ù¼
­ ¼
¼¯¼
µ
¶
¶
Ï
³
e#c@³
º4e bóÅÄð²t° °Ïc˜² °)® »_° ¸Ybób¯° `!Ü'ÛgoË
ª{¬j­ ´j´jµ
¬
­
¶ ¬j­Ù´jµ
­_È
¬j­ µ
­
¶ ­ ´j´j¼ ­
­qµ
Lp ¸Yb¯Á á
e
G
°
#
e
»
1
º
c
Í
¸
b
³
¯
b
)
°
1
º
c
³
°
®
=
»
e
Â
e
b
Í
¸
³
°
­q¶
¼
Æ
¼¯­_È
¶
¶
¶ ¶
¬j­
¼¯¼
¶ ض
¶ µ
­ ¼
­q­
³bžeÂjb bóÅÄô°)² °)·°
²tº »³b¯° cqÎK°)ÂY³oeb b À ³
²t° °Ïb À
°Ï
c†º ³fcâ`;c
Ò
ՏgoË
- ,-& 3- . ) !. & 1
8
ÜËÛ Kê ï u ∈ W 1,p (Ω) îï 1 ≤ p < Q ê_è u ì ì è Lγ
îé ê í ê_è ï;î.ì æ«æ í é2ê í 1 ì#ïì tê xH,loc
∈ Ω ì è¢é ï ê‘é î ê í ê_è ï;î.ì î í ê í ê_ê_è ï%ì åÃê ì í
î
ï
a u ì è·é γ = Qp/(Q − p) ∇H u(x)∗ Î# ê ê ∇H u êÞé2ê_è îï æ DH
ÜË Kê ï u ∈ W 1,p (Ω) îï 1 ≤ p < ∞ ê_è u ì ì è Lp
îé ê í ê_è ï;î.ì æ«æ í é2ê í 1 ì#ïì tê xH,loc
∈ Ω ì è¢é ï ê‘é î ê í ê_è ï;î.ì î í ê í ê_ê_è ï%ì åÃê ì í
î
ï
a u
êÞé2ê_è îï æ DH
∇H u(x)∗ Î# ê ê ∇H u 8© © ¶ ­ ­q¶ ­
­
è¢æ ï ê í í ææ {æ ì é2ê ì ê í ï êfæ í ê Ìþce˜»_° c º » °)²je¹Ë Ë L1
­qµ
­q¶
¼
× ÉÊ
¶
¶
­
¶ ¶ ¬j­qµ´jµ
¬j­Wñ
­
¸Y¬jb¯Á ­qµ ¬j­ ³bžeµ
­Âjb bóÅÄ͵°)µ
² ­ ¼ á È ¼ ²t­ º » ³b¯´ ° c
¬ Ï °)ÂY³o´ eb ¶ e °#µ ³
­ °°)µ ²°)²I
´ ³ ªR¬ e#¸ µ
­ ®e'¼ á
» µ µ ³ ´ ° È ® ¼ ²t­ °
e ´ á e º ¸ ¬ b c» µ
­ bó ™
‘
®
e
c
°
†
c
³
'
e
³
¯
b
¾
‘
¸
À
)
°
º
cqË ¶ bdc c
º ¶ ³
­
¶ ¶
¶
­
²t° ¬j­ À °)º ­ á e µ
­ º ¼ ¸ÙÈ ®¼ e ­ c8bd cK®Ñ
1
º
»
•
®
°
¸
®
e
Y
¸
b
À
e
Ì
¸
Ã
b
K
³
d
b
K
c
Y
¸
º
³
˜
°
V
a
ö µ ¬jø
´ ¬
´
¶ ö µ
¶
µ e ´ c
º‘­ Ò Õ!ˬ ò
³ ¬j­ »=µ
e#­ c °)¬ ² e ­qá ­q¶ð
e ´jº µ ¸ È2­ b c
» & bó ච®‘e ¶ c9° Æ­qµ
µ e ö °#³†÷ e ¶ e'³ °¹¸Y° Äð
¶ c e#»& cqιµ
µ
³ ­ bdc
³ ´·° ­­ ®
e#c9­ Â ¶ ö µ
° ¶ ¸ ö ÂGÄ µ ¬j° ø ³bKe µ ¸ ´ ­ e e#c­ ce °Ý
Ò
-'Õ!ÎYº1c
b Àâe
¶ ¬j­ ­q° ¶j­qµ Äá ¼
³ÅÄ
c†³b¯®‘e'³ b
e °#³†÷ e e'³ °¹¸Y° ÄÍc e#» cR¸Yº ³° º Ò Õ!ËYò ³
À
e
­
¼ ¶
­ µ
´ ­
¶
¬j­
¶ µ
ø ¶j­ ¼
¶ ¬j­qµ
»=e#µ c °)²™¸Y°)ñ ºj ­ b À ® ¬j­q³ µ bd» c ¬j­ e#» µ
­ c•e#¸Y®âbó
È2³b ­q¶ À³ ¶
a°)b µ »=e ¶ b ¶ º4e bíq³Å¼Ä2ζ e ¶ °#³
´j
°°)²Ù°)² e#¸ ®‘e#»
c³ ° ® bdcÀ)b
b Ò Õ™²t° ²tº »³b¯° c  ° À)b À¿³°
¬j­qµ
­
µ
­ ­qµ ¬ ¶ ¬j­Ì¬
­q¶j­
­q¶
¶
¬j­
­ µ
³
e
³
)
°
•
®
)
°
À
)
°
1
º
c
Y
¸
¯
b
®
c
¯
b
°
)
°
I
²
³
®
WH1,p (Ω) ÎjÏ
p bdcRÀ e'³
´ ­ ¶
µ
­
µ ´
­qµ
­q¶ ´jµ
¬
¬j­ µ
­
È2­q¶ ¶ ³ bd»
c e#» ×­qË4µ
ò ­ c@­à
³ ´je'³µ
b¯­ ¾ ­q¸Ý
b ÒÃÓ_Û)Õ!Ë
¶ À °)º c_­q΢µ
­qeÞ¶ ¸Yb¯Á ´j´jµ ³ ¬ °°)¬ ²°)²C
¬ ³ ´jbdc{
´j¼ ³ ­ ° K­ ® bdcRÀ)b
Ï
c
³
Þ
e
Y
¸
¯
b
Á
™
³
e
G
°
#
e
»
Ï
d
b
»
e
b
c
•
®
‘
®
e
¹
d
Ë
#
Ó
Ë
Ñ
°)²{
É
¬
¼¯­
¬j­ ñ
­
¬j­qµ ¬j­ µ
­
¼¯¼
­
´j´jµ Ú
­ ÒÃÓ=ýÕ!Ë
Ä,³ bdc ®•®e¹ÎC³
e#¸ ®‘e#»
³ ° ® ²t° °ÏcÞÂGÄ¿e¹Ë ËVe
° b¯®e'³ ¸Yb¯²žá
­qµ
­q¶
¼
µ«´jµ
­_Ú ­q¶
¬
¼¯­
µ
­
µ ´
¶
­
² ¬j­ ³bž­ eÂjb bóÅÄ2Ë ­qº µ
­q¶ °°)² ¼
³ ¸jc«¶ ³ bdc ¶ ®•®‘× eݳ° c†¶ ³ e'­ ³b¯¾ È ¸M
À °)º ¶ câ´je µ ¸¿
º1c ¶ c
µ
2
È
­
³ªR¬j­ e¹µ
Ë ­ Ë L1 ¸Yb¯Á
³bžeÂjb bóÅĽ°)²R²tº »³b¯° cW°)² á!·°)º ¸ ¸ e bže'³b¯° Î
° ¸½b
° ® ÜË ¹Ë
ñ
­
¬j­qµ
ÜË~ý ` e#¸ ®‘e#»
gKê ï u : Ω → R åê ì î îï ì ê_è
ï
í
î
ï
ì
î
Ñ
í
ì
_æ
tê x ∈ Ω ê êÑê ç¹è _ç1ê ë ê ï æ í ∇ u(x) ∈ V fç ï ì#ï
H
1
|u(y) − u(x) − ∇H u(x)∗ (x−1 y)|
lim
= 0.
y→x
%(x, y)
í
¶
¼
¬j­ Ø ¬
¬
µ
¶ ¼ ­qµ È
È2­
ææÌò!³µÙ
bdc ­_È2°#­q³
¸Yb â»_º ³³°Ì» » ³ ­q­ e'³ u e#¶ c¸Ybdc†³ b¯ÂjºY³µ b¯° e µ
­ ¸ ¶ b e'µ ³b X¶ j u
¶
µ
∞
b ¶ML
Ä j = 1, . . ¶. , mªR`;¬jc ­ µ
­ ܹ҄ӁÕ{e ¸Q
´ µ (Ω) ¼ ²t° µ
¼ ҄µ Ü ­qÕ¼ ²t° ­q¶ ®•° µ
­ b ¬ ²t° ®‘e'³b¯° go1Ë
ò
e ³bd»_º e u ∈ BVH (Ω) e ¸
° ® ÜË e À Ä
c†º c«³ e'³ u bdc L
­qµ
­q¶
¼¯­
­
K­
´ Ø
¬ ¬
­qµ
­q¶
¼¯­
x ∈ Ω e'³Ï bd» u bdc L1 ¸Yb¯Á
¸Yb¯Á ¬
³bž­qeµ
 ­q¶ e'³R¼ e¹Ë Ë x ∈ Ω Ë É ³
1
º
c
d
b
»
³bžeÂ
N
­
¬
­
¶
j
¬
Ì
­
¼
Ïbó ¸Yb¯Á
³bže ∇H u(x)∗ Ë Ä
®â®‘eÓ#ËdÓ=ýÑϘbó α = 1 Ï °)ÂY³oeb ³
b¯®•bó
|u(y) − u(x) − ∇H u(x)∗ (x−1 y)|
dy = 0.
%(x, y)
r→0+
Bx,r
¶´ µ
¼ µ
´j´jµ Ú
­q¼
­qµ
­q¶
¼¯­
¶ ¬j­ ­ ­qµ
­qµ q­ ¶ ­
ò ¬ e ³bd»_º µRe ­_È2u­qµ bdc{e
° b¯¬j®‘
³bžeÂ
e'³ x b ³
Ö ¸
c c ÒÃÓ=ýÕ!Î
­ e'³ ­ ĸYb¯Á
³ e'³bdcqÎ1²t°
Ä ε>0³
c ³
lim
Eε = {y
¬
¬j­‘´jµ ´·­qµ
° ¬j­q¶ ³ÅÄ ­
´ e#c̶ ³
°)b ³°)² Eε Î
»
∈ Ω | |u(y) − u(x) − ∇H u(x)∗ (x−1 y)| ≤ ε%(x, y)}
ªR¬j­q¶
­q¶
c†bóÅÄ
|Eε ∩ Bx,r | |Bx,r |−1 → 1 e#c r → 0+ .
x bdcWe͸
¬j­
¼ ¶ ´jµ ´·­qµ
È2­ ¬
³
¸Y°)ºj b À
°
³ÅÄÌÀ)b cN³ e'³¸Ybdc†³ (y, Eε ) = o(%(y, x)) e#c
–Ì‚oxs‚os'}
1
Ú
¬ ¬
µR­_È2­qµ
Ä %(y, x) ≤
%(y, x) → 0+ ËjÖb r0 > 0 c†º1» ³ e'³¸Ybdc@³ (y, Eε ) ≤ ε%(y, x) ²t°
­ ¬
­
¶
¬
» °°2c y ∈ B x,r0 ÎNe#cc†ºj®âb À‘³ e'³ B x,r0 ⊂ Ω ËNò%² y ∈
/ Eε ∩ B x,r0 ⊂ Ω Î
r0 Ë4ß
¬j­q¶
¶
¬j­qµ
­­_Ú
¬ ¬
³ ­ ¸Y­q¶ bdc@³ (y,
bd¶ c@³fc a¶ ∈ Eε c†º1» ­à¬³ e'È2³ ­ %(y, a) < 2¸Ybdc†³ (y, Eε ) Ë
´ ³ ¬
­ Eε ) >¬j0­ e ¸«
b c» bóٻ_° c†³oe ³°)² u ËYß
e
ß
¸ °#³ ÂGÄ L ³
|u(y) − u(x) − ∇H u(x)∗ (x−1 y)|
≤ |∇H u(x)∗ (a−1 y)| + |u(a) − u(x) − ∇H u(x)∗ (x−1 a)| + |u(y) − u(a)|
≤ k∇H u(x)∗ k2ε%(y, x) + ε%(y, x) + 2Lε%(y, x).
¶ ¬j­
­
­ ¶
¶
­¬ È2­
ò ³
»=e#c y ∈ Eε ∩ B x,r0 ÎÂGÄ ¸ ¾ bób¯° °)² Eε ÎÏ
e
|u(y) − u(x) −
ª{¬j­ µ
µ µ
¬
­
¶ ¼ ­ ¬j­™´jµ
∗
−1
∇H u(x) (x y)| ≤ ε%(y, x) Ë
e Âjbó e Ä » °)bd» °)² ε »_° » 1
º ¸ cR³
°°)²ÅË
8©Í¨ £¤4£¥£¥I¨
£#¹ ·¡'¨ ¨ ¨ž¡V© ¶ ¬j­ µ ´ µ
¬
­
¶
­
µ
­_È ­
­
¼¯­
¶GÈ µ ¶ ò ³ ­qµ
¾ ­q¶ c†³ ¼ e ´·³­q°)µ ²I³ µ bdcc ¶ »³b¯µ ° ´ Ï
e'³¬j° ­ c9µ
° ­ À °)¬º c_¬ Ë
¶Ì´ b Ï µ c
°)® ¼ µ Â4e#­c
µ
bd»
­ ²;e#¼¯»¼ ³fcR¬je­ ·°)ºY´ ³ µ ²ž³{¶ b e bž¶ e ³Rµ
ø¸Yb¯Á É µ
ج ³bže °
ò ¼¯¼ e ­ ³bd»_º e ´ Ï µ »=¶ e ­ ³
b¯® µ ° ³o­qe µ
­q³¶ aI°)b »=¼ e ÷ µ
­ b ¼ °)Á4÷2¬ ßõbìj³
³
­qµ ³ µ ° ­qµ ®ÍÎ=Ï bd»
Ïb ¶Â °)²b¯® µÌ­_° È2³o­qe µ » ³°•°)º ¸Yb¯Á ¬j­qµ
³­ bžeÂjb bóÅÄ ¶ c†º µ ³f¼ c°)² µ
µ
­ b¯À ´ ¶ ° ­q¶ ¸ ­ Ë ­ ­q­q¶
n
­qò µ
­q¶ R ¼ ²t° ´·­qµ Ä µ k ∈α N \ ¬ {0} ³ PnbdcÙe e'³º e ¶ »_° ´ c¼ ¶ ° ¸ ¼ »  ³Å­ Ï µ
­q­
¸Yb¯Á
³bže °
e'³° c ∂x Ïbó |α| = j=1 αj ≤ k e ¸ ° Ä °)®•bže c˜°)²¸ À
¼¯­
¬ ¶ µW­ ¼
ª{¬j­
­ ¶ ¼
¬ ¼
µ
µ
­
µ ´
µ
c¶GcÌÈ2³ ­q¶ e ­q¶ ° ­
º4¶ e ³° k¶ Ë ­ ce¼¯¼ ® ­qe ¶ e °)À#Ä ¬j­ ° ¸j­ cW²t¼ ° ­ c†µ ³ e'³b¯¾ ¸[
¼¯­ À °)º ¶GÈ cqË
µ Ö1¶ °
² ¼¯­ ²ž³àb ¶GÈ e µ bže ¶ ³
È2»_° ­
µ b ­q¼ » °)² ¬ °#³oe'¬j³b¯­ ° ÎNÏ Ï˜
µ
´jb ¬ bd¸ È2­ ³b¯²žÄ
µ ³ ´ ­ b e À µ  e µ G ­q°)µ‘
»³­q° µ
­q¶ ¾ ¼¸jc«´·Ï­qbõ ³ ³ µ K
bdc†­ °)®•°
bd»
»³° c ­ e#» µ °)²™¾ ­ c@³‘° ¸
²ž³âb µ
­ e µ bže ­ ³
¸Yb¯Á
³bže ° µ e'³° µ cqË ­qµâ¼¯³ ­ (W¶G1 ,È . .µ . , ¶ Wq )  ­qµ
­qe ¶ À e#¼ ¸ ´·¸Q
­qµ Â4e#c
bdµ c‘°)² ñ˜G
­ Î ¼¯¼ ÀGe ¬ ¸ ¸
e¬#c‘eôÂ4e#­q¶j
c†bd­ c•°)²™¼¯¾ ­ c†³â¶G° È ¸ µ ¶ ²ž³âb ­qµ
­qe ¶ bže ¼ ³¸Y´·b¯­qÁ µ
³µ bže ¬ °
e­ '³µ
° ­q­ c_Ë
»=e ³ e'³ e
°¬ )®•°)À
°)º1c ²ž³b e bže ³¸Yb¯Á
³bže °
e'³° Z e#c¸ À
d b¯² δr∗ Z = rd Z Î
³ e'³bdcqÎ
δr∗ Z(ϕ) = Z(ϕ ◦ δr ) = dϕ(δr Z) = rd dϕ(Z) = r d Zϕ
µÌ­_È2­qµ
¶
É
¬
­ ¶
¶ ¶j­•­
¼
¬j­ Ø
¬
∞
²t° ¬j­«¼¯­ Ä ¶GrÈ >
e#c
b ­qÄ,
µ 0¶ e È2¸­ ϕ µ ∈ C
­q¼ (G) Ë Ä­ ³ µ
­qbdcÙ
­ ¸ ¾ ¼ bób¯° ¬ ° ¬
¶j­ » » cÌ­ ³ µ
­qe'­ ³
³
»³° ­qµ
­q¾ ¶ ¸ ¼ W´·i ­q°)µ ²¸ µ À
di e c
° e#c °)®•°)À
¼¯²ž­ ³àb ¶Ge È bžµ e ³ ¶
¬ ¬
¶
¶
­
¶ °)º1­ cภ¶j­ À ¬j­
di e#c ²ž³b e bže ³¸Yb¯Á
³
ž
b
e
°
'
e
³
°
·
Ë
õ
ß
Ã
b
³
³
d
b
c
#
°
³
¯
b
°
Ï
=
»
e
¬
­q¶j­
­ µ
­q­
¼¯­
¶GÈ µ ¶
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ
­ ¸ ¶ ¾ ­q³ µ
°)®•°)À
°)º1cÙ¸ À
°)²{e ²ž³àb e bže ³Ñ¸Yb¯Á
³bže °
e'³° ËNß
»_° c
bd¸
e
¼¯­
¶GÈ µ ¶
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ
²ž³b e bže ³™¸Yb¯Á
³bže °
e'³°
X
Z=
cα W α ,
α
¬j­qµ
­ ¶j¼
¶ ­Þ¶
­qµ
­
­q¶
¶
È ¶ ¬ ¶
cα ∈ R ¸Y° °#³ e bdc e ¸ W α bdc
Ï ­ j
°
Ä
‘
e
¾
b
Ã
³
j
º
Ñ
®
Â
°
)
²
_
»
°
â»_b
f
³
c
¶ ­
¬j­ ¯¼ ¼
¶
µ ­q
µ ­
´
¶
¸ ¾ Í
¸ ÂGij
²t° ° Ïb Àâ° ¸
¸ »_°)® °2c†bób¯° c Í
α
W α = W1α1 · · · Wq q ,
µ˜­_È2­qµ
­ ­ ¶j­ ¬j­
²t°
Ä α = (α1 , . . . , αq ) ∈ Nq Ëjß
¸ ¾
³
æ•æ Gê_è·êoæç Wé2ê í
¬ ­
á%¸ À (Z) = max{d(α) | cα 6= 0},
Pq
¬j­qµ
­
ª{¬j­ ¶ ­
­q¶
¶ ¼ ´ ­
¼¯­
¶GÈ
Ï ­qµ
­q¶ d(α)
d k αk .
k=1
¼ ´·­q=µ
µ
¬
­q¶j­ ¾ bó á%¸Y­ b¯® µ
­q­Íc†¼¯b¯­ ° e ¬ c ¶ e#» µ«°)­² ²ž³¼ b
²
³bže °
e'³° câ°)² °)®•°)À
°)º1c⸠À
ccÞ³ e °
º4e ³°
êoê9°)² Z e#c
µ ¶
e žb e ³™
¼¯¼ ¸Yb¯²ž­ á
k Ïb Â
- ,-& 3- . ) !. & 14
­q¶ ­
ªR¬j­
¶ µ ø É µ
ج
¬ ­ µ ­
j
¸ °#³ ¸ ÂGÄ Ak (G) Ë
aI°)b »=e ÷ b
°)Á4÷2ßõbó
³˜³ ° ®
­q
µ ­q¶
¼ ´·­qµ
µ
)° ²¸Yb¯Á
³bže °
e'³° c
­ ¬
¬j­ ­
c†³oe'³ c ³ e'³{³
c ³
α
¬j­
db ceÂ4e#c
bdcVªR°)¬j²·­à
³ ¶j­_Ú e
°)²R
¶ ÒÃÓÔ'¼¯­ ՏgoË ¶GÈ µ ¶
e ¸
²ž³Ñb e bže
ÒÃÓÔ'ՏgoË
îtë ê_è,å {W1α1 · · · Wq q | (α1 , . . . , αq ) ∈ Nq }
¼ ­ µ
¼¯­
¶GÈ µ ¶
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ ¶
À ´jµÂ ´ e°)² ²ž¶ ³b e ­ bže ³9´j¸Yµ
b¯­ Á ­Ùµ
³­qbž¼ e ° ¶ e'­ ³° c
­q­q° ¶Ý´ G ¼ `;c
³
° ­qµ
°2­qc
¶ bób¯° ¼ c@³o´·e'­q³ µ c™e µ
»¶ _bdc µ ´ e'³b¯° ­q­  ³Åµ Ï ´
° ¶Ä
³•¸Yb¯Á
³bže °
e'³° cÞ° À °)º cð`;c
a ° °2c†bób¯°
¹ËdÓ
ê í ê•ê î ï
Ú¹­
˓Ü⼯­ ` b ¶GÈ
­ µ
µ ­q
¹µÌ
²ž³Ùb
∈ G  ¾ c†³Ù° ¸
­ ­ ¶j­ ¬j­Ùñ
¶
¸ ¾
³
e#¸Y°
≤ k ËYß
`!Ü#ý2g
Æ
Ω
&
µ
Ø
î ­q­˜´
˹ܹ¼ Ó
)° ®•bže c
Ó#Ë
-Ý°)²
L : PH,k (G) → Ak (G) Î
(W α P )(0)W α .
d(α)≤k
­qµ È
È2­
K­
¶ ¼¯­
¸Þµ ¸ ¶ b 'e ³b ­qµ
co­qg¶ ¼ ³ u´·­q∈µ BVµ kH (Ω) ¬ e P
¸ ³ Y¬ 1 , .­ . . , Yp
p
e bže ³Þ¸Yb¯Á
³bže °
e'³° cÌÏbó
j=1 á%¸ À (Yj )
­
µ
­
¼¯¼
® e#c
º
DY1 ···Yp u e#cR²t° °Ïc
φ dDY1 ···Yp u = (−1)p
­µ
­
ì è î q æ•æ í
X
L(P ) =
¶
Ω
u(x)(Yp · · · Y1 φ)(x) dx
∀φ ∈ Cc∞ (Ω).
¬j­qµ
­ µ ­ ¶ µ ­qµ Æ ¶ ­ ¬j­
­
)
°
®
®
e
c
e
b
°
¸
Ë
b
»
³
°
Ï
#
e
c
†
c
¹
°
_
»
ž
b
'
e
³
´jµ
­ ­qµ†È2­
¬j­
­
µ
­
­ ¶ ­qµ ¬
¬j­q¶ ­
¬j­ ¸õ¼ ³° Y ∈
¼ G
) = 0Î
» ¶ ÂGÄݳ ¬ » e#cc†bd»=e ¸YbÃá
È2­qµ c ­q¶ ­ c³ ¬j­ µ ® ­ e#µ
c
­qº ¼ Î·Ï ¶ b ² ¬ ³ ¼ e'³ div(Y
µ
¬
¶
À » ³ ° ®
e'³b¯° `!Ü#ý2g ° ¸jc²t° c†®â°°#³ ²tº »³b¯° c u Ϙbó DY1 ···Yp u =
(Y1 · · · Yp u)vg Ë
­ ¼
¬
¬j­˜­_Ú
­q¶ ­
¬j­
µ
¶ ¼ ­qµ È
È2­
e'³¬ b µ DY¶ 1 ···Y¼4pÈ2u­ e#ce µ
­ °#µ
³ ­ e ¼¯c†¼ °Ì³ e'³³ ¬j­ bdc†­ ³ µ » Ø)°)­ ²·³ ­q¶j¸Y­qbdµ c†³ b¯¶ ÂjºY³b¯° ¶ e ¸ ¶ b ¶•
® ­q¼ e#c
º
²t° °ÏcÂGÄѳ ¬
b µ
­9
 ¶ e#» µ
³
»³° ­
­ À µ ­ e'³b ÀÑ»_° ­qµ
¸Y­qbö ³b¯° ¼ ° ´·­qµ ° bqµ ° ³oe
¾ ¸jc (X
°
Ï
G
À
e
¸
«
¸
#
e
c
Y
¸
¯
b
Á
³
ž
b
e
°
'
e
³
°
q
c
)
Ë
!
ò
³
c
º
•» c
1 , . . . , Xm ) ³ e'³e
­qµ†È2­ ¬
­_È2­qµ ¼¯­
¶GÈ µ ¶
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ
¬Ñ¬ ­
³°¶ °)Â1c ­ µ ³ ­qe'¶ ³
Ä ¼ ¶j­ ²ž³Vµ b e bže ¶ ³¸Yb¯Á ¶
³bž´ e °
e'³¼ ° Z­qµ Ïbó­
á%¸ À (Z) = µ k
»=e Â Ï bó
³
e#cRªR
e ¬jb ­q¶ e ¶j»_­ °)®ÑÂj­ b e'³¬jb¯­ ° °)­ ²K¶ º ³° ¶ k á!²t° × ¸‘bó e'³ ¸ ¶ »_°)®•¶ ®ÑºY³oe'¬ ³° ¬ c
k
°­_)Ú ² (X¼ 1 , .µ
.­. , Xµ
m
)Ë
º1­qc µ cÞ­ ³
¸ µ ¾ bób¯° ¶ °)¼ ² ­qá µ BV
­
¬
­_È2­q° µ
È
È2²t­ º »³b¯° c_ÎÏ bd»
e#»­ ³ Ä µ
­ ºjb ¬j­qc™µ
­ ³ e'³
ÄÝbó e'³ ¸ô¸Ybdc@³ b¯ÂjºY³b¯° e ¸ b e'³b Xj1 · · · Xjk u bdc
eÞ® É e#c
º ¬j­ ÎYÏñ
¶ 1 ≤Ø j1 , 1 . . . , j¬jk ­ ≤µ
­ m Ë ­¬ È2­
a
Ľ³
e#¸Y° ÷ b °¹¸ ®±³ ° ®±Ï
e
¬j­qµ
­ ¬j­ ­qµ
¬j­
µ
­ ¬jD
­ Y1 ,...,Y¼ p u­q¼ = (D
¶ Y1¶ ,...,Yp u)´ +
µ
s
(DY1 ,...,Yp u) ÎGÏ
³ ®âc°)²8³ µ
­ c†ºj´·® ­ e È2­q³¼ ªRe¬jÂ1­ c†° ºY­q³ ¶ Ä»_° ³b ºj°)º1c e ³
¶
¬j­ ¶
¼ µÌ´ µ ³
a
e ¼¯¸ô
e ´j³W
¼ ³ ­ c
­qb ¶ À)º ­ e
¼ °)² DY1 ···Yp u Î c ¶ »¬j³­ b Ä2Ë ­ ¬j­ ¸ ­ c†bóŵ
Ä ­ °)² (DY1 ···Yp au)
Ï
® e#c
ñ˜
º ­ (D
µ
­qb ´j¼  ­ ¸ °#³ ¸Íc
b¯® a ÄÂGÄ ­qY¶ 1 · · · Yp u¼¯¼ Ë1ò ­ ³ ­q¶ »=e#­ c ³
¼¯¼ Y¬ 1 ···Yp u)µ­_È bdc
#
e
»
•
¸
G
Â
Ä
†
c
Ã
b
Å
³
Ñ
Ä
Ï
b
Â
¸
#
°
³
«
¸
G
Â
Ä
=
»
e
(DW α u) bófc¸
W αu Ë
­qµ
¬j­
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ
¬ È2­¬
­q¶j­ ³ e'³²t° ­ µ
­q­ á
i = 1, . . . , m ³
Wi ∈ G e
Ä
Y
¸
¯
b
Á
³
ž
b
e
°
'
e
³
°
c
)
°
•
®
)
°
À
°)º1cR¸ À
­ ¼
¶j­
­
¼¯¼ ­q¶ ­ ¬j­ ­ ´·­qµ
µ
¬j­qµ
­
º4$e ³­ °•° Ëj¬jß ­ Ϙb ¶ ¸ µ
ø °#³ É µ
³ ج c °
e'³° ¬jc­ ÂGĵ
­ Xi ÎYÏ µ ­_È2­qiµ = 1, . . . , m Ë
º
³° ³
a°)b »=e ÷ b
°)Á1÷2ß bó
³ ³ ° ®ÍÎâ²t°
Ä j1 , . . . , j p ∈
¬j­qµ
­Ì­_Ú
­
­q¶
¬ ¬
α ,...,α
bdc†³»_° â»_b ³fc {cj11,...,jpq } c†º1» ³ e'³
{1, . . . , m} ³
X α ,...,α
α
X j1 · · · X jp =
cj11,...,jpq W1α1 · · · Wq q ,
`!Ü)Ô)g
d(α)≤p
–Ì‚oxs‚os'}
11
¬j­qµ
­
¶
¬ µ
¶ ¼
­qµ
­q¶
¼ ´·­qµ
µ µ­_È2­qµ
Ï
α = (α1 , . . . , αq ) e ¸ Xjs bdce ° bq° ³oe ¸Yb¯Á
¬
¬
¬
­q¶j­
­ µ
­q­‘­ ³¼ bže ° ¶j­ e'³É ° ²t°
µ
­ Ä
°)º1cW¸ À
º4e ³°Ý° Ë Ä½eð¸Yb »³
s = 1, . . . , p ÎK³ e'³Wbdc_ÎCbó e#c °)®•°)À
´
¶
¶
¼
­q­ ¬
$™­ ¶
¶
¶
¬j­¼ ¶j­ µ
»_°)® ºYÈ2³oe'­ ³b¯° ¬j­ÌÎjµ
bíq³R¼ bdc °#¶ ³˜¸Yb•»_º ³R³°«c ³ e'³
¾ bób¯° ¹Ë“ÜÑe ¸‘³
b e bóÅÄ°)²
`!Ü)Ô)g9À)b ³
e'³b¯°
X
α ,...,α
`!Ü 2g
(−1)|α| cjp1,...,j1q DW α1 ···Wqαq u
DXj1 ···Xjp u = (−1)p
1
d(α)≤p
µ˜­_È2­qµ
¶
Ä u ∈ BVkH (Ω) e ¸ p ≤ k Ë
8© © î í ï;î.ì î îï × ­qµ
­ ­à´jµ È2­ ¬j­Ì¬ ¬j­qµ µ
å ­q µ
­q¶ æ H¼ ä BVk f × ç¹èÉ ï;Ê î æ è ¶
b¯¬ À
­qµ ´j´jµ Ú ê êè ­
¶ Ï
­ °
µ³
´j° µ
­ á
k
³bže Âjb bóÅÄ,°)² á
t² º » ³b¯° cqK
Ë ß
c@³oe ³ÌÏbó e
á
¼¸
¶ e µ ° ¼¯­ b¯®‘e'³ ¸Yb¯Á
b¯®•b e Ä
®•®‘e¹Ë
T
¹Ë Kê ï u ∈ BVkH,loc (Ω) ê_
è _æ íÙì tê x ∈ d(α)≤k AW α u ï ê í ê
ê î ï ì ç¹è î _ç1ê jæ è¢æ î.ì P[x] ∈ PH,k (G) oç ï ì)ï W α P[x] (x) = W α u(x)
ì è¢é
lim |DW α (u − P[x] )|(Bx,r )r−Q = 0 _æ í ê ë ê "í d(α) ≤ k r→0+
T
í
É
µ ´
¶
µ9­_È2­qµ
­¬ È2­
¶ ­
ææ Äâa ° °2c
bób¯° ¹ËdÓ²t°
Ä x ∈ d(α)≤k AW α u Ï
e
e̺ b º
´ ¼ ¶
¼
¬ ¬
µ
¯
¼
¼
° Ä °)®•bže P[x] ∈ PH,k (G) c
º1» ³ e'³ W α P[x] (x) = W α u(x) ²t° e d(α) ≤ k Ë
É
¬j­àµ
­ ¼ µ
­à¬ È2­ ¬j­ ­
´
¶
ij
À)º e bóÅÄÍ°)² P[x] Ï
e
³
¸ »_°)® °2c†bób¯°
²t°
|DW α (u − P[x] )| = |W α u − W α P[x] |vg + |DW α u|s .
ªR¬j­q¶ K
­
¶ ¼ ­ ¬j­Ì´jµ
®•®eÞÜËdÓÙ»_° » º1¸ cR³
°°)²ÅË
¹ËÛ Cê ï u ∈ BVkH,loc (Ω) îï 1 ≤ k < Q ì ¢
è é[é2ê ·
è ê γ =
î
ì
î
í
;
ï
.
î
ì
í
í
γ
Q/(Q − k) ê_è u t ê L é ê ê_è
åÃê«æÙæ é2ê k T
í
É N­
µ ­
­™¬ È2­
¶ ­ ´ ¼
æ æ Ä
®â®‘e ¹
ËW
²t° e¹Ë Ë x ∈ d(α)≤k AW α u Ï
e
e º b º
W
° Ä á
¶
°)®•bže
¼
P[x] ∈ PH,k (G) c†º1»
¬
¬
¶
³ 'e ³ W α P[x] (x) = W α u(x) e ¸
lim |DW α (u − P[x] )|(Bx,r )r−Q = 0
r→0+
µÌ­_È2­qµ
É
¶
¶ ¶
´j´ ­ ¬
µ ¼
­
t² ° µ
Ä d(α) ¶ ≤ k¬ Ë Äb ¸Yº1»³b¯° ° ¬jk­qÎCµ
c†­ º
°2c ³ e'³Ù°)º » eb¯® ªR¬jbdcÙ
c
'
e
³
d
b
c
¾
¸
­ µ
­
η
− k + 1) Ë
²t° ¬ k − ¬ 1 ≥ 1 µ e ¼¸ ³ e'¬ ³ u¼ ∈ Lµ loc (Ω) ÎYÏ
µη­_=
È2­qQ/(Q
µ
¬j­ ° ¶ ® ܶ Ë
c °ÏcI¶ ³ e'³°)º µ
­Ù» × eb¯®
° ¸jc²t° ¬jk−1
Ä
²tº »³b¯° c
= 1 Ë#Öj°
j = 1, . . . , m ³
­ ¶
¶¬ ´ ¬j­
´j¼ ­ ¬
Xj u e ¸ u e
BVk−1 Î4c
°Þ³
á
b
Y
¸
1
º

»
³
¯
b
°
Ä
#
°
³
†
c
d
b
c
¯
b
®
b
{
c
³
'
e
³
¶
¬j­qµ
­Ì­_Ú
¶ ­Ù´ ¼ ¶
¼
¬ u,¬ Xj u ∈
Lηloc (Ω) e ¸ ³
bdc@³fc™eѺ b º
° Ä °)®•bže Rj ∈ PH,k−1 (G) c†º1» ³ e'³
1/η
|Xj u(y) − Rj (y)|η dy
= o(rk−1 ) e#c r → 0+ ,
`!Ü 2g
¶
Bx,r
µÝ­_È2­qµ
É
¬j­
¶ µ
ø
eÉ µ
¸ Ä
a
)
°
b
»=e ¬÷
W β Xj u(x) = W β Rj (x) ²t°
d(β) ≤ k − 1 Ë Äõ³
Ø ¬
¬j­ µ
­
­¬ È2­
¶ ­ ¶
q­ µ
­
­q¶
α
b
°)Á4÷2ßõbó
³Þ³ ° ® Ï
e
e ¾ bó
Ý
ºj®ÑÂ
°)²_» ° •»_b ³fc {cβ,j } c
º1»
- ,-& 3- . ) !. & ¬
³ 'e ³
`
-2g
X
W β Xj u(x) =
α
cα
β,j W u(x) =
d(α)≤k
X
1
α
cα
β,j W P[x] (x)
d(α)≤k
β
= W Xj P[x] (x),
µÞ­_È2­qµ
É
µ ´
¶
c
° W β Rj (x) = W β Xj P[x] (x) ²t°
Ä d(β) ≤ k − 1 Ë Ä[a ° °2c†bób¯° ¹ËdÓ#Î
­qµ†È ¶
¬
­¬ È2­
µ­_È2­qµ
Rj = Xj P[x] ²t°
°)Â1c
b À¿³ e'³ Xj P[x] ∈ PH,k−1 (G) Ï
e
Ä j =
ª{¬
µ{­_È2­qµ
­™¬ È2­
º1cR²t°
Ä j = 1, . . . , m Ï
e
Xj (u − P[x] ) = Xj u − Rj Ëjþ™c
1, . . . , m Ë
µ
­ ¼
­ ¶ ¶
¶
¶
¶
¶
µV­_È2­qµ
e
c†º ³=ÎG¸ ¾ b À v = u−P[x] e ¸«º1c
b ÀÌ»_° ¸Ybób¯° `!Ü 2gI²t°
Ä j = 1, . . . , m
­
¶
Ï °)ÂY³oeb
1/η
` YÓg
|Xj v(y)|η dy
= o(rk−1 ).
Bx,r
ªR¬j­
¶
¶
´j¼ ­ ¬j­ ¶j­ ¼
¬j­q¶ ­
k < Q b¯®
b
º4­qe ¼ bóÅÄ η = Q(Q − k + 1)−1 < Q Î
»
¬j­ÑÆ »_° ¸Y¼¯bí_³È b¯°
¶ µ
ø ¶j­ b c9¼ ³
³
°)·°
÷a°)b »=e
b
º4e bóÅÄ[` 2gĹb ¸jc
1/γ
1/η
γ
η
|v(y) − vBx,r | dy
|∇H v(y)| dy
≤ Cr
,
Bx,r
¬j­qµ
­
µ
Bx,r
¶
¶
µÑ­_È2­qµ
Ï
γ = Qη/(Q − η) = Q/(Q − k) ËÖ °)®±»_° ¸Ybób¯°
`
YÓgÙ²t°
Ä j =
­
¶
1, . . . , m Ï )° ÂY³oeb
1/γ
` 2Ü)g
|v(y) − vBx,r |γ dy
= o(rk ).
Bx,r
°#³bd»
`
2g
­
¬
­
¶ ´j´j¼
­
1,η
³ 'e ³ v ∈ WH,loc
Ľ`!ܹÓg³°«À ³
(Ω) Î1c
°«Ï »=e e
|vBx,r | ≤ Cr
n 1 0
Bx,tr
|∇H v(y)|η
1/η
dt +
Bx,r
|∇H u(y)|η
1/η o
,
¬j­q¶ ­
¶
¶
È2­
¶ ¼¯¼
¬j­ µ ¶ ¼¯­
b¯° ¬ È2`
Y­ ÓgÀ)b c |vBx,r | = o(rk ) e#c r → 0+ ËÖb e Ä2ÎÂGÄ«³
³ bže À
¶j­ » _» ¼ ° ¸Ybó­à
b
º4e bóÅÄðÏ
e
1/γ 1/γ
γ
γ
|v(y)| dy
|v(y) − vBx,r | dy
≤
+ |vBx,r | = o(rk ),
¬j­qµ
­
Bx,r
¬ ¶
¬j­Ù´jµ
³
ÂGÄð¾ db c b «
À ³
°°)²ÅË
ª{¬j­´jµ
­_È
´jµ
¶
¯
b
)
°
1
º
c
°
)
°
C
²
G
Â
‘
Ä
b
È ­
¬
¬j­
­
º1c µ
­ °)²‘¼ ` 2g‘­ e
µ ­ db ¸ ´·­¸Q³ È2e'­q³¼ ³
c »³b Ä2Ë¢þce
c
º ³=ÎjÏ
¶
æÙæ í é2ê í k ¹Ë
Bx,r
¶
µ Ø
µR×
¬ µ
µ µ
´jµ
¸Y¶ º1»³b¯° Ï{° µ
­q9
cj
²´ t¼ ° ­ á BVk ¬ Ϙbó e Âjbó e Ä ¶ k Î °#á
¸J`!ܹ¶ Ógâ¬jbdc­
¸ `!Ü2goÎ
¼¯¼ #e » ¶ ¸õÂG¬jÄ ­ ³ µ
­ e'³ °)²‘`†Ó2ge J
°)ÂY³oeb ³
²t° °
Ï b À«³ ° ®ÍË
ë ê í u åê ¯æè î è
ï æ BVk (Ω) î ì tê L1 é î ê í ê_è ï;î.ì å¯ê
H,loc
–Ì‚oxs‚os'}
1
8©8©
î ê í ê_è ï;î.ì å î îï æ"ãä 8æGåfæ Ãê ë fçYè ï;î æè àß ­ ¾ µ c†³J°)Â1c ­qµ†È2­ ³ ¬ e'³
¬
¼¯¼V´jµ
­_È
¶
­qµ
¶
µÙ×
¶
k,p
b¯°)º1cW»_° c
bd¸ e'³b¯° cW²t°
á BVk ²tº »á
WH,loc
(Ω) ⊂ BVkH,loc (Ω) Î8³ º1cÑe
¶ ¬ ¼
µÌ× Æ
¼¯­_È
¶
¶
¬j­
­ µ ­qµ
­«¬ È2­ ¶
¶
³b¯° c ° ¸ ²t°
á °)·° ¬j­qµ
­ ²tº »³b¯° cÙ°)²³
cµR
e® ­_È2­qµ ° ¸ ËKß
e
b e#¸j¸Ybób¯°
DW α u = (W α u)vg ÎYÏ
W α u ∈ Lp (Ω) ²t°
Ä d(α) ≤ k Ë
T
k,p
¹Ë~ý Kê ï u ∈ WH,loc
(Ω) ê_è _æ í•ì tê x ∈ d(α)≤k AW α u ï ê í ê
ê î ï ì ç¹è î _ç1ê jæ è¢æ î.ì P[x] ∈ PH,k (G) oç ï ì)ï W α P[x] (x) = W α u(x)
ì è¢é
lim
r→0+
Bx,r
|W α u(y) − W α P[x] (y)|p dy = 0
_ æ í ê ë ê í d(α) ≤ k í
É
µ ´
¶
æ¼ æ ÄÙa ° °2c†bób¯° c{¬ Ó#ËdÓ¬ e
¶
°)®•bže P[x] ∈ PH,k (G) c
º1» ³ e'³
¬j­qµ
­ ¬j­Ù¶
­qµ
¬
W α u(x) e#cR³
Ï
³
ºj®ÑÂ
lim
r→0+
Bx,r
¶
µ ­
­¬ È2­
¶ ­9´ ¼
¸ ¹ËdÓ²t° e¹Ë Ë x ∈ Ω Ï
e µ™­_È2eR­qµ º b º
° Äá
α
α
W P (x) = W u(x) ²t°
Ä d(α) ≤ k Î
¬j­Ì´jµ [x]
´·­qµ
°
³ÅÄ
|W α u(y) − W α P[x] (x)|p dy = 0
µÌ­_È2­qµ
ª{¬j­q¶ ¬j­
¶ ¶
¼¯­
¬j­
¶ ¼
²t° ¶
Ä d(α) ≤ k Ë
³
»_° ³b ºjbóÅÄ °)² W α P[x] e#¸jc̺1c³° ³
_» ° » ºYá
c
b¯° Ë
k,p
(Ω) îï 1 ≤ kp < Q ì è¢é[é2ê è¢ê γ =
¹Ë“Ô Kê ï u ∈ WH,loc
î
ì
î
γ
Qp/(Q − kp) ê_è u tê L é ê í ê_è ï;î.ì å
¯êÞæ"Ùæ í é2ê í k í
É K­
µ ­
­¬ È2­
¶ ­´ ¼ ¶
¼
ææ Ä
®•®e ¹Ë~ýÙ²t° e¹Ë Ë x ∈ Ω Ï
e
eÙº b º
° Ä °)®•bže P[x] ∈
¬ ¬
¶
PH,k (G) c
º1» ³ e'³ W α P[x] (x) = W α u(x) e ¸
lim
r→0+
µ­_È2­qµ
Bx,r
|W α u(y) − W α P[x] (y)|p dy = 0
¶
¶ ¶
´j´ ­ ¬
µ ¼
­
µ
t² °
Ä d(α)
°2c ³ e'³°)º » eb¯® bdcª{cf¬je'­ ³bdc†µ
¾ ­ ¸â²t°
¶ ≤
¬ k Ë ÄÞb η¸Yº1»³b¯° ° ¬j­qµ
k­ ÎGc
º
k − 1 ≥ 1 e ¸«³ e'³ u ∈ Lloc (Ω) Î)Ï
η = Qp(Q − (k − 1)p)−1 Ë
¶
¬j­[Æ
¼¯­_È
¶ µ
ø ¶j­ ¼
­q¶ µ
­ ¬
µ ¼
¬ ° ¼ ® ÜËÛ µ
e ¸õ³
°)·°
÷a°)b »=e
b
º4e bóÅÄ ` 2g
c†º
³ e'³Í°)º » eb¯®
° ¸jcͲt°
­ ¬ È2­
µÞ­_È2­qµ
É
¬j­
k−1,p
e
Ä j = 1, . . . , m Ë Ä½³
k − 1 = 1 Ëß
u, Xj u ∈ WH
(Ω) ²t°
¶
¶Q¬ ´ ¬j­
¶
µ•­_È2­qµ
¬j­qµ
­
b­_Ú ¸Yº1»³b¯° ¶ Ä ­Ù
°#³ ´ ¼ c†bd¶cqÎ u, X¼ j u ∈ Lηloc (Ω) e ¸Ç²t° ¬ ¬
Ä j = 1, . . . , m ³
bdc†³fceѺ b º
° Ä °)®•bže Rj ∈ PH,k−1 (G) c
º1» ³ e'³
1/η
` Ûg
|Xj u(y) − Rj (y)|η dy
= o(rk−1 ),
¬
­
¬j­
Bx,r
¶
¶
µ{­_È2­qµ
β
β
db » j
¬ ­ ce'³bdc
¾ ¶ c9µ
³ ø É »_µ
° ج ¸Ybób¯° W X¬jj­ u(x)
µ
­ = W
­•¬ RÈ2j­ (x) ²t° ¶ ­â¶ Ä d(β)
­qµ ≤ k −
­ 1Ë
Ä
³
a
)
°
b
=
»
e
÷
b
)
°
4
Á
2
÷
ß
Ã
b
³
W
³
³
°
®
Ï
e
e
¾
Ã
b
³
j
º
Ñ
®
Â
)
°
{
²
_
»
°
«á
­q¶
¬ ¬
»_b ³fc {cαβ,j } c
º1» ³ 'e ³
X
X
α
α
β
W β Xj u(x) =
cα
cα
β,j W u(x) =
β,j W P[x] = W Xj P[x] (x),
ÏÉ
¬
É
d(α)≤k
d(α)≤k
- ,-& 3- . ) !. & 1
µÞ­_È2­qµ
¶EÈ ­
µ ´
c ° W β Rj (x) = W β Xj P[x] (x) ²t°
Ä d(β) ≤ k − 1 Ëò
b Ï °)²a ° °2c
bÃá
¶
¶
­qµ†È ¶
¬
­‘¬ È2­
µ
³­_b¯È2° ­qµ ¹ËdÓe ¸[°)Â1c
b ª{¬jÀ­q³ ¶ e'³ ­ X¶ j P¶ [x] ∈ PH,k−1 (G) ­ Ï
e ¶ Rj = Xj P[x] ²t°
Ä j = 1, . . . , m Ë
η¸ ¾ b À v = u − P[x] Ï °)ÂY³oeb Xj v = Xj u − Rj
µ˜­_È2­qµ
ªR¬
µ
­q¼
¶
­q¼
²t°
Ä j = 1, . . . , m Ë
º1cqÎ
e'³b¯° `
ÛgĹb ¸jc
1/η
= o(rk−1 ).
|Xj v(y)|η dy
ªR¬j­q¶
Ï
­
`
)g
Bx,r
µ
µ 2È ­
¬j­
¶
¶
e b
e'³R³
_» ° ¸Ybób¯°
1/η
|∇H v(y)|η dy
= o(rk−1 ).
Bx,r
ñ˜­
¼¯¼ ¬
¶
¶¬ ´ ¬j­
µ ¬j­qµ
µ
­ ¬j­
¶
¶
1,η
»=e ³ e'È2³­ ÂGÄ«b ¸Yº1»³b¯¬j
° ­qµ
­ Ä µ
°#­ ³ ­ c†bdc ¶ v ∈´jW
¸ bó¼ b¯°
´j¼ H ¬j(Ω)
­™Æ Î2²tº ¼¯³ ­_È ®•° ¶ ³ µ
ø »_¶j° ­ Y
kp < Q À)b c η < Q ó#³
²t°
Ï »=e e
Äѳ
°)·°
÷a°)b »=e
b
º e bóÅÄ
4
­
` 2g³°«À ³
1/γ
1/η
|v(y)|γ dy
|∇H v(y)|η dy
≤ Cr
+ |vBx,r |,
Ï­
Bx,r
¬j­qµ
­
c†³b¯®‘e'³
Bx,r
|vBx,r | ≤ Cr
ªR¬j­q¶
³
&
γ = Qη/(Q − η) = Qp/(Q − kp) Ë
­
¬j­qµ
­Ù­_Ú
Bx,r
n 1 0
Bx,tr
¶
|∇H u(y)|η dy
¶
bdc@³fce«»_° c@³oe ³ C1 c
º1»
1/γ
|v(y)|γ dy
≤ C1 r
n 1 0
Bx,tr
¬
|∇H u(y)|η dy
°
1/η
dt +
1/η
dt +
µ
­ 2È ­qµ
­Ý¬ È2­ ¬j­
°
Î9ÂGÄ`!ܹÓgÞÏ
e
³
|∇H u(y)|η dy
1/η o
|∇H u(y)|η dy
1/η o
Bx,r
¬
³ e'³
Bx,r
.
.
¶ ¯¼ ¼ µ
­q¼
¶
¶
¬j­Ì´jµ
­_È
¶j­ ¼
¶ ¼ ­ ¬j­Ì´jµ
Öb e 2Ä Î
e'³b¯° `
)gRe ¸ ³
b¯°)º1c˜b
º4e bóÅÄÝ»_° » º1¸ ³
°°)²ÅË
ñR­q´j¼ ¶
¶ ¬j­R´jµ
­_È
´jµ
¬j­™Æ
¼¯­_È
¶ µ
ø ¶j­ ¼
¬
b¯°)º1c ¶ °°)ªR²·¬j³ ­ µ
­ °)·°
÷a°)¬ b ªR»=¬je ­ µ
b ­
º4e bóÅÄÝ­ ` 2gIÏbó ¶
¬j­
¶ e#»_b µ
ø ÀÙb ¶j­³ ¼
³ ¬j­ a°)¼¯¼ b »=e ¶ b ¬j­ º4µ
­ e bóÅÄM`!Ô)ge ¸
° ® ÜËÛ Ïbó
° ® ÜËÎNÏ °)ÂY³oeb
³
²t° °Ï˜b À•³ ° ®ÍË
k,p
(Ω) î ì tê Lp é î oä
¹Ë ë ê "í fç¹è ï;î æè u åê ¯æè î è ï æ WH,loc
í
;
ï
.
î
ì
í
í
_ê ê_è
åÃê«æÙæ é2ê k l n i
–Iz]'|.y.}~y‚os'… – ̂oxs‚s'}¯‰ , %,.
#- ‰ ̂fu!vG–!j– 4#" 8%$ ‰ >8 š 748 –
).
<!& -
-.-. )# * –Ì‚oxs‚os'}
‰
|!– ‚os'
‚– xI]_^ zRw@‚o|†s'– …Ìô ‚fu!–¢vG–#—j”=– y=2}’„– w†zRw@|†" ‰ $ ‰ š –
!
– š |.sG–‰ ‰ }~’Åv'}„xq‚os à‚fu!vG– – " $ ‰
– y ‚o|.q }1‚os'…Ì—j– ‚ ‚o‰
$ ‰ š – ‰)”qu!‡'…'}“‚ ̂fu!vG– #"
%
– y ‚o|.= }¯‰—Y– ‚ ‚oR
‚os'…Ñ—j–j”qu!|†w@ Ž~w†’= }d‰ ‰jrts'…'}~‚s‚Is'}„ ‹2 – Ì ‚fu!vG– – " %$ ‰
š
–
–#—j–8 ‚oŽ~…'w†| ŝos'… – #^xz‡'s'…G‰ ! š –
‰'&Cw@‹)–Is'}(_s à‚ou
– I|.x_w@squ!}~s‚ " %$ ‰
#
"
%
$
*) ‰ ) ‰+ ! ‰G”qu!‡'…'}“‚
̂fu!vG– #" $ ‰
š
–
–)—j–,N ‚oŽ~…'w†| sG‰ – –.#- ‚o])w@V‚os'…0/ – ޖ.C& }„‹}(†1 |.w‰ ‰)rts
…'}“‚os‚2I
s'}„‹)– à‚ou!vG– –
" $‰ š –
–3N‚oˆ#yx_s‚‰ 49–54‚os'}~w†Ž~Ž„}‚os'…6/–37‚o|.y€Ã‚Ž„y‰ " ‰¢
y_z{z™– Is‚oŽd–8
7
w†yz– "
!
$‰ š
–
*) ‰ ) ‰ ) ‰
!
9
‰
̂fu!vG–!j–
" %$ ‰ š –
–:5 |.…'y]‚'‰ ‰;8
yŽ~Ž~w†’Åu
– ̂fu!vG–
" $‰ š –
–<8 y|;ŠC}„s™‚s'…=8- –—Y–.7 |.w@w†s'Ž~w
‚o€t‰> + A@ B" –
? C
E
D
3
F
="
2GH ‰.8 ‚z]'|.}„…'x_wI s'}„‹2–'—·|.w@!
‰
4–4‚os'}~w†Ž~Ž„}d‰./–,7‚o|.y€Ã‚Ž„y‚os'…#49– ޖ./Iv'}~w†‡G‰ ?
‰
8
yz{z–Is‚oŽd–<
7
w†yz™– " %$ ‰
š
–
4 –I4 ‚os'}~w†Ž~Ž„}d‰J/ –K7 ‚o|.y€Ã‚Ž„yV‚os'…{”)–_”‚oŽ~%‚‰ ÌD ‚f u! vG– – #" %$ ‰ š – ! ‰
rts'…'}“‚os‚M Is'}„‹)LD–
–8& –84 y|.|.ys'!y|.y'‰ON ‰
A }~]'}~…G–
–
" %$ ‰ š
–:- w†…'w@|.w†|†‰ @
P" ‰#”=ˆ'|.}~s'xw†|†‰ Q – =@ ‰G—4|.}~s'’†wÅu!y_s
7 – –- yŽ~Ž“‚os'…W‚os'… – ޖ¹”qu!w@}~sG‰8Q Is'}„‹2–'—4|.w†!†‰ –
–K- |!‚os'’Åv'}d‰R7 – ‡‚os'…A& – –Lð
v'w†w@…'w†sG‰<> ‰ Is'sG–rts';u
–- y‡'|.}~!w†|2 " 7 |. w†s'y]' Ž~w $ Q!S !
" $‰ š –
*) ‰ ) ‰ ) ‰ C
! ‰
t
r
q
s
u
–
Ì
f
‚
!
u
G
v
;
–
&
K
†
w

;
–
/
I
o
y
u
–
'
‰
'
s
'
y
–
‰
š
–
–,-#|!‚os'’%v'}d‰&–Y”=w†|!‚oˆ'}~ys'}·‚s'…T-8–Y”=w†|.|!‚#N‚o!!‚os'y‰
‰I y‡'.u!ys – ̂fu!vG–
" %$ ‰ š –
*) ‰ ) ‰ ) ‰ C % U V + XW
‰ yŽ~Ž¯–II sG–Ì‚fu
–ržu%‚Ž¯– " $ " %$ ‰
š
–
/ –7 ‚o|.y_€Ã‚oŽ~yà‚os'…Y4 – іI/ v'}~w@‡G‰O !
‰Z8 yzRz™–N—·‡'|.w Iˆ'ˆ'Ž¯–
̂fu!vG– #"
–
$‰ š
*) ‰ ) ‰I+ XW
[
% ! ‰ –Is‚oŽd– ̂fu!vG– #" %$ ‰ š –
8
4
1
"
>
"8
>4
"1
8
2
3- .
2
%,. & - +
Lq
>4 "1
2 2
-7!.
& )-7.
"1
2 2
- - #-& , <. -. . . -<
4 4 >
%,. & .
-,-& <<
-7& @)-7. . . & - - #-& , <. -. 7. -
8 ,-
#- -7. - ,
C k,λ
. , 4
. ! %,. <!& - ). -7. ' , 7<-. . - . & & <.
1
"8 >
-")& #- < < - -7& -. - & & <& 7 %,<.& -7.
1
4 4
6 2
&0)-"-! . - ,,7 -<
8
,-< < - #-& , ) . -
, -3* & . - < < . & 8
74
,& & -& & *+ < .
#) - . ) @ - - . ) 1
>4
-. 7<-. . , ,. & ! - ). -7.
1
4 8
,<. -. & -7@. #- .
& )7-. 3 < / %) #- , 7.
& --. - )-#
. . $ <. - #- 8 1
8 8
<-7. & !. & ! & - %<& & &!. @, <- , &( < %. %. -. <. # - ,,)3#-. ,
4
8 8
1 8 % ,. & ,- << - ). -7. #-. <-.
8
" " 4
,-< < ,, , #- ,
1
2
6
<<-.
-- <. ,-
#- 2
,<. -7. - < &(. +< @ 3- .
) . & ! - <. %
, - * <& 4
4 4 1
,&(-7., , +)<. 3- . ,
%!. & %. , ,<. -7. - < &(
. ) - -7- . ,- 1
2
< , ,<!. ,- )< .
,&( -. - 7<-. & .@ #& <. . -. , - *+& 1 4 #- 7 -. 7.
) . #- , - + - ,-& < 7
-" < )-. . - , - * & 2
2 8
- < < < . -,-& . & < - $ <. - $ # "- - , << .
) . < - . & , )
1
>
< )-. . &(- ,7&)-"-! #- 7 -. . .,-7. #- , - - #-& , ). -. . $ <. -7 $ #!#
,- - , <
1
,-. - ,-& 3- . ) !. & C /–27‚o|.y€Ã‚Ž„y ‚o‰<s'8… yzR-8–z™–yI‡'s|.‚os'Žd}~–<w†|†7‰ w†y" z™– #" $ ‰ š –
ޖL7 |.yzRy‹)‰
‰}~s ”=‡'] &K}~w†zR‚s's'}~‚s 7w@
yzRw@u!|;^‰ – w@Ž~Ž“‚o}~’%v'wK‚os'… – C
&
}~.Ž~w†| " w†…'
– $ ‰f—·|.yx|†– à‚fu!vG–
‰ }~|=v o‡'.w†|†‰ ‚o!w†Ž¯‰
‰
š
–
– –;7 ‡u!}„›†|.|.w% ‚os'… –àys_u%‚s‚o|.}d‰ Q
‰R8 yz{z–—1‚o|;u!}“‚oŽ:4 }„Œ2w†|.w†s_u!}“‚oŽ œ=‡‚fu!}~ys' " $ ‰
š
–
—j–M ‚ ‚oÙ
‚os'…Í—j– Iy_ w†Ž“‚‰
‰àw†z™– IzRw†|†–à‚ou!vG–K”=y=’–
" %$ ‰'s'y'– –
4 – w†|.}~.ysG‰ "
Q!S ! ;$ ‰:
4
‡; w à‚ou!vG– #" %$ ‰
š
–
– ‚os'’†ys'w†Ž„Ž~}1‚os'…04– y|.]'}~…'w†Ž~Ž~}¯‰5
‰ I|#–
̂fu
– "
$‰ š –
8- –I – }~‡G‰ C + LW ‰¹rts'…'}“‚os‚ I
s'}„‹2– ̂fu!vG– –
" $‰ š –
7 – ‡G‰ Q!S ‰:C
&
w@‹2– ̂fu
–rt]#w†|.y_‚z{w†|.}~’†‚s‚ "
;$ !
! $‰ š –
*) ‰ "
‰}~]'}„…G–
" $‰ š –
*) ‰ G % + XW ‰—4‡']'Žd – à‚o u
– #" !$ ‰ š –
7 – ‡G‰ – à‚os'€Ã|.w@…'}¢‚os'… –j”qu!|.yoŒ2yŽ~}~s'}¯‰
Q # ‰
N
‚oŽ~’– ‚o|†–—1‚o|;u!}“‚oŽ,
4
}„Œ2w†|.w@squ!}“‚oŽ œ=‡‚fu!}~ys'
" $‰ š –
7 – ‡‚os'… & – –Kð
v'w†w†…'w†sG‰ C ‰ ‡'Ž„Žd– ys'…'ys ̂fu!vG–#”=yq’– " %$ ‰ š –
– ̂oxs‚os'}d‰5+ XW
J[ – C W Q
‰ˆ'|.w@ˆ'|.}~squ
‰
—j– à‚ov'w†‡ w@u –”‚oŽ~yoŒ) ¢ y_;u!w‰ C
$ ‰
̂fu!vG– Is'sG–
" $‰ š –
& – àysqu!}1‚os'…T8- –Y”=w@|.|!‚N ‚o.%‚os'y'‰ N
‚oŽ~’– ‚o|†–—1‚o|;u!}“‚oŽ,
4
}„Œ2w†|.w@squ!}“‚oŽ œ=‡‚fu!}~ys'
" $ ‰ š –
—j–)—1‚os'.‡G‰
‰
I
'
s
G
s
–
_
y
€
Ì
f
‚
!
u
G
v
–
‰
š
–
"
%$
–'”‚Ž„yŒ) 8 y.u!wo‰ C ‰;N
‚oz]'|.}~…'xwZI s'}‹2–—4|.w†.
‰;N ‚oz9
" ]'|.}~…'xw‰
–
– ޖq”qu!w†}„sG‰ ‰—4|.}~s'’†wŝ
N u!ys I
s'}„‹)–—4|.w†!†‰—4|.}~s'’†wÅu!y_sG‰:/ ‰
–
*) ‰.Q
C
‰—·|.}~s'’@w@u!ysIs'}‹2–'—·|.w†.
‰
–
/ – vG– ‚|.yˆ#y‡'Ž~y
‰
+ ‰; –R& –K’†‚…G–”=’†}¯–
—1‚o|.}~I”=›†|†–r à‚ou!vG–
" $‰ š –
/ – vG– ‚o|.y_ˆ#y‡'Ž~y
‰ –K”‚oŽ~yoŒ) ¢ y_;u!ŵos'… –M8 y‡'Ž~v'ysG‰ C
! @
–
@
‰.8 ‚z]'|.}„…'x_wI s'}„‹2–'—·|.w@!
‰<N ‚oz]'|.}~…'xw‰
”)– 9– y=…'yˆ ^q‚os'y‹2‰ N ‰
‰j}~s —4|.y=’– Is‚oŽd–O7 w†yz™–~‰1”=y_]#yŽ~w@‹Þrts'.u!}u!‡u!w—4|.w†!†‰I/ y‹_y!}~]'}„|.) ‰
š
–
$ <. -7
4
1
88
#-
! ,-, . . & & ,
> 4
8 1
$ <. -$ #!#,- -, < )<. ,#-
.
/
2
2
6
). -7. -. "84 "88
8
8
8
8
8
8
84
8
1
8
8
8
8
4
#-
2
.
1
. ,- < -. <!. & -)-.#
6
- ,-7& , < -7!. )
4
1 3- . , . & ! - , - * <& ! ,7 .
<. )-. 7
-.
4
8
1
4 8 4
8
6
. - . ) . 7& - # -+* <& 8 8 8 . #- , < - - ,-& ). -.
1
1 4 14
@ 3- . , . - ,-& . 7& < - # - +* <& 7 .
. )-. -.. & )7-.
8
1 8
, + -7!. ) . & - ,) , - *+& / . <. - . ,<)& "
48 1
1
+) 7!. ! ,- ,< !. - < 7.
< . & )7-. - )
& . , ))<&!& , )<.7&' -. 1 8
8
2
$ -7
. ). -7. -. <. ), ,-7
6
. - & , )<. -. - < &( - $ <. -7 $ #!#
- - , , - *+& 2
8
4 4 < )-7. . & >. ,- #- , .
,
@, < "-. - ,-
. ). -.
8
. & , & #-& <
.- #,#@< - & & 8
8
4
"8 < ,)
, . $ <. - $ ##
#- - , <<
6
"8 8
8 8 1
< < $ <. - $ ##
#- - , ) - < < < < << < < #.
.
>
1
,- % -,-& . & !
6
. &( . #& .
, ,. & ! #- < < - . -.
<-. . & ,!
8
-. -. % <-. , & < #- < 8
4
4
. & 7) .
,-< , -.
#- % ,. & -7. $ <. -7 #- . , ,. - -&(- .
P
,&(@
- /
1
8 1 <. ),
& 7. #-
1
ô–'—j–!2}~w@zRw†|†‰ , >& 4Is'}~ˆ}„‹_‚ow†|;u!|.}~!zR}u 9…w@sq'u!y9}G—4…'}~} %‚à‚fu!w†z˜‚fu!}~’†‚
N
–Ì‚oxs‚os'}
,)<.& . -.
‰#”=ˆ'|.}~s'xw†|†‰ –
‹}“‚ 2 ‡'ys‚o|.|.you!}GsG– ‰ 41 > —·}„%‚‰'ržu%‚oŽ„^
6 dz˜‚o}~Ž / z˜‚oxs‚os'}I…'z– ‡'s'}„ˆ'}d– }„u
> > %=[ F %[
,) . , "! <,-7.. , " 484 $