Wokół kwantowego procesu Bessela

Wojciech Matysiak
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechnika Warszawska
Wokół kwantowego procesu Bessela
Mimo nazwy, kwantowy proces Bessela to klasyczny proces Markowa, którego opis nie
wymaga istotnego odwoływania się do niekomutatywnej probabilistyki. Został on odkryty przez Philippe Biane’a [1] jako stosownie rozumiana część radialna niekomutatywnego
ruchu Browna.
W referacie zaprezentowane zostaną pewne wielowymiarowe (klasyczne) procesy Markowa, będące naturalnymi rozszerzeniami kwantowego procesu Bessela. Opisywane procesy powstają z obcinania pewnej półgrupy kontrakcji dodatnich na C ∗ -algebrze grupowej
C ∗ (H) grupy Heisenberga H, do przemiennych pod-C ∗ -algebr C ∗ (H), związanych z działaniami pewnych podgrup K grupy automorfizmów H, przy których iloczyn półprosty H i
K wraz z K tworzą pary Gelfanda. Obcinanie to, na mocy twierdzenia Gelfanda-Najmarka
i twierdzenia Riesza o reprezentacji, daje w rezultacie klasyczne procesy Markowa, których
przestrzeniami stanów są widma Gelfanda wspomnianych przemiennych pod-C ∗ -algebr, a
ściślej ich homeomorficzne zanurzenia w przestrzeni euklidesowej.
W rachunkach wykorzystuje się analizę harmoniczną na parach Gelfanda i hipergrupach, w szczególności funkcje sferyczne analizowanych par, wyrażające się za pomocą
(wielowymiarowych) ortogonalnych wielomianów Laguerre’a i funkcji hipergeometrycznych
związanych z wielomianami Jacka i ich szczególnymi przypadkami (wielomianami Schura i
wielomianami strefowymi, ang. zonal polynomials, znanymi z wielowymiarowej statystyki
matematycznej).
Przedstawione zostaną pewne własności badanych procesów, w szczególności ich powiązania z takimi klasami procesów stochastycznych jak wielowymiarowe procesy urodzin
i śmierci oraz kwadratowe harnessy.
Większość prezentowanych wyników została uzyskana wspólnie z Marcinem Świecą (Politechnika Warszawska).
Bibliografia
[1] Biane, P. (1996), Quelques propriétés du mouvement brownien non-commutatif, Astérisque, 73-101
[2] Matysiak, W., Świeca, M., (2015), Zonal polynomials and a multidimensional quantum
Bessel process, Stoch. Proc. Appl., 125, 3430-3457.
[3] Matysiak, W., Świeca, M. (2015), Jordan algebras and quantum Bessel processes (w
recenzji).
[4] Matysiak, W., (2016), Hypergroups and Quantum Bessel Processes of Non-integer Dimensions, J. Theor. Probab. (przyjęte do druku).
1