Cantor G - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

Cantor G - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Cantor G. aksjomat wyboru stosował bez świadomości używania tej
zasady. „O aksjomacie wyboru po raz pierwszy wspomniał Giuseppe
Peano w pracy z roku 1890 dotyczącej istnienia rozwiązań układów równań
różniczkowych zwyczajnych. Doszedłszy w dowodzie do miejsca, w którym
trzeba było wybrać po jednym elemencie z każdego ze zbiorów pewnego
ciągu A 1 , A 2 ,... podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, Peano napisał:
„Ponieważ nie można stosować nieskończenie wiele razy dowolnego prawa,
za pomocą którego przyporządkowuje się (on fait correspondre) klasie pewne
indywiduum z tej klasy, sformułowaliśmy tu więc konkretne prawo, pozwalające, przy odpowiednich założeniach, przyporządkować każdej klasie
pewnego systemu jakieś indywiduum z tej klasy (Demonstration de
l’integrabilite..., s. 210). W roku 1902 aksjomat wyboru został wyraźnie
zastosowany przez Beppo Lebiego‖ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys
dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 177/. „Dodać oczywiście należy, że
aksjomat wyboru stosowany był już wcześniej przez Cantora i innych
matematyków, ale czynili oni to bez świadomości używania zasady, której
przedtem nie formułowano w matematyce klasycznej ani w logice. W roku 1904
E. Zermelo podał pierwsze wyraźne sformułowanie aksjomatu wyboru i
zastosował go w dowodzie twierdzenia o dobrym uporządkowaniu. W roku
1906 B. Russell podał używaną dziś postać aksjomatu (nazywając go
aksjomatem muiltiplikatywnym)‖ /Tamże, s. 178.
+ Cantor G. Algebra wieku XX Współtwórca algebry współczesnej Richard
Dedekind (1831-1916) ugruntował podstawy analizy i arytmetyki. „Zajmując
się przede wszystkim algebrą (był m. in. jednym ze współtwórców algebry
współczesnej, zajmował się teorią grup i teorią ideałów oraz teorią liczb algebraicznych), był Dedekind – wraz z K. Weierstrassem i G. Cantorem –
jednym z czołowych przedstawicieli nowego kierunku badań stawiającego
sobie za cel systematyczne eliminowanie niejasności podstawowych pojęć
matematyki. Była to w istocie kontynuacja prac A. Cauchy'ego, C. F. Gaussa i
B. Bolzana. Dedekind był też bliskim przyjacielem G. Cantora i jako jeden z
pierwszych
potrafił
docenić
doniosłość
i
znaczenie
jego
prac
teoriomnogościowych (znalazło to odbicie m. in. w ich koresponkencji) /por.
G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und pltilosophischen
Inhalts, Hrsg. E. Zermelo, Verlag von Julius Springer, Berlin 1932, ss. 443451/. Z interesującego nas tu punktu widzenia na uwagę zasługują dwie
prace Dedekinda: Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) oraz Was sind und
was sollen die Zahlen? (1888). Pierwsza z nich poświęcona jest rozwinięciu
teorii liczb niewymiernych na podstawie tzw. przekrojów (zwanych dziś
przekrojami Dedekinda). Rozważania Dedekinda są w pewnym stopniu
podobne do teorii proporcjonalności Eudoksosa, stąd też nazywa się czasem
Dedekinda „nowym Eudoksosem‖. Teorie ich nie są jednak identyczne –
istnieje między nimi zasadnicza różnica‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 63.
+ Cantor G. Antynomie teorii mnogości sformułowanej przez Cantora G.
spowodowały drugi kryzys podstaw matematyki. Filozofia matematyki
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Kierunki współczesne. „Zalicza się do nich przede wszystkim: logicyzm,
intuicjonizm i formalizm. Ukształtowały się one w zasadzie w ciągu ostatniej
ćwierci XIX wieku i pierwszych 30 lat wieku XX. Nawiązywały w większym
czy mniejszym stopniu do poglądów dawniejszych, w szczególności do
koncepcji Platona, Arystotelesa, Leibniza i Kanta. Ich powstanie właśnie w
okresie 1875-1930 związane było, z jednej strony, z narodzinami i
intensywnym rozwojem logiki matematycznej i teorii mnogości, a z drugiej
strony – z pewną sytuacją kryzysową w dziedzinie podstaw matematyki, jaka
miała miejsce w końcu XIX wieku. Kryzys ten, zwany drugim kryzysem
podstaw matematyki (mianem pierwszego kryzysu określa się wykrycie
wielkości niewspółmiernych w starożytnej Grecji, co doprowadziło w efekcie
do zmiany pojęcia liczby – por. rozdział 1.1), związany był z odkryciem na
terenie Cantora teorii mnogości – antynomii, czyli par zdań, z których każde
w równym stopniu zasługuje na przyjęcie, jakkolwiek są one wzajemnie
sprzeczne i dlatego nie można przyjąć ich obu (najwyraźniejszym przypadkiem
antynomii jest para zdań wzajemnie sprzecznych, w której każde zdanie
wynika z drugiego). Antynomie te nazywa się dziś antynomiami logicznymi (w
odróżnieniu od antynomii semantycznych, w których istotną rolę odgrywają
pojęcia oznaczania, odnoszenia się itp.)‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 81/. Ich
źródłem było intuicyjne, nie do końca sprecyzowane i jasne pojęcie zbioru,
którym operował Cantor w stworzonej przez siebie teorii mnogości.
Najbardziej znane antynomie to antynomia największej liczby porządkowej,
pochodząca od Burali-Fortiego (znana też Cantorowi), Cantora antynomia
zbioru wszystkich zbiorów (oraz Russella antynomia klas niezwrotnych
(powiemy o niej dokładniej poniżej, w rozdziale dotyczącym logicyzmu). Próby
usunięcia sprzeczności związanych z antynomiami teorio-mnogościowymi, a
tym samym zbudowania solidnych fundamentów dla całej matematyki, były
stymulatorem rozmaitych poszukiwań także na szerszej płaszczyźnie, tzn. na
płaszczyźnie filozoficznej. Rezultatem tych poszukiwań są właśnie logicyzm,
intuicjonizm i formalizm. Korzystały one (zwłaszcza logicyzm i formalizm) z
aparatu technicznego, którego dostarczyła powstała na przełomie XIX i XX
wieku nowoczesna logika matematyczna‖ /Tamże, s. 82.
+ Cantor G. Ferdinand Ludwig Philip Urodził się w Petersburgu. "(18451918). Jego ojciec pochodził z Danii. W 1856 r. rodzina przeniosła się do
Frankfurtu n/Menem. W 1862 r. rozpoczął studia w Zurychu, skąd po roku
przeniósł się do Berlina. Studiował tu matematykę, fizykę i filozofię. Jego
nauczycielami byli Kummer, Weierstrass i Kronecker. Największy wpływ
wywarł na niego Weierstrass. W 1867 r. doktoryzował się na Uniwersytecie
Berlińskim, a w r. 1869 habilitował się w Halle, gdzie też został docentem
prywatnym (Privatdozent). W 1872 r. został profesorem nadzwyczajnym, a w
1879 zwyczajnym na tymże uniwersytecie. Pierwsze jego prace dotyczyły
teorii liczb, teorii szeregów trygonometrycznych i teorii funkcji. W latach
1874-1897 opublikował swe zasadnicze prace dające początek teorii
mnogości‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo
naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 207.
+ Cantor G. Ferdynand Ludwig Philip (1845-1918). „Urodził się w
Petersburgu. Jego ojciec pochodził z Danii. W 1856 r. rodzina przeniosła się
do Frankfurtu n/Menem. W 1862 r. rozpoczął studia w Zurychu, skąd po
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
roku przeniósł się do Berlina. Studiował tu matematykę, fizykę i filozofię.
Jego nauczycielami byli Kummer, Weierstrass i Kronecker. Największy
wpływ wywarł na niego Weierstrass. W 1867 r. doktoryzował się na
Uniwersytecie Berlińskim, a w r. 1869 habilitował się w Halle, gdzie też został
docentem prywatnym (Privatdozent). W 1872 r. został profesorem
nadzwyczajnym, a w 1879 zwyczajnym na tymże uniwersytecie. Pierwsze jego
prace dotyczyły teorii liczb, teorii szeregów trygonometrycznych i teorii
funkcji. W latach 1874-1897 opublikował swe zasadnicze prace dające
początek teorii mnogości‖ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów,
PWN Warszawa 1995, s. 207.
+ Cantor G. Ferdynand Ludwig Philip urodził się w Petersburgu (18451918). „Jego ojciec pochodził z Danii. W 1856 r. rodzina przeniosła się do
Frankfurtu n/Menem. W 1862 r. rozpoczął studia w Zurychu, skąd po roku
przeniósł się do Berlina. Studiował tu matematykę, fizykę i filozofię. Jego
nauczycielami byli Kummer, Weierstrass i Kronecker. Największy wpływ
wywarł na niego Weierstrass. W 1867 r. doktoryzował się na Uniwersytecie
Berlińskim, a w r. 1869 habilitował się w Halle, gdzie też został docentem
prywatnym (Privatdozent). W 1872 r. został profesorem nadzwyczajnym, a w
1879 zwyczajnym na tymże uniwersytecie. Pierwsze jego prace dotyczyły
teorii liczb, teorii szeregów trygonometrycznych i teorii funkcji. W latach
1874-1897 opublikował swe zasadnicze prace dające początek teorii
mnogości‖ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN
Warszawa 1995, s. 207.
+ Cantor G. Hipoteza Cantora w rzeczywistości opisanej przez teorię
mnogości musi być albo prawdziwa, albo fałszywa, Gödel K. „wyniki Gödla i
Cohena na temat niesprzeczności i niezależności aksjomatu wyboru i
hipotezy kontinuum w systemie Zermela-Fraenkla mają – oprócz wskazanych
– jeszcze inne konsekwencje. Oznaczają one bowiem, że zawarta w aksjomatach ZF charakteryzacja zbiorów jest zbyt słaba i niewystarczająca, by
móc na jej podstawie rozstrzygnąć na przykład te dwie ważne szczególne
własności. Powstaje więc pytanie o ewentualne wzmocnienie aksjomatów. K.
Gödel pisał na ten temat tak: „Jeżeli bowiem przyjąć jako trafne (sond)
terminy pierwotne teorii mnogości (...), to wynika stąd, iż pojęcia i twierdzenia
teoriomnogościowe opisują rzeczywistość dobrze określoną, w której hipoteza
Cantora musi być albo prawdziwa, albo fałszywa. Zatem jej
nierozstrzygalność na gruncie przyjmowanych dziś aksjomatów może znaczyć
tylko tyle, że aksjomaty te nie zawierają pełnego opisu tej rzeczywistości. (...)
Aksjomaty teorii mnogości nie tworzą żadną miarą systemu zamkniętego,
wprost przeciwnie: samo pojęcie zbioru, na którym są oparte, sugeruje
rozszerzanie ich za pomocą nowych aksjomatów, stwierdzających istnienie
dalszych jeszcze iteracji operacji 'zbiór (czegoś)' (set of)‖ (What Is Cantor's
Continuum Problem?, wersja z roku 1964, s. 264)‖ /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 186/. Główny rodzaj
aksjomatów, których dołączenie do teorii ZF się sugeruje, to aksjomaty
nieskończoności postulujące istnienie dużych liczb kardynalnych.
Najprostszy z nich stwierdza istnienie liczb kardynalnych nieosiągalnych, tzn.
liczb kardynalnych zamkniętych ze względu na działania potęgowania i sumowania. Dokładniej: liczba kardynalna m jest nieosiągalna wtedy i tylko
wtedy, gdy: (1) 0 < m , (2) jeżeli n < m, to 2n < m oraz (3) jeżeli A <m i F jest
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
funkcją ze zbioru A o wartościach będących liczbami kardynalnymi
mniejszymi od m, to x A F(x) < m. Aksjomat liczb nieosiągalnych nie jest
twierdzeniem teorii ZF. Istnienie liczb nieosiągalnych może być iterowane w
pozaskończoność. Prowadzi to do skali liczb kardynalnych Mahlo (opisanej
po raz pierwszy przez Friedricha Paula Mahlo w roku 1911)‖ /Tamże, s. 187.
+ Cantor G. Hipoteza kontinuum sformułowana w roku 1878. „Otóż z
twierdzenia Cantora wynika, że dla dowolnego zbioru A moc A jest mniejsza
od mocy jego zbioru potęgowego, czyli A < P{A}. Zatem operacja brania
rodziny wszystkich podzbiorów zapewnia istnienie pewnej nieskończonej
skali liczb kardynalnych, zwanej skalą betów
. Istnieje też inna
nieskończona skala liczb kardynalnych, tzw. skala alefów
składa się ona z
liczb kardynalnych zbiorów dobrze uporządkowanych. Z pewnika wyboru, a
dokładniej: z twierdzenia Zermela o dobrym uporządkowaniu, wynika, że
skala ta zawiera wszystkie liczby kardynalne. Z definicji pierwsze elementy
tych skal są równe, tzn. 0 = 0. Hipoteza kontinuum /Hipoteza kontinuum
została sformułowana przez Cantora w roku 1878 (w postaci, o której mówimy
poniżej) i w roku 1883 (w postaci 1 =2 o). Nie używał on jednak terminu
„hipoteza kontinuum‖. Pojawił się on po raz, pierwszy w pracy doktorskiej F.
Bernsteina z roku 1905/ (oznaczana krótko CH) jest naturalnym
przypuszczeniem, że również drugie wyrazy są identyczne, tzn. 1 = 1, czyli
o
1 = 2 . Uogólniona zaś hipoteza kontinuum /Uogólniona hipoteza
kontinuum została po raz pierwszy sformułowana przez F. Hausdorffa w jego
pracy z roku 1908. Termin „uogólniona hipoteza kontinuum‖ pochodzi od A.
Tarskiego (1925)/ (oznaczana jako GCH) to zdanie głoszące, że cała skala
alefów i skala betów pokrywają się ze sobą, czyli „ (
= ) lub inaczej: „ (
= 2 ). Hipotezę kontinuum można sformułować jeszcze inaczej. Otóż można
udowodnić, że zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych N, czyli
zbiór P(N), jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.
Hipoteza kontinuum da się teraz wysłowić następująco‖ /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 181/. „Każdy
nieskończony zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny bądź ze zbiorem liczb
naturalnych, bądź z całym zbiorem liczb rzeczywistych. Uogólniona hipoteza
kontinuum może być sformułowana tak: Każda rodzina podzbiorów zbioru
nieskończonego A jest równoliczna bądź z podzbiorem zbioru A, bądź z
całym zbiorem P(A). Zauważmy jeszcze, że te sformułowania są równoważne
wcześniejszym przy założeniu aksjomatu wyboru‖ /Tamże, s. 182.
+ Cantor G. Kombinatoryka skończona wymaga co najmniej pierwszy
stopień pozaskończoności w teorii mnogości Cantora. „Jeśli chodzi o drugą
kwestię, czyli o to, czy i jak nowe aksjomaty nieskończoności pozwalają
rozstrzygnąć problem kontinuum, to okazuje się, że hipoteza kontinuum jest
niesprzeczna i niezależna od każdego z zaproponowanych dotąd aksjomatów
dużych liczb kardynalnych. Dokładniej: jeśli A jest takim aksjomatem, to o
ile teoria ZF plus A jest niesprzeczna – pozostanie ona niesprzeczna zarówno
po dołączeniu do niej hipotezy kontinuum CH, jak i po dołączeniu jej negacji.
A zatem aksjomaty rozważane dotąd nie wnoszą niczego istotnego do
problemu kontinuum, i oczekiwań oraz nadziei Gödla nie udało się na razie
zrealizować‖ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN
Warszawa 1995, s. 188/. „W tej sytuacji można postawić pytanie, czy
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
nieskończoność jest w ogóle potrzebna w matematyce skończonej. Gödel w
swej słynnej pracy z roku 1931, w której udowodnił niezupełność arytmetyki,
napisał: „Skonstruowane tutaj zdania nierozstrzygalne staną się
rozstrzygalne, jeżeli dołączyć [do arytmetyki – uwaga moja, R. M.] odpowiednie
wyższe typy‖. Ponieważ zdania nierozstrzygalne Gödla mają charakter
skończony, tzn. mówią o obiektach skończonych (liczbach naturalnych),
zatem opinia Gödla sprowadza się do tezy, że nieograniczone iteracje
pozaskończone operacji brania zbioru potęgowego są konieczne dla
matematyki skończonej. Nie mogąc tu wchodzić w skomplikowane szczegóły
techniczne badań związanych z tą tezą powiedzmy tylko, że nowe wyniki na
temat niezupełności arytmetyki liczb naturalnych (o których pisaliśmy w
rozdziale II.3, poświęconym formalizmowi), tzn. wyniki J. Parisa, L.
Harringtona i L. Kirby'ego, stanowią potwierdzenie opinii Gödla. Jak
pamiętamy, podają one przykłady zdań arytmetycznych (tzn. mówiących o
liczbach naturalnych i ich własnościach) nie mających dowodów czysto
arytmetycznych. Są to zatem zdania, których dowody wymagają użycia
środków pozaskończonych wykraczających poza dziedzinę liczb naturalnych.
Pokazują one więc, że co najmniej pierwszy stopień pozaskończoności w
teorii mnogości Cantora jest konieczny dla matematyki (dokładniej:
kombinatoryki) skończonej‖ /Tamże, s. 189.
+ Cantor G. Matematyka wieku XIX. „Znaczenie prac Georga Cantora (18451918) dla podstaw i filozofii matematyki trudno przecenić. Mamy tu na myśli
przede wszystkim stworzoną przezeń teorię mnogości – dziedzinę, która miała
odegrać zasadniczą rolę w badaniu logicznych i filozoficznych podstaw
matematyki. Choć na uwagę zasługiwałyby i inne dokonania Cantora (jak
choćby jego teoria liczb niewymiernych jako granic ciągów liczb wymiernych
— nazywanych później przez Cantora ciągami podstawowymi – por. rozdział
poprzedni, w którym mówiliśmy o Dedekinda teorii liczb niewymiernych, tzn. o
podjętej niezależnie od Cantora próbie ugruntowania teorii liczb
rzeczywistych), to ze względu na znaczenie i rolę teorii mnogości w dzisiejszej
matematyce i filozofii matematyki, zajmiemy się tu głównie filozoficznymi
poglądami Cantora na teorię zbiorów. Zacznijmy od stwierdzenia, że według
Cantora rzeczywistość idei matematycznych może być rozumiana dwojako: 1)
jako rzeczywistość intrasubiektywna, czyli immanentna, oraz 2) jako
rzeczywistość pozasubiektywna. Mimo iż utrzymywał, że „przy rozwijaniu
swego materiału ideowego [matematyka] musi brać pod uwagę tylko i jedynie
immanentna rzeczywistość swych pojęć‖, nie był jednak skłonny traktować
niesprzeczności jako jedynego i wystarczającego kryterium istnienia w
matematyce. Był przekonany, że pojęciom matematycznym przysługuje, obok
rzeczywistości immanentnej, także rzeczywistość pozasubiektywna. Stąd teza o
tym, iż matematyk nie tworzy przedmiotów matematyki, lecz je odkrywa‖ /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, s. 67.
+ Cantor G. nie zdołał sprawdzić, „czy istnieją nieskończone zbiory większe
od zbioru liczb naturalnych a mniejsze od zbioru liczb rzeczywistych. Sądził,
że takich zbiorów być nie może, ale nie potrafił tego udowodnić. Twierdzenie
to nazywa się h i p o t e z ą c o n t i n u u m . W efekcie żmudnych i bezowocnych
wysiłków zmierzających do udowodnienia tej hipotezy Cantor popadł prawdopodobnie w psychiczną depresję. Problem nie jest do dziś rozstrzygnięty.
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Co więcej, Kurt Goedel i jego młody asystent, Amerykanin Paul Cohen,
pokazali pewne niezwykłe i głębokie fakty, które dotyczą hipotezy
c o n t i n u u m . Goedel udowodnił, że jeśli hipotezę c o n t i n u u m uzna się za
dodatkowy aksjomat i dołączy się ją następnie do ogólnie przyjętych
aksjomatów teorii zbiorów*, to nie doprowadzi to do sprzeczności. Wkrótce
potem (w 1963 roku) Cohen pokazał, że hipoteza continuum jest niezależna
od aksjomatów teorii zbiorów (tak jak aksjomat Euklidesa o prostych
równoległych jest niezależny od pozostałych aksjomatów geometrii
płaszczyzny). Dlatego w oparciu o aksjomaty teorii zbiorów nie można
udowodnić, ani jej ani jej zaprzeczenia‖ /J. D. Barrow, Teorie wszystkiego. W
poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia (Theories of Everything. The Quest for
Ultimate Explanation, Oxford University Press, New York 1991), przeł. J.
Czerniawski, T. Placek, Wydawnictwo Znak, Kraków 1995, s. 56/. „Powyższa
lekcja uczy, że matematyczne aksjomaty są bardziej podobne do warunków
początkowych praw przyrody, niż można by się spodziewać. Niektórzy mają
nawet nadzieję, że aksjomaty okażą się identyczne z warunkami
początkowymi: wierzą, że ostateczne założenia o warunkach początkowych
Teorii Wszystkiego będą miały na celu zapewnienie logicznej spójności.
Nauczyliśmy się również, że aksjomaty oraz zachodzące między nimi relacje
mają niezwykle wyrafinowany charakter. Mamy wolną rękę w wyborze
aksjomatów: możemy więc wybrać te, które najlepiej służą naszym celom. Nie
posiadamy jednak nieomylnej intuicji, która by nam podpowiadała, które z
głębokich aksjomatów (takich jak np. hipoteza continuum) są właściwe, a
które nie. Skąd możemy więc wiedzieć, czy powinniśmy je dołączyć do
systemu, czy też nie? Pod wpływem doświadczeń z hipotezą continuum
Alonzo Church wypowiedział następującą uwagę: «Kiedy trzeba w jakimś
sensie wybrać między konkurencyjnymi teoriami zbiorów, a nie tylko badać
ich matematyczne konsekwencje bez oceniania, która jest lepsza, to wydaje
się, że jedyną podstawą takiego wyboru jest to samo kryterium prostoty,
które rządzi wyborem konkurencyjnych teorii fizycznych w przypadku, gdy
obie (albo wszystkie) równie dobrze wyjaśniają fakty doświadczalne» /Tamże,
s. 57.
+ Cantor G. Nieskończoność aktualna istnieje. „Przyjmując istnienie
nieskończoności aktualnej, Cantor zdecydowanie odrzucał wielkości aktualnie
nieskończenie małe nazywając je „wielkościami papierowymi‖ i ostro
przeciwstawiając się wprowadzaniu tych wielkości do matematyki, temu, jak
pisał, „infinitarnemu bakcylowi cholery w matematyce‖ /por. H.
Meschkowski, Aus den Briefbuchern Georg Cantors, „Arch. Hist. ex. Sc.‖ 2
(1962-66) 503-519, s. 505/. Cantor szukał uzasadnień dla swej teorii zbiorów
nieskończonych także poza matematyką, w szczególności w metafizyce i w
teologii. Uważał, że ogólna teoria mnogości należy do metafizyki. Podejmował
też próby udowodnienia istnienia pozaskończoności odwołujące się do
Absolutu. Wierzył, że pozaskończoność nie tylko nic nie ujmuje naturze
Boga, lecz przeciwnie, dodaje jej blasku. Podał też dwa dowody istnienia liczb
pozaskończonych in concreto. Jeden z nich z pojęcia Boga, z doskonałości
Jego
natury,
wyprowadzał
możliwość
i
konieczność
stworzenia
pozaskończoności. Drugi argumentował, że skoro niemożliwe jest pełne i
całkowite wyjaśnienie zjawisk naturalnych bez założenia istnienia pozaskończoności in natura naturata, zatem pozaskończoność ta istnieje. Z drugiej
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
strony, Cantor był przekonany o dużym znaczeniu jego teorii mnogości dla
metafizyki i teologii. Istotnie, jego prace były pilnie studiowane przez filozofów
i teologów katolickich – to w nich właśnie znalazł Cantor wiernych
czytelników i odbiorców swych koncepcji (podczas gdy matematycy nie
wykazywali zrozumienia, ba, reagowali nader krytycznie i okazywali dużą
niechęć; Jednym z głównych przeciwników teorii mnogości Cantora
zwalczającym nie tylko samą teorię, ale w jakimś stopniu i jej twórcę, był L.
Kroneckcr (1823-1891), profesor Uniwersytetu w Berlinie, jeden z nauczycieli
akademickich Cantora. Podobno nazwał on nawet kiedyś Cantora
„deprawatorem młodzieży‖. Jednym z nielicznych matematyków, którzy od
razu zrozumieli znaczenie i rolę teorii mnogości, był R. Dedekind. Stąd też
ścisłe kontakty z takimi osobami jak kardynał J. Franzelin, teolog jezuicki,
jeden z głównych teologów papieskich Soboru Watykańskiego I, benedyktyni
T. Pesch i J. Hontheim z opactwa Maria-Laach w Nadrenii, dominikanin Th.
Esser czy włoski teolog I. Jeiler. Cantorowi bardzo zależało na ich pozytywnej
opinii‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo
naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 71.
+ Cantor G. podejrzewany o tendencje panteistyczne. „W pewnym okresie
podejrzewano Cantora o tendencje panteistyczne (potępione formalnie
dekretem papieża Piusa IX z 1861 r.). Wynikało to z faktu, iż Cantor
utrzymywał, że jego aktualnie nieskończone liczby pozaskończone istnieją in
concreto, co mogło sprawiać wrażenie, że próbuje identyfikować
nieskończoność in natura naturata z Bożą nieskończonością, in natura
naturans. Cantor rozwiązał ten problem poprzez dodanie do rozróżnienia
nieskończoności in natura naturata i nieskończoności in natura naturans
dodatkowego rozróżnienia: między Infinitum aeternum increatum sive
Absolutum oraz Infinitum creatum sive Transfinitum. To uspokoiło teologów i
filozofów kościelnych, którzy udzielili dziełom Cantora swoistego imprimatur.
Wspomnijmy jeszcze na koniec o jednym z problemów, które pojawiły się w
związku z wprowadzoną przez Cantora hierarchią nieskończonych liczb
kardynalnych. Chodzi tu o tzw. problem kontinuum, czyli o pytanie, czy
między mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych
istnieją inne jeszcze liczby kardynalne (por. Dodatek poświęcony
filozoficznym problemom teorii mnogości). Cantor nie potrafił rozwiązać tego
problemu. To, że pozostawał on ciągle otwarty, co w pewnym sensie stało w
sprzeczności z platońskimi poglądami Cantora, spowodowało, że wątpił on
nawet w pewnym okresie, czy teoria mnogości w postaci, jaką jej nadał, da
się utrzymać jako teoria naukowa. Niemożność rozwiązania tego problemu
wraz z atmosferą niechęci i niezrozumienia, z jaką spotykały się jego prace
teoriomnogościowe, były przyczyną załamania nerwowego wiosną 1884 roku
i późniejszej choroby psychicznej, która dawała o sobie znać aż do końca
życia. Stworzona przez Cantora teoria mnogości stała się, po oparciu jej na
solidnej bazie aksjomatycznej, fundamentem matematyki pozwalając na
ugruntowanie jej podstaw – cała bowiem matematyka może być
zredukowana do teorii mnogości (por. współczesną postać logicyzmu)‖ /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, s. 72.
+ Cantor G. pojęcie zbioru wprowadził w sposób intuicyjny, a nie w sposób
aksjomatyczny. „(a że intuicje te nie były do końca precyzyjne i jednoznaczne,
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
doprowadzić to miało wkrótce do paradoksów). Znajdujemy u niego właściwie
dwa określenia zbioru. W cytowanej tu już pracy Beitrdge ... pisze: „Przez
pojęcie «zbioru» (Menge) rozumiemy każde zebranie w jedną całość M
określonych, dobrze odróżnionych przedmiotów m naszego oglądu czy
naszych myśli (które nazywane są «elementami» M)‖ /por. G. Cantor,
Gesammelte Abhandlungen mathematischen und pltilosophischen Inhalts, Hrsg.
E. Zermelo, Verlag von Julius Springer, Berlin 1932, s. 282/. W pracy
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre znajdujemy zdanie: „Pod
pojęciem «rozmaitości» (Mannigjaltigkeit) czy «zbioru» (Menge) rozumiem
mianowicie ogólnie każdą wielość (jedes Viele), która może być pomyślana
jako jedność (als Eines), to jest każdy ogół określonych elementów, które na
mocy pewnego prawa mogą być złączone w jedną całość‖ /por. Tamże, s.
204; Cantor wprowadził i rozwinął pojęcia liczby kardynalnej i porządkowej.
Także one były rozumiane tylko intuicyjnie. Doprowadziło to wkrótce do
pojawienia się na gruncie teorii mnogości antynomii. Dwie z nich znane już
były samemu Cantorowi, tzn. antynomia zwana dziś antynomią BuraliFortiego i antynomia zbioru wszystkich zbiorów. Cantor znalazł wyjście z tych
trudności przez rozróżnienie klas, czyli wielości, których nie można ujmować
jako jedności, jako „pewnej jednej gotowej rzeczy‖ (takie wielości nazywał
wielościami absolutnie nieskończonymi albo sprzecznymi), oraz zbiorów, czyli
wielości, które mogą być pomyślane jako „jedna rzecz‖ (nazywał je wielościami
niesprzecznymi albo właśnie zbiorami) (por. listy G. Cantora do R. Dedekinda
z 28.YII 1899 r. i z 31.VIII 1899 r., w: G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen,
ss. 443-448; patrz też antologia, ss. 171-174). Zauważmy tu jeszcze, że to
rozróżnienie zbiorów i klas jest wyraźnym odwołaniem się Cantora do
kluczowego w metafizyce Leibniza pojęcia „współmożliwości‖ względnie
„współistnienia‖, czy „konsystentności‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 69.
+ Cantor G. Teorii mnogości Cantora G. spowodowała reakcję zwaną
konstruktywizmem. „Mianem konstruktywizmu określa się różne kierunki w
filozofii i podstawach matematyki, których cechą wspólną jest żądanie
ograniczenia się do rozpatrywania wyłącznie obiektów konstruowalnych i
operacji konstruktywnych. Kierunki te różnią się sposobem rozumienia
pojęcia konstruowalności. Konstruktywizm zatem, to pewna postawa
normatywna postulująca nie tyle szukanie odpowiednich podstaw i
uzasadnienia dla istniejącej matematyki, ile raczej interpretująca ją zgodnie z
przyjętymi zasadami i odrzucająca (w większym czy mniejszym stopniu)
metody i wyniki, które nie odpowiadają tym zasadom. Prądy
konstruktywistyczne pojawiły się w ostatniej ćwierci XIX wieku jako reakcja
na gwałtowny rozwój wysoce abstrakcyjnych pojęć i metod w matematyce
inspirowany powstaniem teorii mnogości Cantora. Jednym, chyba najbardziej
rozwiniętym, z kierunków konstruktywistycznych jest intuicjonizm, który
omówiliśmy w poprzednim paragrafie. Inne to finityzm, ultraintuicjonizm
(zwany
też
ultrafinityzmem
lub
aktualizmem),
predykatywizm,
konstruktywna matematyka rekurencyjna i konstruktywizm Bishopa.
Omówimy je teraz pokrótce‖ /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 112.
+ Cantor G. Twórca teorii wielkich liczb, swoje studium rozpoczął od tego, że
zastanawiał się nad problemem równoważności pomiędzy hipostazą Boga i
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
trzema hipostazami; Plioutch L. odpowiada na zarzut Tołstoja. „Jeśli
obserwuje się wypełnianie chrześcijańskiej wiary, sposób, w jaki przejawia
się ona w życiu wspólnoty i w codziennej chrześcijańskiej praktyce, oraz
podczas nauczania w szkolnej katechezie i jej materiałach, wówczas zauważa
się, że w odniesieniu do trynitarnego obrazu Boga ciągle jeszcze panuje
dowolność i niezrozumienie aż po całkowitą nieobecność. Nie można
dopatrzeć się – jak pisze Josef Schulte odnośnie katechez – co mógłby
przynieść trynitarny obraz Boga dla „wartości dodanej‖, ponieważ „wydaje się
on nieprzetłumaczalny na życiowe i praktyczne doświadczenie wiary‖ (J.
Schulte, Das Geheimnis der Trinität und die christliche Glaubenserfahrung,
w: KatBl 106 (1981) 426). Georg Baudler relacjonuje reakcje uczniów, którzy
na wiele sposobów uzasadniają swoje całkowite niezrozumienie. „Trójca
Święta okazuje się… w większości szkolnych notatek teologiczną zagadką,
która dla życia nie ma żadnego znaczenia‖ (G. Baudler, Ideen zu einer
symboltheoretischen Interpretation der Trinitätsüberlieferung, w: rhs 24
(1981) 44. – Stąd także zrozumiałe staje się stwierdzenie R. Lachmann, Die
Trinitätslehre in religionsdidaktischer Sicht, w: Glaube und Denken 1 (1988)
102:
„W
nastawionych
na
wyjaśnienia,
tradycyjno-krytycznie
i
antropologicznie religijno-pedagogicznie zorientowanych pozycjach – często
do wykazania w ich krytyce katechizmu – Trójca Święta i nauka o Trójcy
Świętej zazwyczaj nie odgrywają żadnej roli; nie spotyka się ich ani w temacie
lekcji, ani jako teologiczny element w kontekście uzasadnienia religijnopedagogicznego ukształtowania teorii‖). Poniższe uwagi Goethego zdają się
przyznawać rację beztroskim i powszechnym sądom ciągle aktualnym, nie
tylko u uczniów:‖ /G. Greshake, Trójjedyny Bóg. Teologia trynitarna przełożył
bp J. Tyrawa, (Der Dreieine Gott. Eine trinitarische Theologie, Verlag Herder,
Freiburg im Breisgau 2007), TUM, Wrocław 2009, s. 17/. „Wierzyłem w Boga
i naturę, i w zwycięstwo szlachetności nad złem; ale to nie wystarczało
pobożnym duszom, powinienem także wierzyć, że trzy jest jedno i jedno jest
trzy; ale to sprzeciwiało się odczuciu prawdy w mojej duszy; nie rozumiałem
więc, aby to miało być mi w czymkolwiek pomocne‖ (J. W. v. Goethe,
Gespräch mit J. P. Eckermann, 4. 1. 1824. To „doświadczenie‖ zostało
przepracowane także w jego Fauście I, Hexenküche (2561 in.). „Bowiem
całkowity sprzeciw pozostaje jednakowo pełen tajemnic tak dla mądrego, jak
i głupiego. Mój przyjacielu, sztuka jest stara i nowa. Było to sposobem na
wszystkie czasy, aby poprzez trzy i jeden i jeden i trzy rozprzestrzeniać błąd
zamiast prawdy‖. Goethe nie jest jedyny, który drwi z „braku logiki‖ nauki o
Trójcy Świętej. Por. L. Plioutch, Dans le carnaval de l‖histoire, Paris 1977,
55: „Drwiny Tołstoja ze Świętej Trójcy jednoznacznie pozwalają dostrzec jego
racjonalizm. Ostatni wieśniak wiedziałby, że jeden nie może być równy trzem;
konsekwentnie dogmat o Trójjedyności staje się absurdem i służy tylko temu,
aby ogłupiać wierzących. Jednakże jako matematyk wiedziałem jedno bardzo
dobrze: Zdanie, że część jest mniejsza niż całość, dotyczy tylko
ograniczonych jakości. Dla wielkości nieskończonych to zdanie nie ma
żadnego znaczenia; tutaj część może być równa całości. A z lektur
sowieckiego historyka chrześcijaństwa dowiedziałem się, że twórca teorii
wielkich liczb, Cantor, swoje studium rozpoczął właśnie od tego, że
zastanawiał się nad problemem równoważności pomiędzy hipostazą Boga i
trzema hipostazami…‖ W tym kontekście jest – nawiasem mówiąc –
9
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
interesujące, że oprócz matematyków także teoretycy nauki interesują się
teologią Trójcy Świętej. Por. B. A. Menne, Mengenlehre und Trinität, w: MThZ
8 (1957) 180-188; K. H. Reich, Die Trinitätslehre als Modell für die
Strukturierung
der
Beziehungen
zwischen
Theologie
und
Naturwissenschaften, w: Glauben und Denken 1 (1988) 202-222)‖ /Tamże,
s. 18.
+ Cantor G. Twórca teorii zbiorów rozumiał przez zbiór wielość
elementów, która da się pomyśleć jako jedność. „Przez długi okres
uniwersalnym fundamentem matematyki wydawała się teoria zbiorów.
Twórca tej teorii, G. Cantor, rozumiał przez zbiór wielość elementów,
która da się pomyśleć jako jedność. Później, w wersji zaksjomatyzowanej,
pojęcie zbioru nabrało abstrakcyjnego charakteru o takiej ogólności, że
wszystko, z czym matematyka miała do czynienia, czy może raczej należałoby powiedzieć – wszystko, z czym matematyka chciała mieć do
czynienia, było zbiorem. Wprawdzie pojęcie to napotkało od razu na
szereg niepokojących antynomii, wszelako przewagi, jakie posiadało,
były tak przygniatające, że matematycy patrzyli na te usterki z pewną –
rzec można – wyrozumiałością. Nawet dzisiaj, kiedy teoria kategorii
stanowi dlań pewną alternatywę, wielu nadal nie chce się zgodzić na
pozbawienie
teorii
mnogości
jej
metodologicznego
monopolu.
Fundamentalna rola teorii zbiorów w matematyce była silnie związana z
panującym w przyrodoznawstwie redukcjonizmem, nic więc dziwnego,
że była adresatem podobnych zastrzeżeń, z jakimi spotkał się
redukcjonizm. Przypomnijmy je raz jeszcze. Przede wszystkim nie
wszystko w przyrodzie daje się potraktować jako zbiór. Istnieją poważne
wątpliwości, czy zbiór punktów jest adekwatnym modelem dla
kontinuów takich np., jak przestrzeń fizyczna czy płynąca ciecz, nie
mówiąc już o takich tworach, jak żywa komórka, twarz ludzka czy
utwór muzyczny. Po drugie, elementy zbioru są z jednej strony różne, z
drugiej zaś, ponieważ ani nie mają żadnej treści wewnętrznej, ani nie
różnią się położeniem w zbiorze, są, jak dwa ziarnka piasku, całkowicie
nierozróżnialne‖ /R. Molski, O filozoficznych źródłach matematycznej teorii
kategorii, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 61-82, s. 73.
+ Cantor G. twórcą teorii mnogości jako dyscypliny matematycznej.
„Zauważmy, że nie ma swego odpowiednika w filozofii matematyki stanowisko
realizmu umiarkowanego. Zgodnie z nim bowiem należałoby traktować zbiory
jako własności. W konsekwencji więc zbiory istniałyby tak, jak istnieją
atrybuty, czyli w sposób niesamodzielny i pochodny względem rzeczy, których
są atrybutami. Natrafiamy tu jednak na trudność związaną z istnieniem tzw.
cech koekstensywnych, tzn. cech różnych, a wyznaczających ten sam zbiór
przedmiotów – cechy te należałoby utożsamiać. Dodajmy jeszcze, że w kwestii
sposobu istnienia zbiorów, i ogólnie przedmiotów matematyki, możliwe jest
jeszcze jedno stanowisko. Otóż kwestię tę można traktować jako typowy
pseudo-problem filozoficzny, którego takie czy inne rozwiązanie nie będzie
nigdy miało wpływu na praktykę badawczą w matematyce. Taką postawę
zajmował na przykład Rudolf Carnap (1891-1970). Po tych wstępnych
uwagach możemy już teraz przystąpić do zasadniczego tematu tego rozdziału.
10
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Twórcą teorii mnogości jako dyscypliny matematycznej był Georg Cantor
(por. rozdział 1.14). W pracach opublikowanych w latach 1874-1897
sformułował podstawy tej teorii podając podstawowe własności zbiorów oraz
dowodząc twierdzeń, które stanowią jej trzon‖ /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 169.
+ Cantor G. twórcą teorii mnogości. „Początków pewnych przynajmniej
działów teorii mnogości szukać należy jednak znacznie wcześniej. I tak na
przykład pewne elementy algebry zbiorów znaleźć można w pracach
Gottfrieda Wilhelma Leibniza, którego pomysły rozwijali m. in. Johann
Heinrich Lambert (1728-1777) oraz Leonard Euler (1707-1783). Euler podał
w szczególności geometryczną ilustrację stosunków między zbiorami. William
Hamilton (1788-1856) i Augustus De Morgan (1806-1878) próbowali ująć w
sposób formalny relacje, zaś George Boole (1815-1864) jest autorem ujęcia
rachunku zbiorów w postaci w pełni sformalizowanej teorii zwanej dziś
algebrą Boole’a (ma ona zresztą różne interpretacje, niekoniecznie jako
algebra zbiorów). Rachunek relacji w połączeniu z algebrą zbiorów rozwijali
też Charles Sanders Peirce (1839-1914) i Ernst Schroder (1841-1902). Z
ogólnym pojęciem zbioru (rozumianym ontologicznie) mamy do czynienia
explicite dopiero w pierwszej połowie XIX wieku. Pojawia się ono mianowicie u
Bernarda Bolzana w tomie I jego Wissenchaftslehre (1837), a później w
Paradoksach nieskończoności (1851)
(por. rozdział 1.11). Pewne
zaawansowane już rozważania o zbiorach nieskończonych znaleźć można w
pracach Richarda Dedekinda (por. rozdział 1.13) i Paula Du Bois Reymonda
(1831-1889) dotyczących analizy. Wszystkie te badania były jednak tylko
fragmentaryczne i dopiero Cantor stworzył coś, co można było nazwać teorią
mnogości. Posługiwał się on przy tym intuicyjnym tylko pojęciem zbioru, a
więc pojęciem niejednoznacznym i nieprecyzyjnym. Co więcej, okazuje się, że
intuicje wiązane z pojęciem zbioru były różne u różnych matematyków.
Następująca anegdota, o której wspomina Oskar Becker, świadczy o tym
dobitnie. „Dedekind wyraził się w odniesieniu do pojęcia zbioru następująco:
wyobraża on sobie zbiór jak zamknięty worek, który zawiera zupełnie
określone przedmioty; przedmiotów tych jednak nie widzimy i nie wiemy o
nich nic, poza tym, że istnieją i są określone. W pewien czas później Cantor
sformułował swój pogląd na zbiory: uniósł on swą ogromną figurę,
podniesionym ramieniem zatoczył wielki łuk i kierując swój wzrok w
nieokreślony punkt powiedział: «Ja wyobrażam sobie zbiór jako przepaść»„
(por. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, s. 316)―
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
170.
+ Cantor G. Własność obiektów nieskończonych: całość jest równoliczna z
częścią, wykorzystana w definicji zbiorów nieskończonych. „W roku 1638
Galileusz (1564-1642) podał paradoks, zwany dziś paradoksem Galileusza,
oparty na tej samej zasadzie. Zauważył on mianowicie, że z jednej strony
liczby kwadratowe l, 4, 9, 16, ... są częścią właściwą ogółu wszystkich liczb
naturalnych, a z drugiej strony – jest ich tyle samo, co liczb naturalnych.
Wyciągnął z tego następujący wniosek: „Jest to jedna z trudności, które
powstają, gdy naszym skończonym umysłem próbujemy rozważać
nieskończoność przypisując jej te własności, które przyznajemy temu, co
skończone i ograniczone; jest to, w mej opinii, niepoprawne – nie możemy
11
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
bowiem mówić o wielkościach nieskończonych, że jedne z nich są większe,
mniejsze bądź też równe innym‖ (Discorsi, s. 33). Echa tych wniosków
Galileusza znajdujemy też u Izaaka Newtona (1642-1727) w liście napisanym
w roku 1692: „Nieskończoności, kiedy rozważać je bez jakichkolwiek
restrykcji czy ograniczeń, nie są ani równe, ani nierówne, ani też nie
pozostają w żadnych stosunkach pomiędzy sobą‖. Gottfried Wilhelm Leibniz
(1649-1716) świadom trudności związanych z paradoksem Galileusza pisał:
„Nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie
nieskończonej‖. Jednocześnie twierdził jednak, przecząc sobie w pewien
sposób: „Jestem tak mocno za nieskończonością aktualną, że zamiast
przyjmować, iż natura czuje do niej wstręt, jak to się często trywialnie mówi,
uważam, iż nieskończoność aktualna dotyka natury wszędzie, by bardziej
podkreślić doskonałość jej twórcy. B. Bolzano w swych Paradoksach nieskończoności (1851) dodaje do paradoksów typu paradoksu ProklosaGalileusza spostrzeżenie, że można ustalić wzajemnie jednoznaczną
odpowiedniość pomiędzy liczbami rzeczywistymi z przedziału (0, 5) a liczbami
rzeczywistymi z większego przedziału (0, 12). Wszystkie te paradoksy oparte
były na założeniu, które znajdujemy już u Euklidesa w Elementach,
głoszącym, że całość jest większa od części (Elementy, ks. I, aksjomat 9).
Okazało się jednak, że omawianą wyżej, zdawało się, paradoksalną własność
obiektów nieskończonych można wykorzystać w sposób pozytywny. Tak
uczynili właśnie Richard Dedekind i Georg Cantor, traktując ją jako
własność odróżniającą obiekty
skończone od nieskończonych i
wykorzystując w definicji zbiorów nieskończonych. /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 163.
+ Cantor G. Właściwości obiektów nieskończonych można wykorzystał w
sposób pozytywny. „W roku 1638 Galileusz (1564-1642) podał paradoks,
zwany dziś paradoksem Galileusza, oparty na tej samej zasadzie. Zauważył
on mianowicie, że z jednej strony liczby kwadratowe l, 4, 9, 16, ... są częścią
właściwą ogółu wszystkich liczb naturalnych, a z drugiej strony — jest ich
tyle samo, co liczb naturalnych. Wyciągnął z tego następujący wniosek: „Jest
to jedna z trudności, które powstają, gdy naszym skończonym umysłem
próbujemy rozważać nieskończoność przypisując jej te własności, które
przyznajemy temu, co skończone i ograniczone; jest to, w mej opinii, niepoprawne — nie możemy bowiem mówić o wielkościach nieskończonych, że
jedne z nich są większe, mniejsze bądź też równe innym‖ (Discorsi, s. 33).
Echa tych wniosków Galileusza znajdujemy też u Izaaka Newtona (16421727) w liście napisanym w roku 1692: „Nieskończoności, kiedy rozważać je
bez jakichkolwiek restrykcji czy ograniczeń, nie są ani równe, ani nierówne,
ani też nie pozostają w żadnych stosunkach pomiędzy sobą‖. Gottfried
Wilhelm Leibniz (1649-1716) świadom trudności związanych z paradoksem
Galileusza pisał: „Nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei
liczby aktualnie nieskończonej‖. Jednocześnie twierdził jednak, przecząc
sobie w pewien sposób: „Jestem tak mocno za nieskończonością aktualną, że
zamiast przyjmować, iż natura czuje do niej wstręt, jak to się często trywialnie
mówi, uważam, iż nieskończoność aktualna dotyka natury wszędzie, by
bardziej podkreślić doskonałość jej twórcy‖ /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
163/. B. Bolzano w swych Paradoksach nieskończoności (1851) dodaje do
12
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
paradoksów typu paradoksu Proklosa-Galileusza spostrzeżenie, że można
ustalić
wzajemnie
jednoznaczną
odpowiedniość
pomiędzy
liczbami
rzeczywistymi z przedziału (0, 5) a liczbami rzeczywistymi z większego
przedziału (0, 12). Wszystkie te paradoksy oparte były na założeniu, które
znajdujemy już u Euklidesa w Elementach, głoszącym, że całość jest większa
od części (Elementy, ks. I, aksjomat 9; por. antologia. s. 45). Okazało się
jednak, że omawianą wyżej, zdawało się, paradoksalną własność obiektów
nieskończonych można wykorzystać w sposób pozytywny. Tak uczynili
właśnie Richard Dedekind i Georg Cantor, traktując ją jako własność
odróżniającą obiekty skończone od nieskończonych i wykorzystując w
definicji zbiorów nieskończonych‖ /Tamże, s. 164.
+ Cantor G. wpłynął na
Fregego G. Równoliczność zbiorów pojęciem
wykorzystanym przez Fregego G., wprowadził je Cantor G. „Wobec osiągnięć
Weierstrassa i Dedekinda w zakresie tzw. arytmetyzacji analizy, uzasadnienie
tezy logicyzmu sprowadzało się do pokazania, że arytmetykę liczb
naturalnych można rozwinąć po prostu jako część logiki. Tego zadania podjął
się właśnie Frege (por. jego Grundlagen der Arithmetik). Wykorzystał on w tym
celu wprowadzone przez Cantora pojęcie równoliczności zbiorów. Dokładniej:
Frege mówił nie o zbiorach i ich równoliczności, a o pojęciach i
równoliczności ich zakresów. Wynikało to z chęci ograniczenia się tylko do
pojęć czysto logicznych. Mówił więc Frege np. o podpadaniu danego
przedmiotu pod dane pojęcie, a nie o należeniu elementu do zbioru.
Prowadziło to do rozmaitych komplikacji w wyrażaniu się, niemniej jednak
pozwalało na konsekwentne posługiwanie się tylko językiem logiki‖ /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, 89/. Warto tu zwrócić uwagę na fakt, że Frege rozumiał
pojęcia w sposób platoński, absolutystyczny. A więc w szczególności
przyjmował, że wszelkie pojęcia istnieją i pozostają w różnych stosunkach
między sobą niezależnie od czasu, przestrzeni i umysłu ludzkiego. Matematyk
zatem nie stwarza pojęć i nie ustanawia ich związków wzajemnych, a tylko je
odkrywa. Frege przyjmował też istnienie nieskończoności aktualnej. To
wszystko łączyło go wyraźnie z Cantorem‖ /Tamże, s. 90.
+ Cantor G. wpłynął na Dedekinda „Julius Wilhelm Richard (1831-1916).
Urodził się w Brunszwiku. Studiował w Getyndze, gdzie był ostatnim
uczniem C. F. Gaussa. W roku 1852 uzyskał doktorat. W latach 1854-1857
był następcą Gaussa na uniwersytecie w Getyndze, a w okresie 1857-1862
profesorem Politechniki w Zurychu. Od 1862 r. przez ponad 50 lat był
profesorem w Collegium Carolinum (późniejszej Wyższej Szkole Technicznej) w
Brunszwiku. W 1880 r. został członkiem Niemieckiej Akademii Nauk. Był
jednym ze współtwórców algebry współczesnej, zajmował się teorią grup i teorią
ideałów (wprowadził w szczególności pojęcie ideału) oraz teorią liczb
algebraicznych. Obok Weierstrassa i Cantora, należał do czołowych
reprezentantów nowego kierunku badań, który stawiał sobie za cel
systematyczne eliminowanie niejasności podstawowych pojęć matematyki.
Była to kontynuacja prac Cauchy’ego, Gaussa i Bolzana‖ /R. Murawski,
Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa
1995, s. 208.
+ Cantor G. wpłynął na Florenskiego P. A. Studiował matematykę,
zaznajamiając się z pracami G. Cantora (1845-1918). Zainteresował go
13
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
definicja grupy (die Menge), zbioru elementów równych, a jednak
zunifikowanych. Odniósł tę definicję do intelektu ludzkiego, w którym wiele
pojęć abstrakcyjnych złączonych jest w jednym „duchu‖ /L. Žák, P.A.
Florenskij: Progetto e testimonianza di una gnoseologia trinitaria, w: P. Coda;
A. Tapken (red.), La Trinità e il pensare. Figuri percorsi prospettive, Città
Nuova, Roma 1997, 193-228, s. 202/. Wydawało mu się, że rozwiązał
starożytny dylemat: jak powiązać wielość z jednością? Chciał on zastosować,
powstałą w ramach matematycznej teorii mnogości teorię grup, do opisu
społeczeństwa. Inny matematyk, Halle, zainspirował go do refleksji na temat
powiązania skończoności z nieskończonością. Halle odróżniał pojęcie
nieskończoności potencjalnej (Möchtigkeit) od nieskończoności realnej.
Opracował on nową teorię matematyczną, liczb transskończonych /Tamże, s.
203/. Kluczem tej teorii jest idea nieskończoności aktualnej (nieskończoność
in actu). Według Cantora, nieskończoność może istnieć w trzech sferach: a)
jako absolutna doskonałość, czyli jako maksymalna niezależność od świata
stworzonego (Absolut), b) w naturze stworzonej jako transskończoność, c) w
abstrakcji, w duchu ludzkim, który potrafi poznać transskończoność w
świecie stworzonym, a w pewien sposób dociera też do absolutu Boga. Do tej
trzeciej sfery należą liczby transskończone. Są one tylko symbolami
kierującymi uwagę na realną Nieskończoność /Tamże, s. 204.
+ Cantor G. wpłynął na Fregego G. „Wobec osiągnięć Weierstrassa i
Dedekinda w zakresie tzw. arytmetyzacji analizy, uzasadnienie tezy
logicyzmu sprowadzało się do pokazania, że arytmetykę liczb naturalnych
można rozwinąć po prostu jako część logiki. Tego zadania podjął się właśnie
Frege (por. jego Grundlagen der Arithmetik). Wykorzystał on w tym celu
wprowadzone przez Cantora pojęcie równoliczności zbiorów. Dokładniej:
Frege mówił nie o zbiorach i ich równoliczności, a o pojęciach i
równoliczności ich zakresów. Wynikało to z chęci ograniczenia się tylko do
pojęć czysto logicznych. Mówił więc Frege np. o podpadaniu danego
przedmiotu pod dane pojęcie, a nie o należeniu elementu do zbioru.
Prowadziło to do rozmaitych komplikacji w wyrażaniu się, niemniej jednak
pozwalało na konsekwentne posługiwanie się tylko językiem logiki‖ /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, 89/. Warto tu zwrócić uwagę na fakt, że Frege rozumiał
pojęcia w sposób platoński, absolutystyczny. A więc w szczególności
przyjmował, że wszelkie pojęcia istnieją i pozostają w różnych stosunkach
między sobą niezależnie od czasu, przestrzeni i umysłu ludzkiego. Matematyk
zatem nie stwarza pojęć i nie ustanawia ich związków wzajemnych, a tylko je
odkrywa. Frege przyjmował też istnienie nieskończoności aktualnej. To
wszystko łączyło go wyraźnie z Cantorem‖ /Tamże, s. 90.
+ Cantor G. wpłynął na Gödla K. „Po roku 1931, czyli dacie opublikowania
wyników Gödla o niezupełności, następuje pewien zastój w filozofii
matematyki. Ów okres stagnacji trwa do końca lat pięćdziesiątych. Powstają
co prawda w tym okresie nowe koncepcje, ale nie są one już tak znaczące jak
logicyzm, intuicjonizm czy formalizm. Powiedzieć tu trzeba przede wszystkim
o pracach Willarda Van Ormana Quine’a (ur. 1908), Haskella B. Curry’ego
(1900-1982), Kurta Gödla (1906-1978) i Ludwiga Wittgensteina (1889-1951)‖
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 137/. „B. Główne opublikowne prace Kurta Gödla,
14
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
które pozwalają ustalić jego poglądy z zakresu filozofii matematyki, to dwa
artykuły: Russell’s Mathematical Logic (1944) oraz What Is Cantor’s Continuum
Problem? (1947, wersja poprawiona i rozszerzona – 1964). Stanowisko
filozoficzne Gödla można określić jako platonizm (realizm). Gödel twierdził, że
przedmioty matematyki istnieją realnie poza czasem i przestrzenią,
niezależnie od poznającego podmiotu (aczkolwiek nigdzie wyraźnie nie
wyjaśnił, czym one są i jak istnieją). Teza taka jest według niego niezbędna,
by otrzymać zadowalający system matematyki, tak samo jak przyjęcie
realnego istnienia obiektów fizycznych jest potrzebne do wyjaśnienia wrażeń
zmysłowych. Gödel mocno podkreślał analogię między logiką i matematyką a
naukami przyrodniczymi (odwołując się tu do Russella). Pisał: „Klasy i
pojęcia mogą być pojmowane jako rzeczywiste obiekty istniejące niezależnie od
naszych definicji i konstrukcji. (...) Wydaje mi się, że założenie istnienia
takich obiektów jest tak samo uzasadnione, jak przyjęcie istnienia ciał
fizycznych, a jest przecież wiele racji, by przyjąć ich istnienie. Są one tak
samo konieczne do skonstruowania satysfakcjonującej teorii matematycznej,
jak ciała fizyczne są konieczne do otrzymania sensownej teorii percepcji
zmysłowej‖ /Russell’s Mathematical Logic, w: The Philosophy of Bertrand
Russell, ed. P. A. Schilpp, The Tudor Publ. Comp., New York 1944, 125-153,
s. 137; /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo
naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 138.
+ Cantor G. wpłynął na Mandelbrota B. Teoria chaosu jest wizją holistyczną,
przewiduje przyszłość całościowo, aczkolwiek tylko w określonym zarysie.
Pozwala to stosować geometrię do modelowego ujmowania fenomenów
przyrody. Organizm żyjący nie jest, tak jak to było w mechanicyzmie,
zredukowany do nieruchomej materii, ale też nie można mówić o absolutnej
nieredukowalności żyjącego indywiduum do materii. Organizm żyjący jest
dynamicznym obłokiem, mającym w sobie moc porządkowania chaotycznej
materii, dlatego może być włączony w opisy matematyczno-geometryczne,
obowiązujące wobec całości Wszechświata. Porządkowanie chaosu dobrze
opisuje geometria fraktali, która skonstruował Benoit Mandelbrot.
Wykorzystał on dorobek takich matematyków, jak Koch, Kantor, Peano,
Hilbert, Sierpiński i wielu innych. Fraktale są obiektami geometrycznymi
zdolnymi „reprodukować się‖ samoczynnie, w coraz większej skali, według
prostej reguły. Procedura ta nie tworzy formy geometrii zamkniętej, lecz
bytowość permanentnie wzrastającą. W każdym momencie rozwoju aktualna
figura geometryczna jest całkowita, jednak na jej granicach dokonuje się
ciągle jej reprodukcja. Poszczególne elementy tej figury również są figurami
geometrycznymi całkowitymi. Ciągle też dokonuje się proces wzrostu, na
coraz większą skalę. Harmonia tego tworu jest porównywana do harmonii
układu monad, konstruowanych przez Leibniza. Model ten pasuje do
organizmów żywych, gdyż każda część organizmu żywego zawiera tę samą
informację podstawową, co całość. Każda komórka zawiera informację o
całości tego organizmu żyjącego /A. Gutberlet L.C., Vida personal y vida
biológica: continuidad o separación, „Alpha Omega‖, VI, n. 1 (2003) 105-132,
s. 116.
+ Cantor G. wspomaga walkę o zwycięstwo nad śmiercią. „Pokrowski, znany
historyk partyjny, reasumując przebieg polemiki toczonej w latach 19221923 w czasopiśmie „Pod Znamieniem Marksizma‖, stwierdzał w artykule
15
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Historia religii na jałowym biegu: «U podłoża psychologii religijnej leży strach
przed śmiercią. […] Dopóki realnie nie pokonaliśmy śmierci, dopóty kościana
ręka umarlaka będzie leżała nam na ramieniu» Sekundował mu inny znany
historyk-marksista, w Rządzie Tymczasowym wiceminister poczt i telegrafów,
do 1922 członek KC partii mienszewików, następnie profesor uniwersytetów
w Piotrogrodzie i w Moskwie, Nikołaj Rożkow‖ /A. Pomorski, Duchowy
proletariusz. Przyczynek do dziejów lamarkizmu społecznego i rosyjskiego
komunizmu XIX-XX wieku (na marginesie antyutopii Andrieja Płatonowa),
Wydawnictwo Naukowe i Literackie, Warszawa 1996, s. 151/: «w odległej
przyszłości przed ludzkością otwiera się możliwość omnipotencji w pełnym
sensie słowa, aż po komunikację z innymi światami, nieśmiertelność,
wskrzeszenie tych, którzy żyli dawniej, a nawet stworzenie nowych planet i
układów planetarnych» (N. Rożkow, Smysł i krasota żyzni, PiotrogródMoskwa 1923, s. 19; cyt. za: S. Siemionowa, Aktiwno-ewolucyonnaja mysl
Wiernadskiego, w: „Promietiej‖, t. 15, s. 248). Rożkow wart jest uwagi z
dwóch jeszcze względów. Po pierwsze, z racji podobieństwa jego kariery
politycznej do kariery Bogdanowa […] Po drugie, z powodu opinii, jaką cieszył
się w tajnej policji bezpośrednio przed konfliktem z Leninem. […] Inny jeszcze
ówczesny autor, Walerian Murawjow, filozof i ekonomista, biorąc za punkt
wyjścia nowe osiągnięcia w biologii, medycynie, a także w fizyce i w
matematyce (teoria względności, teoria mnogości [z odwołaniem do prac
Georga Cantora, Russella i Whiteheada i innych[), w swojej książce
Panowanie nad czasem jako podstawowe zadanie organizacji pracy, Moskwa
1924 […] stara się uzasadnić ideę zwycięstwa nad śmiercią i przywrócenia do
życia poległych‖ (S. Siemionowa, Aktiwno, s. 248)‖ /Tamże, s. 152.
+ Cantor G. zależny od Arystotelesa. Nieskończoność. „Jedną z największych
zasług Arystotelesa dla filozofii matematyki było jasne sformułowanie
problemu nieskończoności. On to pierwszy odróżnił dwa rodzaje
nieskończoności w matematyce (Odróżnienie to wiąże się z ogólnym
rozróżnieniem pomiędzy bytem potencjalnym a bytem aktualnym, które pełni
istotną rolę w filozofii Arystotelesa): nieskończoność potencjalną (czyli
możliwość nieograniczonego przedłużania pewnego ciągu czy procesu) i
nieskończoność aktualną (czyli aktualnie istniejący obiekt nieskończony).
Dopuszczał przy tym istnienie tylko tej pierwszej twierdząc, że
nieskończoność aktualna jest w matematyce zbędna. Dopuszczał więc
możliwość nieograniczonego przedłużania ad infinitum dowolnego ciągu (na
przykład ciągu liczb naturalnych l, 2, 3,..., czy kolejnych podziałów danego
odcinka), nie dopuszczał jednak istnienia takiego ciągu w formie zakończonej
całości, którą można by traktować jako odrębny przedmiot (a więc nie
przyjmował na przykład istnienia tego, co nazwalibyśmy dzisiaj zbiorem liczb
naturalnych N). /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 28/. Możliwość
wykonywania bez ograniczeń coraz to nowych, następnych kroków nie
gwarantuje i nie pociąga za sobą tego, że istnieje krok „ostatni‖. To ujęcie
problemu nieskończoności (tzn. wyróżnienie nieskończoności aktualnej i
potencjalnej) okazało się bardzo wygodne i funkcjonuje do dzisiaj (por. w
szczególności rozważania Georga Cantora którego teoria zbiorów
nieskończonych stanowi chyba najcenniejszy wkład do matematycznej teorii
nieskończoności‖ /Tamże, s. 29.
16
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
+ Cantor G. Zbiór zdefiniowany nieprecyzyjnie. „Właśnie posługiwanie się
intuicyjnym i nieprecyzyjnym pojęciem zbioru doprowadziło wkrótce do
wykrycia antynomii w systemie Cantora, tzn. do wykrycia par zdań. z
których każde w równym stopniu zasługuje na przyjęcie, lecz które
jednocześnie są między sobą sprzeczne i dlatego nie można przyjąć ich obu.
Do najważniejszych z nich należą: antynomia największej liczby porządkowej,
pochodząca od C. Burali-Fortiego, Cantora antynomia zbioru wszystkich
zbiorów oraz Russella antynomia klas niezwrotnych. Antynomie te zachwiały
podstawami systemu Cantora. Okazało się bowiem, że pojęcie zbioru wymaga
sprecyzowania i że nie wystarcza opieranie się tylko na intuicji. Zaczęto więc
szukać takiego ujęcia teorii mnogości, które byłoby wolne od antynomii.
Znalezione rozwiązania można podzielić na dwie grupy: ujęcia aksjomatyczne
i ujęcia w ramach teorii typów logicznych. W roku 1908 Ernst Zermelo (18711953) podał pierwszą aksjomatykę teorii mnogości /W literaturze znaleźć
można też tezę, że główną motywacją poszukiwania adekwatnego układu
aksjomatów dla teorii mnogości przez E. Zermela były nie paradoksy i
dążenie do ich eliminacji, ale próba wyjaśnienia kontrowersji, jakie pojawiły
się w związku z jego dowodem twierdzenia o dobrym uporządkowaniu (1904).
Tezę taką głosi na przykład G. H.Moore w pracy The Origins of Zermelo’s
Axiomatizution of Set Henry/. Wyeliminował on antynomie za pomocą tzw.
ograniczenia rozmiaru zbiorów (ang. limitation of size)‖ /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 171.
+ Cantor G. zbudował raj matematyki, z którego nikt nie powinien móc nas
wypędzić, Hilbert D. Przedmiot matematyki stanowią symbole konkretne,
których struktura jest bezpośrednio jasna i rozpoznawalna /D. Hilbert, Über
das Unendliche, „Matematische Annalen‖ 95 (1926) 161-190, s. 170-171/.
Takimi konkretnymi obiektami stanowiącymi punkt wyjścia są liczby
naturalne rozumiane jako liczebniki, a więc pewne układy znaków: l,
1,111,1111,... Są one nam dane bezpośrednio i jasno, są rozpoznawalne.
Gdyby więc matematyka mówiła tylko o nich, byłaby nauką pewną i
niesprzeczną, ponieważ fakty nie mogą sobie przeczyć. Matematyka jednak
mówi także o nieskończoności, co więcej: ta część matematyki jest ważna i
istotna, gdyż „nieskończoność zajmuje w naszym myśleniu w pełni
uprawnione miejsce i odgrywa rolę niezbędnego pojęcia‖ /Tamże, s. 165/. Z
drugiej strony, „nieskończoność nie jest realizowana nigdzie w rzeczywistości.
Nie istnieje ona w naturze, nie stanowi też prawomocnej bazy naszej myśli
racjonalnej – godnej uwagi harmonii pomiędzy bytem a myślą‖ /Tamże, s.
190/. Dlatego też pojęcie nieskończoności nie jest pojęciem a priori
bezpiecznym, bo może prowadzić do rozmaitych antynomii. W tej sytuacji
możliwe są dwa wyjścia: można odrzucić całą matematykę klasyczną
traktującą o nieskończoności aktualnej i zbudować nową, inną, bezpieczną
matematykę – jak to uczynił Brouwer i intuicjoniści, albo można szukać
uzasadnień i fundamentu dla istniejącej matematyki klasycznej. Hilbert
wybrał tę drugą możliwość. Wynikało to m. in. z faktu, że jako matematyk
bardzo cenił te dziedziny matematyki, w których wychodzi się poza to, co
skończone – sam zresztą twórczo w nich pracował. Stąd też jego słynne
zdanie: „Z raju, który stworzył nam Cantor, nikt nie powinien móc nas
wypędzić‖ /Tamże, s. 170; R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 126.
17
o. prof. Dr hab.
18
Piotr Liszka CMF