Przykłady do wykładu nr 2

Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Przedstawiony materiał stanowi uzupełnienie wykładu 2 lub 3
na Fundamentowaniu GHB001515 (sem.5, Studia Inżynierskie),
zwracając uwagę na mniej typowe przypadki, niż te analizowane na ćwiczeniach projektowych.
Szczegóły wymiarowania – zgodnie z równoległym wykładem z Konstrukcji Betonowych.
2.3. WYMIAROWANIE sztywnych ław i stóp fundamentowych
Podstawowe zasady
1. Odpór podłoża przyjmuje się jako liniowy (dla ławy – trapez lub trójkąt, dla stopy –
graniastosłup prostokątny o podstawie B x L ścięty płaszczyzną lub ostrosłup). Projektowanie
na stałą wartość qmax, która występuje tylko pod jednym z naroży fundamentu, jest zazwyczaj
nieekonomiczne, jedynie w przypadku występowania wielu zróżnicowanych schematów
obciążeń lub małych nierównomierności odporu podłoża, to uproszczenie może być zasadne.
2. Do wymiarowania wykorzystuje się najniekorzystniejsze kombinacje obciążeń (łącznie z
obciążeniami zmiennymi oraz wyjątkowymi), obowiązują wartości obliczeniowe sił,
czyli Gd + Qd + Ad .
3. Można przyjąć, że ciężar własny fundamentu wylanego na/w gruncie nie powoduje
zwiększenia wytężenia (w odróżnieniu np. od stropu, który jest zginany zaraz po
rozszalowaniu). Należy zatem uwzględnić fakt, że zasypka odsadzek fundamentu i jego
ciężar własny są korzystne i redukują odpory gruntu brane do wymiarowania. (Naprężenia
własne spowodowane skurczem betonu są całkowicie odrębnym problemem.)
4. Stopień zbrojenia z reguły dosyć sztywnych (krępych) ław i stóp jest niewielki, zazwyczaj
rzędu 0,2-0,5%. Otrzymanie wartości ρ mniejszych od ρmin = 0,13% jest sygnałem do zmiany
parametrów fundamentu lub zaprojektowania fundamentu betonowego niezbrojonego.
5. Ławy i stopy fundamentowe są z reguły stosunkowo wysokie (krępe) w porównaniu np. do
elementów konstrukcji wyższych kondygnacji, jak podciągi itp. Strefa ściskana w betonie
zbrojonym ma bardzo mały zasięg ξeff << ξeff,lim . Generalnie, przekrój jest pojedynczo
zbrojony.
6. Jeśli uprościć (z dużym zapasem bezpieczeństwa), że ξeff = 0,2, to ramię sił w zbrojeniu,
liczone względem środka strefy ściskanej w betonie wynosi z = 0,9⋅ho i stąd można przyjmować po prostu Fa = M/(fyd⋅0,90⋅ho).
Przedstawione dalej przykłady wykazują, że założenie ξeff = 0,1 (czyli z = 0,95⋅ho) jest
bardziej zasadne, a zatem Fa = M/(fyd⋅0,95⋅ho).
7. W sztywnych ławach i stopach najlepiej współpracują z betonem pręty o średnicach od
12mm do 20mm, co 10-30cm; należy pamiętać, że w odległości ok. 7-8 średnic pręta
wzmocnienie betonu przez pręt zbrojeniowy jest już niezauważalne.
8. Zbrojeniem głównym ławy pod sztywną ścianą nośną są pręty poprzeczne, spięte podłużnymi
prętami rozdzielczymi oraz konstrukcyjny „ukryty wieniec” podłużny wraz ze strzemionami
konstrukcyjnymi. Podłużne pręty rozdzielcze spinają pręty poprzeczne, przez co przenoszenie
ewentualnych lokalnych przeciążeń następuje na kilka sąsiednich prętów poprzecznych i zapewniona jest ich współpraca. Pręty podłużne przenoszą też naprężenia od skurczu betonu.
1
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
9. W uzasadnionych przypadkach można różnicować ilość zbrojenia (długość prętów) wzdłuż
danego boku fundamentu, jeśli wytężenie z jednej strony ściany lub słupa jest we wszystkich
schematach obciążeń większe niż z drugiej strony.
Zbrojenie stopy w kierunku podłużnym jest z reguły dużo większe niż w kierunku
poprzecznym.
10. Powyższe zasady nie dotyczą ław szeregowych, rusztów i płyt fundamentowych, gdzie
zbrojenia głównego jest zazwyczaj wielokrotnie więcej (większe rozpiętości, obciążenie
skupione na wierzchu fundamentu, siły poprzeczne, złożone układy obciążeń).
Zakres obliczeń
1. Obliczenia w zakresie SGN/ULS obejmują zginanie (lub czyste rozciąganie dla fundamentów
„wysokich”), ścinanie (tylko dla smukłych elementów) i przebicie.
2. Obliczenia w zakresie SGU/SLS obejmują ugięcia i odkształcenia, a także sprawdzenie ew.
zarysowania - w zależności od liczby prętów, ich średnicy i agresywności środowiska;
w typowych sytuacjach regulowanych normą można odstąpić od sprawdzania tych
warunków. Negatywne skutki pojawienia się rys na fundamencie można w dużym stopniu
ograniczyć za pomocą powierzchniowych środków uszczelniających i hydrofobowych.
3. W betonowych stopach fundamentowych, które mają dosyć zwarty kształt, zjawisko skurczu
betonu nie prowadzi zazwyczaj do groźnych konsekwencji, ponieważ:
a) skurcz przy wiązaniu betonu stopy nie jest bardzo utrudniony (skrępowany), a zatem nie
prowadzi do zarysowań,
b) łatwo jest pielęgnować fundament polewając go wodą, a beton podkładowy,
podścielająca izolacja, szalunki i masywny kształt ograniczają straty wody przez
powierzchnię fundamentu,
c) fundament w gruncie nie jest narażony na znaczące wahania temperatury, czy wilgotności.
2
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Przykład 1: wymiarowanie na zginanie poprzeczne żelbetowej ławy „niskiej”.
0,6
25kPa
0,4
0,8
25kPa
0,4
Szerokość ławy B = 1,8m
Wysokość ławy h = 0,40m
Minimalna otulina c = 0,05m
(w świetle, bez grubości prętów φ i ew. strzemion φs)
Efektywna wysokość ho = h-c-φ/2-φs = 0,40-0,05-∼0,01
ho ≅ 0,34m
Grubość ściany t = 0,4m
Odsadzka z lewej strony s1 = 0,6m
Odsadzka z prawej strony s2 = 0,8m.
Sumaryczny odpór obliczeniowy podłoża:
qmax = 360kPa z lewej strony,
360kPa
q1
qmin = 270kPa z prawej strony.
Obciążenie obliczeniowe zasypką qo = 25kPa
q2
(łącznie z ciężarem własnym fundamentu).
Przyjęty model obliczeniowy – zginanie wspornika utwierdzonego w ścianie.
270kPa
Komentarze:
1. Model zginanego wspornika jest odpowiedni dla „niskich” przekrojów,
orientacyjnie ho < ½÷1⋅si. Jeśli przekrój nie jest „niski”, schemat wspornikowy zaniża siły
rozciągające w stali zbrojeniowej. Właściwszy jest wówczas model kratownicy Lebelle’a, jak w
następnym przykładzie.
2. Eurokod zaleca, jaką należy przyjąć długość wspornika obliczeniowego. Mogłoby się wydawać,
że „naturalne” jest przyjęcie odsadzki s1 (i odpowiednio s2). Z drugiej jednak strony,
maksymalny moment zginający ławę w przekroju poprzecznym wypada tam, gdzie siła
poprzeczna Q = 0, ponieważ Q = dM/dx = 0; w przypadku symetrycznym (s1 = s2, q1 = q2) byłby to
środek ściany fundamentowej, czyli wspornik o długości B/2 > s1 = s2 .
Eurokod zaleca brać długość wspornika s + 0,15·t, por. linie przerywane na rys. powyżej.
Reakcje podłoża w licach przekrojów obliczeniowych (s+0,15·t):
q1 = 270 + (360-270)⋅(0,8+0,4-0,4·0,15)/1,8 = 327 kPa
q2 = 270 + (360-270)⋅(0,8+0,4·0,15)/1,8 = 313 kPa
Moment w miejscu utwierdzenia lewej odsadzki o obliczeniowej długości 0,66m > 0,6m:
M1 = 327⋅0,66⋅½⋅0,66 + (360-327)⋅0,66⋅½⋅0,66⋅2/3 – 25⋅0,66⋅½⋅0,66 = 70,6 kNm/m
Moment w miejscu utwierdzenia prawej odsadzki o obliczeniowej długości 0,86m > 0,8m:
M2 = 270⋅0,86⋅½⋅0,86 + (313-270)⋅0,86⋅½⋅0,86⋅1/3 – 25⋅0,86⋅½⋅0,86 = 95,9 kNm/m
Większe zginanie jest na odsadzce mniej obciążonej, ale dłuższej. Przyjęto M = 95,9 kNm/m.
Beton C20/25 (dawne B25): fcd = 14,3 MPa, fctd = 1,1 MPa
Stal klasy A-II, gatunek 18G2-b: fyd = 310 MPa.
I sposób - równanie momentów:
(ξeff)2 – 2⋅ξeff + 2⋅0,0959/(14,3⋅1⋅0,342) = 0 daje ξeff = 1,94, ξeff =0,060 , czyli xeff = 0,0204 m.
Równanie sił daje zatem Fa = 14,3⋅1⋅0,0204/310 = 9,4 cm2/mb.
II sposób – wzór uproszczony (niezależny od klasy betonu):
Fa = 0,0959/(310⋅0,95⋅0,34) = 9,6 cm2/mb.
(5φ16 = 10,05cm2/m, pręty co 20cm, ρ = 0,25%).
3
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Uwagi:
1. Różnicowanie zbrojenia z lewej i z prawej strony jest niecelowe: wartości 95,9kNm/m oraz
70,6kNm/m są podobne (i obie małe). Teoretycznie jeden pręt na każdym metrze na lewej
części mógłby zostać „wycięty”, ale nie da to żadnej realnej oszczędności stali, a lokalna
odległość pomiędzy prętami wzrosłaby w tym miejscu aż do 40cm (niedopuszczalne!).
2. Obciążenie 25kPa na odsadzkach można było od razu odjąć od odporu gruntu (360-25=335,
270-25=245), ponieważ różnica dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Oznacza to
pominięcie ciężaru własnego i ciężaru gruntu na odsadzkach. Jeśli qmin jest bardzo małe
(zwłaszcza zerowe na pewnym odcinku w możliwej strefie odrywania), to takie uproszczenie
jest niedozwolone i obowiązuje zastosowana w przykładzie zasada ogólna. Dlaczego?
3. Prosty model wspornikowy dotyczy zginania smukłych elementów, a więc jest on
nieodpowiedni dla „wysokich” przekrojów (orientacyjnie np. ho > ½÷1si), a otrzymane w ten
sposób Fa byłoby za małe. Właściwszy jest wówczas model w postaci kratownicy Lebelle’a.
Przykład 2: wymiarowanie (na poprzeczne rozciąganie) żelbetowej ławy „wysokiej”.
0,5
0,4
0,5
15kPa
15kPa
0,55
300kPa
Szerokość B = 1,4m
Wysokość h = 0,55m
Minimalna otulina c = 0,05m
(w świetle, bez grubości prętów φ i strzemion φs)
Efektywna wysokość ho = h-c-φ/2-φs ≅ 0,48m
Grubość ściany t = 0,4m
Odsadzka z lewej strony s1 = 0,5m < h
Odsadzka z prawej strony s2 = 0,5m < h.
Sumaryczny odpór obliczeniowy podłoża:
q = 300kPa.
Obciążenie obliczeniowe zasypką qo = 15kPa
(łącznie z ciężarem własnym fundamentu).
Wszystkie obliczenia wykonuje się na 1 mb.
Przyjęty model obliczeniowy – kratownica Lebelle’a.
P/n
αi
Ni
Pi
ho
Wypadkowe obciążenie P = B⋅q = 1,4⋅(300-15) = 385 kN/m przekazuje
się na poziom posadowienia poprzez n wirtualnych pasm ściskanych
(n = 7 „prętów” na rys. powyżej). Jeśli dolne końce prętów są równomiernie rozłożone w podstawie fundamentu, a odpór podłoża jest równomierny, to każdy z prętów przenosi tę samą siłę pionową Pi = P/n.
Ponieważ w pręcie siła jest osiowa, więc każdy z prętów przenosi na
zbrojenie składową poziomą Ni = tgαi ⋅Pi ,
gdzie αi są kątami liczonymi do pionu.
Zakłada się, że beton nie przenosi rozciągania, więc dolne końce prętów należy „spiąć” poziomym
zbrojeniem.
Stąd maksymalna siła rozciągająca Nmax od łącznego działania wszystkich prętów wynosi
Nmax = Σ Ni = P/n⋅Σ tgαi ,
gdzie sumowanie prowadzi się z jednej strony do środka (rozciągania).
Zwykle wystarczającą dokładność zapewnia n = 7 lub n = 9.
4
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
W tym przykładzie na każdy pręt przypada odcinek B/n = 1,4/7 = 0,2m. Kolejno:
tgα1 = (0,7-0,1)/0,48 = 1,25
tgα2 = (0,7-0,3)/0,48 = 0,83
tgα3 = (0,7-0,5)/0,48 = 0,42
tgα4 = (0,7-0,7)/0,48 = 0 (środek fundamentu).
Nmax = (385/7)⋅(1,25 + 0,83 + 0,42 + 0) = 137,5 kN/m.
Ze wzoru na jednoosiowe rozciąganie Fa = Nmax/fyd = 0,1375/310 = 4,4 cm2/m.
(Fa,min = 0,13%·0,48·1,0 = 6,2 cm2/m; 6φ12 = 6,8 cm2/m, pręty poprzeczne co 16cm).
Uwagi:
1. W tym modelu wytrzymałość betonu nie jest potrzebna.
2. Obciążenie 15kPa na odsadzkach odjęto od odporu gruntu, ponieważ różnica dwóch funkcji
stałych jest funkcją stałą. Oznacza to de facto pominięcie ciężaru własnego i ciężaru gruntu
na odsadzkach, bo faktycznie sama ława po wylaniu na gruncie nie jest zginana przez swój
ciężar własny.
3. Model kratownicy Lebelle’a jest nieodpowiedni dla „niskich” przekrojów, orientacyjnie np.
ho < ½÷1⋅si, a otrzymane w ten sposób Fa byłoby za duże (duże są skrajne kąty αi).
Właściwszy jest wówczas model wspornika.
4. Analogicznie oblicza się siłę N w dowolnym przekroju (nie w środku) sumując siły na lewo
od niego i na tej podstawie można ew. różnicować zbrojenie, które musi być największe w
środku (rozciągania).
Przykład 3: wymiarowanie na przebicie ławy żelbetowej.
Szerokość B = 1,8m
0,6
0,4
0,8
Wysokość h = 0,40m
Minimalna otulina c = 0,05m
0,34
0,34
(w świetle, bez grubości prętów φ i strzemion φs)
Efektywna wysokość ho = h-c-φ/2-φs ≅ 0,34m
25kPa
25kPa
Grubość ściany t = 0,4m
Odsadzka
z lewej strony s1 = 0,6m
0,4
45o
Odsadzka z prawej strony s2 = 0,8m .
A
B
270kPa
360kPa
q4
q3
Sumaryczny odpór obliczeniowy podłoża:
qmax = 360kPa z lewej strony,
qmin = 270kPa z prawej strony.
Obciążenie obliczeniowe zasypką qo = 25kPa
(łącznie z ciężarem własnym fundamentu).
Uproszczony model obliczeniowy:
sprawdzenie potencjalnego przebicia betonu w ławie żelbetowej
- pod kątem 45o do osi zbrojenia.
Komentarz:
Eurokod zaleca sprawdzenie w innym przekroju, gdzie kąt wynosi nie 45o (tg45o=1), ale 26,5o
(tg26,5o=1/2); jednak kąt 45o jest przypadkiem bardziej niebezpiecznym i łatwym do elementarnego
sprawdzenia, a zatem wykazanie braku przebicia tą metoda jest wystarczające (fundament i tak nie
będzie niższy, klasa betonu też jest niska). Niespełnienie warunku obliczeniowego dla kąta 45o
niekoniecznie oznacza, że jest źle, bo po prostu metoda obliczeniowa jest „zbyt gruba” – wtedy
należy ponowić obliczenia za pomocą metody z Eurokodu (lub od razu tylko ją stosować).
5
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Reakcje podłoża w przekrojach obliczeniowych (kąt 45o, w poziomie zbrojenia):
q3 = 270 + (360-270)⋅(0,8+0,4+0,34)/1,8 = 347 kPa
q4 = 270 + (360-270)⋅(0,8-0,34)/1,8 = 293 kPa
Siła przebijająca ze strony lewej odsadzki (trapez qmax…q3):
P1 = ½⋅(360-25,0+347-25,0)⋅(0,6-0,34) = 85,4 kN/m
Siła przebijająca ze strony prawej odsadzki (trapez qmin…q4):
P2 = ½⋅(270-25,0+293-25,0)⋅(0,8-0,34) = 118,0 kN/m.
Większa siła przebijające występuje po stronie mniejszych reakcji podłoża.
Przyjęto Pp = 118,0 kN/m.
Beton C20/25 (dawny B25): fctd = 1,1 MPa
Wytrzymałość na przebicie z jednej strony wynosi
Po = fctd ⋅1⋅ho = 1100⋅1⋅0,34 = 374 kN/m >> 118 kN/m = Pp.
Przebicie nie wystąpi.
Uwagi:
1. Dużą zaletą przedstawionej wyżej metody jest jej prostota, przejrzystość i dobry cel
dydaktyczny (czego nie można powiedzieć o metodzie z Eurokodu).
2. Przebicie trzeba było sprawdzić osobno z obu stron, bo nie widać od razu, która strona jest
bardziej wytężona (tutaj okazała się nią dłuższa odsadzka, P2 > P1).
3. Sprawdzanie obu stron łącznie na tzw. obwodzie kontrolnym up jest na ogół niebezpiecznym
uproszczeniem (Eurokod tego nie uwzględnia!).
Gdyby np. wytrzymałość jednej strony na przebicie wynosiła
Po = 110,0 kN/m, to z obu stron łącznie byłoby 2Po = 220,0 > 203,4 = 85,4 + 118,0.
Nie wyklucza to jednak możliwości lokalnego przebicia (jakby „oderwania odsadzki”)
z prawej strony, ponieważ 110,0 < 118,0.
W wydłużonych stopach fundamentowych o dużej nierównomierności odporu podłoża q,
to niebezpieczeństwo niedoszacowania zagrożenia lokalnym przebiciem jest na ogół dużo
większe, niż w ławach (por. Przykład 7).
4. W tym przykładzie można też było od razu pominąć obciążenie 25 kPa, tj. pominąć ciężar
własny ławy (równomierny) i ciężar zasypki/posadzki (bliski równomiernego).
5. Należy mocno podkreślić, że w przypadku fundamentów siła przebijająca jest stosunkowo
mała, ponieważ nie stanowią jej odpory gruntu bezpośrednio pod ścianą/słupem wraz z
dużym obszarem poszerzonym pod kątem 45o, tj. P1 + P2 < P = B⋅(qmax+qmin)/2 kN/m.
Tym bardziej jest tak dla kąta 26,5o.
Gdyby ten sam fundament oprzeć na krawędziach A, B, to z jednej strony siła przebijająca
wynosiłaby co najmniej P/2 = 283,5 >> Pp = 118,0. Tego rodzaju bardziej niekorzystny
przypadek ma miejsce w przypadku płyt stropowych.
6
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Przykład 4: wymiarowanie ławy żelbetowej na ścinanie.
Ławy wykonane pod ciągłą ścianą (tarczą) praktycznie nie są ścinane w kierunku podłużnym,
ponieważ obciążenia są ciągłe na górnej powierzchni ławy i na jej dolnej powierzchni (reakcja
podłoża). Najczęściej są to obciążenia nawet niemal stałe wzdłuż ławy.
Jeśli daje się w nich strzemiona, to w minimalnej ilości i raczej dla poprawy pracy/sztywności
„wieńca” podłużnego i skompensowania lokalnych niejednorodności gruntów wzdłuż ławy, niż z
uwagi na ścinanie.
Ławy szeregowe, tj. obciążone rzędem słupów, przypominają odwrócony strop i tak samo analizuje
się w nich ścinanie, które jest istotne.
II
I
II
Na tzw. odcinkach I rodzaju, tak jak w środkowej sekcji w smukłej belce, górne pasmo ściskane
podkształca się inaczej niż dolne pasmo rozciągane, a zatem występują między nimi ścinanie. Może
to przejawiać się w przybliżeniu poziomymi zarysowaniami w środkowej części belki, ponieważ w
pobliżu osi obojętnej występują maksymalne wartości naprężeń ścinających. Zapobiega się temu
„kotwiąc” ze sobą oba pasma za pomocą strzemion prostopadłych do pasm,
zazwyczaj co najmniej φ6-φ8 co 30-40cm.
Przy słupach, tak jak w strefie przyściennej w stropach, występuje tendencja do ukośnego rysowania
się przekroju (ukośny kierunek głównego rozciągania) i zazwyczaj wymaganie jest dodatkowe
zbrojenie na tzw. odcinkach II rodzaju.
Jedynie przy bardzo dużych obciążeniach skupionych i niskich fundamentach stosuje się pręty
odgięte, prostsze od strony wykonawczej jest zagęszczenie strzemion; sporadycznie stosuje się
równocześnie oba rozwiązania.
Szczegóły – por. Projektowanie konstrukcji żelbetowych.
Przykład 5: wymiarowanie (na rozciąganie) żelbetowej stopy „wysokiej”.
Wymiarowanie następuje metodą Lebelle’a, odpowiednio w dwóch kierunkach B oraz L (łatwo
uogólnia się Przykład 2). Jednak w praktyce stopy żelbetowe z reguły nie są ”wysokie”.
7
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Przykład 6: wymiarowanie (na zginanie) żelbetowej stopy „niskiej”.
I sposób: metodą wydzielonych wsporników trapezowych –
- por. np. skrypt pod red.Cz.Rybaka lub inne starsze podręczniki.
bL
ho
sL
bB
B
Fa
L
II sposób: metodą wydzielonych wsporników prostokątnych –
- por. np. książkę W.Starosolskiego „Konstrukcje żelbetowe”.
bL
ho
sL
bB
B
Fa
L
0,15bL
W metodzie wydzielonych wsporników prostokątnych zakłada się, że wspornik ma długość nie
1 mb (jak w ławie), ale odpowiednio B lub L, odpowiednio do rozpatrywanego kierunku.
Jeśli wymiary słupa wynoszą bB x bL to:
- przy wyznaczaniu zbrojenia podłużnego, obliczeniowy wspornik jest prostokątem
(sL + 0,15⋅bL) x B, gdzie sL jest odsadzką z rozpatrywanej strony słupa,
- przy wyznaczaniu zbrojenia poprzecznego, obliczeniowy wspornik jest prostokątem
(sB + 0,15⋅bB) x L, gdzie sB jest odsadzką z rozpatrywanej strony słupa.
Obliczeniowy wspornik jest:
- obciążony od spodu pionowym odporem gruntu, na ogół nierównomiernym,
- obciążony od góry zasypką i ciężarem własnym fundamentu (redukcja momentu zginającego),
- utwierdzony w słupie na odcinku bB oraz odpowiednio bL.
Na tej podstawie określa się momenty zginające, po kolei na każdej z 4 stron utwierdzenia w słupie.
Jedną z takich sytuacji przedstawia rys. dla kierunku podłużnego.
Jako efektywny przekrój zginany (pojedynczo zbrojony) przyjmuje się w obu metodach „belkę” o
wymiarach tylko bB x ho (oraz odpowiednio bL x ho) „wtopioną” w stopę, jak na rysunku.
8
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Niewątpliwie, strefa ściskana sięga w rzeczywistości trochę poza wymiar słupa, czyli występuje
zapas bezpieczeństwa. Wskazuje to, że nie tylko uproszczenie ξeff = 0,2 (z = 0,90⋅ho), ale założenie
ξeff = 0,1 (z = 0,95⋅ho) też jest zasadne, a zatem w uproszczeniu Fa = M/(fyd⋅0,95⋅ho).
Zbrojenie umieszcza się nie tylko pod słupem na odcinku bB lub bL, ale na całej szerokości B lub
długości L:
1. W metodzie w metodzie wydzielonych wsporników prostokątnych tak obliczone zbrojenie
rozmieszcza się na całej szerokości B, zagęszczając je w paśmie środkowym o szerokości ½B.
Tabela rozmieszczenia zbrojenia Fa w paśmie środkowym (pod słupem) i pasmach skrajnych
w metodzie wydzielonych wsporników prostokątnych.
bB/B = …
Pasmo skrajne o szer. ¼B
Pasmo środkowe o szer. ½B
Pasmo skrajne o szer. ¼B
0,1
0,167 Fa
0,666 Fa
0,167 Fa
0,2
0,187 Fa
0,626 Fa
0,187 Fa
0,3
0,200 Fa
0,600 Fa
0,200 Fa
2. Moment zginający w miejscu utwierdzenia wspornika trapezowego jest oczywiście mniejszy od
momentu utwierdzenia wspornika prostokątnego (mniejsza długość wspornika, trapez zawiera się
w prostokącie), ale ostatecznie przyjmowana ilość zbrojenia jest podobna. Dzieje się tak dlatego,
że całe obliczone zbrojenie w metodzie wydzielonych wsporników trapezowych rozmieszcza się
w paśmie o szerokości 2/3⋅B lub odpowiednio 2/3⋅L, a resztę dozbraja się konstrukcyjne (50%
zbrojenia obliczonego, co najmniej Fa.min).
Przy mimośrodowym położeniu fundamentu względem słupa, pasmo środkowe sytuuje się
symetrycznie względem osi słupa, a pasma skrajne mają zróżnicowane szerokości lub jednego z nich
może nie być.
Analogicznie postępuje się z drugiej strony słupa, a następnie w kierunku poprzecznym.
Komentarz:
Oczywiste jest, że górne obszary narożne zaznaczone przerywanymi kółkami na powyższym
rysunku są bardzo mało wytężone i mogą być usunięte. Prowadzi to do przekroju teowego (stopa
„schodkowa”) albo części prostopadłościennej i ukształtowanego na niej ostrosłupa ściętego (stopa
„pryzmatyczna”). Praktyka pokazuje jednak, że wykonawcy preferują prosty prostopadłościenny
kształt stóp fundamentowych: wzrost kosztu betonu jest niewielki i oszczędności na prostym
szalowaniu przeważają.
• Obliczenia dla kierunku podłużnego (L):
bB = 0,5m
bL = 0,8m
0,15⋅bL = 0,12m
Z prawej: sL = 1,9m, z lewej: sL = 0,9m .
Bryła naprężeń pod stopą BxLxh = 2,2m x 3,6m x 0,75m (hoL = 0,69m) w kładach na płaszczyznę
poziomą wygląda następująco (tylko jeden schemat obciążeń):
9
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
300kPa
60kPa
qb = 80kPa
qa = 330kPa
100kPa
360kPa
qc
qd
Wyinterpolowane odpory podłoża (z pominięciem ciężaru własnego stopy):
qa = (360+300)/2 = 330 kPa
qb = (100+60)/2 = 80 kPa
qc = 330 - (330-80)⋅(1,9+0,12)/3,6 = 190 kPa
qd = 330 - (330-80)⋅(1,9+0,8-0,12)/3,6 = 151 kPa
Uwaga:
do wyznaczenia momentu zginającego dłuższy wspornik w obliczeniowym miejscu utwierdzenia
wystarczy znać wartości reakcji qa oraz qc (różnice pomiędzy wartościami odporu podłoża wzdłuż
szerokości B są nieistotne, np. to samo wyjdzie dla 350kPa i 310kPa, zamiast 360kPa i 300kPa);
oznacza to, że obliczenie momentu przebiega tak samo jak w „płaskim” przypadku dla ławy, tj. w
oparciu o rozkład trapezowy qc … qa.
Odsadzka podłużna z prawej strony
Moment zginający (utwierdzenie prostokąta w słupie):
M = 190⋅(1,9+0,12)⋅½⋅(1,9+0,12)⋅2,2 + (330-190) ⋅(1,9+0,12)⋅½⋅(1,9+0,12)⋅2/3⋅2,2
M = 853 + 419 = 1.272 kNm.
Stal klasy A-III 34GS, klasa betonu C20/25.
Wymiarowanie metodą „dokładną”:
(ξeff)2 – 2⋅ξeff + 2⋅1,272/(14,3⋅2,2⋅0,692) = 0 daje ξeff = 1,91, ξeff =0,089 , czyli xeff = 0,061 m.
Równanie sił daje zatem Fa = 14,3⋅2,2⋅0,061/350 = 54,8 cm2.
Wymiarowanie metodą uproszczoną (klasa betonu nie jest potrzebna):
Fa = 1,272/(350⋅0,95⋅0,69) = 55,4 cm2.
Przyjęto 15φ22 = 57,0 cm2, średnio ρ = 0,38% > 0,13%).
bB/B = 0,5/2,2 = 0,23 ≅ 0,2
Pasmo skrajne o szer. ¼B = 55cm
Pasmo środkowe o szer. ½B = 110cm
Pasmo skrajne o szer. ¼B = 55cm
w pasmach podłużnych:
0,187 Fa = 10,2cm2 (3φ22 = 11,4cm2, ρ ≅ 0,30%)
0,626 Fa = 34,3cm2 (9φ22 = 34,2cm2 , ρ ≅ 0,45%)
0,187 Fa = 10,2cm2 (3φ22 = 11,4cm2, ρ ≅ 0,30%)
Pręty rozmieścić odpowiednio co 12cm oraz co 18cm.
10
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Odsadzka podłużna z lewej strony
Moment zginający (utwierdzenie w słupie):
M = 80⋅(0,9+0,12)⋅½⋅(0,9+0,12)⋅2,2 + (151-80)⋅(0,9+0,12)⋅½⋅(0,9+0,12)⋅1/3⋅2,2
M = 92 + 27 = 119 kNm.
Wymiarowanie metodą uproszczoną:
Fa = 0,119/(350⋅0,95⋅0,69) = 5,2 cm2 (2φ22 = 7,6cm2, średnio ρ = 0,05% << 0,13%).
Ze względu na bardzo małą ilość zbrojenia na tej krótkiej odsadzce przyjęto:
- zbrojenie minimalne z prętów φ22 na poziomie co najmniej ρ = 0,13%,
- pręty nie rzadziej niż co 30cm.
Orientacyjnie:
co drugi z prętów z lewej odsadzki można skrócić, ale tylko w strefie przysłupowej.
• Obliczenia dla kierunku poprzecznego (B):
bB = 0,5m
bL = 0,8m
0,15⋅bB = 0,075m
Z prawej strony: sB = 0,85, z lewej strony: sB = 0,85m .
Bryła naprężeń pod stopą BxLxh = 2,2m x 3,6m x 0,75m (hoB = 0,67m) w kładach na płaszczyznę
poziomą wygląda następująco (tylko jeden schemat obciążeń):
300kPa
360kPa
qa = 230kPa
qb = 180kPa
qc
60kPa
100kPa
Wyinterpolowane odpory podłoża (z pominięciem ciężaru własnego stopy):
qa = (360+100)/2 = 230 kPa
qb = (300+60)/2 = 180 kPa
qc = 230 - (230-180)⋅(0,85+0,075)/2,2 = 209 kPa.
•
Odsadzka poprzeczna z prawej strony (z lewej podobnie, a nawet mniej)
Moment zginający (utwierdzenie w słupie):
M = 209⋅(0,85+0,075)2⋅½⋅3,6 + (230-209)⋅(0,85+0,075)2⋅½⋅2/3⋅3,6
M = 322 + 22 = 344 kNm.
Wymiarowanie metodą uproszczoną (stal klasy A-III):
Fa = 0,344/(350⋅0,95⋅0,67) = 15,4 cm2 (8φ16 = 16,1cm2, średnio ρ = 0,066% << 0,13%).
Przyjęto zbrojenie minimalne 18φ16 = 36,2cm2, ρ = 0,15%.
Pręty rozmieszczone równomiernie w odległościach 20cm. Pełnią one rolę prętów
rozdzielczych dla zbrojenia głównego.
11
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Podsumowanie:
55cm = 3φ22 co 18cm
110cm = 9φ22 co 12cm
55cm = 3φ22 co 18cm
360cm = 18φ16 co 20cm
Pasma podłużne są umieszczone dołem, a pasma poprzeczne - na nich (hoL = 0,69m, hoB = 0,67m).
Skrócenie 4 prętów z lewej strony ma głównie cel poglądowy, a oszczędności na stali nie byłyby
duże. W praktyce, zwłaszcza przy kilku schematach obciążeń i qmax wypadających pod różnymi
narożami, takie różnicowanie długości prętów w prostej stopie fundamentowej nie jest często
spotykane.
Uwaga:
Pominięto zbrojenie żelbetowego słupa (pręty startowe), które przenika stopę i jest oparte na jej
zbrojeniu.
12
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Przykład 7: wymiarowanie na przebicie stopy żelbetowej.
(kąt 45o, pracuje tylko beton nad zbrojeniem).
Jak poprzednio: bB = 0,5m oraz bL = 0,8m.
Z prawej: sL = 1,9m, z lewej: sL= 0,9m.
Bryłę naprężeń pod stopą BxLxh = 2,2m x 3,6m x 0,75m (ho = hoB = 0,67m) pokazują kłady;
jest to inny schemat obciążeń niż w poprzednim przykładzie.
qd
72kPa
306kPa
120kPa
402kPa
qe
Przebicie wystarczy sprawdzić tylko na prawej odsadzce, ponieważ:
- wytrzymałość na zielonym trapezie jest mniejsza niż na żółtym,
- siły przebijające, zebrane z różowego obszaru poza zielonym trapezem, są największe na tej
odsadzce (największa powierzchnia i równocześnie największe odpory podłoża),
- z lewej strony słupa sytuacja jest znacznie korzystniejsza.
Komentarz:
ten rysunek dobrze obrazuje, że przebicie równocześnie z czterech stron słupa (dwa żółte trapezy i
dwa zielone) jest tutaj mało prawdopodobne; żółty trapez daje dużą wytrzymałość na przebicie, a siły
przebijające są tam bardzo małe – zebrane tylko z wąskiego paska pomiędzy podstawą żółtego
trapezu a L-krawędzią stopy.
Metoda obliczeniowa zalecana w Eurokodzie jest prostą adaptacją sprawdzania przebicia rozległej
płyty stropowej przez słup lub przebicia dużej i niskiej stopy kwadratowej o dwóch osiach symetrii,
gdzie sprawdzanie globalne (pełny obwód kontrolny i cztery powierzchnie) daje taki sam wynik, jak
sprawdzanie lokalne – zarówno siły przebijające, jak i wytrzymałość są dokładnie 4 razy mniejsze.
Bardziej złożone przypadki prostokątnych stóp fundamentowych słabo wpisują się w ten schemat.
Siły przebijające na różowym obszarze zbiera się z dwóch figur:
- wąskiego trapezu o podstawach 0,5m+2⋅0,67m=1,84m oraz 2,2m i o wysokości trapezu
0,75-0,67 = 0,08m oraz
- prostokąta (1,9-0,08-0,67)m x 2,2m = 1,15m x 2,20m .
Dla uproszczenia przyjmuje się tutaj, że cały obszar różowy jest prostokątem (1,15+0,08)m x 2,2m =
1,23m x 2,20m.
Z interpolacji:
qd = 306 – (306-72)⋅1,23/3,6 = 226 kPa
qe = 402 – (402-120)⋅1,23/3,6 = 305 kPa.
13
Przykłady do wykładu nr 2, Włodzimierz Brząkała W2 PWr.
Oszacowana z dużym nadmiarem siła przebijająca wynosi: Pp = 2,2⋅1,23⋅402 = 1088 kN.
Oszacowana z małym nadmiarem siła przebijająca wynosi: Pp = 2,2⋅1,23⋅(402+305)/2 = 957 kN.
Oszacowana realistycznie siła przebijająca wynosi: Pp = 2,2⋅1,23⋅(402+226)/2 = 850 kN.
Wytrzymałość przekroju na przebicie wynosi (zielony trapez widziany poziomo):
R = 0,67⋅[0,5+(0,5+2⋅0,67)]/2⋅fctd = 0,784⋅1100 = 862 kN dla betonu klasy C20/25.
Wniosek:
Przebicie stopy nie nastąpi, ponieważ 850 kN < 862 kN.
Nieekonomiczne (zbyt „grube”) oszacowanie q = qmax = 402 kPa pod całym wspornikiem daje
1088 kN > 862 kN, co jest wynikiem mylącym i nie świadczy o przekroczeniu warunku na przebicie.
14