Ćwiczenie 11. Moduł Younga

Ćwiczenie 11. Moduł Younga
Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia
drutu z badanego materiału obciążonego stałą siłą.
Wprowadzenie
Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca
do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Sformułowane jeszcze
w XVII stuleciu prawo Hooke’a∗ mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.
Prawo Hooke’a dotyczy dowolnego kształtu ciała i konfiguracji przyłożonych sił.
Rozpatrzmy najprostszy przypadek rozciągania jednorodnego pręta (wstawka na rysunku 1). Przyrost długości pręta ∆l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F ,
a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S
∆l =
Fl
.
ES
(11.1)
Stała materiałowa E nosi nazwę modułu Younga∗ .
Prawo Hooke’a dla rozciągania (lub ściskania) może być też zapisane w postaci
funkcji
σ = Eε
(11.2)
charakteryzującej stan naprężeń i odkształceń w rozciąganej próbce w sposób niezależny od jej kształtu. Symbol σ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako
stosunek siły do pola przekroju pręta, σ = F/S, natomiast ε oznacza normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej,
ε = ∆l/l. Przymiotnik normalne oznacza, że dla przypadku rozciągania pręta tak siła,
jak i wektor przyrostu długości są prostopadłe do przekroju poprzecznego. Przypadek
naprężeń i odkształceń stycznych omawiany będzie w ćwiczeniu 12.
∗ Robert
Hooke (1635-1703), matematyk, fizyk i biolog, żył w Anglii w czasach Newtona.
Young (1773-1829), uczony angielski, zajmował się m.in. badaniem własności sprężystych ciał stałych. Jego największym dokonaniem w fizyce było zbadanie zjawiska interferencji światła
na dwu szczelinach, na podstawie którego jako pierwszy określił długość fali świetlnej.
∗ Thomas
11-1
Rys. 1. Zależność naprężenie-odkształcenie, typowa dla większości metali.
Punkty A-D objaśniono w tekście, pogrubiono zakres funkcji badanej w ćwiczeniu.
Wstawka pokazuje kształt próbki używanej do doświadczalnego wyznaczenia pełnej
zależności σ(ε)
Wartość modułu Younga określić też można jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke’a przestaje
obowiązywać (może z wyjątkiem gumy) przy znacznie mniejszych wartościach odkształcenia. Rysunek 1 pokazuje doświadczalną zależność naprężenie-odkształcenie
typową dla większości metali. (Uwaga: zgodnie ze zwyczajem przyjętym w inżynierii
materiałowej naprężenie σ jest odkładane na osi pionowej a nie poziomej.)
Na krzywej zależności σ(ε) odcinek liniowy kończy się na tzw. granicy proporcjonalności (punkt A na rysunku 1). Po przekroczeniu granicy plastyczności (punkt
B) rozpoczyna się nieodwracalne odkształcenie materiału. Wreszcie po przekroczeniu
maksymalnego naprężenia (punkt C) materiał ulega zerwaniu (punkt D).
W przypadku materiałów określonych jako kruche przebieg rozciągania jest prostszy – prawo Hooke’a obowiązuje do określonego naprężenia, po przekroczeniu którego
materiał pęka. Wartości modułu Younga i przybliżone wartości naprężenia σs odpowiadającego granicy plastyczności podano w tabeli 1. W ćwiczeniu badamy tylko
początkową część zależności liniowej σ(ε), nie przekraczając naprężenia σm < σs .
Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną
Zastosowana metoda polega na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego (11.1). Do pomiarów skonstruowano statyw (rys.2), do
którego przymocowuje się badany drut w górnym uchwycie A. Drugi koniec drutu
uchwytem B połączono sztywno z szalką znajdującą się poniżej poprzeczki statywu.
11-2
Tabela 1
Wartości modułu Younga E, modułu sztywności G (do ćwiczeń 12 i 7) i granicy
plastyczności σs na rozciąganie. Cytowane w literaturze wartości E i G wykazują
rozrzut rzędu 10%, wartości σs mają charakter orientacyjny, gdyż silnie zależą od
składu i sposobu obróbki termicznej i mechanicznej materiałów
MATERIAŁ
E [GPa]
G [GPa]
σs [GPa]
guma
ołów
aluminium
miedź
mosiądz
stal węglowa pospolita
stal węglowa sprężynowa
diament
0,001
17
70
110÷130
100
210÷220
jw.
1200
0,00002
5,9÷6,4
26
38
42
78 ÷82
jw.
480
0,001
–
0,24 (dural)
0,07
0,3
0,4
1,65
–
Rys. 2. Urządzenie do pomiaru modułu Younga metodą statyczną
11-3
Do pomiaru wydłużenia drutu wykorzystano czujnik mikrometryczny D (dokładność 0,01 mm), sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni C. Dźwignia podpiera się na wsporniku związanym sztywno z szalką w połowie odległości między osią
obrotu a punktem jej styku z czujnikiem. Wydłużenie drutu jest zatem dwukrotnie
mniejsze od wartości wskazywanej przez czujnik. Badany drut powinien być możliwie
prosty i zawieszony pionowo.
Siła rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m, F = mg.
Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości ∆l od masy odważników m. Zgodnie z prawem Hooke’a funkcja ∆l(m) winna być linią prostą, dla której
określić można współczynnik nachylenia a. Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy jako
gl
.
(11.3)
E=
aS
Literatura
Podstawy teorii sprężystości przedstawione są we wszystkich podręcznikach, patrz np.:
Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2.
Warszawa, PWN 1970, 2000; Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna. T. I. Warszawa,
PWN 1980; Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów. T. I. Warszawa, WNT 1973.
Aparatura
Statyw do pomiaru z przymocowanym na stałe czujnikiem zegarowym, odważniki,
śruba mikrometryczna, przymiar milimetrowy.
Wykonanie ćwiczenia
1. Ustawić pionowo statyw przyrządu, regulując głębokość zakręcania nóżek podstawy i obserwując wskazania pionu.
2. Przymiarem liniowym zmierzyć długość drutów stalowego i miedzianego z dokładnością 1 mm. Za pomocą śruby mikrometrycznej zmierzyć średnicę drutów.
Pomiar średnicy należy wykonać 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczyć
wartość średnią.
3. Wyznaczyć zależność wydłużenia drutu stalowego od wartości siły rozciągającej.
Masę obciążającą zmieniać co 1 kg w granicach od 0 do 10 kg. Pomiar wykonać
dla rosnących, następnie dla malejących wartości ciężaru.
4. Wykonać analogiczny pomiar dla drutu miedzianego lub mosiężnego.
11-4
Opracowanie wyników
Uwaga ogólna. Ćwiczenie 11 jest zwykle pierwszym, w którym spotykamy się z
problemem dopasowania prostej do zbioru punktów doświadczalnych. W celu poznania metod rozwiązania tego problemu wymaga się, by dla jednego przypadku (drut
stalowy) wykonać pełne obliczenia metodą najmniejszych kwadratów, natomiast dla
drugiego materiału użyć metody graficznej.
1. Sporządzić wykres ∆l(m) dla obu drutów.
2. Dla drutu stalowego metodą najmniejszych kwadratów znaleźć wartość i niepewność współczynnika nachylenia dla prostoliniowej części wykresu. (Początkowa
część wykresu może nie być prostoliniowa ze względu na zjawisko prostowania
się drutu. Odpowiednich punktów nie należy brać do obliczeń.)
3. Obliczone nachylenie prostej a wykorzystać do obliczenia modułu Younga dla
stali. Wartość u(E) obliczyć za pomocą prawa przenoszenia niepewności, biorąc
pod uwagę niepewność współczynnika a, długości l i przekroju S.
4. Obliczyć moduł Younga dla drugiego drutu określając a metodą graficzną.
5. Porównać znalezione wartości E z wartościami tablicowymi.
6. Obliczyć wartość maksymalnego naprężenia σm powstałego w każdym z badanych materiałów. Porównać z wartością granicy plastyczności σs .
11-5