3–11 Ćwiczenie nr. 11 Moduł Younga

3–11
Ćwiczenie nr. 11
Moduł Younga
Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu
z badanego materiału obciążonego stałą siłą.
Wprowadzenie
Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają
swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu
pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Sformułowane jeszcze w XVII stuleciu prawo
Hooke’a1 mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.
Prawo Hooke’a dotyczy dowolnego kształtu ciała i konfiguracji przyłożonych sił. Rozpatrzmy
najprostszy przypadek rozciągania jednorodnego pręta (wstawka na rysunku 11.1). Przyrost
długości pręta ∆l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F , a odwrotnie proporcjonalny
do przekroju poprzecznego S
Fl
.
(11.1)
ES
Stała materiałowa E nosi nazwę modułu Younga2 .
Prawo Hooke’a dla rozciągania (lub ściskania) może być też zapisane w postaci funkcji
∆l =
σ = Eε
(11.2)
charakteryzującej stan naprężeń i odkształceń w rozciąganej próbce w sposób niezależny od
jej kształtu. Symbol σ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek siły do pola przekroju pręta, σ = F/S, natomiast ε oznacza normalne odkształcenie względne, równe
stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej, ε = ∆l/l. Przymiotnik normalne oznacza, że dla przypadku rozciągania pręta tak siła, jak i wektor przyrostu długości są prostopadłe
do przekroju poprzecznego. Przypadek naprężeń i odkształceń stycznych omawiany będzie w
ćwiczeniu 12.
Wartość modułu Younga określić też można jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke’a przestaje obowiązywać (może
z wyjątkiem gumy) przy znacznie mniejszych wartościach odkształcenia. Rysunek 11.1 pokazuje doświadczalną zależność naprężenie-odkształcenie typową dla większości metali. (Uwaga:
zgodnie ze zwyczajem przyjętym w inżynierii materiałowej naprężenie σ jest odkładane na osi
pionowej a nie poziomej.)
Na krzywej zależności σ(ε) odcinek liniowy kończy się na tzw. granicy proporcjonalności
(punkt A na rysunku 11.1). Po przekroczeniu granicy plastyczności (punkt B) rozpoczyna się
nieodwracalne odkształcenie materiału. Wreszcie po przekroczeniu maksymalnego naprężenia
(punkt C) materiał ulega zerwaniu (punkt D).
W przypadku materiałów określonych jako kruche przebieg rozciągania jest prostszy - prawo
Hooke’a obowiązuje do określonego naprężenia, po przekroczeniu którego materiał pęka. Wartości modułu Younga i przybliżone wartości naprężenia σs odpowiadającego granicy plastyczności
podano w tabeli 11.1. W ćwiczeniu badamy tylko początkową część zależności liniowej σ(ε), nie
przekraczając naprężenia σm < σs .
1
Robert Hooke (1635-1703), matematyk, fizyk i biolog, żył w Anglii w czasach Newtona.
Thomas Young (1773-1829), uczony angielski, zajmował się m.in. badaniem własności sprężystych ciał stałych. Jego
największym dokonaniem w fizyce było zbadanie zjawiska interferencji światła na dwu szczelinach, na podstawie którego
jako pierwszy określił długość fali świetlnej.
2
1
Rysunek 11.1: Zależność naprężenie - odkształcenie typowa dla większości metali.Punkty A-D objaśniono w tekście, pogrubiono zakres funkcji badanej w ćwiczeniu. Wstawka pokazuje kształt próbki
używanej do doświadczalnego wyznaczenia pełnej zależności σ(ε)
Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną
Zastosowana metoda polega na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru
definicyjnego (11.1). Do pomiarów skonstruowano statyw (rys. 11.2), do którego przymocowuje
się badany drut w górnym uchwycie A. Drugi koniec drutu uchwytem B połączono sztywno
z szalką znajdującą się poniżej poprzeczki statywu.
Rysunek 11.2: Urządzenie do pomiaru modułu Younga metodą statyczną
Do pomiaru wydłużenia drutu wykorzystano czujnik mikrometryczny D (dokładność 0,01 mm),
sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni C. Dźwignia podpiera się na wsporniku
związanym sztywno z szalką w połowie odległości między osią obrotu a punktem jej styku z
czujnikiem. Wydłużenie drutu jest zatem dwukrotnie mniejsze od wartości wskazywanej przez
czujnik. Badany drut powinien być możliwie prosty i zawieszony pionowo.
2
Tabela 11.1: Wartości modułu Younga E, modułu sztywności G (do ćwiczeń 12 i 7) i granicy plastyczności σs na rozciąganie. Cytowane w literaturze wartości E i G wykazują rozrzut rzędu 10%,
wartości σs mają charakter orientacyjny, gdyż silnie zależą od składu i sposobu obróbki termicznej i
mechanicznej materiałów
MATERIAŁ
E [GPa]
G [GPa]
σs [GPa]
guma
ołów
aluminium
miedź
mosiądz
stal węglowa pospolita
stal węglowa sprężynowa
diament
0,001
17
70
110÷130
100
210÷220
jw.
1200
0,00002
5,9÷6,4
26
38
42
78 ÷ 82
jw.
480
0,001
–
0,24 (dural)
0,07
0,3
0,4
1,65
–
Siła rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m, F = mg. Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości ∆l od masy odważników m. Zgodnie z prawem
Hooke’a funkcja ∆l(m) winna być linią prostą, dla której określić można współczynnik nachylenia a. Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy jako
E=
gl
.
aS
(11.3)
Literatura
Podstawy teorii sprężystości przedstawione są nie we wszystkich podręcznikach, patrz np.:
Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. Warszawa,
PWN 1970, 2000; Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna. T. I. Warszawa, PWN 1980; Massalski
J.M.: Fizyka dla inżynierów. T. I. Warszawa, WNT 1973.
Aparatura
Statyw do pomiaru z przymocowanym na stałe czujnikiem zegarowym, odważniki, śruba
mikrometryczna, przymiar milimetrowy.
Wykonanie ćwiczenia
1. Ustawić pionowo statyw przyrządu, regulując głębokość zakręcania nóżek podstawy i obserwując wskazania pionu.
2. Przymiarem liniowym zmierzyć długość drutów stalowego i miedzianego z dokładnością 1
mm. Za pomocą śruby mikrometrycznej zmierzyć średnicę drutów. Pomiar średnicy należy
wykonać 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczyć wartość średnią.
3. Wyznaczyć zależność wydłużenia drutu stalowego od wartości siły rozciągającej. Masę
obciążającą zmieniać co 1 kg w granicach od 0 do 10 kg. Pomiar wykonać dla rosnących,
następnie dla malejących wartości ciężaru.
4. Wykonać analogiczny pomiar dla drutu miedzianego lub mosiężnego.
3
Opracowanie wyników
Uwaga ogólna. Ćwiczenie 11 jest zwykle pierwszym, dla którego spotykamy się z problemem dopasowania prostej do zbioru punktów doświadczalnych. W celu poznania metod
rozwiązania tego problemu wymaga się, by dla jednego przypadku (drut stalowy) wykonać pełne obliczenia metodą najmniejszych kwadratów, natomiast dla drugiego materiału użyć metody
graficznej.
1. Sporządzić wykres ∆l(m) dla obu drutów.
2. Dla drutu stalowego metodą najmniejszych kwadratów znaleźć wartość i niepewność
współczynnika nachylenia dla prostoliniowej części wykresu. (Początkowa część wykresu
może nie być prostoliniowa ze względu na zjawisko prostowania się drutu. Odpowiednich
punktów nie należy brać do obliczeń.)
3. Obliczone nachylenie prostej a wykorzystać do obliczenia modułu Younga dla stali. Wartość u(E) obliczyć za pomocą prawa przenoszenia niepewności, biorąc pod uwagę niepewność współczynnika a, długości l i przekroju S.
4. Obliczyć moduł Younga dla drugiego drutu określając a metodą graficzną.
5. Porównać znalezione wartości E z wartościami tablicowymi.
6. Obliczyć wartość maksymalnego naprężenia σm powstałego w każdym z badanych materiałów. Porównać z wartością granicy plastyczności σs .
4