Część I

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Logika i zbiory
1. Logika i zbiory
1. Elementy logiki.
Zdaniem logicznym nazywamy zdanie, któremu możemy przypisać wartość logiczną prawdy (zazwyczaj oznaczanej „1”) lub fałszu (oznaczanej „0”).
Na zdaniach logicznych p, q możemy określić operacje logiczne: negacja (∼ p), alternatywa (p ∨ q),
koniunkcja (p ∧ q), implikacja (p ⇒ q). Definiujemy te operacje, podając wartość logiczną zdań
będących rezultatem operacji dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań p oraz q. Poniższe
tabele określają omawiane wartości logiczne:
p
1
0
∼p
0
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
p∧q
1
0
0
0
p⇒q
1
0
1
1
Dwa zdania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają tę samą wartość logiczną.
Twierdzenie
Niech p, q, r będą zdaniami logicznymi. Wtedy:
a) (p ∨ q) jest równoważne (q ∨ p) (przemienność alternatywy),
b) (p ∧ q) jest równoważne (q ∧ p) (przemienność koniunkcji),
c) (p ∨ q) ∨ r jest równoważne p ∨ (q ∨ r) (łączność alternatywy),
d) (p ∧ q) ∧ r jest równoważne p ∧ (q ∧ r) (łączność koniunkcji),
e) (p ∨ q) ∧ r jest równoważne (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (rozdzielność koniunkcji względem alternatywy),
f) (p ∧ q) ∨ r jest równoważne (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (rozdzielność alternatywy względem koniunkcji),
g) (∼ (p∨q)) jest równoważne (∼ p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie alternatywy, pierwsze prawo de Morgana),
h) (∼ (p ∧ q)) jest równoważne (∼ p ∨ ∼ q) (zaprzeczenie koniunkcji, drugie prawo de Morgana),
i) ∼ (p ∧ ∼ p) jest zawsze prawdziwe (prawo wyłączonego środka),
j) ∼ (∼ p) jest równoważne p (prawo podwójnego zaprzeczenia),
k) ∼ (p =⇒ q) jest równoważne (p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie implikacji),
l) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ q =⇒ ∼ p) (prawo kontrapozycji),
m) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ p ∨ q) (postać normalna implikacji),
n) (p jest równoważne q) jest równoważne [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p )].
Kwantyfikatory
Symbol ∀ nazywamy dużym kwantyfikatorem i czytamy „dla każdego”. Intuicyjnie można powiedzieć, że ∀ jest uogólnieniem koniunkcji.
Symbol ∃ nazywamy małym kwantyfikatorem i czytamy „istnieje”. Nawiązuje on do alternatywy.
Zapis „∀x∈A W (x)” czytamy: „dla każdego x należącego do zbioru A zdanie W (x) jest prawdziwe”,
natomiast zapis „∃x∈A W (x)” czytamy: „istnieje x należące do zbioru A takie, że zdanie W (x) jest
prawdziwe”.
1
Logika i zbiory
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
a) ∼ ∀x∈A W (x) jest równoważne ∃x∈A ∼ (W (x)).
b) ∼ ∃x∈A W (x) jest równoważne ∀x∈A ∼ (W (x)).
2. Zbiory.
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (lub zbiór B zawiera zbiór A) i piszemy A ⊂ B, jeżeli
dla dowolnego a zachodzi implikacja: jeśli x ∈ A, to x ∈ B, tzn.
∀x
x ∈ A =⇒ x ∈ B .
Zbiory A i B są równe, jeśli A ⊂ B oraz B ⊂ A. Wówczas piszemy A = B.
Jeśli mamy dane dwa zbiory A, B, to określamy ich sumę (∪), iloczyn (∩) i różnicę (\):
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
Twierdzenie
Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to:
a) A ∪ B = B ∪ A (przemienność sumy zbiorów),
b) A ∩ B = B ∩ A (przemienność iloczynu zbiorów),
c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (łączność sumy zbiorów),
d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (łączność iloczynu zbiorów),
e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów),
f) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy zbiorów),
g) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)(pierwsze prawo de Morgana dla zbiorów),
h) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (drugie prawo de Morgana dla zbiorów).
Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B, to zbiór uporządkowanych par (x, y), w którym x ∈ A
oraz y ∈ B. Symbolicznie można to zapisać w postaci:
A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
3. Wzory skróconego mnożenia.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
2
Logika i zbiory
Zadania
Sprawdzić, czy poniższe zdanie jest tautologią.
1. [(p ∨ q)∧ ∼ p] =⇒ q.
7. [(p =⇒ q) ∧ p] =⇒ q.
2. [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)] =⇒ (p ∨ q).
8. (∼ p =⇒ q) =⇒∼ q ∧ p.
3. [(p ∧ q) ∨ (p ∨ q)] ⇐⇒ q.
9. ∼ (p ∧ q) ⇐⇒∼ p∨ ∼ q.
4. [(p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ⇐⇒ q.
10. ∼ (p =⇒ q) =⇒ (p ∧ q).
5. (p ∨ q) =⇒ [∼ p∧ ∼ q].
11. ∼ (p ∧ q∧ ∼ r) ⇐⇒ [∼ p∨ ∼ q ∨ r].
6. [p ∨ (q∧ ∼ p)] =⇒ q.
Obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz narysuj A × B, B × A,
12. A = (−∞, 2], B = (0, 3].
13. A = {−1, 1} ∪ (2, 3), B = [1, 2).
14. A = (0, 2], B = [1, 2) ∪ {0}.
Dla danych zbiorów A = [−3, 1), B = [0, 5], C = (2, 4] zaznaczyć w R2 zbiór:
15. (A × B) ∩ (A × C).
18. (A ∪ B) × C.
16. (A ∩ B) × C.
19. (B \ A) × C.
17. B × (C \ A).
20. A × (B ∩ C).
Dla zbiorów A = [3, 7), B = (−2, 4], C = [0, +∞) wyznaczyć zbiory:
21. A ∪ B.
23. A \ C.
25. B \ C.
27. (A ∩ B) ∩ C.
22. A ∩ C.
24. A ∩ B.
26. (A ∪ B) ∩ C.
28. C \ (A ∩ B).
Wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, jeśli:
29. A = (−∞, 1), B = (4, +∞).
30. A = [1, 5], B = (−3, 2).
Uprościć wyrażenie:
31. (x3 + 8) − 2(x + 1)2 .
a
35. ( a−1
+ 2) ·
32. (2x + 3)(2x − 3) − (x − 2)3 .
36.
x2 +y 2
x2 −y 2
33. a(a + b)2 − (a − b)3 − b(a − b)2 .
37.
3x+2
x2 −2x+1
34.
a
a−3
−
3
3+a
−
−
1−a2
6a−4 .
x+y
2x−2y
−
+ 1.
6
x2 −1
+
3x−2
x2 +2x+1 .
a(1−a)
9−a2 .
Usunąć niewymierność z mianownika:
38.
√
√ 5+2
√ .
3−3 2
40.
39.
5
√
.
3
5+1
41.
√
2−3
√ 2.
2 3−3
√
√
√3+2 − 1−16 6 .
4
3−2
42.
1√
7+4 3
43.
√ 12√
7− 3
+
1√
.
7−4 3
√
√
+ 2( 7 − 3).
3