Rachunek zdań - Maciej Bendkowski

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
6 października 2016
Rachunek zdań
Zadanie 1. Oceń, który z poniższych napisów jest formułą logiczną:
(i) p → p,
(ii) p →→ p,
(iii) ¬¬¬p,
(iv) ¬p → ¬q,
(v) formuła,
(vi) p ∨ q → r,
(vii) ∨∧.
Zadanie 2. Określ wartościowanie poniższych formuł znając wartościowanie zmiennych
zdaniowych: v(p) = 0, v(q) = 1, v(r) = 0:
(i) q → p,
(ii) r → (q → p),
(iii) ¬p → r,
(iv) p → (q → r),
(v) p → (p → q)
(vi) ¬¬q → p,
(vii) (¬q → q) → (q → ¬q).
Zadanie 3. Sprawdź, które z poniższych formuł są tautologiami:
(i) p → (q → p ∨ q),
(ii) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)),
(iii) p ↔ ¬¬p,
(iv) ¬(p ∧ ¬p),
(v) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q),
(vi) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r),
(vii) ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q,
(viii) (p → q) ↔ (¬q → ¬p),
(ix) p → ((¬q ∧ q) → r),
(x) ((p → q) → p) → p.
Zadanie 4. Sprawdź, na ile sposobów można wstawić nawiasy w poniższych ciągach, aby
otrzymać formuły:
Strona 1/4
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
6 października 2016
(i) p → ¬q ∨ r ∧ p,
(ii) p → q → r → ¬p → ¬q.
Zadanie 5. Zdefiniujmy długość formuły jako liczbę wystąpień spójników w tej formule.
Ile jest różnych formuł nad jedną zmienną p o długościach 0, 1, 2 i 3 zbudowanych nad:
(i) {→},
(ii) {→, ¬},
(iii) {→, ↔, ∨, ∧, ¬},
(iv) k spójnikami unarnymi i ` spójnikami binarnymi.
Zadanie 6. Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować
implikacji ani dyzjunkcji (NAND).
Zadanie 7. (Shannon’s expansion formula) Niech f : Bn+1 → B będzie funkcją zdaniową.
Wykaż, że
f (x, y1 , . . . , yn ) = (x ∧ f (1, y1 , . . . , yn )) ∨ (¬x ∧ f (0, y1 , . . . , yn )).
Zadanie 8. Wykaż, że następujące zbiory tworzą systemy funkcjonalnie pełne:
(i) {¬, ∨, ∧},
(ii) {¬, ∨},
(iii) {¬, ∧},
(iv) {NAND},
(v) {NOR}.
Zadanie 9. Zdefiniujmy funkcje boolowskie
f : {0, 1}3 → {0, 1},
g : {0, 1}2 → {0, 1},
h : {0, 1}2 → {0, 1}
w następujący sposób:
f (x, y, z) = 1 − xyz,
g(x, y) = 1 − (1 − y)x,
h(x, y) = (1 − x)y.
Sprawdź, czy zbiory {f } i {g, h} są funkcjonalnie pełne.
Zadanie 10. W pewnej kampanii wyborczej Ewa, Ryszard, Jarosław i Paweł oceniają
wzajemnie swoją prawdomówność:
Ewa: Jarosław zawsze kłamie.
Jarosław: Paweł czasem mówi prawdę.
Paweł: Ryszard czasem kłamie.
Ryszard: Ewa zawsze mówi prawdę.
Ile osób powiedziało prawdę?
Strona 2/4
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
6 października 2016
Zadanie 11. Pokaż, że jeśli Ψ jest tautologią, to jest nią również
(i) Φ1 → (Φ2 → (. . . → (Φn → Ψ) . . .)),
(ii) ¬Ψ → (Φ1 → (Φ2 → . . . → (Φn−1 → Φn ) . . .)).
Zadanie 12. Dla jakich n ∈ N+ formuła
(. . . ((p → p) → p) → . . .) → p
|
{z
n wystąpień zmiennej p
}
jest tautologią?
Zadanie 13. Zbuduj formułę z trzema zmiennymi, która:
(i) przyjmuje taką wartość jak większość jej zmiennych.
(ii) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie dwie jej zmienne przyjmują
wartość 0.
Zadanie 14. Dobierz formułę ϕ tak, aby poniższa formuła była tautologią:
(i) ((ϕ ∧ q) → ¬p) → ((p → ¬q) → ϕ),
(ii) ((r → (¬q ∧ p)) → ϕ) → (ϕ ∧ (p → q) ∧ r).
Zadanie 15. Dla poniższych formuł podaj liczbę spełniających je wartościowań:
(i) ((p ∧ q) → r) → (p → ((p → q) → r)),
(ii) ((p ∧ q) → r) → (p → ((p → r) → q)).
Zadanie 16. Pokaż, że formuła zbudowana ze zmiennych zdaniowych za pomocą ↔ jest
tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej zmienna występuje w niej parzystą liczbę
razy. Czy jest to również prawdą dla →?
Zadanie 17. Podaj wszystkie spójniki binarne ◦ takie, że formuła (p ◦ p) ◦ (q ◦ q)
jest tautologią.
Zadanie 18. Wyznacz wszystkie binarne spójniki logiczne, które można zdefiniować za
pomocą samej implikacji.
Zadanie 19. Zdefiniujmy p0 := p oraz p1 := ¬p. Niech εi ∈ {0, 1} dla i = 1, . . . , n. Dla
jakich ciągów (ε1 , . . . , εn ) formuła
(. . . ((pε1 → pε2 ) → pε3 ) → . . .) → pεn
jest tautologią?
Zadanie 20. Niech S będzie pewnym nieskończonym zbiorem formuł zbudowanych nad
zmiennymi p1 , . . . , pn . Wykaż, że istnieje nieskończony podzbiór X zbioru S taki, że
wszystkie formuły X są parami równoważne.
Zadanie 21. Niech dana będzie funkcja boolowska p : {0, 1}3 → {0, 1} zadana wzorem p(x, y, z) = (x + y + z) mod 2. Czy zbiór funkcji dających się wydefiniować przy
użyciu funkcji p jest równy zbiorowi funkcji spełniających równocześnie f (0, . . . , 0) = 0
i f (1, . . . , 1) = 1?
Strona 3/4
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
6 października 2016
Zadania dodatkowe
Zadanie 22. Spójnik binarny ◦ : {0, 1}2 → {0, 1} nazywamy przemiennym, gdy dla dowolnych zmiennych p i q formuły p ◦ q oraz q ◦ p są równoważne. Ile jest przemiennych
spójników binarnych?
Zadanie 23. Znajdź najkrótsze formuły w koniunkcyjnej postaci normalnej równoważne
formułom:
(i) p ∨ ((q ∧ p) → (q ↔ ¬p)),
(ii) (p → (q → r)) → ((p → ¬r) → (p → ¬q)).
Zadanie 24. Ile jest spójników binarnych ◦ takich, że formuła (p◦q)◦(p◦q) jest tautologią?
Zadanie 25. Rozważmy formuły postaci p → (p → (p → . . . (p → p) . . .)) składające się
z dokładnie 2016 implikacji. Niech ϕn będzie formułą z n-tą strzałką obróconą (zamiast
n-tej → występuje ←). Na przykład,
ϕ2 = p → (p ← (p → . . . (p → p) . . .)).
Dla jakich liczb naturalnych n formuła ϕn nie jest tautologią?
Zadanie 26. Zdefiniujmy następujące spójniki ternarne:
000
001
010
011
100
101
110
111
f
1
1
1
0
1
0
0
0
g
0
1
1
0
0
1
0
0
h
1
0
1
0
1
1
0
0
Czy za pomocą któregoś z nich można zdefiniować wszystkie spójniki logiczne?
Zadanie 27. Funkcję boolowską f : {0, 1}n → {0, 1} nazywamy samodualną, gdy dla
dowolnego ciągu (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n zachodzi
f (x1 , . . . , xn ) = 1 − f (1 − x1 , . . . , 1 − xn ).
Pokaż, że dowolne złożenie funkcji samodualnych jest funkcją samodualną.
Zadanie 28. Dana jest funkcja ◦ : {0, 1}n → {0, 1} dla pewnego n ∈ N+ . Pokaż, że jeżeli
zbiór {◦} jest funkcjonalnie pełny, to zachodzą wszystkie trzy warunki:
(i) ◦(0, . . . , 0) = 1,
(ii) ◦(1, . . . , 1) = 0,
(iii) istnieje ciąg (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n taki, że ◦(x1 , . . . , xn ) = ◦(1 − x1 , . . . , 1 − xn ).
Strona 4/4