Analiza na rozmaitościach - Wydział Inżynierii Mechanicznej i

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek: Matematyka
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok I, Semestr I
II stopnia
Prowadzący:
Przedmiot dla specjalności:
Dr Grzegorz Biernat
Matematyka finansowa i
Karta opisu przedmiotu
Wykład
Ćwiczenia
Laboratorium
Projekt
Seminarium
Egzamin
ECTS
ubezpieczeniowa
Analiza na rozmaitościach
45
45
-
-
-
TAK
7
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Student osiągnął efekty kształcenia z zakresu analizy matematycznej I, II, III
Student zna podstawy algebry liniowej oraz teorii mnogości i topologii
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów z teorią krzywych i powierzchni gładkich w Rn , teorią przestrzeni stycznych oraz form różniczkowych i całek z form
różniczkowych po łańcuchach oraz rozmaitościach
Przekazanie studentom praktycznych umiejętności obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych oraz zapoznanie ich z twierdzeniem
Stokesa i jego przypadkami szczególnymi jak: twierdzenie Greena, i twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego oraz z elementami teorii pola
Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań całek krzywoliniowych i powierzchniowych w wybranych zagadnieniach fizyki i techniki
Treści programowe - Wykład
Wprowadzenie – odwzorowania z Rn w Rm, odwzorowanie ciągłe, odwzorowanie klasy C1, twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań
różniczkowalnych, homeomorfizm, dyfeomorfizm klasy C1
Zbiory punktów w przestrzeni Rn, krzywe na płaszczyźnie, krzywe i powierzchnie w R3, hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do
powierzchni
Rozmaitości gładkie k - wymiarowe w przestrzeni Rn, przestrzeń styczna do rozmaitości, pochodna określona na rozmaitościach
k – wymiarowa rozmaitość z brzegiem i przestrzeń do niej styczna, obszar wielokątny
Całka krzywoliniowa (niezorientowana) na płaszczyźnie
Całka krzywoliniowa (niezorientowana) w przestrzeni, twierdzenie o obliczaniu całki krzywoliniowej, zastosowania
Całka powierzchniowa (niezorientowana) jej wyznaczanie. I zastosowania
Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja
Definicja k-tensora, iloczynu tensorowego, definicja k – formy różniczkowej, przestrzeni form, iloczynu zewnętrznego. Operacja przenoszenia
k – formy różniczkowej i różniczka formy
Singularna kostka (n-kostka), całka formy na n- kostce, n -łańcuch , brzeg łańcucha, ścianki łańcucha, własności
Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa (zorientowana), całka formy po łańcuchu, twierdzenie Stokesa dla
łańcucha.
Pole wektorowe i k - formy na rozmaitościach, operacja przenoszenia k - formy na rozmaitościach, różniczka na rozmaitościach
Rozmaitość zorientowana, rozmaitość z brzegiem, orientacja (indukowana) brzegu
Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach
Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego
Treści programowe - Ćwiczenia
Odwzorowania z Rn w Rm, odwzorowanie ciągłe, składanie odwzorowań, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów, własności odwzorowań
Równania krzywych na płaszczyźnie, krzywe w R3
Powierzchnie w R3. Hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni
2-rozmaitości w R3 zadane równaniem F(x1, x2,x3)=0
Rozmaitości zadane równaniami xn=f(x1,…,xn-1) oraz F(x1,…,xn)=0
Przestrzeń styczna jako przestrzeń wektorowa. Równania przestrzeni stycznych dla rozmaitości. Odwzorowanie styczne
Kolokwium I
Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja. Pole potencjalne. Warunek konieczny i wystarczający
potencjalności pola
k- formy różniczkowe, postać kanoniczna. Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa
Obliczanie całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Twierdzenie Stokesa dla n- łańcucha
k- formy na rozmaitościach. Rozmaitość zorientowana. Rozmaitość z brzegiem
Całka z formy na rozmaitościach. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach
Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego, twierdzenie o niezależności całki
krzywoliniowej od drogi całkowania
Kolokwium II
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
A.Birkholc, Analiza matematyczna, Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa ,2002
M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, warszawa, 2005
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2002
H. Flanders, Teoria form różniczkowych, PWN, Warszawa, 1969
M.P.do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 1994