File - Tomasz Prochenka

Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych
Semestr letni 2015
Praca domowa II
17/04/2015
1
Polecenie
• Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p.
• Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres [email protected] do
24/04/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania).
W przypadku przekroczenia tego terminu praca nie będzie sprawdzana.
• Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny być wykonane przez zespoły
samodzielnie, w przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy dany zestaw nie
będzie sprawdzany.
• Na rozwiązanie składa się plik .xls lub .xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w Solverze (każdy podpunkt musi być rozwiązany w oddzielnym
arkuszu), oraz plik .pdf z odpowiedziami do zadań (odpowiedzi do zadań proszę
zapisać w dowolnym edytorze tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane).
Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie .zip.
Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO2[ind1][ind2][nrg1][nrg2], gdzie
ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów
(zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie). Proszę tytułować maile zawierające
rozwiązanie w następujący sposób: DM BO2015L P D2 [ind1] [ind2] (gdzie tak jak
poprzednio ind1 oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów. W przypadku nie
przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać odjęte do
20% uzyskanych punktów.
2
Przedsiębiorcy z Kipfiletstraat
Spóła Lee-Carter zajmuje się handlem rowerami. Podstawą prowadzonej przez nią działalności jest kupno rowerów (m.in. modele Batavia Quantreg, Batavia IV oraz Batavia
xtregRobust) w Holandii i sprzedaż ich w innych krajach Europy. Firma posiada swoje
magazyny przy lotniskach w Amsterdamie, Eindhoven oraz Maastricht i przy pomocy
samolotów transportuje rowery do Francji , Niemiec i Wielkiej Brytanii. Rowery na czas
transportu można dowolnie dzielić na części. Jednostkowe koszty transportu pomiędzy
1
poszczególnymi magazynami a miastami zawiera Tabela 1. Średnie miesięczne zapotrzebowanie na rowery i ich dostępność w magazynach przedstawiają Tabele 2 i 3.
Tabela 1: Jednsotkowe koszty transportu
Francja Niemcy UK
Amsterdam
14
12
10
Eindhoven
12
8
11
Maastricht
9
14
9
Tabela 2: Podaż rowerów
podaż [w sztukach]
Amsterdam
1200
Eindhoven
1500
Maastricht
1800
Tabela 3: Popyt na rowery
popyt [w sztukach]
Francja
1300
Niemcy
1100
UK
900
a) Zapisz zadanie minimalizacji łącznych kosztów transportu jako zadanie programowania liniowego. Podaj optymalną wartość funkcji celu i zmiennych decyzyjnych.
[2p]
b) Zapisz zadanie dualne do zadania z podpunktu a). Jaka jest interpretacja zmiennych decyzyjnych? Co można powiedzieć o liczbie rozwiązań zadania dualnego bez
rozwiązywania go? Odpowiedź uzasadnij. [3p]
c) Spółka Lee-Carter zastanawia się nad przejściem z transportu lotniczego na drogowy.
Do tego celu może wykorzystać flotę ciężarówek, z których każda może zabrać do
300 rowerów. Koszty przejazdu ciężarówki na poszczególnych trasach przedstawia
Tabela 4. Zapisz odpowiedni model programowania liniowego. Podaj optymalną
wartość funkcji celu i zmiennych decyzyjnych. [2p]
Tabela 4: Koszty przejazdów ciężarówek
Francja Niemcy UK
Amsterdam
3000
4000
2000
Eindhoven
3500
1900
4000
Maastricht
4200
2000
2800
d) Przy planowaniu kosztów transportu z wykorzystaniem ciężarówek dyrektor finansowy nie wziął pod uwagę kosztów zakupu ciężarówek. Ze względu na skomplikowaną
politykę wewnętrzną firmy każde dla każdego z magazynów firmy ciężarówki muszą
2
być kupowane w najbliższym mieście. Ze względu na różne stawki podatków przy zakupie samochodów w róznych miastach funkcje kosztów zakupu ciężarówek są różne
w róznych miastach. Funkcje wyrażające koszt zakupu ciężarówek w poszczególnych
miastach zawiera Tabela 5. Zmodyfikuj zadanie z podpunktu c). Zapisz odpowiedni
model programowania liniowego. Podaj optymalną wartość funkcji celu i zmiennych
decyzyjnych. [3p]
Tabela 5: Łączny koszt zakupu ciężarówek w zależności od ich liczby (x)
Amsterdam
f (x) = 20000x
Eindhoven
f (x) = 10000x2 − 1000x
Maastricht f (x) = 5000 ∗ 2x - 1000*(5-x)
3
Sama Słodycz
Firma wielobranżowa – „Sama słodycz” para się różnoraką działalnością. Jej właściciel
– pan Aureliusz posiada 3 sady, które nazwał imionami swoich ukochanych córek: Kunegunda, Mścisława, Hildegarda. Z każdego sadu Pan Aureliusz zbiera owoce, a wielkości
tych zbiorów (w tonach) znajdują się w tabeli poniżej.
Tabela 6: Zbiory poszczególnych
Wiśnie
Kunegunda 100000
Mścisława
10000
Hildegarda 120000
owoców
Jabłka
20000
70000
75000
(w tonach) w danych sadach.
Śliwki Porzeczki
70000
60000
90000
50000
40000
50000
Następnie owoce te przewożone są przez pana Aureliusza do jego fabryk, nazwanych
tak, jak jego ukochane psy: Azor, Burek i Fajtłapa. W tabeli 7 podano koszty przewozu
1 tony owoców (są one takie same dla każdego rodzaju owoców).
Tabela 7: Koszty transportu 1 tony owoców do danej fabryki
Azor Burek Fajtłapa
Kunegunda
13
20
18
Mścisława
14
10
15
Hildegarda
20
12
12
W fabrykach są chłodnie, w których mogą być przechowywane owoce. P. Aureliusz
chce, aby w danej fabryce była ta sama ilość każdego owocu, a minimalna suma owoców
w danej chłodni to: w fabryce Azor to 50 tys. t. zaś w pozostałych fabrykach po 100 tys.
ton.
a) Zapisz problem ZPL przy założeniu że p. Aureliusz min. koszty transportu.[3p]
b) Podaj rozwiązanie optymalne i optymalną wartość funkcji celu. [2p]
c) Z przewiezionych owoców wyrabiane są różne przetwory, soki i wina. P. Aureliusz
posiada 5 sklepów (S1, S2, S3, S4, S5), w których rozprowadza uprzednio wytworzone w swoich fabrykach wieloowocowe wina o nazwie Wino X i Wino Y. Z powodów
3
technologicznych do wytworzenia danego wina w danej fabryce potrzebne są odpowiednie ilości poszczególnych owoców. Informacje z mieszanki ilu ton (oczywiście po
odpowiedniej obróbce) powstanie 100 kartonów wina zawiera tabela 8.
Tabela 8: Proporcje do wytworzenia 100 kartonów wina
Azor
Burek
Fajtłapa
Wino X Wino Y Wino X Wino Y Wino X Wino Y
Wiśnie
1
1
1
1
1
2
Jabłka
2
2
2
1
2
2
Śliwki
2
1
1
2
1
1
Porzeczki
1
1
1
3
1
2
Pan Aureliusz chce, aby do każdego sklepu przybyło 10000 transportów (po 100
kartonów) każdego rodzaju wina. Koszty przewozu win z fabryk do sklepów zawiera
tabela 9 (oba rodzaje wina można przewozić razem, koszty są takie same).
Tabela 9: Koszty transportu 100 kartonów wina do danej fabryki
S1 S2 S3 S4 S5
Azor
20 45 18 10 35
Burek
28 63 33 15 25
Fajtłapa 44 32 54 20 10
Zapisz zmodyfikowane ZPL przy założeniu że p. Aureliusz chce minimalizować koszt
transportu. [3p]
d) Podaj nowe rozwiązanie optymalne i wartość funkcji celu. [2p]
4
Dzicz
Polska jest w europejskiej czołówce, jeśli chodzi o powierzchnię lasów. Zajmują one 29,2
proc. terytorium kraju, rosną na obszarze 9,1 mln ha. Zdecydowana większość to lasy
państwowe, z czego prawie 7,6 mln ha zarządzane jest przez Państwowe Gospodarstwo
Leśne Lasy Państwowe. Lasy Państwowe postanowiły poddać częsciowej wycince pewien
las o wdzięcznej nazwie Dzicz. Mapa 1 przedstawia las Dzicz podzielony na 12 obszarów.
Ze względu na górzystość terenu do lasu można dostać się tylko od strony obszaru 2
(istnieje tam już droga), czyli ewentualna wycinka drzew musi rozpocząc się od tego
obszaru. Poza drogą dojazdową do obszaru 2 w lesie nie ma żadnych dróg, aby rozpocząc
wycinkę drzew w danym obszarze należy najpierw wybudować drogę prowadzącą do tego
obszaru. Potencjalne drogi oraz koszty (w tysiacach złotych) ich budowy są przedstawione
na mapie 1. Nie wszystkie obszary muszą być poddane wycince. Tabela 10 przedstawia
szacowany przychód z wycinki poszczególnych obszarów.
Tabela 10: Zysk z wyciniki poszczególnych obszarów
Obszar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Przychód (w tys. zł.) 15 7 10 12 8 17 14 18 13 12
4
11
10
12
11
Rysunek 1: Mapa dziczy
a) Zapisz zadanie maksymalizacji zysku z wycinki jako zadanie programowania liniowego. [3p]
b) Które obszary powinny zostać poddane wycince oraz jakie drogi należy wybudować, aby zmaksymalizować zysk z wycinki tego lasu? Jaki jest zysk w rozwiązaniu
optymalnym? [7p]
5