Pod tym linkiem

Równania miłości
autor: Tomasz Grębski
Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem?
Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca
równaniem matematycznym.
Kardioida czyli krzywa sercowa
Rozpocznę od pewnej słynnej matematycznej krzywej, tzw. kardioidy. Definicja jej jest
następująca: kardioida (krzywa sercowa) – krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu
toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy.
Można ją opisać za pomocą równania:
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑘𝑥)2 = 𝑘 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )
gdzie 𝑎 jest parametrem.
3
Pole powierzchni ograniczone kardioidą wynosi: 𝑃 = 2 𝜋𝑘 2 , zaś obwód: 𝐿 = 8𝑘
A teraz zobaczcie jak taka kardioida może wyglądać, gdy k=2
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥)2 = 22 (𝑥 2 + 𝑦 2 )
Taki wykres możemy również opisać za pomocą tzw. współrzędnych biegunowych. Układ
współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – to układ współrzędnych na
płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OP o
początku w punkcie O zwaną osią biegunową.
Np. opisana wyżej kardioida ma następujące współrzędne biegunowe:
𝑟 = 2𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑)
Można użyć też tzw. równania parametrycznego:
Przyjmijmy teraz oznaczenia jak na rysunku
oraz 𝑟 = 2𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
Policzmy pole powierzchni i obwód kardioidy. Sięgniemy do matematyki wyższej i użyjemy
całki oznaczonej:
2𝜋
2𝜋
0
0
1
𝑃 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝜑 =. . . = 2𝑎2 ∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑)2 𝑑𝜑 =. . . = 6𝜋𝑎2
2
2𝜋
2𝜋
0
0
𝑑𝑟 2
√
𝐿 = 2 |∫ ( ) + 𝑟 2 𝑑𝜑| =. . . = 2√2𝑎 |∫ √(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝜑| =. . . = 16𝑎
𝑑𝜑
3
Jak się to ma do wcześniej podanych wzorów 𝑃 = 2 𝜋𝑘 2 oraz 𝐿 = 8𝑘. W obliczeniach
przyjąłem po prostu, że 𝑘 = 2𝑎. Dzięki temu podstawieniu można łatwo wyobrazić sobie
obwód kardioidy jako obwód kwadratu o boku długości 4𝑎.
Zgodzicie się na pewno ze mną, że kardioida swoim kształtem przypomina serce.
Mówiąc o kardioidzie chcę Wam również przekazać pewną ciekawostkę muzyczną (muzyka
to również moja pasja). Wiecie zapewne co to jest i do czego służy mikrofon. Jedną z cech
mikrofonu jest jego sposób „ściągania” dźwięków, czyli tzw. charakterystyka. Wiele
mikrofonów ma tzw. charakterystykę kardioidalną, co prezentuje poniższy rysunek.
Ciekawe równania serc
Wróćmy do naszych równań miłości. Zapewne jesteście przyzwyczajeni do nieco innego
kształtu serca niż kardioida. A zatem spróbujmy „ukształtować” trochę bardziej naszą krzywą
serca. To tak jak w życiu, trzeba miłość kształtować .
Poniżej przedstawiam kilka równań bardzo ładnych serduszek wraz z ilustracją graficzną w
kartezjańskim układzie współrzędnych:
Dosyć ciekawym sposobem uzyskania serduszka jest połączenie dwóch elips:
Dwie elipsy nałożone na siebie
Jeśli teraz dodamy odpowiednie założenia
do równań elips, to otrzymamy powyższy
rezultat.
dla 𝑥 ≥ 0
dla 𝑥 ≤ 0
Przestrzenne serca 3D
Równanie serca można przenieść w przestrzeń trójwymiarową. Oto przykład takiego
równania wraz z wykresem:
Fraktalne serca
W matematyce istnieją dość ciekawe i ładne obiekty. Są to tzw. fraktale. Fraktal w znaczeniu
potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do
całości) albo "nieskończenie subtelny" ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu.
Zobaczmy jak może wyglądać fraktalne serduszko:
Fraktal Medelbrot’a i widoczna kardioida
Serca geometryczne
Oprócz takich równań matematyczne serduszka możecie wykonać w inny sposób. Będą to
matematyczno-geometryczne serduszka. Oto kilka przykładów:
Serduszko składające się z kwadratu i koła. Koło podzielone na dwie części.
Serduszko zbudowane na bazie trójkąta równoramiennego (tutaj użyty jest nawet trójkąt
prostokątny równoramienny) oraz koła podzielonego na dwie części.
Serduszko zbudowane na połowie koła wraz z dwoma półkolami.
Tutaj przykład serduszka składającego się z dwóch trójkątów równoramiennych i dwóch
półkoli.
Serduszko składające się z dwóch kół oraz poprowadzonych stycznych do okręgów.
Serduszko powstałe na bazie czterech okręgów o równych promieniach o środkach w
wierzchołkach kwadratu. Potem wybieramy odpowiednie fragmenty i gotowe
𝜋
Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dla 𝑥 ∈< 0, 2 >
oraz dwóch półkoli.
𝜋 𝜋
Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dla 𝑥 ∈< − , >
2 2
oraz dwóch półkoli.
I kolejna propozycje uzyskania serduszka:
Taka układanka nazywa się tangram – chińska łamigłówka (układanka), znana od ok.3000 lat.
Zrób to sam
Poniżej instrukcja jak wykonać ładne serduszko:
Coś do rozwiązania
Matematyczna walentynka od moich uczniów
Na koniec chciałbym Wam przedstawić bardzo oryginalny pomysł moich uczniów. Dostałem
od nich matematyczną walentynkę, którą musiałem rozwiązać.
Oto jej treść:
Rozwiąż metodą graficzną, a następnie powstały wyraz przenieś w miejsce kropek w
odpowiedzi.
𝟏
1. 𝒚 = 𝒙 𝒅𝒍𝒂 𝒙 > 𝟎
2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗
3. 𝒚 = | − 𝟐𝒙|
4. 𝒙 = −|𝒔𝒊𝒏𝒚| 𝒅𝒍𝒂 𝒚 ∈< −𝝅, 𝝅 >
ODP. We ……………………YOU – so much! :)
A oto rozwiązanie:
Z wielką dumą wpisałem LOVE w odpowiedzi do zadania. Przyznacie, że robi wrażenie .
Oprócz świetnego pomysłu na zadanie, uczniowie wykazali się wiedzą matematyczną z
zakresu szkicowania wykresów funkcji oraz ich przekształcania.
A zatem widzimy jak wiele różnych serc można opisać równaniem matematycznym.
Jest ich naprawdę nieskończenie wiele. Możecie zmieniać liczby w przedstawionych
równaniach uzyskując swoje własne i niepowtarzalne serca. Myślę, że każdy z Was odnalazł
już to swoje serce .
Tomasz Grębski
www.tomaszgrebski.pl