Analiza porównawcza średnich cen nieruchomości za pomocą

Artykuł pochodzi z publikacji: Człowiek i organizacja – dylematy
współczesnego zarządzania, (Red.) W. Harasim,
Wyższa Szkoła Promocji, Warszawa 2014
Analiza porównawcza średnich
cen nieruchomości za pomocą
adaptacyjnego przedziału ufności dla
różnicy średnich
Dorota Kozioł – Kaczorek1
Abstrakt
W różnego rodzaju badaniach ekonomicznych bardzo często
pojawia się problem porównania poziomu obserwowanego zjawiska w
dwóch odrębnych zbiorowościach. Z matematycznego punktu widzenia
zadanie to sprowadza się do oceny różnicy pomiędzy miarami tendencji
centralnej pochodzącymi z dwóch niezależnych rozkładów. Najczęściej
porównania takie są wykonywane w oparciu o średnią lub medianę.
W praktyce często okazuje się, iż powszechnie stosowane procedury
mają wady wynikające z braku ich odporności na niespełnienie wymaganych założeń lub z niskiej efektywności. W artykule zostanie zaprezentowana metoda estymacji przedziałowej różnicy średnich w przypadku asymetrycznych rozkładów oraz niejednorodnych wariancji.
Zaproponowana metoda nosi nazwę adaptacyjnego przedziału ufności
. Zostanie ona zilustrowana na przykładzie analizy porównawczej średniego poziomu cen nieruchomości lokalowych (mieszkania) położonych w dwóch różnych dzielnicach w Warszawie.
dr, Wydział Nauk Ekonomicznych, Katedra Ekonomiki Rolnictwa i Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie
1
144
Słowa kluczowe: rynek nieruchomości, wartość rynkowa nieruchomości, adaptacyjny przedział ufności dla różnicy średnich
Abstract
Consider a problem of comparing a level of an observed phenomenon in two separate collectivities. This problem often occurs in
economic researches. From a mathematical point of view, it boils down
to the evaluation of the difference between measures of central tendency derived from two independent distributions. Such comparisons
are made based on the average or median usually. In practice, it often
turns out that the commonly used procedures have drawbacks which
are a result of their unrobust to failure required assumptions or low
efficiency. An interval estimation method for difference of means in
the case of asymmetric distributions and heterogeneous variances will
be presented in this paper. The proposed method is called an adaptive
confidence interval
. It will be illustrated on the example of a
comparative analysis of average prices of real estate, which are situated
in two different districts in Warsaw.
Keywords: real estate market, market value of real estate, adaptive
confidence interval for differences of two means
1. Wprowadzenie
W różnego rodzaju badaniach ekonomicznych bardzo często
pojawia się problem porównania poziomu obserwowanego zjawiska w dwóch odrębnych zbiorowościach. Może to być, na przykład,
poziom bezrobocia w gminach wiejskich i miejskich, ilość środków
z funduszy europejskich wykorzystanych w dwóch dowolnych gminach, poziom realizacji wskaźników w dwóch różnych obszarach
objętych dofinansowaniem w ramach Programu Operacyjnego Kapitał
Ludzki, wielkość zadłużenia gospodarstw wielkoobszarowych dzierżawionych i prywatnych. W analizie rynku nieruchomości może to
natomiast być porównanie cen nieruchomości na rynkach wtórnym
i pierwotnym, porównanie dwóch różnych lokalnych rynków nieruchomości itp. Z matematycznego punktu widzenia zadanie to sprowadza
145
się do oceny różnicy pomiędzy miarami tendencji centralnej pochodzącymi z dwóch niezależnych rozkładów. Najczęściej porównania takie
są wykonywane w oparciu o średnią lub medianę.
W przypadku oceny różnicy pomiędzy medianami, pochodzącymi
z dwóch różnych rozkładów, formułowana jest przeważnie hipoteza
zerowa zakładająca, iż różnica ta jest statystycznie nieistotna. Do weryfikacji takiej hipotezy wykorzystywany jest test Wilcoxona – Manna
– Whitneya lub test Wilcoxona (tzw. odporny test rangowanych znaków) [Bandyopadhyay i in. 2007].
W praktyce często okazuje się, iż procedury te mają pewne wady
wynikające z braku odporności na niespełnienie wymaganych założeń
lub z niskiej efektywności. Test Wilcoxona – Manna – Whitneya, z jednej strony, nazbyt często prowadzi do odrzucenia prawdziwej hipotezy
zerowej. Z drugiej zaś strony, jest zbyt mało odrzuceń nieprawdziwej
hipotezy zerowej. Oznacza to, że efektywność tego testu jest bardzo
zróżnicowana i ściśle związana z rozkładem prawdopodobieństwa
badanych zmiennych, które w praktyce nie są znane. Test Wilcoxona
jest natomiast testem znacznie mniej wrażliwym na rozkład prawdopodobieństwa i lepszym niż test Wilcoxona – Manna – Whitneya
w przypadku bardzo małej (lub też bardzo dużej) liczebności badanej
zbiorowości. Niestety, w przypadku, gdy liczebność ta jest średnia, test
ten nader często daje fałszywie pozytywne wyniki. W takich sytuacjach
pomocne mogą być tzw. testy adaptacyjne (łączone), które w swej konstrukcji łączą dwie lub więcej techniki i tym samym umożliwiają przeprowadzenie analizy z uwzględnieniem braku spełnionych założeń.
Rozważania dotyczące testów adaptacyjnych służących porównaniom
dwóch median będą prezentowane w kolejnej publikacji [Bandyopadhyay i in. 2007, Feltovich N. 2003].
Problem oceny różnicy pomiędzy średnimi pochodzącymi
z dwóch niezależnych rozkładów rozwiązywany jest bardzo często za
pomocą różnych konstrukcji przedziałów ufności dla różnicy średnich.
Wybór zastosowanej techniki zależy między innymi od rozkładu prawdopodobieństwa badanych zmiennych oraz od ich wariancji. Jeżeli
porównywane zmienne mają rozkłady normalne oraz ich wariancje
nie różnią się statystycznie istotnie, to powszechnym rozwiązaniem
jest zastosowanie rozkładu t z sumaryczną wariancją próbkową. Jeżeli
natomiast wariancje nie są jednorodne (różnica między nimi jest statystycznie istotna) to problem porównywania średnich z dwóch popu-
146
lacji normalnych określany jest w literaturze jako problem Behrensa
– Fishera [Tarasińska J. 2007]. Jedną z propozycji rozwiązania tego
problemu jest przedział ufności Welcha – Satterthwaite
[Welch
1938; Satterthwaite 1946]. Zarówno konstrukcje oparte na rozkładzie t,
jak i przedział ufności
, wykazują odporność w przypadku naruszenia założenia o normalności rozkładów, pod warunkiem jednakże,
iż analizowane zmienne pochodzą z rozkładów symetrycznych [Kozioł
– Kaczorek 2013, Miao i Chiou 2007]. W rzeczywistości nader często
okazuje się, że porównywane rozkłady nie są rozkładami symetrycznymi oraz, że ich wariancje nie są jednorodne.
W pracy zostanie zaprezentowana metoda estymacji przedziałowej różnicy średnich w przypadku asymetrycznych rozkładów
oraz niejednorodnych wariancji. Zaproponowana metoda nosi nazwę
adaptacyjnego przedziału ufności
. Składa się ona z dwóch
etapów postępowania. Etap pierwszy to weryfikacja hipotez zerowych
zakładających symetryczność rozkładu w obu porównywanych zbiorowościach. W artykule zostaną zaproponowane trzy sposoby weryfikacji
tych hipotez. Pierwszy z nich jest rozwiązaniem probabilistycznym (P1)
i polega na wykorzystaniu asymptotycznego „trójkowego” testu symetrii. Proponowany test jest testem niezależnym od rozkładu prawdopodobieństwa [Bandyopadhyay i in. 2007; Kozioł – Kaczorek i in. 2013].
Drugi sposób jest również rozwiązaniem probabilistycznym (P2)
i polega na wykorzystaniu testu symetrii opartego na asymptotycznym
rozkładzie normalnym [Kozioł – Kaczorek 2013, Miao i Chiou 2007].
Trzeci sposób natomiast jest rozwiązaniem deterministycznym (D)
i polega na wykorzystaniu prostej miary symetrii [Bandyopadhyay i in.
2007; Kozioł – Kaczorek i in. 2013]. Jeżeli któreś z zaproponowanych
rozwiązań wykaże symetryczność rozkładów, to do oszacowania różnicy średnich (etap drugi) wykorzystuje się przedział ufności Welcha
– Satterthwaite
. Jeżeli zaś przynajmniej jeden z badanych rozkładów okaże się być asymetrycznym, to do ich porównania zostanie
wykorzystany przedział
□, skonstruowany na podstawie odpowiednio zmodyfikowanych danych. W skrócie schemat postępowania
można zapisać następująco:
□
gdy asymetria
gdy symetia
147
Zaproponowane w artykule metody postępowania zostały zilustrowane na przykładzie analizy porównawczej średnich cen nieruchomości z dwóch dzielnic Warszawy (Pragi Południe i Woli).
Niezbędne obliczenia wykonano w pakiecie statystycznym
R 2.11.1 [R Development Core Team 2005] oraz w programie Microsoft Excel 2007.
2. Adaptacyjny przedział ufności dla różnicy
średnich
Przyjmijmy, że
oraz
są losowymi próbami z dwóch niezależnych rozkładów ze średnimi oraz wariancjami
odpowiednio. Rozważanym problemem jest przedział ufności
dla różnicy średnich, skonstruowany na poziomie ufności.
Jeżeli
,
oraz
to kont
strukcja przedziału ufności dla opiera się na rozkładzie z sumaryczną
wariancją próbkową. Jest to najpowszechniejsza postać przedziału
ufności dla różnicy średnich. Niestety, w praktyce jest ona nazbyt
pochopnie wykorzystywana w sytuacji, gdy nie są spełnione zapisane
powyżej założenia.
Jeżeli zaś
,
oraz
to
konstrukcja przedziału ufności przyjmuje postać przedziału ufności
Welcha – Satterthwaite
[Welch 1938; Satterthwaite 1946].
Podobnie jak przedział oparty na rozkładzie t tak i przedział
wykazują odporność w przypadku naruszenia założenia o normalności
rozkładów badanych zmiennych. Nie są one jednak odporne na asymetryczność tych rozkładów [Kozioł – Kaczorek 2013, Miao i Chiou
2007].
W niniejszej publikacji zostanie zaprezentowany adaptacyjny
przedział ufności dla różnicy średnich
, który znajduje
zastosowanie w przypadku asymetrycznych rozkładów oraz niejednorodnych wariancji. Sposób postępowania składa się z dwóch etapów
postępowania. Etap pierwszy polega na weryfikacji hipotez zerowych zakładających symetryczność rozkładu w obu porównywanych
zbiorowościach. Poniżej zostaną opisane trzy metody umożliwiające
ocenę symetrii rozkładu badanej zmiennej. Dwie z nich to podejścia
probabilistyczne, czyli asymptotyczny „trójkowy” test symetrii (P1)
i testu symetrii opartego na asymptotycznym rozkładzie normalnym
148
(P2). Trzecia metoda to podejście deterministyczne (D), polegające na
wykorzystaniu prostej miary symetrii.
3. Asymptotyczny „trójkowy” test symetrii (P1)
„Trójkowy” test symetrii jest asymptotycznym testem niezależnym od rozkładu prawdopodobieństwa. Służy on do weryfikacji
hipotezy zerowej zakładającej symetrię rozkładu prawdopodobieństwa
badanej zmiennej. Procedura ta opiera się na statystyce estymatora
[Bandyopadhyay i in. 2007, Baklizi 2005, Kochar, 1992]. Przyjmijmy,
że
,
gdzie
dla
.
Ponadto przyjmijmy, że
Statystyka „trójkowego” testu symetrii ma postać,
,
gdzie:
149
Jeżeli to, na poziomie istotności α, odrzucana jest hipoteza zerowa
zakładająca symetrię rozkładu prawdopodobieństwa badanej zmiennej.
Wartość jest kwantylem rzędu standardowego rozkładu normalnego
[Bandyopadhyay i in. 2007, Baklizi 2005, Kochar 1992]. Ponieważ
jest to asymptotyczny test całkowicie niezależny od rozkładu prawdopodobieństwa, to w każdej sytuacji daje wiarygodne wyniki. Niestety
poważną wadą tego testu jest jego konstrukcja, która sprawia, że im
większa próba, tym więcej obliczeń należy wykonać. W przypadku 35
elementowej próby będzie potrzeba ponad sześć tysięcy obliczeń, natomiast w przypadku 50 elementowej potrzeba prawie dwanaście tysięcy
obliczeń.
4. Test symetrii (P2)
Test symetrii opiera się na asymptotycznym rozkładzie normalnym. Weryfikowana tym testem hipoteza zerowa zakłada symetrię
rozkładu badanych zmiennych. Statystyką tego testu jest
gdzie
,
gdzie
oznacza średnią arytmetyczną, a
jest wartością
mediany w badanej próbie . W mianowniku statystyki znajduje się
odporny estymator odchylenia standardowego, gdzie jest stałą matematyczną. Statystyka testowa
ma asymptotyczny rozkład normalny.
Hipotezę zerową odrzucamy na poziomie istotności α jeżeli
gdzie stała 0,5708 jest asymptotyczną wariancją statystyki
w przypadku gdy rozkład zmiennej
jest rozkładem normalnym, a
150
jest kwantylem rzędu
standardowego rozkład normalnego
N(0,1) [Kozioł – Kaczorek 2013, Miao i Chiou 2007].
5. Miara symetrii (D)
Ostatnim proponowanym podejściem do oceny symetrii jest
podejście deterministyczne, które polega na wykorzystaniu miary
symetrii postaci
gdzie
oznaczają odpowiednio pierwszą i ostatnią wartość n elementowej, uporządkowanej niemalejąco, próby. Również w
tym przypadku
oznacza wartość mediany w badanej próbie. Jeżeli
wartość mediana jest położona w równych odległościach do krańców
próby, to badany rozkład jest rozkładem symetrycznym. Jeżeli natomiast wartość mediany jest bliższa którejś z ekstremalnych wartości, to
badany rozkład jest rozkładem asymetrycznym [Bandyopadhyay i in.
2007]. Proponowana miara symetrii przyjmuje wartości z przedziału
(-1,1). Przyjmuje się, iż rozkład jest rozkładem symetrycznym jeżeli
oraz jest rozkładem asymetrycznym, jeżeli
Wartość c jest przyjętą stałą w wysokości 0,075. Proponowana
miara daje satysfakcjonujące wyniki, nie jest jednak odporna na występowanie obserwacji odstających [Bandyopadhyay i in. 2007].
6. Przedział ufności Welch – Satterthwaite
Przyjmijmy, że
oraz
są próbami losowymi pochodzącymi z dwóch niezależnych rozkładów ze średnimi
oraz wariancjami
odpowiednio. Przyjmijmy również, że
są estymatorami punktowymi średnich i wariancji
zmiennych X i Y odpowiednio. Ponadto, niech
oznacza kwantyl
rzędu
rozkładu t z k stopniami swobody. Szukanym estyma-
151
torem przedziałowym jest przedział ufności dla różnicy średnich (na
poziomie ufności ). Jednym z nich jest przedział ufności Welch – Satterthwaite
postaci:
gdzie
oraz n oznacza rozmiar próby z badaną zmienną X, a m oznacza
rozmiar próby z badaną zmienną Y. Jeżeli zmienne X i Y pochodzą z
rozkładu normalnego, to przedział ufności
jest odporny na niespełnienie założenia o równości wariancji. Oznacza to, że daje wiarygodne
wyniki zarówno w sytuacji niejednorodnych wariancji, jak i w przypadku, gdy wariancje są jednorodne [Kozioł – Kaczorek 2013, Miao
i Chiou 2007]. Jeżeli zmienne X i Y nie pochodzą z rozkładu normalnego, ale ich rozkłady są symetryczne, to naruszenie wspomnianego
założenia również nie wpływa na jakość uzyskanych wyników. Proponowana konstrukcja nie jest jednak odporna na asymetrię rozkładu
wobec czego nie powinna być w takich przypadkach stosowana.
7. Skorygowany
przedział ufności dla
asymetrycznych rozkładów
Ponownie przyjmijmy, że
oraz
są próbami losowymi pochodzącymi z dwóch niezależnych rozkładów ze
średnimi oraz wariancjami
odpowiednio. Przyjmijmy ponadto
również, że
są estymatorami punktowymi średnich zmiennych
X i Y odpowiednio. W przypadku rozkładów asymetrycznych modyfikacja danych polegająca na ich zlogarytmowaniu pozwala uczynić
je bardziej symetrycznymi. Wobec tego, konstrukcję przedziału ufności
□ poprzedza modyfikacja danych
na dane
oraz
danych
na
gdzie
i
są pewnymi stałymi, które
zapewniają, że
oraz
. W kolejnym kroku,
na bazie tak skonstruowanych danych, konstruowany jest przedział
ufności
. Następnie uzyskane wyniki poddawane są korekcie ze
152
względu na wcześniejsze przekształcenia danych. Przyjmijmy wobec
tego, że
oznaczają granice przedziału ufności skonstruowanego na podstawie wartości
oraz
[Kozioł – Kaczorek 2013, Miao i Chiou
2007]. Skorygowany przedział ufności dla (na poziomie ufności ) ma
postać
Uzasadnienie tej konstrukcji oraz jej własności są szczegółowo
opisane w pracy Miao i Chiou [Miao i Chiou 2007].
8. Analiza rynku nieruchomości
Analiza rynku nieruchomości ma szczególnie istotne znaczenie
w procesie wyceny nieruchomości. W tym kontekście analiza taka
dotyczy rynku nieruchomości w obrębie którego znajduje się wyceniana nieruchomość, czyli tak zwanego lokalnego rynku nieruchomości. Na potrzeby niniejszej publikacji przyjmijmy, że rozważania
dotyczą wyłącznie wartości rynkowej nieruchomości. Pozostałe
rodzaje wartość nieruchomości nie będą brane pod uwagę. Definicje
rynku nieruchomości, wyceny nieruchomości oraz wartości rynkowej
nieruchomości, którymi posłużono się w artykule, są definicjami obowiązującymi w Polsce. Definicja wartości rynkowej opiera się na Międzynarodowych Standardach Wyceny (IVS – International Standards
of Valuation), Europejskich Standardach Wyceny (EVS – European
Valuation Standards) oraz dyrektywach Unii Europejskiej [Trojanek
2010]. Jest ona zapisana w głównym akcie prawnym regulującym
zasady wyceny nieruchomości, czyli w Ustawie z dnia 21.08.1997 r.
o gospodarce nieruchomościami (tekst jedn. Dz. U. z 2014 r. poz. 518,
art. 151.1). Według zapisu ustawy, wartość rynkowa nieruchomości to
najbardziej prawdopodobna cena, która jest możliwa do uzyskania na
rynku. Jest ona określona z uwzględnieniem cen transakcyjnych przy
założeniu, że „strony umowy były od siebie niezależne, nie działały
w sytuacji przymusowej oraz miały stanowczy zamiar zawarcia
umowy” oraz „upłynął czas niezbędny do wyeksponowania nieruchomości na rynku i do wynegocjowania warunków umowy”[Bryx 2006,
Dydenko i in. 2006, Mączyńska i in. 2009].
153
Definicja wyceny nieruchomości wskazuje, iż jest to postępowanie mające na celu określenie wartości nieruchomości jako przedmiotu
prawa własności i innych praw do nieruchomości. Ustalona w ten
sposób wartość nieruchomości stanowi podstawę, między innymi, do
ustalenia ceny wywoławczej na potrzeby aktualizacji opłat za użytkowanie wieczyste, ustalenie wielkości zabezpieczenia kredytu, ustalenie
wysokości odszkodowania za wywłaszczenie. W Polsce wycenę nieruchomości przeprowadza się przy zastosowaniu jednego z czterech
podejść: podejścia porównawczego, podejścia dochodowego, podejścia
kosztowego, podejścia mieszanego. Do każdego z tych podejść przypisane są odpowiednie metody i techniki wyceny. Wartość rynkową
nieruchomości zasadniczo ustala się w oparciu o podejście porównawcze lub dochodowe. W szczególnych przypadkach, gdy żadne z
tych dwóch podejść nie może mieć zastosowania, stosuje się podejście
mieszane. Podejście kosztowe wykorzystywane jest do określenia wartości odtworzeniowej nieruchomości [Bryx 2006, Dydenko i in. 2006,
Mączyńska i in. 2009].
Rynek nieruchomości definiowany jest natomiast jako całokształt
stosunków zachodzących pomiędzy sprzedającymi nieruchomość
a inwestorami zainteresowanymi nabyciem określonych nieruchomości i gotowymi za nie zapłacić. Rynek nieruchomości obejmuje zatem
sprzedających i kupujących (podmioty na rynku nieruchomości), nieruchomości lub ich składniki majątkowe (przedmioty nieruchomości),
wzajemne stosunki pomiędzy podmiotami rynkowymi [Bryx 2006,
Dydenko i in. 2006, Mączyńska i in. 2009].
W przypadku analizy rynku nieruchomości istotne znaczenie ma
ujęcie przestrzenne tego rynku. W tym kontekście definiowany jest
lokalny rynek nieruchomości, regionalny rynek nieruchomości, krajowy rynek nieruchomości oraz międzynarodowy rynek nieruchomości.
W niniejszej publikacji ograniczymy się wyłącznie do lokalnego rynku
nieruchomości. W przypadku Warszawy lokalny rynek nieruchomości
przypisany jest przeważnie do jednej dzielnicy (tej, w której znajduje
się wyceniana nieruchomość). Wynika to ze znacznego zróżnicowania
pomiędzy dzielnicami.
W analizie rynku niemałe znaczenie odgrywają jego specyficzne właściwości związane z lokalizacją nieruchomości, która oznacza
najbliższe otoczenie nieruchomości (obszarowo mniejsze niż cały
rynek lokalny) oraz trwałością nieruchomości w czasie (wieloletnie
154
użytkowanie). Pamiętać również należy, że na rynku nieruchomości
towarem są prawa, takie jak prawo własności, prawo użytkowania
wieczystego, prawo dzierżawy, prawo najmu. Towarem są również
ograniczone prawa rzeczowe, czyli prawo służebności, własnościowe
spółdzielcze prawo do lokalu spółdzielczego i inne. Specyfikę rynku
nieruchomości determinują ponadto takie cechy, jak: stałość miejsca
(związanie z gruntem), różnorodność, niepodzielność, deficytowość,
duża kapitałochłonność, długi okres zwrotu nakładów inwestycyjnych,
unikalność wynikająca z braku substytutów, ograniczony obrót [Bryx
2006, Dydenko i in. 2006, Mączyńska i in. 2009].
9. Materiał badawczy
Proponowany w artykule sposób porównywania średnich pochodzących z dwóch niezależnych rozkładów zostanie zilustrowany na
przykładzie analizy porównawczej średniego poziomu cen nieruchomości położonych w dwóch dzielnicach w Warszawie. Przeprowadzona analiza jest zatem, w ograniczonym zakresie, analizą porównawczą
dwóch lokalnych rynków nieruchomości, czyli rynku nieruchomości
w dzielnicy Praga Południe (prawobrzeżna Warszawa) i w dzielnicy
Wola (lewobrzeżna Warszawa). Porównywane średnie ceny to ceny
jednego metra kwadratowego nieruchomości lokalowych (lokale
mieszkalne, mieszkania). Analizowane dane pochodzą z rynków wtórnych, czyli dotyczą mieszkań, które nie są sprzedawane bezpośrednio
przez dewelopera i najczęściej były już eksploatowane. Do analizy
wybrano informacje dotyczące nieruchomości, które były przedmiotem
transakcji na rynku nieruchomości w 2010 r.
Wykorzystane w artykule dane zostały udostępnione przez Instytut
Doradztwa Majątkowego. Pochodzą one z aktów notarialnych sprzedaży nieruchomości, z których informacje gromadzone są w Urzędzie
Miasta Warszawy w Biurze Geodezji i Katastru (Wydział Katastru).
Analiza cen transakcyjnych na terenie dzielnicy Praga Południe
została przeprowadzona w oparciu o dane transakcyjne pochodzące z 2010 r. i obejmujące 638 transakcji. Najniższa zaobserwowana
powierzchnia wynosiła wówczas 15.10 m2, najwyższa zaś 177.30 m2.
Średnia powierzchnia mieszkania mieściła się w przedziale od 46.89
m2 do 49.87 m2; 25% sprzedanych mieszkań miało powierzchnię
poniżej 35.60 m2, 50% natomiast miało powierzchnię od 35.60 m2
155
do 56.00 m2, mieszkania o większej powierzchni (powyżej 56.00 m2)
stanowiły 25% badanej zbiorowości. Najwięcej sprzedanych mieszkań
miało powierzchnię 37.80 m2. Zmienność wielkości mieszkań wyniosła w 2010 r. 40%. Najniższa zaobserwowana cena za 1 m2 na terenie
dzielnicy Praga Południe w 2010 r. wynosiła 3 411 zł, najwyższa zaś
14 964 zł. Średnia cena za 1 m2 mieszkania mieściła się w przedziale
od 7 593.50 zł do 7 856.25 zł. Na badanym rynku 25% sprzedanych
mieszkań miało cenę poniżej 6 636.30 zł za 1 m2, 50% miało cenę od
6 636.30 za 1 m2 do 8 443.00 zł za 1 m2. Mieszkania, których cena była
większa (powyżej 8 443.00 za 1 m2) stanowiły 25%. Zmienność cen za
1 m2 mieszkania wynosiła 22%.
Analiza cen transakcyjnych na terenie dzielnicy Wola została
przeprowadzona w oparciu o dane transakcyjne również pochodzące z 2010 r. i obejmujące 552 transakcje. Najniższa zaobserwowana
powierzchnia wynosiła wówczas 10,90 m2, najwyższa zaś 263,3.26
m2. Średnia powierzchnia mieszkania mieściła się w przedziale od
43.52 m2 do 47.21 m2; 25% sprzedanych mieszkań miało powierzchnię poniżej 31.94 m2, 50% natomiast miało powierzchnię od 31.94m2
do 53.72 m2, mieszkania o większej powierzchni (powyżej 53.72 m2)
stanowiły 25% badanej zbiorowości. Najwięcej sprzedanych mieszkań
miało powierzchnię 68,4 m2. Zmienność wielkości mieszkań wyniosła w 2010 r. 49%. Najniższa zaobserwowana cena za 1 m2 na terenie
dzielnicy Wola w 2010 r. wynosiła 4 488 zł, najwyższa zaś 15 316 zł.
Średnia cena za 1 m2 mieszkania mieściła się w przedziale od 7 803.70
zł do 8 009.00 zł. Na badanym rynku 25% sprzedanych mieszkań miało
cenę poniżej 7 058.75 zł za 1 m2, 50% miało cenę od 7 058.75 za 1 m2
do 8 638.30 zł za 1 m2. Mieszkania, których cena była większa (powyżej 8 638.30 za 1 m2) stanowiły 25%. Zmienność cen za 1 m2 mieszkania wynosiła 16%.
10. Wyniki
Przyjmijmy, że
oznaczają ceny transakcyjne za 1 m2
nieruchomości lokalowej w dzielnicy Praga Południe oraz
oznaczają ceny transakcyjne za 1 m2 nieruchomości lokalowej w
dzielnicy Wola. Zarówno
jak i
są losowymi
próbami z dwóch niezależnych rozkładów ze średnimi oraz wariancja-
156
mi
odpowiednio. Interesuje nas przedział ufności dla różnicy
średnich skonstruowany na poziomie ufności.
Pierwszym krokiem analizy było sprawdzenie, czy badane zmienne mają rozkłady normalne. W tym celu sformułowano dwie hipotezy
zerowe:
1. H0: zmienna X ma rozkład normalny;
2. H0: zmienna Y ma rozkład normalny.
Powyższe hipotezy zweryfikowano testem Shapiro – Wilka na
poziomie istotności
.W obu przypadkach hipotezy zerowe
odrzucono, tym samym można uznać, iż badane zmienne X,Y nie mają
rozkładu normalnego.
Kolejnym krokiem było zbadanie symetryczności rozkładów obu
zmiennych. W tym celu wykorzystano podejście deterministyczne (D),
czyli miarę symetrii oraz drugie podejście probabilistyczne (P2), czyli
test symetrii oparty na asymptotycznym rozkładzie normalnym. Ponieważ
oraz
to można sądzić, iż obie zmienne (X,Y) mają asymetryczne rozkłady.
Warto w tym miejscu dodać, iż w obu przypadkach rozkłady wykazują
asymetrię prawostronną, czyli średnia cena jest większa od ceny występującej najczęściej (tzw. dominanty). W podejściu probabilistycznym
(P2) sformułowano natomiast dwie hipotezy zerowe:
1. H0: zmienna X ma rozkład symetryczny;
2. H0: zmienna Y ma rozkład symetryczny.
Powyższe hipotezy zostały odrzucone na poziomie istotności
, czyli można sądzić, iż obie zmienne mają asymetryczne
rozkłady. Wobec tego do oceny różnicy średnich cen 1 m2 nieruchomości w obu dzielnicach potrzebne będzie zastosowanie adaptacyjnego
przedziału ufności
.
Następnym krokiem było badanie jednorodności wariancji.
W tym celu została sformułowana hipoteza zerowa zakładająca
jednorodność wariancji obu badanych zmiennych
.
W procesie weryfikacji tej hipotezy wykorzystano test F. Na podstawie
uzyskanych wyników, na poziomie istotności
odrzucono
hipotezę o równości wariancji. Tym samym można zatem przyjąć, iż
157
wariancje obu badanych zmiennych nie są takie same. Wobec tego podstawą do oceny różnicy pomiędzy średnimi cenami 1 m2 nieruchomości w obu dzielnicach będzie przedział ufności Welcha – Satterthwaite
[Welch 1938; Satterthwaite 1946].
Kolejnym krokiem była modyfikacja danych polegająca na ich
zlogarytmowaniu, czyli modyfikacja cen 1 m2 nieruchomości na Pradze
Południe
na dane
oraz cen 1 m2 nieruchomości na
Woli
na
gdzie
i
. W kolejnym kroku,
na bazie tak skonstruowanych danych, skonstruowano przedział ufności
. Czyli
oraz
. Następnie uzyskany wynik poddano korekcie ze względu na wcześniejszą modyfikację
danych. Skorygowany przedział ufności dla różnicy średnich cen 1 m2
nieruchomości w dwóch dzielnicach Warszawy, czyli przedział ufności
dla (na poziomie ufności) przyjął wartości
.
Na podstawie uzyskanych wyników można zatem sądzić, iż w
roku 2010 ceny za 1 m2 nieruchomości lokalowych (lokali mieszkalnych) na Woli były wyższe od cen 1 m2 nieruchomości na Pradze Południe o nie mniej niż 98 zł ale, nie więcej niż 406 zł.
11. Wnioski
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, iż
w porównywanych dzielnicach średnie ceny za 1 m2 nieruchomości
lokalowej (lokale mieszkalne) nie są takie same. W roku 2010 średnia cena 1 m2 nieruchomości na Woli była wyższa od średniej ceny
1 m2 nieruchomości na Pradze Południe o nie mniej niż 98 zł, ale nie
więcej niż 406 zł.
Wobec tego wartość rynkowa mieszkania o średniej powierzchni
(ok. 46 m2, średnia dla obu dzielnic) zlokalizowanego na Woli będzie
większa od wartości rynkowej mieszkania o takiej samej powierzchni
zlokalizowanego na Pradze Południe o nie mniej niż 4 508 zł, ale nie
więcej niż 18 676 zł.
Przedstawiony adaptacyjny przedział ufności dla różnicy średnich
(jest prostą do zastosowania procedurą szacowania różnicy pomiędzy
średnimi pochodzącymi z dwóch niezależnych rozkładów w przypadku
naruszenia założeń dotyczących normalności i symetryczności rozkładu oraz jednorodności wariancji. Wymaga jednak pewnej znajomości
aparatu matematycznego.
158
W literaturze z zakresu metod ilościowych można znaleźć również
pomysł aplikacji przedstawionego w pracy adaptacyjnego przedziału
ufności
. Już po stwierdzeniu, że badane zmienne nie mają
rozkładu normalnego (bez testowania symetryczności). Mechanizm
działania jest identyczny z prezentowanym w niniejszej publikacji.
Bibliografia
Baklizi A., (2005), A continuously adaptive rank test for the shift
in location, Australian and New Zealand Journal of Statistics,47,
p. 303 – 209
2. Bandyopadhyay U., Dutta D. 2007: Adaptive nonparametric tests
for a single location problem, Statistical Methodology, 4, p. 423
– 433
3. Bryx M., Rynek nieruchomości. System i funkcjonowanie, Poltext,
Warszawa 2006
4. Dydenko J. i inni, Szacowanie nieruchomości, Wolters Kulwer,
Warszawa 2006
5. Feltovich N., Nonparametric tests for differences in medians:
comparison of the Wilcoxon - Mann - Whitney and robust rankorder-tests, Experimental Economics 6, 2003
6. Kochar S.C., On the ‘triples test’ for symmetry, Statistics and Probability Letters, 14, 1992
7. Kozioł – Kaczorek D., A combined multicriteria procedure for
agriculture real estate valuation, Scientific Journal Warsaw University of Life Sciences - SGGW, Problems of World Agriculture
2013, Vol. 13 (28), no. 4, 2013
8. Mączyńska E., Prystupa M., Rygiel K., Ile jest warta nieruchomość, Poltext, Warszawa 2009
9. Miao W., Chiou P., Confidence intervals for difference between
two means. Computational Statistics & Data Analysis, nr 52,
2008
10. R Development Core Team, Alanguage and environment for statistical computing, R Fundation for Statistical Coputing, Viena
2005, http://www.R-project.org
11. Tarasińska J., Power comparison of four tests in Beherens – Fisher
problem, Colloquium Biometricum, nr 37, 2007
1.
159
12. Trojanek M., Methodic of estate valuation In Poland – actual status, Economics and sociology, 3.1, 2010
160