Całka nieokreślona

Matematyka
Całka nieokreślona
Aleksander Denisiuk
[email protected]
Elblaska
˛
Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna
ul. Lotnicza 2
82-300 Elblag
˛
Matematyka – p. 1
Całka nieokreślona
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://denisjuk.euh-e.edu.pl/
Matematyka – p. 2
Funkcja pierwotna
Definicja 1. Funkcja F (x) jest pierwotna˛ funkcja˛ dla funkcji f (x) na
przedziale (a, b), jeśli ∀x ∈ (a, b) funkcja F jest różniczkowalna w tym
punkcie oraz F ′ (x)
Przykład 2.
= f (x).
√
1. F (x) = 1 − x2 jest pierwotna˛ dla f (x) = − √ x 2 na
1−x
przedziale (−1, 1).
2.
F (x) = sin x jest pierwotna˛ dla f (x) = cos x na R.
3.
F (x) = ln x jest pierwotna˛ dla f (x) =
1
x na przedziale
(0, +∞).
Matematyka – p. 3
Funkcje pierwotne
• Jeżeli F (x) jest pierwotna˛ dla f (x), to ∀C ∈ R
F (x) + C
też jest pierwotna˛ dla f (x).
• W taki sposób można otrzymać wszystkie funkcje
pierwotne.
Twierdzenie 3. Niech funkcje F1 (x) i F2 (x) bed
˛ a˛ pierwotnymi dla f (x) na
przedziale (a, b). Wtedy istnieje C ∈ R, taka, że F1 (x) = F2 (x) + C .
Wniosek 4. Jeżeli F (x) jest jedna˛ z funkcji pierwotnych dla f (x) na
przedziale (a, b), to dowolna funkcja Φ(x), pierwotna dla f (x) na (a, b) ma
kształt Φ(x) = F (x) + C , gdzie C jest stała.
˛
Matematyka – p. 4
Całka nieoznaczona
Definicja 5. Zbiór wszystich funkcji pierwotnych dla danej funkcji F (x) na
przedziale (a, b) nazywa sie˛ całka˛ nieoznaczona˛ funkcji f (x). Oznaczenie
R
f (x) dx.
• Jeżeli F (x) jest funkcja˛ pierwotna˛ dla f (x) na przedziale
(a, b), to
Przykład 6.
2.
R
R
1.
f (x) dx = F (x) + C .
R
√ −x
1−x2
√
dx = 1 − x2 + C na przedziale (−1, 1).
cos x dx = sin x + C na prostej R.
Matematyka – p. 5
Własności całki nieoznaczonej
1.
R
R
′
f (x) dx = f (x),
F ′ (x) dx = F (x) + C ,
R
R
R
3.
f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx,
R
R
λ · f (x) dx = λ · f (x) dx, gdzie λ ∈ R,
4.
R
R
5. 0 dx = C ,
1 dx = x + C ,
R α
xα+1
6. x dx = α+1 + C , gdzie α 6= −1,
R dx
7.
x = ln |x| + C , gdzie x 6= 0,
R x
ax
8. a dx = ln a + C , gdzie 0 < a 6= 1,
R x
9. e dx = ex + C ,
R
R
10. sin x dx = − cos x + C ,
cos x dx = sin x + C ,
2.
Matematyka – p. 6
Własności całki nieoznaczonej, cd
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
π
2
R
dx
cos2 x
= tg x + C , gdzie x 6=
R
dx
sin2 x
= ctg x + C , gdzie x 6= πn, n ∈ Z,
R
√ dx
1−x2
= arcsin x + C , gdzie x ∈ (−1, 1),
R
√ dx
1−x2
= − arccos x + C , gdzie x ∈ (−1, 1),
R
dx
1+x2
= arctg x + C ,
R
dx
1+x2
= − arcctg x + C ,
R
sinh x dx = cosh x + C ,
+ πn, n ∈ Z,
R
cosh x dx = sinh x + C ,
dx
cosh2 x
= tgh x + C ,
R
dx
sinh2 x
= − ctgh x + C , gdzie x 6= 0.
R
Matematyka – p. 7
Przykłady
Przykład 7 (Całki, których nie można wyrazić przez funkcje elementarne).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
R
2
−x
e
dx,
R
cos(x2 ) dx,
R
dx
ln x , 0 < x 6= 1,
sin x
x dx,
cos x
x dx, x 6= 0.
R
R
R
sin(x2 ) dx,
Matematyka – p. 8
Zamiana zmiennej w całce nieoznaczonej
Twierdzenie 8. Niech funkcja t = ϕ(x) bedzie
˛
różniczkowalna na przedziale
(α, β), funkcja G(t) bedzie
˛
pierwotna˛ dla g(t) na przedziale (a, b), gdzie
(a, b) = ϕ (α, β) . Wtedy na przedziale (α, β)
Z
g(ϕ(x))ϕ′ (x) dx = G(ϕ(x)) + C.
Matematyka – p. 9
Przykłady
Przykład 9.
R
R
t
=
3x
1.
sin 3x dx = =
dt = 3dx
1
3
sin t dt =
− 31 cos t + C = − 13 cos 3x + C.
t = x + a R
R dx
dt
2.
=
= ln |t| + C = ln |x + a| + C,
=
x+a
t
dt = dx x 6= −a.
R cos x
R t
t
=
cos
x
3.
e
sin x dx = = − e dt = −et + C =
dt = − sin x dx
−ecos x + C .
Matematyka – p. 10
Przykłady, cd
Przykład 10.
t101
101
1.
+C =
R
(arctg x)100
1+x2
(arctg x)101
101
t = arctg x R
100
dx = =
t
dt =
dx dt = 1+x
2
+ C.
t = 5x − 6
R
2. (5x − 6)2003 dx = =
dt = 5 dx (5x−6)2004
10 020
1
5
R
2003
t
dx =
t2004
10 020
+C =
+ C,
Matematyka – p. 11
Całkowanie przez cześci
˛
Twierdzenie 11. Niech funkcje u(x) oraz v(x) bed
˛ a˛ różniczkowalne na
przedziale (a, b) i dla funkcji u′ (x)v(x) istnieje funkcja pierwotna na tym
przedziale. Wtedy dla funkcji u(x)v ′ (x) istnieje funkcja pierwotna oraz
Z
u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −
Z
u′ (x)v(x) dx.
Matematyka – p. 12
Przykłady — I
Z
u(x) = x2 v ′ (x) = cos x
2
x cos x dx = ′
=
u (x) = 2x v(x) = sin x Z
= x2 sin x − 2 x sin x dx =
u(x) = x v ′ (x) = sin x = ′
=
u (x) = 1 v(x) = − cos x
Z
= x2 sin x + 2x cos x − 2 cos x dx =
= (x2 − 2) sin x + 2x cos x + C.
Matematyka – p. 13
Przykłady — II
Z
u(x) = ln x v ′ (x) = xn xn ln x dx = ′
n+1 =
u (x) = x1 , v(x) = xn+1 Z
n+1
1
x
ln x −
xn dx =
=
n+1
n+1
xn+1 1 =
ln x −
+ C,
n+1
n+1
n 6= −1.
Matematyka – p. 14
Przykłady — III
Z
v ′ (x) = cos βx
sin βx =
v(x) = β Z
α
eαx sin βx dx =
β
v ′ (x) = sin βx cos βx =
v(x) = − β Z
2
αx
α
α
e sin βx
+ 2 eαx cos βx − 2
eαx cos βx dx,
=
β
β
β
u(x) = eαx
eαx cos βx dx = ′
u (x) = αeαx
Z
eαx sin βx
=
−
b
u(x) = eα x
= ′
u (x) = αeαx
wiec
˛
R
eαx cos βx dx =
α cos βx+β sin βx αx
e
α2 +β 2
+ C.
Matematyka – p. 15