Tablice Całek

Tablice Całek
29 grudnia 2003 roku
Spis treści
1 Wzory podstawowe
2
2 Całkowanie funkcji wielomianowych
4
3 Całkowanie funkcji wymiernych
5
4 Całkowanie funkcji niewymiernych
7
5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych
8
6 Całkowanie funkcji wykładniczych
9
7 Całkowanie przez czȩści i podstawienie
1
10
1
Wzory podstawowe
1.
R
0dx = C
2.
R
dx = x + C
3.
R
xdx = 12 x2 + C
4.
R
xn dx =
5.
R
1
dx
x
6.
R
f 0 (x)
dx
f (x)
1
xn+1
n+1
+ C, dla n 6= −1
= ln |x| + C
= ln |f (x)| + C
= − x1 + C
√
R√
8.
xdx = 23 x x
√
R
9. √1x dx = 2 x + C
7.
R
1
dx
x2
10.
R
f (x)
√
dx = 2 f (x) + C
11.
R
√ dx
1−x2
12.
R
sin xdx = − cos x + C
13.
R
1
14.
R
cos xdx = sin x + C
15.
R
cosh xdx = sinh x + C
16.
R
1
dx
sin2 x
17.
R
1
dx
sinh2 x
18.
R
1
dx
cos2 x
19.
R
1
dx
cosh2 x
20.
R
ex dx = ex + C
0
q
f (x)
1 sinh x
2 cosh x
= arcsin x + C
sinh xdx = −2 cosh x + C
=
= −3 cot x + C
= −4 coth x + C
= tan x + C
= 5 tanh x + C
ex −e−x
,
2
ex +e−x
,
2
jest to sinus hiperboliczy
=
jest to cosinus hiperboliczy
3 cot x oznacza cotangens
4 cot x = cosh x , jest to cotangens hiperboliczy
sinh x
5 tanh x = sinh x , jest to tangens hiperboliczy
cosh x
2
mx
ln m
21.
R
mx dx =
22.
R
ln xdx = x ln x − x + C
23.
R
√
arctan xdx = x arctan x − ln x2 + 1
+ C, dla m > 0 i m 6= 1
3
2
Całkowanie funkcji wielomianowych
1.
R
0dx = C
2.
R
dx = x + C
3.
R
xdx = 12 x2 + C
4.
R
(ax + b)dx = a2 x2 + bx + C
5.
R
xn dx =
6.
R
(ax + b)n dx =
7.
R
1
xn+1
n+1
+ C, dla n 6= −1
1
(ax
a(n+1)
+ b)n+1 + C, dla a 6= 0 i n 6= −1
(an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 )dx =
... + a21 x2 + a0 x + C
4
an n+1
x
n+1
+
an−1 n
x
n
+
3
Całkowanie funkcji wymiernych
1.
R
1
dx
x
2.
R
1
dx
x2
= − x1 + C
3.
R
dx
1+x2
= arctan x + C
4.
R
dx
(1+x2 )n
5.
R
dx
1+(ax+b)2
6.
R
dx
a2 +x2
7.
R
dx
b+(x−a)2
=
√1
b
8.
R
dx
a2 −x2
1
2a
ln | a+x
| + C, dla a > 0 i |x| =
6 0
a−x
9.
R
1
dx
ax+b
10.
R
1
dx
(ax+b)2
1
= − a(ax+b)
+C
11.
R
1
(ax+b)n
1
a(1−n)(ax+b)n−1
12.
R
Ax+B
dx
ax+b
13.
R
= ln |x| + C
x
2(n−1)(1+x2 )n−1
=
=
=
=
1
a
+
2n−3
2n−2
R
dx
,
(1+x2 )n−1
dla n 6= 1
arctan (ax + b) + C, dla a 6= 0
arctan xa + C, dla a 6= 0
1
a
1
a
=
=
√ + C, dla b > 0
arctan x−a
b
ln |ax + b| + C, dla a 6= 0
A
x
a
=
aB−Ab
a2
+
+ C, dla n 6= 1
ln |ax + b| + C, dla a 6= 0
b
dx
ax2 +bx+c
x+ 2a
= q1−∆ arctan q −∆
+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
a
4a2
4a2
√
x+ b−2a ∆
√
x+ b+2a ∆
14.
R
dx
ax2 +bx+c
=
15.
R
dx
ax2 +bx+c
1
= − ax+
b + C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0
16.
R
dx
b+x2
17.
R
Ax+B
dx
ax2 +bx+c
=
√1
b
√1
∆
ln |
| + C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0
2
arctan √xb + C, dla b > 0
=
A
2a
ln |ax2 + bx + c| +
2aB−Ab
√
a −∆
x+
b
2a
arctan q −∆
+ C,
4a2
dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
√
18.
R
Ax+B
dx
ax2 +bx+c
=
A
2a
√
ln |ax2 + bx + c|+ 2aB−Ab
ln |
2a ∆
a 6= 0 oraz ∆ > 0
5
x+ b−2a ∆
√
x+ b+2a ∆
|+C, dla
19.
20.
A
= 2a
ln |ax2 + bx + c| +
a 6= 0 oraz ∆ = 0
R
R
Ax+B
dx
ax2 +bx+c
Ax+B
dx
(ax2 +bx+c)n
2aB−Ab
1
(− ax+
b
2a
A
2aB−bA
+ n+1
1
2a(1−n)(ax2 +bx+c)n−1
2a
( −∆ )n− 2
=
) + C, dla
2
R
dt
,
(1+t2 )n
dla
4a2
b
x+ 2a
a 6= 0, n 6= 1, ∆ < 0 oraz t = q −∆
4a2
21.
R
Ax2 +Bx+C
dx
ax2 +bx+c
bA
=
B−
A
x+ 2aa
a
ln |ax2 + bx + c|+
2a(C− cA
)−(B− bA
)b
a√
a
a −∆
x+
b
2a
arctan q −∆
+
4a2
C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
22.
R
Ax2 +Bx+C
dx
ax2 +bx+c
bA
=
B−
A
x+ 2aa
a
2
ln |ax + bx +
2a(C− cA
)−(B− bA
)b
a √
a
c|+
2a ∆
√
ln |
C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0
23.
Ax2 +Bx+C
dx
ax2 +bx+c
B− bA
= Aa x+ 2aa ln |ax2 + bx + c|+
C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0
R
dx
(x−a)(x−b)(x−c)
24.
=
C, dla a 6= b 6= c
1
(a−b)(a−c)
25.
R
Ax+B
dx
(x−a)(x−b)(x−c)
Ac+B
ln |x − c|
(c−a)(c−b)
Aa+B
= (a−b)(a−c)
ln |x − a| +
+ C, dla a 6= b 6= c
R
x+ b−2a ∆
√
x+ b+2a ∆
2a(C− cA
)−(B− bA
)b
1
a
a
(− ax+
b
2a
|+
)+
2
1
1
ln |x − a|+ (b−a)(b−c)
ln |x − b|+ (c−a)(c−b)
ln |x − c|+
6
Ab+B
(b−a)(b−c)
ln |x − b| +
4
Całkowanie funkcji niewymiernych
1.
R√
√
xdx = 23 x x
2.
R√
4.
R
√
5.
R
√ dx
1−x2
6.
R
√
q
2
ax + bdx = 3a
(ax + b) (ax + b), dla a 6= 0
√
R 1
3. √x dx = 2 x + C
1
dx
(ax+b)
R
√ dx
a2 −x2
10.
R
√
11.
R
√ dx
x2 −1
12.
R
√
+ C, dla a 6= 0
= arcsin x + C
dx
1−(ax+b)2
7.
√
2 ax+b
a
=
=
1
a
arcsin (ax + b) + C, dla a 6= 0
= arcsin xa + C, dla a > 0
√
R
8. √xdx
=
ln
|x
+
x2 − a2 | + C, dla a 6= 0
2 −a2
√
R dx
9. √1+x
x2 + 1) + C
2 = ln (x +
dx
1+(ax+b)2
=
1
a
ln ((ax + b) +
= ln |x +
dx
(ax+b)2 −1
=
1
a
√
R
14.
R
15.
R
√
dx
x2 +bx+c
ln |(ax + b) +
= ln |x + 12 b +
√
√
√
√
dx
ax2 +bx+c
dx
ax2 +bx+c
=
√1
−a
=
√1
a
(ax + b)2 + 1) + C, dla a 6= 0
x2 − 1| + C, dla |x| > 1
b| > 1 i a 6= 0
13.
q
arcsin
q
(ax + b)2 − 1| + C, dla |ax +
x2 + bx + c| + C, dla
−ax− 2√b−a
√
ln | ax +
q
∆
−4a
b
√
2 a
+
6
∆<0
+ C, dla a < 0, oraz ∆ > 0
√
ax2 + bx + c| + C, dla a >
0i∆<0
√
√
√
√
= Aa ax2 + bx + c+ 2aB−Ab
ln | ax + 2√b a + ax2 + bx + c|+
2a a
C, dla a > 0 i ∆ < 0
√
√
R
−ax− 2√b−a
Ax+B
A
2aB−Ab
2
√
√
q
dx
=
17.
ax
+
bx
+
c
+
arcsin
+
2
a
2a −a
ax +bx+c
∆
16.
R
√ Ax+B
dx
ax2 +bx+c
−4a
C, dla a < 0, oraz ∆ > 0
6∆
= b2 − 4ac oznacza delt równania kwadratowego
7
5
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
1.
R
sin xdx = − cos x + C
2.
R
sin (ax + b)dx = − a1 cos (ax + b) + C, dla a 6= 0
3.
R
cos xdx = sin x + C
4.
R
cos (ax + b)dx =
5.
R
1
dx
sin2 x
6.
R
1
dx
sin2 (ax+b)
7.
R
1
dx
cos2 x
8.
R
1
dx
cos2 (ax+b)
9.
R
sinh xdx = − cosh x + C
10.
R
sinh (ax + b)dx = − a1 cosh (ax + b) + C, dla a 6= 0
11.
R
cosh xdx = sinh x + C
12.
R
cosh (ax + b)dx =
13.
R
1
dx
cosh2 x
14.
R
1
dx
cosh2 (ax+b)
15.
R
1
dx
sinh2 x
16.
R
1
dx
sinh2 (ax+b)
1
a
sin (ax + b) + C, dla a 6= 0
= − cot x + C
= − a1 cot (ax + b) + C, dla a 6= 0
= tan x + C
=
1
a
tan (ax + b) + C, dla a 6= 0
1
a
sinh (ax + b) + C, dla a 6= 0
= tanh x + C
=
1
a
tanh (ax + b) + C, dla a 6= 0
= − coth x + C
= − a1 coth (ax + b) + C, dla a 6= 0
8
6
Całkowanie funkcji wykładniczych
1.
R
ex dx = ex + C
2.
R
eax+b dx = a1 eax+b + C, dla a 6= 0
3.
R
mx dx =
4.
R
max+b dx =
mx
ln m
+ C, dla m > 0 i m 6= 1
max+b
a ln m
+ C, dla d > 0, m 6= 1 i a 6= 0
9
7
Całkowanie przez czȩści i podstawienie
1.
R
ln (ax + b)dx = a1 [(ax+b) ln (ax + b)−(ax+b)]+C, dla a 6= 0
2.
R
xn ln xdx =
3.
R
arctan (ax + b)dx = a1 [(ax+b) arctan (ax + b)−ln (ax + b)2 + 1] + C
1
xn+1
n+1
ln x −
1
xn+1
(n+1)2
+C
q
10