lista_zad_7_IS 14

Lista nr 7 do kursu Fizyka; rok. ak. 2013/14 sem. letni W. Inż. Środ.; kierunek Inż. Środowiska
Na stronach http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf/; http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf;
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf2.pdf dostępne są tabele wzorów matematycznych/fizycznych. Student jest
zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 7 ma na celu zdobycie przez
studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących pola
grawitacyjnego z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji. Zadania nie rozwiązane na zajęciach,
poprzedzone symbolem (S) lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
117. Największa odległość komety Halleya od Słońca to L = 35,4 RZS (RZS = 1,5·1011 m − średnia odległość Ziemi
i Słońca), a najmniejsza l = 0,59 RZS. Prędkość liniowa ruchu komety w odległości L jest równa 910 m/s. Ile wynosi
prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca? Wyznacz: a) energię mechaniczną komety, b) potencjał pola grawitacyjnego Słońca w punktach L i l.
118. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi 27 dób. Po spaleniu paliwa jądrowego (5·109 lat) Słońce
zacznie początkowo pęcznieć (do rozmiaru promienia orbity ziemskiej 1,5·1011 m), następnie zacznie kurczyć się
pod wpływem grawitacji. Oszacować promień Słońca, przy którym zacznie się ono rozpadać, jeśli jego obecny
promień 7·108 m. Ile wynosić będzie okres obrotu Słońca, gdy jego promień osiągnie wartość 1,5·1011 m?
119. Korzystając z danych w zad. 129. wyznacz na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca punkt(y), w którym(ch)
wartość zerową przyjmuje: a) natężenie pola grawitacyjnego, b) potencjał pola grawitacyjnego.
120. Energia mechaniczna planety A o masie m na orbicie eliptycznej o nieznanej półosi wielkiej a wokół gwiazdy
o masie M >> m wyraża się wzorem Em = –GMm/(2a). Znając m, M, czas T obiegu A wokół gwiazdy, wyznacz Em.
121. Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Wyznacz
natężenie pola grawitacyjnego w środku trójkąta i w środku jednego z jego boków. Jaką pracę wykonają siły grawitacyjne, a jaką siła zewnętrza przy przesunięciu jednej z kulek do nieskończoności?
122. Ciała o masach m i M znajdujące się w spoczynku, gdy dzieli je ogromna odległość, zaczynają spadać na
siebie wzdłuż prostej pod wpływem wzajemnej grawitacji. Wyznacz prędkości mas, gdy dzieli je odległość d.
123. Układ podwójny tworzą gwiazdy o masach 3·1030 kg każda, które krążą wokół środka masy po orbitach o
promieniach 1011 m. Wyznacz ich prędkości kątowe i liniowe.
124. Dwie identyczne kulki znajdują się na tej samej wysokości. Jedna z nich leży na płaskim poziomym, nieprzewodzącym ciepła stole, a druga wisi na nieprzewodzącej nici. Obu kulkom dostarczmy tej samej ilości ciepła Q.
Która z kul będzie miała wyższą temperaturę?
125. Z powierzchni planety o masie M i promieniu R wystrzelono pionowo do góry pocisk z prędkością (GM/R)1/2.
Na jaką wysokość wzniesie się pocisk?
Zadania do samodzielnego rozwiązania
126. (S) Ziemia o masie 6·1024 kg porusza się po elipsie wokół Słońca o masie 2·1030 kg. Jej najmniejsza i
największa odległość od Słońca wynoszą odpowiednio 1,49·1011 m i 1,51·1011 m. Wyznacz wartości prędkości
Ziemi w tych punktach. Jaki jest potencjał pola grawitacyjnego Słońca w tych punktach?
127. (S) Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością v0. Na jaką wysokość wzniesie się to
ciało? Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość początkową, aby nie spadło nigdy na Ziemię?
128. (S) Ziemia obiega wokół Słońca po elipsie. Wektor momentu pędu Ziemi nie zależy od czas. Dlaczego?
129. (S) Oszacować prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są
kołowe. Przyjąć: masę Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc 3,8·108m, stałą grawitacji 7·10-11m3/kg·s2,
odległość Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masę Słońca 2·1030 kg.
130. (S) Satelita o masie 50 kg okrąża planetę w 6 h. Planeta przyciąga satelitę siłą 80 N. Ile wynosi promień orbity
a ile masa planety?
131. (S) Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego − tj. poruszającego
się w płaszczyźnie równikowej naszej planety − satelity. Przyjąć wartość stałe grawitacji 7·10-11 m3/kg·s2, promień
Ziemi 6400 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2. Zagadnienie rozwiązane w notatkach do wykładów.
132. (S) Gwiazda neutronowa ma masę Słońca i promień 10 km. Ile: a) wynosi natężenie pola grawitacyjnego na
powierzchni tej gwiazdy, b) ile czasu zajmuje spadek swobodny z wysokości 1 m?
1
133. (S) SOHO, to kosmiczna obserwatorium monitorujące non-stop Słońce (patrz Solar and Heliosferic
Observatory Homepage http://sohowww.nascom.nasa.gov/) umieszczone w punkcie, gdzie równoważą się siły
grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej odległości od Słońca orbituje SOHO?
134. (S) Oszacować promienie RCz.D Ziemi, Słońca i kuli o masie 55 kg, przy których stałyby się czarnymi
dziurami? Ile ważyłoby ciało znajdujące się w odległości 2·RCz.D od takich obiektów?
135. (S) Wyznacz prędkości ucieczki dla: a) Słońca, b) białego karła (jedna z gwiazd układu potrójnego Syriusza) o
masie Słońca i promieniu 107 m, c) gwiazdy neutronowej o masie Słońca i promieniu 104 m.
136. Obliczyć i porównać ze sobą siły oddziaływań grawitacyjnych: a) Ziemi i Księżyca; b) Słońca i Księżyca; c)
Ziemi i Słońca. Masy: MZ = 6·1024 kg, MK = 7,4·1022 kg, MS = 2·1030 kg; odległości: d Z−K = 3,8·108m, d Z−S =
1,5·1011m; stała grawitacji G = 6,67 · 10−11=m3/(s2kg).
137. Ziemia o masie MZ = 6 · 1024 kg, porusza po elipsie się wokół Słońca, którego masa MS = 2 · 1030 kg. Jej
najmniejsza i największa odległość od Słońca wynoszą odpowiednio lmin = 1,49·1011m i lmax =
1,51·1011m.Wyznaczyć prędkości Ziemi przy odległościach od Słońca równych lmin i lmax oraz jej całkowitą energię
mechaniczną.
138. Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznaczyć natężenie i potencjał pola grawitacyjnego: A) Wewnątrz i na
zewnątrz jednorodnej kuli o masie M i promieniu R (rozwiązanie w notatkach do wykładów); B) Powłoki
sferycznej o masie M, promieniu zewnętrznym R i wewnętrznym r; C) Cienkiej sfery o masie M i promieniu R
(patrz notatki do wykładu); D) Wyznaczyć natężenie pola grawitacyjnego jednorodnej nieskończenie długiej struny
o liniowej gęstości masy λ.
139. A) Zakładając, że orbita Ziemi jest kołowa obliczyć jej prędkość orbitalną. B) Wyznaczyć energię
mechaniczną Ziemi w polu grawit. Słońca. C) Obliczyć energię mechaniczną Księżyca w polu grawit. Ziemi.
140. Dla satelity geostacjonarnego wyznaczyć jego: A) Prędkość kątową; B) Odległość od środka Ziemi; C)
Prędkość liniową; D) Energię mechaniczną w polu grawitacyjnym Ziemi.
141. Pokazać, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad powierzchnią planety
w czasie T = [Gρ/(3π)]1/2, gdzie ρ — średnia gęstość masy planety.
142. Satelita znajduje się na kołowej orbicie okołoziemskiej. Jak zależy od promienia r orbity: A) Okres obiegu; B)
Energia kinetyczna satelity; C) Jego moment pędu i prędkość w ruchu po orbicie.
143. Dwa ciała o masach m i M znajdują się w spoczynku w ogromnej od siebie odległości. Następnie zbliżają się
do siebie wzdłuż jednej prostej pod wpływem siły grawitacji. Pokazać, że ich wzajemna prędkość zbliżania się w
chwili, gdy dzieli je odległość d, jest równa [2G(M +m)/d]1/2. Ws-ka: zastosować zasady zachowania energii i pędu.
144. Dwie identyczne kule znajdują się na tej samej wysokości. Jedna z nich leży na płaskim poziomym
nieprzewodzącym ciepła stole, a druga wisi na nieprzewodzącej nici. Obu kulom dostarczamy tej samej ilości
ciepła. Która z kul będzie miała wyższą temperaturę?
145. Pokazać, że przyspieszenie grawitacyjne aD na dnie wydrążonego w Ziemi pionowego szybu o głębokości D
wynosi aD = g(1 − D/RZ), gdzie R–promień Ziemi.
W. Salejda
Wrocław, 31 marca 2013
2