ZADANIE. 1. (5 pkt) Czy milion minut to więcej czy mniej niż dwa lata

ZADANIE. 1. (5 pkt) Czy milion minut to więcej czy mniej niż dwa lata?
Rozwiązanie: Wiemy, że 1 rok to 365 dni,
1 dzień to 24 godziny,
1 godzina to 60 minut, zatem
2 lata to 2  365  24  60  1051200 minut
Odp. Milion minut to mniej niż dwa lata.
ZADANIE. 2 (5 pkt) Znajdź dwutysięczną cyfrę po przecinku w rozwinięciu
1
dziesiętnym ułamka
.
13
1
 0, (076923) . Okres
13
tego ułamka ma długość 6. Obliczamy, że 2000 : 6 = 333 reszta 3, dlatego
dwutysięczną cyfrą rozwinięcia będzie trzecia cyfra okresu, czyli 6.
Rozwiązanie: Obliczamy pisemnie lub na kalkulatorze, że
ZADANIE. 3 (5 pkt) Artur, Robert i Jurek zbudowali trzy latawce w kształcie
rombów. Latawiec Roberta jedną przekątną miał taką samą jak u Artura, drugą
zwiększoną o 50%, natomiast latawiec Jurka, w porównaniu do latawca Artura
1
miał jedną przekątną 1 razy większą, a drugą o 25% mniejszą. Czyj latawiec
2
miał największe, a czyj najmniejsze pole powierzchni?
Rozwiązanie:
Imię
Długość drugiej
przekątnej
Pole powierzchni
latawca
Artur
Długość
pierwszej
przekątnej
x
Y
P
Robert
x
150% z y= 1,5y
Jurek
1,5x
75% z y = 0,75y
1
xy  0,5xy
2
1
P  x  1,5  y  0,75xy
2
1
P   1,5x  0,75  y  0,5625xy
2
Odp: Największe pole miał latawiec Roberta, najmniejsze Artura.
ZADANIE. 4 (5 pkt) Z trzech grup słuchaczy kursu samochodowego
„Bezpieczna jazda” łącznie zdało egzamin 29 osób. Z grupy najmniej licznej
1
egzamin zdała połowa słuchaczy, z grupy średniej
liczby uczestników, a z
3
1
grupy największej
liczby uczestników. Ile osób uczęszczało na kurs, jeżeli
4
wiesz, że liczby słuchaczy w każdej grupie są kolejnymi liczbami naturalnymi?
Rozwiązanie:
Grupa najmniej liczna: zdała połowa słuchaczy, czyli liczba uczestników tej grupy
musi być podzielna na 2. Dodatkowo wiemy, że na pewno grupa liczy mniej niż 29
osób, zatem możliwa liczba słuchaczy w tej to:
2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
1
liczby uczestników, czyli liczba osób tej grupy musi być
3
podzielna na 3. Dodatkowo wiemy, że na pewno grupa liczy mniej niż 29 osób,
zatem możliwa liczba słuchaczy w tej to:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
Grupa średnia: zdała
1
liczby uczestników, czyli liczba osób tej grupy musi
4
być podzielna na 4. Dodatkowo wiemy, że na pewno grupa liczy mniej niż 29 osób,
zatem możliwa liczba słuchaczy w tej to:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.
Grupa największa: zdała
Jak łatwo sprawdzić jedyne kolejne liczby naturalne z powyżej wypisanych, które
spełniają warunki zadania to: 26, 27, 28 (czyli z pierwszej grupy egzamin zdało 13
osób, z drugiej 9, z trzeciej 7 co w sumie daje 29 osób).
Odp: Na kurs uczęszczało 81 osób.
ZADANIE. 5 (5 pkt) Wykaż nie korzystając z kalkulatora, że:
1 1 1
1 1
1
1
1
1 1
   ... 



 ... 

a)
b)
11 12 13
20 2
21 22 23
30 3
1 1 1
1
   ... 
1
c)
11 12 13
40
Rozwiązanie:
a) Wiemy, że
1
1
 ,
11 20
1
1
 ,
12 20
1
1
 ,
13 20
...
1
1
 , stąd
19 20
1 1 1
1
1
1
1 10 1
   ... 


 ... 

 .
11 12 13
20 20 20
20 20 2
c.n.d.
b) Wiemy, że
1
1
 ,
21 30
1
1
 ,
22 30
1
1
 ,
23 30
...
1
1
 , stąd
29 30
1
1
1
1
1
1
1 10 1


 ... 


 ... 


21 22 23
29 30 30
30 30 3
c.n.d.