5000 K ][79, 4780 ) 0075,1( 5000 ) 12 09,0 1( zł KK

5000 K ][79, 4780 ) 0075,1( 5000 ) 12 09,0 1( zł KK

Przykład 18
Bank udziela kredytu pobierając z góry zapłatę w postaci dyskonta matematycznego
prostego według rocznej stopy procentowej 18%. Obliczymy, jaką kwotę otrzymał „do
ręki” kredytobiorca, który zaciągnął kredyt w wysokości 150 tys. zł na trzy kwartały.
W tym przypadku mamy Ko=150.000 zł, r=0,18 (roczna) więc dyskonto matematyczne
proste za 3 kwartały wynosi {bierzemy pod uwagę dostosowaną stopę kwartalną i
wartość za 3 kwartały, czyli 3 bo 3 kwartały, a 4 bo stopa procentowa jest
roczna=4kwartały}
DM= 150.000 0,18/4 *3 = 450 * 0,045 = 20,25 [tys zł]
Mamy
K=Ko- DM=150-20,25=129,75 [tys. zł]
Zatem kredytobiorca otrzymuje do ręki 129 750zł {a do spłacenia ma oczywiście kredyt
150 tys}.
Przykład 19
Rachunek Pana X jest prowadzony w modelu miesięcznej kapitalizacji złożonej z dołu i
obowiązuje roczna stopa procentowa 9%. Za pół roku na rachunek Pana X ma wpłynąć
5000zł z tytułu nagrody jubileuszowej. Właścicielem jakiej kwoty z tego tytułu może
poczuć się Pan X już dziś?
Mamy tutaj
K6
5000 , r=0,09 (roczna), m=12 (kapitalizacja miesięczna), zatem
12
K6
K0
12
0,09 6
(1
)
12
5000 (1,0075)
6
4780,79[ zł ]
Pan X dziś może się czuć właścicielem kwoty 4780,79 zł, zaś dyskonto matematyczne
złożone jest tutaj równe
DM
5000
4780 ,79
219 ,21[ zł ]
Dyskonto handlowe
Dyskonto handlowe stosowane jest w przypadku korzystania z weksli, obligacji
sprzedawanych z dyskontem i innych papierów wartościowych oznaczających
zobowiązanie finansowe.
W praktyce stosowane jest tylko dyskonto handlowe proste, potem będziemy
przymiotnik proste pomijać. Jest ono proporcjonalne do wartości nominalnej papieru
wartościowego {ta, która figuruje na odpowiednim papierze}, a współczynnik
proporcjonalności nazywany jest stopą dyskontową. Ponadto dyskonto handlowe jest
proporcjonalne do długości okresu czasu, którego dotyczy. Dyskonto handlowe, które
będziemy oznaczać przez DH wyraża się wzorem
(66) DH = Wnom * d *n
Gdzie,
Wnom oznacza wartość nominalną papieru wartościowego zawsze jest większa od 0
d – stopę dyskontową, d>0
n – liczbę okresów stopy dyskontowej, których dyskonto dotyczy
Dyskonto handlowe jest stosowane w obrocie wekslami lub innymi papierami
wartościowymi. Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie do
zapłaty określonej kwoty w określonym terminie. Wymieniona na wekslu kwota jest jego
wartością nominalną.
W szczególności tzw. Weksel kupiecki jest potwierdzeniem udzielenia przez
sprzedawcę towarów lub usług kredytu kupieckiego na ich zakup. Zwykle jest to kredyt
krótkoterminowy, czyli jego okres spłaty nie przekracza roku. Posiadacz weksla może go
zdyskontować, czyli sprzedać w banku komercyjnym. Bank komercyjny może z kolei ten
weksel redyskontować w banku centralnym. Operacje dyskontowania i redyskontowania
wiążą się z pomniejszeniem wartości nominalnej weksla o wartość odpowiedniego
dyskonta.
Niech d oznacza roczną stopę dyskontową (d>0) zaś t – liczbę dni zawartych
między datą spłaty weksla a datą jego zakupu (sprzedaży). Wówczas z (66) mamy
(67)
DH Wnom *
d
* t , gdzie Wnom, d>0, t naturalne
360
Odsprzedający weksel otrzymuje więc jako zapłatę kwotę Wnom-DH, która jest tzw.
Wartością aktualną weksla (w dniu transakcji) oznaczaną przez Wakt. Zatem mamy
(68) Wakt = Wnom – DH = Wnom (1-d/360 * t).
W praktyce zwykle liczbę dni t oblicza się wg czasu kalendarzowego (stosowana
jest reguła bankowa). Dwa weksle nazywamy równoważnymi w pewnym dniu jeśli ich
wartości aktualne w tym dniu są sobie równe. {nominale mogą być różne, bo przecież
terminy spłat mogą być różne}.
Zauważmy, że dyskontowanie handlowe czyli odejmowanie od wartości dyskonta
handlowego nie jest operacją odwrotną do oprocentowania prostego przy tej samej
stopie procentowej (tj w przypadku, gdy r = d >0).
Dla oprocentowania prostego przy stopie procentowej r i takiej samej stopie
dyskontowej dla n okresów tych stóp mamy
Kn
DH
Kn
K n rn K n (1 r n) K 0 (1 r n)(1 r n)
Ko(1 r 2 n 2 )
Ko
Ko, r>0
Dodanie do Ko dyskonta matematycznego prostego czyli odsetek prostych daje
Kn, ale odjęcie od Kn dyskonta handlowego nie daje Ko, ale wartość mniejszą. Jest to
konsekwencją faktu, że dyskonto handlowe jest obliczane w oparciu o wartość Kn.
{dyskonto matematyczne liczymy od wartość początkowej, a dyskonto handlowe od
końcowej}.
Dla n okresów stopy procentowej i dyskontowej r mamy D M = Ko n r DH = Kn n r
Wiemy, że Kn>Ko, więc oczywiście DH>DM, czyli dyskonto matematyczne proste jest
mniejsze od handlowego przy tej samej stopie.
Stopę procentową r i stopę dyskontową d nazywamy stopami równoważnymi,
gdy dyskonto matematyczne proste (przy stopie procentowej r) jest równe wartości
dyskonta handlowego (przy stopie dyskontowej d). {oczywiście obie są dodatnie}.
Rozważmy n okresów stóp r oraz d >0. Wobec powyższej definicji stopy r oraz d
są równoważne, gdy zachodzi równość DM = DH czyli
K0 n r = Kn d n, a więc
Ko n r= Ko(1+Rn) d n
(Ko>0)
Zatem
(69) d
r
r
1 nr
0
Oraz równoważnie
d + d n r = r czyli r(1-d n) = d {prawa strona jest dodatnia, r jest dodatnie, wiec by to
miało sens to nawias też musi być dodatni}
Jest widoczne, że zagadnienie równoważności stóp r oraz d ma sens, gdy 1-d*n >0,
mamy wtedy
(69’) r
d
d
1 dn
0, dn 1
Z (69) widzimy też, że dla każdego n naturalnego mamy d<r (nawet n może nie być
naturalne, czyli rozważać możemy niepełne okresy stóp r i d). Jeżeli d>=r stopy r oraz d
nigdy nie są równoważne. {czyli widać, że to n jest istotne, nie da się go wyrugować,
relacja równoważności jest wyraźnie zależna od okresu w jakim jest ona rozpatrywana}.
Uwaga:
Z (69) i (69’) wynika, że równoważność stóp r, d (procentowej i dyskontowej) jest
zależna od rozważanej liczby okresów tych stóp. Stopy równoważne dla jednego okresu
nie są równoważne dla innego okresu czasu.
Dyskonto matematyczne jest „neutralne” dla wierzyciela i dłużnika. Dyskonto
handlowe, które wyznacza się na podstawie wartości przyszłej , jak wiemy, jest większe
od dyskonta matematycznego, przy tej samej stopie , wiec jest ono mniej korzystne dla
dłużnika. Warto dodać, że bank kupując weksel przed terminem płatności oprócz
dyskonta pobiera jeszcze również inne opłaty manipulacyjne, które dodatkowo
pomniejszają aktualną wartość weksla.
Przykład 20
Firma A dostarczyła firmie B towar o wartości 100 000 zł. Strony zgodziły się, że firma B
uiści zapłatę za ten towar za dwa miesiące płacąc za okres zwłoki odsetki proste wg
rocznej stopy procentowej 24%. Wyrazem tej umowy był odpowiedni weksel kupiecki.
Wartość nominalna weksla jest zatem równa
WNOM 100 000 (1
0,24
* 2) 100 000*1,04 104 000[ zł ]
12
{dzielimy przez 12 bo rok ma 12 miesięcy, zaś *2 bo interesuje nas okres dwóch
miesięcy}.
Jeżeli firma A potrzebuje gotówki natychmiast, to może zdyskontować ten weksel w
banku komercyjnym. Gdyby dokonała tego w dniu transakcji i gdyby stopa dyskontowa
była równa stopie procentowej, to dyskonto handlowe jest wtedy równe
DH 104 000*
0,24
* 2 4160[ zl ]
12
Zatem firma A otrzymałaby w banku aktualną wartość weksla tj.
Wakt = WNOM – DH = 104 000 - 4160 = 99 840 [zł]
Dyskonto handlowe w wysokości 4160 zł stanowi zysk banku na tych transakcjach.
Przykład 21
Właściciel weksla o wartości nominalnej 15 000 zł zdyskontował go na 36 dni przed
terminem w banku komercyjnym wg stopy dyskontowej 20%, zaś bank komercyjny w
tym samym dniu zredyskontował ten weksel w banku centralnym wg stopy
redyskontowej 16%. Mamy obliczyć zysk (marżę) banku komercyjnego uzyskany z tej
transakcji. {czyli wg jednej i drugiej stopy mamy 36 dni przed wykupem i chodzi o
policzenie różnicy między Wartością aktualną banku centralnego w tym dniu a wartością
aktualną banku komercyjnego w tym samym dniu}.