1 Temat: Oprocentowanie proste. Dyskontowanie proste. Dyskonto

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 1
Temat:
IiE, I rok SSL
Oprocentowanie proste. Dyskontowanie proste. Dyskonto handlowe proste.
1. Oprocentowanie proste polega na tym, że procent (odsetki) nalicza się od kapitału początkowego
proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Oznacza to, że odsetki uzyskane w okresach poprzednich
nie podlegają oprocentowaniu w okresach następnych a są jedynie dodawane do kapitału po każdym okresie
kapitalizacji.
K n( p ) =
K 0 (1 + rn ) , n ∈ N
2. Wartość przyszła kapitału dla zmiennej stopy procentowej w przypadku oprocentowania prostego wyrażona
jest wzorem
K n(1p+)...+ n=
K 0 (1 + r1n1 + r2 n2 + ... + rm nm )
m
3. Przeciętną roczną stopą procentową w okresie n nazywamy taką roczną stopę procentową r , przy której
dowolny kapitał początkowy osiągnie po okresie n tą samą wartość przyszłą, którą osiąga przy zróżnicowanych
stopach procentowych r1 , r2 ,..., rm odpowiednio w okresach n1 , n2 ,..., nm , czyli
K 0 (1 + rn=
) K 0 (1 + r1n1 + r2 n2 + ... + rm nm )
Zatem przeciętna roczna stopa procentowa w okresie n
1 m
r = ∑ rj n j
n j =1
jest średnią ważoną stóp procentowych z poszczególnych podokresów z wagami równymi długości tych
podokresów.
4. Dyskontowanie proste kapitału K n( p ) jest to obliczanie wartości kapitału początkowego K 0 dla danej wartości
przyszłej kapitału końcowego K n( p ) przy ustalonej stopie oprocentowania prostego r, tzn.
K0 =
K n( p )
1 + rn
Dyskontem prostym (rzeczywistym, matematycznym) nazywamy różnicę:
=
D K n( p ) − K 0
5. Dyskonto handlowe to opłata za pożyczkę naliczana od kwoty, którą dłużnik zwróci po ustalonym czasie, jest
proporcjonalne do tego czasu i pobierane jest z góry, czyli przy udzielaniu pożyczki.
Roczną stopą dyskontową d nazywamy stosunek dyskonta handlowego do kwoty należnej wierzycielowi po
upływie roku.
Dyskonto handlowe proste dane jest wzorem
Zatem kwota zdyskontowana wyniesie
DH = K n dn
P = K n − DH = K n (1 − dn )
6. Zasada równoważności stopy procentowej i stopy dyskontowej. Roczna stopa procentowa r oraz roczna
stopa dyskontowa d są równoważne w czasie n, jeśli odsetki oraz dyskonto obliczone przy tych stopach dla tej
samej pożyczki są równe.
Stopa r równoważna stopie d w czasie n:
d
r=
1 − dn
Stopa d równoważna stopie r w czasie n:
r
d=
1 + rn
Okres równoważności stopy procentowej r i dyskontowej d:
n=
1 1
−
d r
7. Zasada równoważności kapitałów. Kapitały K1 i K2 są równoważne w momencie t, jeśli ich wartości
zaktualizowane na moment t są równe.
1