11.2. Ostrosłupy

11. 2. OSTROSŁUPY
Ostrosłupy
ściana boczna - trójkąt
podstawa ostrosłupa - dowolny wielokąt
H
·
Wysokość ostrosłupa H – odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły
do podstawy
Czworościan - ostrosłup trójkątny ( podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt).
Ostrosłup prawidłowy – ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi
trójkątami równoramiennymi.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa:
Pc = Pp + Pb
V =
1
Pp ⋅ H
3
Kąty w ostrosłupie
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt płaski przy wierzchołku
β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
α
δ
γ
β
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy
β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
δ
γ
α
β
Ostrosłup prawidłowy czworokątny – ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany
boczne są
trójkątami równoramiennymi.
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
d – przekątna podstawy d = a 2
b
H
0,5d
h1
0,5a
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
1
Pc = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h1
2
1 2
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: V = a ⋅ H
3
Przykład 11.2.1. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez
płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest
trójkątem prostokątnym o polu 18 cm 2 . Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzór V =
1
Pp ⋅ H .
3
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat,
to Pp = a
Dane:
Szukane:
P = 18cm 2
Pc = ?
α = 90°
V =?
Wzory:
2
, zatem V =
1 2
a ⋅H .
3
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa wykorzystujemy
2
wzór Pc = Pp + Pb . PoniewaŜ Pp = a
oraz powierzchnię boczną tworzą cztery
trójkąty równoramienne o podstawie a i
1
Pc = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h1
2
1 2
V = a ⋅H
wysokości h1 ,zatem
3
1
d =a 2
Pc = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h1
2
P = b2
W obliczeniach wykorzystujemy równieŜ
wzór na przekątną kwadratu
d = a 2.
Przekrojem ostrosłupa jest trójkąt
prostokątny ADF o przyprostokątnych b.
2
Zatem pole tego trójkąta P = b
Obliczamy b
P = b2
18 = b 2
b = 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa
obliczamy długość podstawy ostrosłupa.
Wykorzystujemy wzór
d =a 2
b2 + b2 = d 2
( 18 )2 + ( 18 )2 = (a 2 )2
18 + 18 = 2a 2
2a 2 = 36 / : 2
a 2 = 18
a=3 2
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa
obliczamy wysokość ostrosłupa.
Wykorzystujemy wzór
H 2 + (0,5d )2 = b 2
2
a 2
 =
H + 

2


2
( 18 )2
d =a 2
2a 2
= 18
4
2 ⋅ 18
H2 +
= 18
4
H2 +
H 2 = 18 − 9
H =3
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa
obliczamy wysokość ściany bocznej
ostrosłupa.
h12 + (0,5a )2 = b 2
2
( )
3 2 
2
 = 18
h1 + 

 2 
18
h12 +
= 18
4
72 18
h12 =
−
4
4
54
h12 =
4
54
9⋅6 3 6
h1 =
=
=
2
2
2
1
3 6
Pc = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h1 = 18 + 2 ⋅ 3 2 ⋅
=
2
2
2
Obliczamy V i Pc
= 18 + 9 12 = 18 + 9 4 ⋅ 3 = 18 + 18 3cm 2
1
1
V = a 2 ⋅ H = ⋅ 18 ⋅ 3 = 18cm 3
3
3
Przykład 11.2.2. Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 3,6 m. Ściana boczna tego
ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 70° . Ile sztuk dachówek naleŜy kupić,
aby pokryć ten dach , wiedząc ,Ŝe do pokrycia 1 m 2 potrzebne są 22 dachówki.
.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Powierzchnię boczną tworzą cztery trójkąty
równoramienne o podstawie a i
wysokości h1 ,zatem
Dane:
a = 3,6m
α = 70°
1
Pb = 4 ⋅ a ⋅ h1
2
Szukane:
x – ilość dachówek
1m 2 − 22 dachówki
1
Wzory: Pb = 4 ⋅ a ⋅ h1
2
Obliczamy wysokość ściany bocznej h1
Wykorzystujemy definicję kosinusa:
cosα =
cos α =
0,5a
h1
1,8
cos 70° =
h1
1,8
0,3420 =
h1
1,8
≈ 5,26
0,3420
1
Pb = 4 ⋅ a ⋅ h1 = 2 ⋅ 3,6 ⋅ 5,26 = 37,872m 2
2
przyprostokatna_ przy_α
przeciwprostokatna
Z zawierających przybliŜone wartości
funkcji trygonometrycznych odczytujemy
wartość cos 70°
h1 =
1m 2 − 22 dachówki
37,872m 2 − x dachówek
x = 22 ⋅ 37,872 = 833,184
Odp. : NaleŜy kupić 834 dachówek.
Obliczamy powierzchnię dachu.
Obliczamy ilość dachówek potrzebnych na
pokrycie dachu. W tym celu układamy
proporcję.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny – ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a
ściany boczne są
trójkątami równoramiennymi.
b
H
h1
r
h
R
a
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
a 3
h – wysokość podstawy h =
2
r – promień okręgu wpisanego w podstawę
a 3
1
r= h r=
3
6
R – promień okręgu opisanego na podstawie
2
a 3
R= h R=
3
3
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
a2 3
1
Pc =
+ 3 ⋅ a ⋅ h1
4
2
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
V=
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
Przykład 11.2.3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt 30° . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli krawędź
podstawy wynosi 6.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzór
V =
1
Pp ⋅ H .
3
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest trójkąt
a2 3
równoboczny , to Pp =
, zatem
4
V=
2
1 a 3
⋅
⋅H .
3
4
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa wykorzystujemy
wzór Pc = Pp + Pb . PoniewaŜ
Dane:
Szukane:
a=6
V =?
α = 30° Pc = ?
Wzory:
V=
Pc =
r=
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
a2 3
1
+ 3 ⋅ a ⋅ h1
4
2
a 3
6
a2 3
oraz powierzchnię boczną
4
Pp =
R=
a 3
3
tworzą trzy trójkąty równoramienne o
podstawie a i wysokości h1 ,zatem
Pc =
a2 3
1
+ 3 ⋅ a ⋅ h1 .
4
2
W obliczeniach wykorzystamy równieŜ wzory
na promień okręgu wpisanego w podstawę:
a 3
oraz na promień okręgu opisanego
6
a 3
na podstawie: R =
3
r=
Obliczamy wysokość ostrosłupa H.
Korzystamy z definicji tangensa:
H
tgα =
R
tg 30° =
tgα =
H
a 3
3
H
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przyprostokatna _ przy _ α
Wykorzystujemy równieŜ wzór
R=
a 3
3
3
=
3
6 3
3
3
H
=
3
2 3
3H = 6 / : 3
H =2
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa
h1 .
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Wykorzystujemy równieŜ wzór:
r=
a 3
6
h12 = r 2 + H 2
2
a 3
 + 22
h1 = 

6


2
2
6 3
 +4
h1 = 

 6 
2
h12 = 3 + 4
h1 = 7
1 a2 3
1 62 3
36 3
⋅
⋅H = ⋅
⋅2 =
⋅2 =
3
4
3
4
12
= 3 3 ⋅2 = 6 3
V=
Obliczamy V i Pc
a2 3
1
62 3
1
+ 3 ⋅ a ⋅ h1 =
+ 3⋅ ⋅6⋅ 7 =
4
2
4
2
36 3
=
+ 3⋅3 7 = 9 3 + 9 7
4
Pc =
Czworościan foremny – ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
a – krawędź czworościanu
H – wysokość czworościanu H =
h – wysokość ściany h =
a
h
a 3
2
r – promień okręgu wpisanego w ścianę
a 3
1
r= h r=
3
6
R – promień okręgu opisanego na ścianie
2
a 3
R= h R=
3
3
H
r
h
R
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego: Pc = 4 ⋅
Wzór na objętość czworościanu foremnego:
a 6
3
V=
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
a2 3
4
Przykład 11.2.4. Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest równe
36 3cm 2 . Oblicz objętość tego czworościanu.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości czworościanu
wykorzystujemy wzór
V =
1
Pp ⋅ H . PoniewaŜ
3
podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ,
a2 3
1 a2 3
to Pp =
, zatem V = ⋅
⋅H .
4
3
4
Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego
stanowią cztery trójkąty równoboczne. Zatem
2
Pc = 4 ⋅
Dane:
Szukane:
Pc = 36 3cm 2
V =?
Wzory:
a2 3
4
a 6
H=
3
Pc = 4 ⋅
a
3
4
WykaŜemy, Ŝe wysokość czworościanu foremnego
jest równa H
V=
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
=
a 6
3
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na
promień okręgu opisanego na
podstawie: R
=
a 3
3
H 2 + R2 = a2
2
a 3
 = a2
H + 

3


2
H 2 = a2 −
6a 2
9
a 6
H=
3
H2 =
3a 2
9
Pc = 4 ⋅
a2 3
, obliczamy
4
długość krawędzi czworościanu a.
a2 3
4
Wykorzystując wzór
36 3 = a 2 3 / : 3
Pc = 4 ⋅
a 2 = 36
a=6
a 6 6 6
H=
=
=2 6
3
3
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego
wykorzystując wzór
H=
a 6
.
3
Obliczamy objętość czworościanu
1 a2 3
1 62 3
⋅
⋅H = ⋅
⋅2 6 =
3
4
3
4
36 3
⋅ 2 6 = 3 3 ⋅ 2 6 = 6 18 =
12
= 6 9 ⋅ 2 = 18 2
V=
Przykład 11.2.5. Oblicz cosinus kąta , jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
W zadaniu wykorzystamy wzory na
wysokość ściany czworościanu foremnego:
a 3
oraz promień okręgu wpisanego
2
a 3
w ścianę : r =
6
h=
Szukane :
cos α = ?
Wzory:
a 3
h=
2
r=
a 3
6
Obliczamy
kosinusa:
cosα =
a 3
r
a 3 2
1
cos α = = 6 =
⋅
=
h a 3
6 a 3 3
2
cos α , korzystamy z definicji
przyprostokatna_ przy_α
przeciwprostokatna
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny – ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny,
a ściany boczne
są trójkątami równoramiennymi.
b
H
h1
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
r – promień okręgu wpisanego w podstawę
a 3
r=
2
R – promień okręgu opisanego na podstawie R = a
r
R
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego:
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego:
V=
Pc = 6 ⋅
a2 3
1
+ 6 ⋅ a ⋅ h1
4
2
1
a2 3
⋅6⋅
⋅H
3
4
Przykład 11.2.6. Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego,
w którym wysokość ściany bocznej wynosi 9, natomiast róŜnica między polem koła
opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w jego podstawę
wynosi 8π .
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości ostrosłupa
wykorzystujemy wzór
V =
1
Pp ⋅ H .
3
PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest
sześciokąt foremny, to
Pp = 6 ⋅
a2 3
,
6
1
a2 3
zatem V = ⋅ 6 ⋅
⋅H .
3
4
Dane :
h1 = 9
Po − Pw = 8π
Szukane:
Pc = ?
V =?
a
2
1
+ 6 ⋅ a ⋅ h1
4
2
2
1
a 3
V = ⋅6⋅
⋅H
3
4
3
Po = πR 2
r=
Pp = 6 ⋅
a2 3
oraz powierzchnię
6
boczną tworzy sześć trójkątów
równoramiennych o podstawie
Wzory:
Pc = 6 ⋅
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa wykorzystujemy
wzór Pc = Pp + Pb . PoniewaŜ
a 3
2
Pc = 6 ⋅
a
W obliczeniach wykorzystamy równieŜ
wzory na promień okręgu wpisanego w
R=a
podstawę
πR 2 − πr 2 = 8π / : π
2
a 3
 =8
a 2 − 

 2 
3a 2
= 8 /⋅ 4
4
a 2 = 32
a=4 2
1
+ 6 ⋅ a ⋅ h1
2
Pw = πr 2
Po − Pw = 8π
4a 2 − 3a 2 = 32
3
4
a 3
, promień okręgu
2
opisanego na podstawie R = a oraz wzór
r=
na pole koła
a2 −
a i
wysokości h1 ,zatem
2
P = πr 2
Obliczamy długość krawędzi podstawy a.
Wykorzystujemy wzory : r
R=a
=
a 3
i
2
Obliczamy wysokość ostrosłupa.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
H 2 + r 2 = h12
2
a 3
 = 92
H + 

 2 
2
Wykorzystujemy wzór
2
4 2⋅ 3
 = 81
H + 

2


2
( )2
H 2 = 81 − 2 6
H 2 = 81 − 24
H = 57
( )2
1
a2 3
1
4 2
3
V = ⋅6⋅
⋅H = ⋅6⋅
⋅ 57 =
3
4
3
4
32 3
= 2⋅
57 = 16 3 ⋅ 57 = 16 9 ⋅ 19 = 48 19
4
Pc = 6 ⋅
a2 3
1
+ 6 ⋅ a ⋅ h1 =
4
2
2
(
4 2)
= 6⋅
3
1
+ 6⋅ ⋅ 4 2 ⋅9 =
2
4
32 3
= 6⋅
+ 3 ⋅ 36 2 = 6 ⋅ 8 3 + 108 2 =
4
= 48 3 + 108 2
Obliczamy V i Pc
r=
a 3
2
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 11.2.1. (4pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc, Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do
podstawy pod kątem 45° i krawędź podstawy ma długość 10cm .
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie wysokości ostrosłupa.
1
1
2
Podanie wysokości ściany bocznej.
1
3
Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1
4
Podanie objętości ostrosłupa.
1
Ćwiczenie 11.2.2. (5pkt.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna długości
24cm
jest nachylona do podstawy pod kątem 30° . Oblicz pole powierzchni
całkowitej i objętość ostrosłupa.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie wysokości ostrosłupa.
1
1
2
Podanie wysokości ściany bocznej.
1
3
Podanie długości krawędzi podstawy.
1
4
Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1
5
Podanie objętości ostrosłupa.
1
Ćwiczenie 11.2.3. (2pkt.) Oblicz objętość czworościanu foremnego, wiedząc, Ŝe jego
wysokość wynosi 6 6 cm .
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krawędzi czworościanu.
1
1
2
Podanie objętości czworościanu.
2
Podanie wysokości ostrosłupa.
1
3
Podanie wysokości ściany bocznej.
1
4
Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1
5
Podanie objętości ostrosłupa.
1
1
Ćwiczenie 11.2.4. (5pkt.) Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest trójkątem
prostokątnym o polu 36. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego
ostrosłupa.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krawędzi podstawy.
1
1