Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Automatyka i robotyka
semestr I
rok ak. 2009/2010
Matematyka – ćwiczenia
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
3.1. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach:
(a) 6y 00 − 5y 0 + y = 0;
(b) y 00 − y 0 − 2y = 0;
(c) 4y 00 − 4y 0 + y = 0;
1
(d) y 00 + y 0 + y = 0;
4
(e) y 00 − 4y 0 + 5y = 0;
(f ) y 00 − 2y 0 + 5y = 0;
(g) y 000 − 2y 0 − y 0 + 2y = 0; (h) y 000 − 8y = 0;
(j)
(i)
(k) y (5) + 8y 000 + 16y 0 = 0; (l)
y (4) − y = 0;
y (4) + 10y 00 + 9y = 0;
y (6) + 2y (5) + y (4) = 0.
3.2. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
(a) y 00 + y 0 − 6y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0;
(b) y 00 + 9y = 0, y
π
3
= 1, y 0
π
3
= 1;
(c) y 00 − 2y 0 + y = 0, y(1) = 2, y 0 (1) = 3;
(d) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 2, y 00 (0) = 3.
3.3. Korzystając z metody przewidywania rozwiązać podane równania różniczkowe:
(a)
y 00 − 3y 0 + 2y = 4e3x ;
(b) y 00 − 2y 0 − 3y = 8e3x ;
(c)
y 00 + 3y 0 + 2y = 6(2e2x + 3ex );
(d) y 00 + 2y 0 + 2y = 4x2 ;
(e)
y 00 − y 0 − 2y = 40 sin2 x;
(f )
(g)
x00 − 4x0 + 5x = 2(1 − t)2 et ;
(h) y 00 + 2y 0 + y = 50 sin 3x;
(i)
y 00 + 4y 0 + 4y = 169 sin 3x;
(j)
y 00 − y = 10e2x cos x;
(k)
y 00 + y = 3ex cos 2x;
(l)
y 00 + 2y 0 + 2y = 2e−x sin x;
(m) y 00 − 4y 0 = 100xex sin x;
y 00 + 3y 0 = 5 + e−3x ;
(n) y 00 + 2y 0 + 5y = 4e−x cos 2x;
(o)
y 00 − 2y 0 + 10y = 24ex cos 3x;
(p) y 00 + 16y = 34ex + 16 cos 4x − 8 sin 4x.
(q)
x(4) − x00 − 2x0 + 2x = 2(3 cos t − sin t); (r) x(4) + 6x000 = 2 + 3e−6t .
3.4. Korzystając z metody przewidywania znaleźć rozwiązanie równania x(4) + 6x000 + 14x00 + 14x0 +
5x = 8(3 + t) cos t − 4(1 + 2t) sin t.
5
Automatyka i robotyka
semestr I
Matematyka – ćwiczenia
rok ak. 2009/2010
3.5. Korzystając z metody uzmienniania stałych rozwiązać podane równania różniczkowe:
2e−3x
8
(a) y 00 + 6y 0 + 9y = 2
;
(b) y 00 − y = 2x
;
x +1
e +1
e−2x
(c) y 00 − 4y 0 + 5y = e2x tg x;
(d) y 00 + 4y 0 + 4y = 2 ;
x
2e5x
(e) y 00 + 9y = 18 cos−3 3x;
(f ) y 00 − 10y 0 + 25y =
;
4 + x2
64e−x
(g) y 00 − 2y 0 + y = 4ex x−3 ln x;
(h) y 00 + 2y 0 + 17y =
;
3 + sin2 4x
36
emx
00
0
2
(i) y 00 + 9y =
;
(j)
y
−
2my
+
m
y
=
, m–stała;
4 − cos2 3x
1 + x2
π
(k) y 00 − 6y 0 + 13y = 4e3x cos−2 2x, 0 ¬ x ¬ ; (l) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 36e2x ln x;
4
x
2e
(m) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 2 , x > 0;
(n) y 000 − 6y 00 + 9y 0 = 4e3x ln x.
x
3.6. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
(a) y 00 + y = 2(1 − x), y(0) = 2, y 0 (0) = −2;
(b) y 00 − 6y 0 + 9y = 9x2 − 12x + 2, y(0) = 1, y 0 (0) = 3;
(c) y 00 + y 0 = e−x , y(0) = 1, y 0 (0) = −1;
(d) y 00 + 6y 0 + 9y = 10 sin x, y(0) = 0, y 0 (0) = 0;
(e) y 000 + y 0 =
(f )
sin x
, y(0) = 0, y 0 (0) = 1;
cos2 x
y 000 − y 0 = −2x, y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 2;
(g) y (4) − y = 8ex , y(0) = 0, y 0 (0) = 2, y 00 (0) = 4, y 000 (0) = 6.
6