SNM - sem.II - dr Anita Tlałka - 1 Równania różniczkowe Zad.1

SNM - sem.II - dr Anita Tlałka - 1 Równania różniczkowe Zad.1

SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 1
Równania różniczkowe
Zad.1
Sprawdź, czy funkcja y jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego:
a1) y = e7x , y 0 + 5y = 12e7x ;
a2) y =
√
1 + x2 , (1 + x2 )y 0 = xy
a3) y = 3e−4x − xe−4x , y 00 + 8y 0 + 16y = 0 ;
a4) y = e−x + sin x , y 00 + y = 2e−x ;
a5) y = xe−2x , y 00 + 4y 0 + 4y = 0 ;
a6) y = sin(ln x) + cos(ln x) , x2 y 00 + xy 0 + y = 0 ;
a7) y = cos 3x , y (IV ) − 81y = 0 .
Zad.2
Rozwiąż równanie (tam, gdzie jest to możliwe, zastosuj metodę przewidywań):
b1) (x2 − 1)y 0 = 2xy , y(0) = 2 ;
b2) xy 0 = y(ln y − ln x) , x > 0 , y > 0 , y(1) = e3 ;
b3) y 0 + y sin x = sin(2x) ;
b4) y 0 +
y
= ex , y(1) = 1 ;
x
b5) y 0 + 3y = 15x2 + 4x + 4 ;
b6) y 0 − 4y = (2x2 + 1)e4x ;
b7) y 0 − 2y = 6e4x (cos 2x − sin 2x) ;
b8) y 0 − 2y = x2 + 5 ;
b9) y 0 + 3y = e7x ;
b10) y 0 + 2xy = 2x ;
2
b11) y 0 − xy = xex ;
b12) y 0 + yctgx = sin2 x
1
b13) y 0 − 5y = e5x , y( ) = e ;
5
SNM
- sem.II -
b14) y 0 + y = 2xe−x , y(1) = 2 ;
b15) y 0 + 2xy = 2x3 , y(0) = 1 ;
√
2
2
sin2 x
π
b16) y −
y=
, y( ) = 1 −
;
sin 2x
cos x
4
2
0
b17) y 0 + 2y = x2 ex + sin 2x ;
b18) y 0 + y = e3x + 2x sin x ;
b19) y 0 + y = e−x + 2x sin x .
Zad.3
Rozwiąż równanie:
c1) 3xy 0 − y = 3x ln x · y 4 ;
y
= −xy 2 ;
x
1 y 1
c3) y 0 + ( + ) = 0 ;
2 x y
c2) y 0 +
c4) y 0 +
3y
7
+ 3 =0;
2x 2x y
c5) y 0 +
y
1
= 3 3 , y(1) = −1 ;
x
xy
c6) x2 y 0 − y(x + y) = 0 , y(e) = e ;
1
c7) y 0 + y − y − 2 = 0 , y(0) = 4 ;
c8) y 0 + y + x2 y 3 = 0 ;
√
y−2 y
0
c9) y − √
=0, y>0.
x
Zad.4
Rozwiąż równanie:
d1) (x3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0 ;
d2) (sin y − 2xy + x2 )dx + (x cos y − x2 )dy = 0 ;
d3) (y sin(xy))dx + (x sin(xy))dy = 0;
d4) (ey sin x + ye−x )dx − (ey + e−x + ey cos x)dy = 0 ;
y
x
d5) ( + ln y)dx + ( + ln x + ey )dy = 0 ;
x
y
d6) (y ln y + ex )dx + (x + e−y + x ln y)dy = 0;
dr Anita Tlałka - 2
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 3
1
d7) (2ye2x + y sin(xy) + )dx + (e2x + x sin(xy))dy = 0 ;
x
d8) (y cos x + sin y − cos x)dx + (sin x + x cos y − ey sin y)dy = 0 ;
d9) (ex + x + e−x cos y)dx + (2y + e−x sin y)dy = 0 , y(0) =
π
;
2
d10) (y 2 cos x − 3x2 y − ex )dx + (2y sin x − x3 + ln y)dy = 0 , y(0) = 1 ;
d11) (x3 + xy 2 )dx + ydy = 0 ;
d12) (4xy 2 + y)dx + (6y 3 − x)dy = 0
d13) (ex − sin y)dx + cos ydy = 0 ;
d14) (y 3 − 3x2 y)dx + (4xy 2 − 2x3 )dy = 0 ;
d15) (2xy + y 4 )dx − (2x2 − xy 3 )dy = 0 .
Zad.5
Rozwiąż równanie:
e1) y 00 − 5y 0 − 6y = 0 ;
e2) y 00 − 4y 0 + 4y = 0 ;
e3) y 00 + 2y 0 + 5y = 0 ;
e4) y 000 + y 00 − 6y 0 = 0 ;
e5) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0 ;
e6) y 000 + 8y = 0 ;
e7) y IV + 2y 00 + y = 0 ;
e8) y 00 − 3y 0 + 2y = sin ex ;
e9) y 00 − 2y 0 + y =
ex
;
x
e10) y 00 − 2y 0 + y = ex ln x ;
e11) y 00 + y = tgx ;
e12) y 000 − y 0 = tgx ;
e13) y 00 + 4y =
1
;
cos 2x
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 4
1
;
cos x
e14) y 00 + y =
e15) y 00 + 2y 0 + y = x2 e−x ;
e16) y 00 + y 0 + y = x2 ;
e17) y 00 − 4y 0 + 3y = e2x sin x ;
e18) y 00 − 4y 0 + 5y = e2x sin x ;
e19) y 00 + 4y = 3 sin 2x ;
e20) y 00 − y = 2e2x , y(0) = 1 , y 0 (0) = 2 ;
e21) y 00 + 2y 0 + 2y = 2e−x sin x , y(0) = 1 , y 0 (0) = 2 ;
e22) y 00 − 8y 0 + 16y = 3e4x , y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 ;
e23) y V I − y 000 = ex ;
e24) y IV − 3y 000 + 3y 00 − y 0 = 6x ;
e25) y IV + 2y 000 + 2y 00 + 2y 0 + y = 5x2 − x ;
e26) y IV − y 00 = 12x + 2e−x ;
e27) y V I − y 000 = 8x − 5ex ;
e28) y V I − y IV = sin x + 5e−x ;
e29) y V I − y IV = cos x − 4 .
ODPOWIEDZI
W rozwiązaniach należy, gdzie to konieczne, dodać odpowiednie założenia.
Zad.2
b1) y = 2(x2 − 1) , |x| 6= 1 ,
y =
1+ex (x−1)
x
,
b2) y = xe1+2x ,
b5) y = Ce−3x + 5x2 − 2x + 2 ,
b3) y = Cecos x + 2(cos x + 1) ,
b6) y = e4x ( 32 x3 + x + C) ,
b4)
b7) y =
2
Ce2x +3e4x sin 2x , b13) y = e5x ( 45 +x) , b14) y = (x2 +2e−1)e−x , b15) y = 2e−x +x2 −1 ,
b16) y = tgx − sin x ,
b17) y = Ce−2x + ( 31 x2 − 92 x +
2
)ex
27
+ 41 sin 2x − 41 cos 2x ,
b18)
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 5
y = Ce−x + 14 e3x + x sin x + (1 − x) cos x , b19) y = (C + x)e−x + x sin x + (1 − x) cos x .
Zad.3
c1) y −3 =
C
x
− 32 x(ln x − 12 ) ,
c2) y =
x
ln |x|−2
c5) y 4 x4 = 2x2 − 1 , c6) y =
√
y = (Ce
x
1
x2 +Cx
2C−x2
2x
, c3) y 2 =
3
,
3
c4) y 2 =
, c7) y 2 = 1 + 7e− 2 x , c8) y 2 =
1
(C
x3
− x3 ) ,
1
Ce2x −x2 −x− 21
, c9)
− cos(xy) = C ,
d4)
+ 2)2 .
Zad.4
d1)
1 4
x
4
+ xy 3 = C ,
x sin y − x2 y + 31 x3 = C ,
d2)
−ey cos x − ye−x − ey = C ,
d5) y ln x + x ln y + ey = C ,
d3)
d6) xy ln y + ex − e−y = C ,
d7) ye2x − cos(xy) + ln |x| = C , d8) y sin x + x sin y − sin x + 12 ey (cos y − sin y) = C , d9)
y 2 − e−x cos y + ex + 21 x2 = 1 +
2
ex (x2 + y 2 − 1) = C , d12)
y , y 4 x − x3 y 2 = C , d15)
1
y3
π2
4
1
y2
2
, d10) y 2 sin x − x3 y − ex + y ln y − y = −2 , d11) ex ,
, 2x2 +
x
y
+ 3y 2 = C , d13) e−x , x + e−x sin y = C , d14)
, x2 + xy 3 = Cy 2 .