Schemat Bernoullego

Schemat Bernoullego
Zad.1. Wykonano 6 rzutów symetryczną kostką sześcienną, której dwie ściany pomalowano na biało, trzy na zielono i jedną na czarno. Niech zdarzenia będą
określone następująco:
A – co najmniej raz wypadła ściana czarna, B – dokładnie trzy razy wypadła
ściana biała, C – co najwyżej raz wypadła ściana zielona, D – nie więcej niż pięć
razy wypadły ściany biała lub czarna.
Oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń.
Zad.2. Na egzamin przygotowano zestaw składający się z 30 pytań. Student,
który przygotował się tylko z 20 pytań egzaminacyjnych, losuje z zestawu trzy pytania i otrzymuje ocenę pozytywną, jeżeli potrafi odpowiedzieć na co najmniej dwa
z nich.
(a) Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania przez studenta oceny pozytywnej,
(b) O ile zwiększyłby student szansę zdania egzaminu, gdyby znał odpowiedź na
25 pytań?
Zad.3. Student miał przygotować na egzamin odpowiedzi na 40 pytań. Na dwa
pytania zadane przez egzaminatora student nie znał odpowiedzi i stwierdził: - Ale
mam pecha! To są jedyne dwa pytania, na które nie znam odpowiedzi! Czy można
mu przyznać rację? Czy raczej trzeba zakwestionować jego prawdomówność?
Zad.4. Dany jest zestaw 10 zadań. Do każdego zadania są trzy pytania, na które
należy odpowiedzieć TAK albo NIE. Zadanie uznajemy za rozwiązane, jeśli wszystkie
trzy odpowiedzi do danego zadania są prawidłowe. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że uczeń zgadując (tzn. nic nie umiejąc i podając odpowiedzi w sposób losowy),
rozwiąże co najmniej 8 zadań?
Zad.5. Rakieta lecąca do pewnego celu jest ostrzeliwana jednocześnie przez dwa
obiekty X i Y . Obiekt X zestrzeliwuje średnio 50% rakiet, a obiekt Y – 80%.
(a) Czy bardziej prawdopodobne jest to, że pięć z dziesięciu rakiet osiągnie cel
czy cztery z ośmiu?
(b) Ile co najmniej rakiet należy wystrzelić, aby z prawdopodobieństwem nie
mniejszym niż 0,5 do celu dotarła przynajmniej jedna z nich?
Zad.6. W pewnej szkole są trzy klasy czwarte liczące po 30 uczniów. W każdej z
tych klas jest dokładnie k dziewcząt. Do reprezentacji szkoły wybrano z każdej klasy
czwartej jednego ucznia. Dla jakiej wartości k prawdopodobieństwo wybrania takiej
trójki uczniów, wśród których są dokładnie dwaj chłopcy jest równe 49 ? Zbadaj,
dla jakiej wartości k prawdopodobieństwo wybrania takiej trójki uczniów, wśród
których są dokładnie dwaj chłopcy jest największe. Oblicz to prawdopodobieństwo.
Zad.7. Na egzaminie testowym z biologii uczeń dostaje 10 pytań, do każdego dołączonych jest 5 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest właściwa. Za wskazanie
trafnej odpowiedzi do każdego pyatnia uczeń dostaje ocenę pozytywną.
(a) Jak bardzo jest prawdopodobne uzyskanie pozytywnej oceny przez ucznia,
który nic nie umie?
(b) Określ regulamin wiarygodnego oceniania rezultatów tego testowego egzaminu. Przy jakiej liczbie podkreślonych odpowiedzi prawidłowych można stawiać ocenę
pozytywną?
Zad.8. W klasie IVa jest 25 uczniów. Domowego zadania nie odrobiło 9 uczniów.
Nauczyciel skontrolował zeszyty dwóch uczniów i w żadnym nie było odrobionych
lekcji. Czy można w tej sytuacji mówić, że nauczyciel miał szczęście?
Zad.9. W urnie są dwie kule białe i osiem czarnych. Losujemy 16 razy ze zwracaniem kulę z tej urny. Rozważmy zdarzenia:
A = { kula czarna zostanie wylosowana dokładnie k razy },
B = { kula czarna zostanie wylosowana co najmniej k razy },
C = { kula czarna zostanie wylosowana co najwyżej k razy }.
Oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń.
Zad.10. W urnie jest sześć kul. Wiadomo, że są tam zarówno kule białe, jak i
czarne. Losując 24 razy ze zwracaniem kulę z tej urny, dokładnie 8 razy trafiono
na kulę czarną. Przy jakim składzie kul w urnie prawdopodobieństwo tego, co się
zdarzyło, jest największe?
Zad.11. Każdemu wynikowi schematu Bernoullego o n próbach przypiszmy liczbę sukcesów. Mowa tu o zmiennej losowej Sn . Udowodnij, że E(Sn ) = n · u, gdzie u
jest prawdopodobieństwem sukcesu.