sin - Zekon

POLITECHNIKA
KRAKOWSKA
Katedra Konstrukcji Stalowych i Spawalnictwa
PROFILE Z FALISTYM ŚRODNIKIEM „SIN”
Zasady wymiarowania
Kraków 2002
SPIS TREŚCI
1. Wstęp
2. Zasady projektowania elementów konstrukcji
2.1 Obliczenia statyczne
2.1.1
Stan graniczny użytkowania – warunki sztywności
2.2 Niestateczność miejscowa środnika
2.2.1
Niestateczność środnika przy ścinaniu
2.2.2
Nośność środnika pod obciążeniem skupionym
2.2.3
Żebra usztywniające
2.3 Niestateczność miejscowa pasa
2.4 Elementy ściskane
2.4.1
Zasady ogólne
2.4.2
Nośność pręta przy ściskaniu osiowym
2.4.3
Smukłość względna pręta przy wyboczeniu
2.4.4
Nośność obliczeniowa przy ściskaniu osiowym
2.5 Elementy zginane
2.5.1
Postanowienia ogólne
2.5.2
Nośność przekroju przy jednokierunkowym zginaniu
2.5.3
Nośność interakcyjna przekroju zginanego i ścinanego
2.5.4
Nośność elementów jednokierunkowo zginanych
3. Stateczność układów ramowych
LITERATURA
2
1. Wstęp.
Przedmiotem niniejszego opracowania jest obliczanie i projektowanie konstrukcji stalowych
wykonanych z profili spawanych o środnikach z blachy falistej.
1.1 Podstawowe oznaczenia:
E – współczynnik sprężystości podłużnej,
G – współczynnik sprężystości poprzecznej,
Gred – zastępczy zredukowany współczynnik sprężystości poprzecznej,
Ref – granica plastyczności pasów,
Rew – granica plastyczności środnika,
fd – wytrzymałość obliczeniowa stali,
tw – grubość środnika,
hw – wysokość środnika,
tf – grubość pasa,
bf – szerokość pasa,
f – wysokość fali,
m – długość rzutu fali,
s – długość rozwinięcia fali,
A – całkowita powierzchnia przekroju,
Af – powierzchnia przekroju pasów,
Aw – powierzchnia przekroju środnika obliczona jak dla blachy płaskiej,
Iyf, Izf – moment bezwładności przekroju złożonego z samych pasów, odpowiednio dla
osi y i z,
Iω - wycinkowy moment bezwładności przekroju złożonego z samych pasów,
IT – moment bezwładności przy skręcaniu z uwzględnieniem powierzchni środnika,
Wyf, Wzf – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju złożonego z samych pasów,
odpowiednio dla kierunków y i z,
Dx, Dz – sztywności giętne blachy falistej, odpowiednio dla kierunku x i z,
k – współczynnik ścinania dla modelu pręta Timoshenki,
ϕpv – współczynnik niestateczności przy ścinaniu dla blachy środnika,
ϕy – współczynnik niestateczności przy wyboczeniu giętnym względem osi y dla przekroju
złożonego z samych pasów
ϕz – współczynnik niestateczności przy wyboczeniu giętnym względem osi z dla przekroju
złożonego z samych pasów.
Rys.1. Przyjęta orientacja układu współrzędnych.
3
1.2 Stałe materiałowe.
-
współczynnik sprężystości podłużnej E = 205 [GPa]
współczynnik sprężystości poprzecznej G = 80 [GPa]
Falistość środnika powoduje, że odkształcenia postaciowe środnika sinusoidalnego są większe
niż odkształcenia środnika płaskiego o tych samych warunkach brzegowych oraz parametrach
geometrycznych i materiałowych. Korzystając z modelu pręta Timoshenki środnik
sinusoidalny zastąpić należy środnikiem płaskim o takiej samej odkształcalności postaciowej.
Zgodność odkształceń zapewniona zostaje poprzez przyjęcie zastępczego zredukowanego
współczynnika sprężystości poprzecznej.
Rys.2
Żądamy aby przy tych samych wymiarach i wartości siły poprzecznej Q kąty
odkształcenia postaciowego γ arkusza blachy płaskiej (1) i arkusza blachy falistej (2) były
sobie równe
γ1 = γ 2 ,
(1)
gdzie:
Q
t ⋅m
τ
γ1 = 1 = w
G1
G1
Q
t ⋅s
τ
γ2 = 2 = w
G2
G2
(2)
stąd otrzymuje się, że wartość współczynnika sprężystości poprzecznej powinna być
zredukowana
m
(3)
Gred = G2 = G1 ⋅ .
s
Dla profili SIN stosunek
m
jest wartością stałą i wynosi
s
m 155
=
= 0,87 ,
s 178
(4)
zredukowana wartość współczynnika sprężystości poprzecznej równa jest
Gred = 69,7 [GPa].
4
(5)
2. Zasady projektowania elementów konstrukcji.
Obliczanie konstrukcji należy przeprowadzić metodą stanów granicznych wg PN-76/B-03001
i norm związanych.
Obciążenia, rodzaje, wartości, współczynniki i kombinacje obciążeń należy przyjmować
zgodnie z PN-82/B-02000÷02015.
2.1 Obliczenia statyczne
W obliczeniach statycznych należy przyjmować liniowo-sprężysty model materiału.
Model obliczeniowy konstrukcji powinien uwzględniać wpływ sił poprzecznych na
przemieszczenia i siły wewnętrzne.
Siły przekrojowe i przemieszczenia konstrukcji należy wyznaczać wg teorii I lub II rzędu.
Nie występuje rezerwa nośności nadkrytycznej, utrata nośności środnika następuje na skutek
globalnej niestateczności plastycznej.
W modelu obliczeniowym przekroju poprzecznego uwzględnia się jedynie powierzchnię
pasów, a powierzchnię przekroju środnika – przy obliczeniach na ścinanie.
Profile SIN o proporcjach geometrycznych przekroju poprzecznego wg programu produkcji
Zekon Sp. z o.o. można zaklasyfikować do klasy 3 przekrojów wg PN-90/B-03200[1].
W dotychczas stosowanych procedurach wymiarowania profili SIN stosowano współczynniki
niestateczności wyznaczone wg normy DIN 18800 cz.II [7], które są tożsame ze
współczynnikami niestateczności określonymi w EC3 [8]. Porównanie krzywych
niestateczności wg EC3 [8] i PN-90/B-03200 [1] na podstawie pracy [9] przedstawiono na
rys.3.
Rys.3. Porównanie krzywych wyboczeniowych wg PN-90/B-03200 i EC3 [9].
Z porównania wynika, że krzywe wyboczeniowe wg [1] dają bezpieczniejsze oszacowanie
nośności a różnice pomiędzy wartościami współczynników nie przekraczają 5%.
5
2.1.1 Stan graniczny użytkowania – warunek sztywności
Do obliczeń przemieszczeń konstrukcji należy przyjmować wartości charakterystyczne
obciążeń.
Przy obliczaniu przemieszczeń konstrukcji w płaszczyźnie środnika falistego uwzględniać
należy dodatkowe ugięcie wywołane siłami poprzecznymi. W przypadku tradycyjnej metody
obliczeń wpływ sił poprzecznych uwzględnić można stosując wzór Maxwella-Mohra w
następującej postaci
u 

M ⋅ M1
Q ⋅ Q1
⋅ dS + ∫ k ⋅
⋅ dS  ,
f MV = ∑  ∫
(6)


G⋅ A
1  S E ⋅ Iy
S

gdzie: M1, Q1 – momenty zginające i siły poprzeczne wywołane przyłożeniem siły
jednostkowej w miejscu obliczania ugięcia fMQ, k - współczynnik ścinania przekroju wg
klasycznej teorii sprężystości, z poprawką na podatność postaciową środnika.
k=
A
m
Aw ⋅
s
,
(7)
gdzie: A – powierzchnia całkowita przekroju (pasy + środnik), Aw – powierzchnia przekroju
środnika, m, s – odpowiednio, długość rzutu fali i długość rozwinięcia fali.
W tab.1 przedstawiono wzory na strzałki ugięć dla belek o prostych schematach
obciążeniowych uwzględniające wpływ momentów i sił poprzecznych.
Zastosowanie zwiększonej wartości współczynnika ścinania k wyklucza jednoczesne
stosowanie zredukowanej wartości współczynnika sprężystości poprzecznej Gred. Należy
również zwrócić uwagę na to, jak w programie zdefiniowano współczynnik ścinania (niektóre
z programów wymagają bowiem wprowadzenia współczynnika ścinania równego 1/k).
Na podstawie wykonanych badań doświadczalnych można stwierdzić, że ugięcia belek
wykonanych z profili SIN powinny spełniać warunek:
wmax ≤
l
300
(8)
gdzie l – rozpiętość elementu lub podwójny wysięg wspornika.
W blachownicach typu SIN stosunkowo wcześnie pojawiają się ugięcia trwałe. Udział ugięć
trwałych w całkowitych ugięciach belki można oszacować z wystarczającą dla praktyki
projektowej dokładnością jako 20% ugięć sprężystych, co ujęto w poniższej formule
 w 
wmax = wel + wpl = wel ⋅ 1 + pl  ≈ 1,2 ⋅ wel .
wel 

6
(9)
E ⋅ Iy 

⋅  1 + 9, 6 ⋅ k ⋅

G
⋅ A⋅l2 

f MV =
5 q ⋅l4
⋅
384 E ⋅ I y
f MV =
E ⋅ Iy 
1 q ⋅l4 
⋅
⋅ 1 + 22, 6 ⋅ k ⋅

G ⋅ A⋅l2 
18 E ⋅ I y 
f MV =
1 q ⋅l4
⋅
384 E ⋅ I y
f MV =
E ⋅ Iy 
1 P ⋅l3 
⋅
⋅  1 + 12 ⋅ k ⋅

48 E ⋅ I y 
G ⋅ A⋅l2 
f MV =
2 P ⋅ l3
⋅
215 E ⋅ I y
f MV =
E ⋅ Iy 

⋅ 1 + 48 ⋅ k ⋅

G
⋅ A⋅l2 

E ⋅ Iy 

⋅  1 + 27, 7 ⋅ k ⋅

G
⋅ A⋅l2 

E ⋅ Iy 
1 P ⋅ l3 
⋅
⋅  1 + 48 ⋅ k ⋅

G ⋅ A⋅l2 
192 E ⋅ I y 
1 q ⋅l4
f MV = ⋅
8 E ⋅ Iy
E ⋅ Iy 

⋅ 1 + 4 ⋅ k ⋅

G
⋅ A⋅l2 

E ⋅ Iy 
1 P ⋅ l3 
⋅ 1 + 3 ⋅ k ⋅
f MV = ⋅

G ⋅ A⋅l2 
3 E ⋅ Iy 
Tab.1. Strzałki ugięć belek podatnych na ścinanie.
2.2 Niestateczność miejscowa środnika
2.2.1 Niestateczność środnika przy ścinaniu
Nośność środnika ścinanego zgodnie z [1] określona jest następująco:
VR = ϕ pv ⋅V pl
(10)
Wartość współczynnika niestateczności przy ścinaniu ϕpv wyznaczyć należy korzystając z
opisanych poniżej wytycznych DASt-015[2] z późniejszymi modyfikacjami[3].
W celu obliczania nośności środnika falistego wg formuł zalecanych przez wytyczne [2], w
pracy [3] zaproponowano aproksymację sinusoidalnego kształtu fali zastępczym profilem
trapezowym (rys.3).
7
Rys.3. Zastępczy przekrój fałdy dla pojedynczej fali o wysokości 40mm.
Dla tak określonego zastępczego profilu trapezowego wyznacza się krytyczne idealne
naprężenia styczne przy miejscowej utracie stateczności.
Sztywności giętne płyty ortotropowej wyznacza się dla rzeczywistej fali sinusoidalnej,
odpowiednio Dx dla kierunku prostopadłego do tworzącej fali i Dz dla kierunku równoległego
do tworzącej fali:
Dx =
E ⋅ t w3 m
⋅ ,
12 s
(11)
E ⋅ I xw
,
m
(12)
Dz =
gdzie: m – długość rzutu fali,
s – długość rozwinięcia fali,
tw – grubość blachy środnika,
Ixw – moment bezwładności pojedynczej fali względem osi x wg wzoru (24),
E – współczynnik sprężystości podłużnej dla stali.
Krytyczne idealne naprężenia styczne przy globalnej utracie stateczności opisano wzorem:
τ Pi , g =
32, 4
tw ⋅ hw 2
4
Dx ⋅ Dz3 ,
(13)
gdzie: hw - wysokość środnika.
Krytyczne idealne naprężenia styczne przy miejscowej utracie stateczności dane są wzorem:
2
τ Pi ,l
t 
= 4,83 ⋅ E ⋅  w  ,
a
gdzie: a – maksymalna szerokość ścianki fałdy ( a = max(a1, a2)).
Smukłości względne, określamy na podstawie naprężeń krytycznych jak niżej:
8
(14)
Rew
λ Pi ,l =
,
(15)
Rew
,
3 ⋅τ Pi , g
(16)
3 ⋅τ Pi ,l
λ Pi , g =
gdzie: Rew – granica plastyczności stali środnika.
Na podstawie smukłości względnych wyznaczamy wartość współczynnika niestateczności
przy ścinaniu:
 1
dla λ p ≥ 1
1,5
ϕ pv =  λ p

 1 dla λ p < 1
(
(17)
)
gdzie: λ p = min λ Pi ,l , λ Pi ,g .
Nośność obliczeniowa środnika na ścinanie:
VR = ϕ pv ⋅V pl = 0,58 ⋅ ϕ pv ⋅ hw ⋅ tw ⋅ f d
(18)
2.2.2 Nośność środnika pod obciążeniem skupionym.
Nośność obliczeniową środnika obciążonego siłą skupioną działającą stacjonarnie obliczać
można wg wzoru z [1]
PRc = kc ⋅ tw2 ⋅ f d
(19)
gdzie:
c
kc = 0 , c0 – szerokość rozdziału obciążenia
tw
w przypadku oparcia na dźwigarze SIN dwuteownika gorącowalcowanego szerokość
rozdziału obciążenia określić można następująco,
c0 = c + 5 ⋅ t f ,
(20)
c = tw1 + 2 ⋅ ( r1 + t f 1 )
(21)
tf – grubość pasa dźwigara SIN
gdzie:
tw1 – grubość środnika dwuteownika gorącowalcowanego,
tf1 – grubość pasa dwuteownika gorącowalcowanego,
r1 – promień wyokrąglenia pomiędzy środnikiem a pasem dwuteownika gorącowalcowanego.
9
Warunek nośności przyjmuje zatem postać:
P ≤ PRc = tw ⋅ ( c + 5 ⋅ t f ) ⋅ f d
(22)
Formuła ta daje jednak bardzo zaniżone nośności w stosunku do wyników badań
doświadczalnych[4],[5]. Bardziej zbliżone do rzeczywistych wartości nośności otrzymuje się
stosując interakcyjną formułę Pasternaka-Brańki [10],[11], a mianowicie:
geometrię środnika o kształcie fali sinusoidalnej można opisać wzorem:
 π ⋅x 
y ( x) = f ⋅ sin 
,
 0,5 ⋅ m 
(23)
gdzie: f – amplituda fali, m – długość rzutu fali.
y
s
f
x
m
Rys.4. Geometria fali sinusoidalnej.
Moment bezwładności pojedynczej fali względem osi podłużnej x wyznaczyć można ze
wzoru:
2
m
 dy 
I xw = tw ⋅ ∫ y 2 ⋅ 1 +   dx
 dx 
0
(24)
Obecnie produkowane profile SIN mają stałą długość fali m = 155mm i amplitudę f = 20mm.
W tab.2 podano momenty bezwładności pojedynczej fali Ixw dla produkowanych grubości
środników.
tw
Ixw
[mm]
[cm4]
2,0
6,674
2,5
8,343
3,0
10,012
Tab.2. Momenty bezwładności pojedynczej fali.
10
Nośność środnika pod obciążeniem skupionym określa się następująco,
 Wyf 1 
PRc = 10 ⋅ 
 I / t 
 y w
0,4
⋅ 2 ⋅ f ⋅ tw ⋅ f d
(25)
gdzie Wyf1 – sprężysty wskaźnik wytrzymałości pasa obciążonego siłą skupioną na zginanie w
płaszczyźnie dźwigara.
W przypadku gdy obciążenie skupione przyłożone jest w miejscu działania dużego momentu
zginającego nośność środnika określa formuła uwzględniająca interakcję siły poprzecznej i
momentu zginającego. Przypadek ten zachodzi gdy spełnione są następujące warunki:
M

 0,5 ≤ M ≤ 1, 0

R

0, 75 ≤ P ≤ 1, 0

PRc
(26)
Nośność środnika określona jest wtedy następująco:
0, 4 ⋅
M
P
+ 0,8 ⋅
≤ 1, 0
PRc
ϕ z1 ⋅ M Ry
(27)
gdzie: MRy – nośność plastyczna pasów
M Ry = ( hw + t f ) ⋅ Af ⋅ f d
(28)
W równaniu (27) współczynnika wyboczeniowy ϕy1 wyznacza się jak dla wyizolowanego
pasa ściskanego przy wyboczeniu z płaszczyzny dźwigara.
(
ϕ z1 = 1 + λ
gdzie:
λ =
z1
−1
2,4 1,2
z1
)
(29)
λz 1
,
λp
(30)
λp – smukłość porównawcza
λ p = 84 ⋅
215
fd
(31)
λz1 – smukłość pasa ściskanego przy wyboczeniu z płaszczyzny dźwigara,
λ z1 =
11
l z1
iz 1
(32)
gdzie:
lz1 – rozstaw podparć bocznych pasa ściskanego
iz1 – promień bezwładności pasa ściskanego wg wzoru:
iz 1 =
bf
12
(33)
2.2.3 Żebra usztywniające
Profile SIN nie wymagają stosowania pośrednich żeber usztywniających. Żebra poprzeczne
projektować należy jedynie w miejscach przyłożenia znacznych sił skupionych oraz na
podporach.
Żebra usztywniające należy wymiarować zgodnie z zaleceniami normy [1] p. 4.2.6.2 jak pręty
ściskane osiowo, przy czym przyjmować należy długość wyboczeniową żebra równą
wysokości środnika. W obliczeniach nośności żebra nie uwzględnia się współpracy przyległej
części środnika.
2.3
Niestateczność miejscowa pasa ściskanego
Możliwość utraty stateczności miejscowej pasa ściskanego w stanie sprężystym należy
sprawdzać na podstawie normy [1] p.4.2.2.1. Pas ściskany traktowany jest jak trójstronnie
przegubowo podparta płyta prostokątna, ściskana równomiernie (ν = 1, K1 = 3,0) równolegle
do dłuższej swej krawędzi. Szerokość płyty b należy przyjmować równą połowie szerokości
pasa pomniejszoną o połowę wysokości fali środnika i połowę grubości środnika,
b=
bf
2
−
f tw
− .
2 2
(34)
Uwzględniając to, że profile SIN mają stała wysokość amplitudy f = 20mm i najcieńsza
grubość produkowanego środnika wynosi tw = 2mm, wzór powyższy dla profili SIN
przyjmuje postać,
b=
bf 1
2
− 11⋅ mm , przy czym bf1 [mm].
(35)
Warunek stateczności miejscowej pasa ściskanego przedstawia się zatem następująco,
b
215
≤ 14 ⋅
, przy czym fd = 215 [MPa].
tf1
fd
(36)
Warunek powyższy uważamy za niezbędny, ponieważ bardzo smukłe pasy nie zapewniają
dostatecznego utwierdzenia środnika w pasie, co redukuje nośność środnika.
12
2.4
Elementy ściskane
2.4.1 Zasady ogólne
Elementy ściskane wymiaruje się przyjmując model statyczny pręta dwugałęziowego o
przekroju klasy 3, gdzie rolę skratowania pełni falisty środnik. Naprężenia normalne w
całości przejmowane są przez pasy dźwigara, naprężenia ścinające wywołane zmianami
momentów drugiego rzędu przejmowane są przez środnik. Stateczność elementu względem
osi z „słabszej” sprawdza się przyjmując do wyznaczania smukłości jedynie przekrój pasów.
Stateczność elementu względem osi y „mocniejszej” należy sprawdzać przyjmując smukłość
zastępczą uwzględniającą zwiększoną podatność postaciową środnika profilu SIN.
Na podstawie wyznaczonych smukłości zastępczych określa się wartości współczynników
wyboczeniowych; ϕ y λ y
wg krzywej niestateczności „b” i ϕ z λ z wg krzywej
( )
( )
niestateczności „c”.
Zgodnie z formułą Engessera [6] uwzględniającą dodatkowy wpływ sił poprzecznych na
krzywiznę pręta, siła krytyczna osiowo ściskanego pręta wynosi:




1
=
 ⋅ N cr
 1 + k ⋅ N cr 
G⋅ A 

N cr ,V
(37)
gdzie:
Ncr – siła krytyczna wg klasycznej teorii stateczności przy wyboczeniu giętnym
N cr =
π2 ⋅E⋅I
le2
=
π2 ⋅E⋅A
,
λ2
(38)
ze względu na podatność środnika należy przyjmować,
A ≡ Af = 2 ⋅ b f ⋅ t f ,
I ≡ If
(39)
k - współczynnik ścinania zależny od kształtu przekroju
k=
A
m
Aw ⋅
s
=
2 ⋅ b f ⋅ t f + hw ⋅ tw
m
hw ⋅ tw ⋅
s
(40)
G – współczynnik sprężystości poprzecznej.
Siłę krytyczną osiowo ściskanego pręta można zatem wyrazić następująco,
N cr ,τ =
π2 ⋅E⋅ A
E
λ +π ⋅k ⋅
G
2
2
13
.
(41)
Mianownik powyższego wyrażenia to podniesiona do kwadratu smukłość zastępcza λmy
profilu SIN przy wyboczeniu względem osi y-y,
λmy = λ y2 + π 2 ⋅ k ⋅
E
= λ y2 + λv2 ,
G
(42)
gdzie: λv – smukłość postaciowa
E
= 5,39 ⋅ k ,
G
λv = π 2 ⋅ k ⋅
λy =
ley
=
µ y ⋅ l0
,
iy
iy
– smukłość jak dla elementu pełnościennego, z pominięciem powierzchni środnika.
λz =
lez µ z ⋅ l0
=
,
iz
iz
(43)
(44)
(45)
– smukłość jak dla pręta pełnościennego
gdzie:
µy, µz – współczynniki długości wyboczeniowej wg Załącznika 1 [1],
l0 – długość obliczeniowa pręta mierzona w osiach stężeń;
dla profilu bisymetrycznego iz = iz1 , gdzie iz1 – promień bezwładności pojedynczego pasa
względem osi z-z
iz 1 =
bf
12
.
(46)
iy – promień bezwładności profilu bisymetrycznego składającego się wyłącznie z pasów
iy =
2 ⋅ b f ⋅ t f ⋅  0,5 ⋅ ( hw + t f ) 
h +t
=
= w f ,
2 ⋅ bf ⋅ t f
2
Af
2
I yf
(47)
hw – wysokość środnika
tf – grubość pasa.
2.4.2 Nośność obliczeniowa przekroju przy ściskaniu osiowym NRc
N Rc = Ψ ⋅ Af ⋅ f d
przy czym dla profili SIN przyjmuje się Ψ = 1.
2.4.3 Smukłości względne pręta przy wyboczeniu wyznaczać należy wg wzorów:
14
(48)
λ my =
λmy
⋅ ϕv ,
λp
(49)
215
,
fd
(50)
gdzie: λp – smukłość porównawcza
λ p = 84 ⋅
ϕ v - współczynnik niestateczności określony wzorem
−1
  λ 2,4  2,4
ϕ v = 1 +  v  
  λ p  


(51)
smukłość względna λ z
λz =
λz
λp
(52)
2.4.4 Nośność (stateczność) elementów ściskanych osiowo należy sprawdzać wg wzoru
N
≤1
ϕ i ⋅ N Rc
(53)
gdzie i = y, z.
φy, φz – współczynniki niestateczności odpowiednio dla osi y i z:
(
ϕy = 1+ λ
2.5
)
1
3 ,2 − 1,6
my
(
ϕz = 1+ λ
,
)
1
2 ,4 −1,2
z
(54)
Elementy zginane
2.5.1 Postanowienia ogólne
Nośność na zginanie profili SIN wyznaczać należy z pominięciem pola przekroju środnika.
Jeśli obciążenie działa mimośrodowo względem środków ścinania to w obliczeniach należy
uwzględniać skręcanie lub stosować odpowiednie stężenia w celu przeniesienia momentów
skręcających.
Nośność elementów zginanych względem osi największej bezwładności należy sprawdzać z
uwzględnieniem możliwości utraty płaskiej postaci zginania.
Można przyjąć, że konstrukcyjnie zabezpieczone są przed zwichrzeniem elementy, których
pas ściskany stężony jest sztywną tarczą oraz elementy w których rozstaw stężeń bocznych
pasa ściskanego l1 jest mniejszy od rozstawu granicznego lgr.
l1 ≤ lgr ,
15
(55)
lgr – wyznaczać należy wg procedury zawartej w [7] rozdział 3.3.3, element (310):
lgr = 0,5 ⋅
iz1 ⋅ λa
kc
(56)
gdzie: iz1 – promień bezwładności dla pojedynczego pasa przy wyboczeniu z płaszczyzny
dźwigara
iz 1 =
I z1
=
Af 1
t f ⋅ b3f
12 = b f
t f ⋅ bf
12
(57)
kc – współczynnik zależny od rozkładu sił normalnych na długości pasa, [7] tab.8, przy
wyznaczaniu granicznego rozstawu stężeń bocznych można przyjąć, że siła normalna na
odcinku pomiędzy stężeniami pozostaje stała, czyli kc = 1,0. Po uwzględnieniu powyższych
zależności wzór (56) przyjmuje postać,
lgr =
b f ⋅ λa
(58)
4⋅ 3
gdzie,
λa = π ⋅
E
Re
(59)
Rozpiętość obliczeniową belek l0 należy określać wg [1] p.4.5.1.d.
Nośność środników pod obciążeniem skupionym należy sprawdzać wg p.2.2.2 niniejszego
opracowania.
Osłabienie elementu otworami na łączniki należy uwzględniać wg [1] p.4.1.2.
Przy wymiarowaniu elementów zginanych należy spełnić odpowiednie warunki sztywności
podane w p.2.1.1 niniejszego opracowania.
2.5.2 Nośność przekroju przy jednokierunkowym zginaniu
Nośność obliczeniowa przekroju przy jednokierunkowym zginaniu określona jest następująco
M Ri = Wif ⋅ f d
(60)
gdzie: i = y, z,
Wif – wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu sprężystym dla przekroju składającego
się z samych pasów,
Wyf =
I yf
Wzf =
zmax
I zf
ymax
(61)
gdzie: ymax, zmax – odległość pomiędzy środkiem ciężkości przekroju a najbardziej od niego
oddaloną krawędzią przekroju, odpowiednio dla kierunku y i z,
16
I yf =
A2f 1
Af
⋅h
I zf =
2
t f ⋅ b3f
6
(62)
h – odległość między środkami ciężkości pasów.
2.5.3 Nośność interakcyjna przekroju zginanego i ścinanego
Na podstawie przeprowadzonych badań belek o wysokości środnika 500mm, można
stwierdzić, że w przypadku jednoczesnego występowania znacznych sił przekrojowych M i V
odpowiednie nośności ulegają redukcji:
M
≤ 1,
M R ⋅ψ M
ψ M = 1,8 −
V
≤1
VR ⋅ψ V
V
lecz ψ M ≤ 1,0 ;
VR
(63)
ψ V = 1,8 −
M
lecz ψ V ≤ 1,0 .
MR
(64)
gdzie: ΨM, ΨV – współczynniki redukcyjne, odpowiednio dla nośności na zginanie i nośności
na ścinanie.
2.5.4 Nośność elementów jednokierunkowo zginanych
Nośność elementów jednokierunkowo zginanych należy sprawdzać wg wzorów:
My
ϕ L ⋅ M Ry
Mz
≤ 1,
M Rz
≤ 1,
(65)
gdzie ϕL – współczynnik zwichrzenia wg [1] określony wzorem
(
ϕL = 1+ λ
)
1
2⋅ n − n
L
(66)
gdzie: n – parametr imperfekcji, n = 2,0 (krzywa „a”),
λ L - smukłość względna przy zwichrzeniu określona wzorem,
λ = 1,15 ⋅
L
M Ry
M cr
,
(67)
gdzie Mcr – moment krytyczny zwichrzenia wg [1]
M cr = A0 ⋅ N z +
( A0 ⋅ N z )
2
+ B 2 ⋅ is2 ⋅ N z ⋅ N x
gdzie: A0 = A1 ⋅ bz + A2 ⋅ as , A1, A2, B – współczynniki wg [1] tab. Z1-2,
17
(68)
w przypadku bisymetrycznego profilu SIN współrzędna środka ścinania ys = 0, ramię
asymetrii ry = 0, biegunowy promień bezwładności względem środka ścinania is = i0, gdzie
i0 – biegunowy promień bezwładności względem środka ciężkości przekroju,
i0 = i y2 + iz2
(69)
gdzie: iy, iz – promienie bezwładności przekroju odpowiednio względem osi y i z,
iy =
I yf
iz =
Af
I zf
Af
(70)
Nz – siła krytyczna przy wyboczeniu giętnym względem osi z
Nz =
π 2 ⋅ E ⋅ I zf
( µz ⋅ l )
2
(71)
gdzie: l – długość elementu, µz – współczynnik długości wyboczeniowej dla wyboczenia
względem osi z, który można przyjmować wg [1] Załącznik 1 p.2,
Nx – siła krytyczna przy wyboczeniu skrętnym

1  π 2 ⋅ E ⋅ Iω
+
⋅
Nx = 2 ⋅ 
G
I

T
is  ( µω ⋅ l )2

(72)
gdzie: µω - współczynnik długości wyboczeniowej przy wyboczeniu skrętnym,
lω
,
(73)
l
lω - odległość przekrojów o swobodnym spaczeniu, dla podparcia widełkowego µω = 1, dla
belki wspornikowej µω = 2,
µω =
Iω - wycinkowy moment bezwładności dla bisymetrycznego przekroju dwuteowego ,
Iω =
I zf ⋅ h 2
2
(74)
gdzie: Izf – moment bezwładności pasów względem osi y wg wzoru (62),
h – odległość między środkami ciężkości pasów,
IT – moment bezwładności przy skręcaniu dla bisymetrycznego przekroju dwuteowego,
1
IT = ⋅ ( 2 ⋅ b f ⋅ t f 3 + hw ⋅ tw3 )
3
gdzie: bf, tf – odpowiednio szerokość i grubość pasa.
18
(75)
3. Stateczność układów ramowych
Do obliczeń układów ramowych wrażliwych na efekty II rzędu należy stosować analizę
sprężystą wg teorii II rzędu z uwzględnieniem wstępnego przechyłu ψ0 wg [1],
1
⋅ r1 ⋅ r2 ,
200
(76)
5
przy czym r1 ≤ 1 ,
h
(77)
Ψ0 =
gdzie:
r1 =
1 
1
r2 = ⋅ 1 +
,
n 
2 
(78)
h – wysokość kondygnacji [m],
n – liczba słupów danej kondygnacji w rozpatrywanej płaszczyźnie.
Przy sprawdzaniu stateczności ramy, słupy można traktować jak słupy układów o węzłach
nieprzesuwnych ze współczynnikiem długości wyboczeniowej µ≤1.
Siły wewnętrzne II rzędu można wyznaczać w sposób przybliżony, stosując metodę
amplifikacji zastępczych sił poziomych. Do obliczeń wg teorii I rzędu należy wtedy przyjąć
zwiększone siły poziome HII wg [1],
H II =
1
⋅ ( H0 + H ) ,
1−αH
(79)
gdzie:
H – siła pozioma od obciążenia zewnętrznego na poziomie rozpatrywanej
kondygnacji,
H0 – zastępcza siła pozioma określona wzorem,
H 0 =Ψ 0 ⋅ Σ P ,
(80)
gdzie ΣP – suma oddziaływań pionowych rygli rozpatrywanej kondygnacji,
Ψ0 – wstępny przechył rozpatrywanej kondygnacji wg wzoru (76),
αH – wskaźnik wrażliwości na efekty II rzędu wg[1],
αH =
∆Ψ ⋅ Σ N
,
Ψ 0 ⋅Σ N + Σ H
(81)
gdzie:
ΣH – sumaryczne obciążenie poziome powyżej rozpatrywanej kondygnacji,
ΣN – sumaryczne obciążenie pionowe przenoszone przez słupy rozpatrywanej
kondygnacji,
∆ψ - przyrost przechyłu spowodowany działaniem sił (H+H0)
19
 Ψ ΣN I
⋅Ψ ,
∆Ψ = 1 + 0
Σ H 

(82)
gdzie ψI – przechył spowodowany działaniem sił H, obliczony wg teorii I rzędu.
W przypadku braku zewnętrznego obciążenia poziomego należy przyjąć
∆Ψ =Ψ 0I ,
(83)
gdzie Ψ 0I - przechył spowodowany działaniem sił H0 wg wzoru(80).
Kraków,2003-06-02
prof. dr hab. inż. Zbigniew Mendera
mgr inż. Krzysztof Kuchta
20
LITERATURA
[1] PN-90/B-03200 – Konstrukcje stalowe – Obliczenia statyczne i projektowanie.
[2] DASt – Richtlinie 015 – Träger mit schlanken Stegen, Stahlbau-Verlagsgesellschaft, Köln
1990
[3] H. Pasternak, P. Brańka – Zum Tragverhalten von Wellstegträgern – Bauingenieur
10/1998
[4] Gutachten über die Berechnung von geschweißten I- Trägern mit Stegen aus gewellten
Blechen, O. Univ. Prof. D.I. Dr. Günter Ramberger, Wien 20.12.1989 – praca nie
publikowana.
[5] 2. Gutachten über die Berechnung von geschweißten I- Trägern mit Stegen aus gewellten
Blechen, O. Univ. Prof. D.I. Dr. Günter Ramberger, Wien 16.11.1990 – praca nie
publikowana.
[6] S. P. Timoshenko, J. M. Gere – Teoria stateczności sprężystej, Arkady, Warszawa 1963
[7] DIN – 18800 Teil 2 – Stahlbauten – Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken,
Beuth Verlag GmbH, Berlin 1990
[8] Eurocode 3 (EC3), Design of Steel Structures, Part 1.1 General rules and rules for
buildings, European Prestandard ENV 1993-1-1, CEN, Brussels, April 1992
[9] Z. Mendera – Częściowe współczynniki bezpieczeństwa i modele obliczeniowe
konstrukcji stalowych na tle Eurokodu 3, Inżynieria i Budownictwo 11/1995
[10] H. Pasternak, P. Brańka – Tragverhalten von Wellstegträgern unter lokaler
Lasteinleitung, Bauingenieur 5/1999
[11] P. Brańka – Tragverhalten von Trägern mit schlanken, ebenen und profilierten Stegen,
Dissertation – Brandenburgische Technische Universität Cottbus, Tectum Verlag, Marburg
2000.
21