rachunek bledow

Rachunek błędów
BŁĄD występujący w pomiarze naukowym oznacza niemożliwą do uniknięcia
NIEPEWNOŚĆ nierozerwalnie związaną z istotą pomiaru
Terminów błąd i niepewność możemy używać w sposób wymienny
Błąd nie oznacza pomyłki i nie można go uniknąć wykonując pomiar z większą
starannością
To co możemy osiągnąć, to:
 spowodować aby błąd był jak najmniejszy
 zaleźć sposób na oszacowanie jego wielkości
Jedną z najlepszych metod oceny wiarygodności pomiaru jest jego
wielokrotne powtarzanie i analizowanie otrzymanych wyników.
Niepewności doświadczalne, które mogą być ujawnione poprzez wielokrotne
powtarzanie pomiaru, nazywamy błędami przypadkowymi
a te, które nie dadzą się w ten sposób ujawnić, nazywamy błędami
systematycznymi.
Przykładowe źródła niepewności przypadkowych:
 drobne błędy popełniane przez obserwatora przy odczycie wyniku,
 niewielkie zakłócenia w funkcjonowaniu przyrządów
a niepewności systematycznych:
 zła kalibracja instrumentu pomiarowego
Wiarygodną ocenę niepewności przypadkowych dają metody statystyczne.
Niepewności systematyczne są trudne do oszacowania, a nawet do wykrycia.
Eksperymentator musi nauczyć się przewidywania możliwych źródeł błędów
systematycznych i upewniania, że błędy systematyczne są dużo mniejsze niż
wymagana precyzja pomiaru.
1
Średnia i odchylenie standardowe
Wykonaliśmy n razy pomiar wielkości x (wszystkie tym samym urządzeniem i
w idenyczny sposób). Otrzymaliśmy wyniki x1, x2,…, xn .
Najlepszym przybliżeniem wielkości x jest średnia n znalezionych wartości
1 n
x   xi
n i 1
Odchylenie standardowe pomiarów x1, x2,…, xn jest miarą średniej
niepewności pomiarów x1, x2,…, xn . Dlaczego?
Skoro x jest najlepszym przybliżeniem wielkości x, to naturalne jest rozważenie różnicy
xi  x  di . Różnica ta mówi nam o ile wynik i-tego pomiaru różni się od średniej x . Jeśli
wszystkie odchylenia di  xi  x są bardzo małe, to wszystkie wyniki naszych pomiarów
są skupione i przypuszczalnie bardzo dokładne. Jeśli jakieś odchylenie d i jest duże, to
znaczy, że nasze pomiary nie są tak precyzyjne. Niektóre d i są dodatnie a inne ujemne
ponieważ niektóre z naszych wyników xi muszą być większe od średniej x , a inne muszą
być mniejsze. Aby oszacować średnią wiarygodność pomiarów x1, x2,…, xn , moglibyśmy
uśrednić odchylenia d i ale średnie odchylenie d równe jest zeru (!). Zatem średnia d nie
jest dobrym wskaźnikiem wiarygodności pomiarów x1, x2,…, xn . Najlepszym sposobem
ominięcia tego kłopotu jest podniesienie do kwadratu wszystkich odchyleń i uśrednienie
2
otrzymanych liczb dodatnich d i . Następnie obliczamy pierwiastek z tej średniej,
otrzymując wartość w takich samych jednostkach jak x. Liczba ta zwana jest odchyleniem
standardowym x1, x2,…, xn i oznaczamy symbolem s x
1 n
1 n
2
sx 
(d i ) 
( xi  x) 2


n i1
n i1
Istnieje też inna definicja odchylenia standardowego. Pewne argumenty teoretyczne
przemawiają za zamianą czynnika n w mianowniku powyższego wyrażenia na n-1 i za
zdefiniowaniem odchylenia standardowego s x pomiarów x1, x2,…, xn jako
2
~s 
x
1 n
1 n
2
(d i ) 
( xi  x) 2


n  1 i1
n  1 i1
Liczbowo różnica pomiędzy odchyleniami standardowymi obliczonymi zgodnie z tymi
dwoma wzorami jest prawie zawsze nieznacząca.
Odchylenie standardowe jako niepewność pojedynczego pomiaru
Odchylenie standardowe s x charakteryzuje średnią niepewność wyników
pomiarów x1, x2,…, xn na podstawie których zostało obliczone. Jeśli nasze
pomiary podlegałyby rozkładowi normalnemu i jeśli powtarzalibyśmy pomiary
x bardzo wiele razy, to około 70% naszych wyników byłoby oddalone od x o
mniej niż s x , czyli 70% naszych wyników leżałoby w zakresie x  s x .
Inaczej:
Przypuśćmy, że otrzymaliśmy wyniki x1, x2,…, xn oraz obliczyliśmy x i s x .
Jeśli przeprowadzimy teraz następny pomiar (w tym samym układzie
eksperymentalnym), istnieje 70% prawdopodobieństwa, że wynik tego
pomiaru będzie się różnił od x o mniej niż s x . Zatem za niepewność
związaną z tym pomiarem można przyjąć s x .
Odchylenie standardowe średniej
Jeśli x1, x2,…, xn są wynikami n pomiarów tej samej wielkości x, to
najlepszym przybliżeniem wartości x jest ich średnia x a średnią niepewność
każdego z wyników charakteryzuje odchylenie standardowe s x .
Jaka jest niepewność x ?
3
Okazuje się, że niepewność średniej jest mniejsza niż niepewność każdego z
wyników i jest równa odchyleniu standardowemu s x podzielonemu przez
n . Wielkość ta zwana jest odchyleniem standardowym średniej lub
błędem standardowym średniej, i jest oznaczana s x
sx 
s
n
Błąd dowolnej funkcji
Załóżmy, że mierzymy dwie wzajemnie niezależne wielkości x i y podlegające
rozkładowi normalnemu, a następnie obliczamy pewną wielkość f(x,y), która
jest funkcją x i y. Jakiemu rozkładowi podlega funkcja f(x,y) ?
 f 
 f 
f ( x, y )  f ( x, y )    ( x  x)    ( y  y )
 x  x , y
 y  x , y
liczba stała
pochodne cząstkowe obliczamy w
punkcie x, y i są one liczbami stałymi
Człon pierwszy f ( x, y) - jego rola ogranicza się do przesunięcia obliczanego rozkładu
 f 
( x  x) jest iloczynem stałej przez czynnik ( x  x) , którego rozkład ma
Człon drugi 
 x 
szerokość s x . Rozkład drugiego członu jest wyśrodkowany wokół zera a jego szerokość
 f 
s x
wynosi 
 x 
Człon trzeci – jego rozkład jest wyśrodkowany wokół zera a jego szerokość wynosi
 f 
  s y
 y 
4
Zatem wartości f(x,y) podlegają rozkładowi normalnemu wokół wartości f ( x, y) z
szerokością daną przez
2
 f

 f

sf  
s x   
s y 
 x 
 y 
2
Niepewność wartości funkcji wielu zmiennych
2
 f

 f

sf  
sx     
sz 
 x 
 z 
2
i nie jest ona większa niż zwykła suma
sf 
f
f
sx   
sz
x
z
Czasem wygodnie jest obliczać niepewność wartości funkcji tym drugim wzorem.
Problem odrzucania danych
Zdarza się, że jeden z wyników serii pomiarowej wyraźnie odbiega od pozostałych. W
takim przypadku eksperymentator musi zdecydować, czy anomalny wynik jest rezultatem
jakiejś pomyłki i powinien zostać odrzucony, czy też jest wynikiem wiarygodnym, który
powinien być wykorzystany na równi z innymi.
Przede wszystkim staramy się ustalić zewnętrzną przyczynę powstania anomalnego
wyniku. Często jest to niemożliwe.
Musimy zatem zdecydować się na odrzucenie (bądź pozostawienie) wyniku opierając się
jedynie na samych rezultatach pomiarów.
Odrzucenie danych pomiarowych jest zagadnieniem kontrowersyjnym i wśród ekspertów
nie ma jednomyślności na ten temat. Decyzja o odrzuceniu danych jest subiektywna i
eksperymentator, który ją podejmuje może się łatwo narazić na zarzut „naciągania”
wyników. Co gorzej taki anomalny wynik może być odzwierciedleniem jakiegoś ważnego
efektu (odkrycie naukowe ?!).
5
Jedynym rzetelnym sposobem postępowania jest powtarzanie pomiaru wiele razy. Jeśli
anomalny wynik pojawi się znowu, to przypuszczalnie będziemy umieli wyśledzić jego
przyczynę w postaci czy to omyłki, czy też prawdziwego efektu fizycznego. Jeśli zaś w
ciągu przykładowo 100 pomiarów nie pojawi się on powtórnie, to nasz ostateczny wynik
nie będzie istotnie zależał od tego, czy weźmiemy pod uwagę zaobserwowaną anomalię
czy też nie.
Czasami wielokrotne powtarzanie pomiaru nie jest możliwe.
Potrzebne są więc pewne kryteria odrzucania podejrzanego wyniku. Jednym z nich jest …
Kryterium Chauveneta
Wykorzystuje ono rozkład Gaussa.
Przypuśćmy, że wykonaliśmy n pomiarów x1, x2,…, xn tej samej wielkości x.
 obliczamy x i s x , korzystając ze wszystkich n wyników
 jeśli jeden z wyników xpod różni się od x tak bardzo, że wygląda to podejrzanie to
obliczamy
t pod 
x pod  x
sx
a więc liczbę określającą o ile odchyle standardowych xpod różni się od x
 obliczamy prawdopodobieństwo P(poza t pod s x ) , że właściwy wynik pomiaru
będzie się różnił od x o t pod lub więcej odchyleń standardowych
 P(poza t pod s x ) mnożymy przez liczbę pomiarów n otrzymując spodziewaną liczbę
pomiarów Npod dających wyniki co najmniej tak złe jak xpod
 jeśli Npod < 1/2, to xpod nie spełnia kryterium Chauveneta i zostaje odrzucone
 po odrzuceniu wyniku, który nie spełnia kryterium Chauveneta, przelicza się x i s x
, korzystając z pozostałych danych
 nowa wartość s x będzie mniejsza niż wartość początkowa i może się zdarzyć, że z
nowym s x następne pomiary nie spełnią kryterium Chauveneta. Większość
6
autorytetów zgadza się, że po obliczeniu nowych wartości x i s x kryterium
Chauveneta nie powinno być stosowane powtórnie.
Średnie ważone
Zdarza się często, że wielkość fizyczna jest mierzona wiele razy, być może w wielu
różnych laboratoriach, i powstaje problem, w jaki sposób powiązać te wyniki, aby
otrzymać jedno najlepsze przybliżenie.
Przypuśćmy, że dwóch studentów A i B mierzy uważnie wielkość x i otrzymuje
następujące wyniki
Student A: x  x A  s A
Student B: x  xB  sB
Są to wyniki wielu pomiarów, a więc xA jest średnią wszystkich pomiarów studenta A, zaś
sA jest odchyleniem standardowym średniej (podobnie dla xB i sB).
Jak połączyć xA i xB aby otrzymać najlepsze przybliżenie x ?
Załóżmy, że różnica |xA – xB| nie jest istotnie większa niż odchylenia sA i sB (tzn. wyniki są
zgodne). Jeśli sA jest różne niż sB, to zwykła średnia arytmetyczna (xA +xB)/2 nie jest
dobrym przybliżeniem bo pomiar bardziej dokładny powinien być w jakiś sposób
faworyzowany.
Załóżmy, że wyniki obu pomiarów podlegają rozkładowi Gaussa i oznaczmy nieznaną
prawdziwą wartość x przez m. Prawdopodobieństwo, że student A otrzyma wynik xA jest
równe
 ( x A  m) 2 
1
P( x A )  exp 

sA
2s A2 

podobnie prawdopodobieństwo, że student B otrzyma wynik xB
 ( xB  m) 2 
1
P( xB )  exp 

sB
2s B2 

Prawdopodobieństwo, że student A znajdzie wartość xA a student B wartość xB jest
iloczynem tych prawdopodobieństw
P( x A , x B )  P( x A ) P( x B ) 
gdzie
7
 2 
1
exp  
sAs B
 2 
2
2
 x  m   xB  m 
  

   A
s
s
A
B

 

Zastosujmy zasadę największego prawdopodobieństwa. Zakłada ona, że najlepsze
2
przybliżenie nieznanej prawdziwej wartości  ma taka wartość, żeby P( x A , xB ) było
2
2
największe, tzn. żeby wykładnik  był najmniejszy. Różniczkujemy więc  po m i
przyrównujemy pochodną do zera
x m
x m
2 A 2 2 B 2 0
sA
sB
Stąd najlepsze przybliżenie m jest równe
xA
x
 B2
2
s
sB
m A
1
1
 2
2
sA
sB
Zdefiniujmy wagi statystyczne
wA 
1
2
sA
i wB 
1
2
sB
Podstawiając je do poprzedniego równania otrzymujemy
m
wA x A  wB xB
wA  wB
Jest to średnia ważona
Jeśli s A  sB , to średnia ważona upraszcza się do średniej arytmetycznej.
Jeśli pomiar A jest bardziej dokładny niż B, to s A  s B czyli wA  wB a najlepsze
przybliżenie m jest bliższe wartości x A niż x B .
Uogólnienie na przypadek N pomiarów tej samej wielkości x
x1  s1 , x2  s2 ,, xN  sN
Średnia ważona
N
m
w x
i 1
N
i i
w
i
i 1
przy czym wagi wi są odwrotnościami kwadratów odpowiednich niepewności
8
wi 
1
2
si
dla i = 1, 2,…, N.
Każdy z pomiarów, który jest o wiele mniej dokładny niż pozostałe, wnosi o wiele
mniejszy wkład do ostatecznego wyniku niż inne.
Niepewność najlepszego przybliżenia m jest równa
sm 
1
N
w
i 1
i
Zadanie 1
Student wykonuje wielokrotnie pomiary pewnej wielkości y, a następnie w wyniku
obliczeń uzyskuje średnią y = 23 i odchylenie standardowe s y = 1. Jaką część uzyskanych
wyników spodziewałbyś się znaleźć pomiędzy
(a) 22 i 24,
(b) 22,5 i 23,5,
(c) 21 i 25,
(d) 21 i 23,
(e) 24 i 25,
(f) W jakich granicach (równoodległych w obydwie strony od średniej) spodziewałbyś się
zaleźć 50 procent wszystkich wyników?
Zadanie 2
Staranne badania wykazują, że wzrost mężczyzn w Polsce podlega rozkładowi
normalnemu ze średnią h = 175 cm i odchyleniem standardowym s = 5 cm. Losowo
wybrano grupę liczącą 1000 mężczyzn. Ilu spośród nich, powinno mieć wzrost
(a) pomiędzy 170 a 180 cm
(b) większy niż 180 cm
(c) większy niż 190 cm
(d) Pomiędzy 165 cm a 170 cm ?
9
Zadanie 3
Student pięciokrotnie mierzy pewna wielkość x, otrzymując następujące wyniki
5, 7, 9, 7, 8
Oblicz średnią x i odchylenie standardowe s x . Podaj z której definicji s x korzystałeś.
Zadanie 4
Mierzymy powierzchnię A prostokątnej płytki o bokach równych około 2,5 x 5 cm. Aby
uwzględnić nieregularność boków, przeprowadzamy nasz pomiar w kilku różnych
miejscach. Przeprowadzamy po 10 pomiarów długości l i szerokości b tej płytki
otrzymując następujące wyniki:
l: 24.25 , 24.26 , 24.22 , 24.28 , 24.24 , 24.25 , 24.22 , 24.26 , 24.23 , 24.24
b: 50.36 , 50.35 , 50.41 , 50.37 , 50.36 , 50.32 , 50.39 , 50.38 , 50,36 , 50.38
Obliczyć średnią, odchylenie standardowe i odchylenie standardowe średniej.
Oblicz najlepsze przybliżenie powierzchni A = l b oraz jego niepewność.
Zadanie 5
Student wykonuje 10 pomiarów i otrzymuje następujące wyniki:
46, 48, 44, 38, 45, 47, 58, 44, 45, 43
Zwracając uwagę, że wartość 58 wydaje się rażąco duża, sprawdza swoje notatki, ale nie
znajduje dowodu na to, że wynik ten był rezultatem omyłki. Stosuje zatem kryterium
Chauveneta. Jaki będzie jego wniosek?
Zadanie 6
Student zmierzył 10 razy napięcie i otrzymał następujące wyniki:
0,86 , 0,83 , 0,87 , 0,84 , 0,82 , 0,95 , 0,83 , 0,85 , 0,89 , 0,88
Oblicz średnią V i odchylenie standardowe sV tych wyników
Czy student powinien odrzucić wynik 0,5 wolta, jeśli zdecydował się skorzystać z
kryterium Chauveneta? Przedstaw jasno swoją argumentację.
Zadanie 7
Studentka przeprowadziła 14 pomiarów okresu drgań oscylatora tłumionego, otrzymując
wyniki:
7, 3, 9, 3, 6, 9, 8, 7, 8, 12, 5, 9, 9, 3
10
Czując, że wynik 12 jest podejrzanie wysoki, zdecydowała się zastosować kryterium
Chauveneta. Czy odrzuci ona podejrzany wynik? Ilu wyników równie odległych od
średniej jak 12 powinna się ona spodziewać?
Zadanie 8
Trzech studentów zmierzyło kilka razy opór i otrzymało następujące trzy wyniki (w
omach):
Pierwszy student: opór R = 11 ± 1
Drugi student:
opór R = 12 ± 1
Trzeci student:
opór R = 10 ± 3
Jakie jest najlepsze przybliżenie oporu R oparte na powyższych wynikach?
Jaki wynik uzyskalibyśmy ignorując wynik trzeciego studenta?
Zadanie 9
(a) Dwa pomiary prędkości dźwięku u dały wyniki 334 ± 1 i 336 ± 2 (w m/s). Czy
uważasz je za spójne? Jeśli tak, to znajdź najlepsze przybliżenie u i jego
niepewność.
(b) Powtórz część (a) dla wyników 334 ± 1 i 336 ± 5. Czy warto jest brać pod uwagę
drugi z wyników?
Zadanie 10
Dwóch studentów zmierzyło różnymi metodami opór. Każdy z nich wykonał 10 pomiarów
i obliczył średnią oraz jej odchylenie standardowe, otrzymując następujące wyniki:
Student A: R = 72 ± 8 omów
Student B: R = 78 ± 5 omów
(a) Jakie jest najlepsze przybliżenie R i jego niepewność po wzięciu pod uwagę obu
wyników?
(b) Ile pomiarów powinien wykonać student A (taka samą techniką), aby jego wynik
miał taką samą wagę jak wynik studenta B?
Zadanie 11
Znajdź najlepsze przybliżenie i jego niepewność na podstawie następujących czterech
wyników pomiarów tej samej wielkości:
1,4 ± 0,5 , 1,2 ± 0,2 , 1,0 ± 0,25 , 1,3 ± 0,2
11