stary zestaw na drugie kolokwium

Analiza statystyczna niepewności przypadkowych.
1. W tabeli przedstawiono pomiary długości i szerokości płytki. Oblicz
średnią wartość l i b, odchylenie standardowe l i b, odchylenie standardowe
średniej l i b, pole powierzchni płytki A, błąd bezwzględny i względny A.
l [mm]
b [mm]
24,25
24,25
50,36
50,32
24,26
24,22
50,35
50,39
24,22
24,26
50,41
50,38
24,28
24,23
50,37
50,36
24,24
24,24
50,36
50,38
2. (a) Na podstawie danych z tabeli oblicz współczynnik sprężystości
sprężyny k oraz niepewność δk. (b) Przeprowadź analizę niepewności δk przy
założeniu, że waga i stoper mają odpowiednio niepewności systematyczne 1%
i 0,5%.
Masa m [kg]
0,513
0,581
0,634
0,691
0,752
0,834
0,901
0,950
Okres T [s]
1,24
1,33
1,36
1,44
1,50
1,59
1,65
1,69
k = 4π 2 m/T 2
13,17
12,97
...
...
...
...
...
...
3. Dane są wartości: x1 , x2 ,..., xN . Odchylenie di jest zdefiniowane
następująco di = xi − x̄. Udowodnij, że średnia odchyleń d1 , d2 ,..., dN jest
zawsze równa zeru.
4. Udowodnij tożsamość:
Σ[(xi − x̄)2 ] = Σ[(xi )2 ] −
1
[Σ(xi )]2 .
N
(1)
5. W tabeli przedstawiono wyniki doświadczenia polegającego na wyznaczeniu przyspieszenia ziemskiego przy q
użyciu wahadła matematycznego.
Okres drgań wahadła jest równy T = 2π l/g. Dokładność pomiarów długości l i czasu T wynosi odpowiednio 0,3% i 0,2%. Oblicz wartość przyspieszenia ziemskiego g. Niepewność δg oszacuj dwiema metodami: (a) metodą
przenoszenia błędów; (b) na podstawie analizy statystycznej.
Długość l [cm]
Okres T [s]
Przyspieszenie g [m/s2 ]
57,3 61,1 73,2 83,7 95,0
1,521 1,567 1,718 1,835 1,952
...
...
...
...
...
6. W tabeli przedstawiono wyniki pomiarów spadku napięcia V na oporniku oraz płynący przez niego prąd I. Na podstawie tych pomiarów oblicz
wartość oporu R = V /I oraz oszacuj błąd δR zakładając, że użyte mierniki
mają niepewność systematyczą 2%. Przeprowadź analizę otrzymanych wyników wiedząc, że nominalny opór wynosi R = 2, 50 Ω.
Napięcie V [V]
Natężenie I [A]
Opór R [Ω]
11,2 13,4 15,1 17,7
4,67 5,46 6,28 7,22
...
...
...
...
7. Student otrzymał przedstawione w tabeli wyniki pomiarów długości
l i okresu T wahadła matematycznego. Oblicz na podstawie tych pomiarów przyspieszenie ziemskie g oraz oszacuj niepewność δg. Wyniki porównaj
z wartością uznaną g = 979, 6 cm/s2 . Jak duży musiałby być błąd systematyczny wyznaczenia długości l, aby margines całkowitego błędu zaledwie
zawierał uznaną wartość.
Długość l [cm]
Okres T [s]
Przyspieszenie g [m/s2 ]
51,2 59,7 68,2 79,7 88,3
1,448 1,566 1,669 1,804 1,896
...
...
...
...
...
8. Żeby wykalibrować spektrometr pryzmatyczny, student mierzy kąt θ o
jaki odchyla się światło dla 10 różnych znanych długości fali λ. Używając tych
wyników, rysuje on krzywą dyspersji przedstawiającą λ jako funkcję kąta θ.
Dla pierwszej wartości λ mierzy kąt θ sześć razy i otrzymuje następujące
wyniki (w stopniach):
52,5; 52,3; 52,6; 52,5; 52,7; 52,4
Dla każdej z pozostałych wartości λ mierzy odpowiednią wartość θ tylko raz.
Co powinien przyjąć za niepewność w każdym z tych 10 pomiarów kąta θ.
9. Studentka pięciokrotnie mierzy przyspieszenie ziemskie g i otrzymuje
następujące wyniki (w m/s2 ):
9,9; 9,6; 9,5; 9,7; 9,8.
Oblicz średnią i odchylenie standardowe mierzonej wielkości.
Rozkład normalny
1. Pomiar pewnej długości x (w cm) został powtórzony dziesięciokrotnie:
26, 24, 26, 28, 23, 24, 25, 24, 26, 25.
Na podstawie tych wyników uzupełnij tabelę. Narysuj histogram pomiarów
x. Oblicz średnią wartość x̄, korzystając ze wzoru na sumę ważoną.
Różne wartości xk [cm]
Liczebność nk
Częstość Fk
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. Na podstawie zmierzonych wartości długości l (w cm), uzupełnij
tabelkę, sporządź histogram komórkowy, oraz oblicz wartość średnią ¯l.
26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,1; 23,9; 25,3; 25,4.
Przedzial lk [cm]
Liczba pomiarów w przedziale
fk
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. 20 razy zmierzono czas opadania kulki łożyskowej w cylindrze wypełnionym
olejem. Wyniki przedstawiono w tabeli. Narysuj histogram komórkowy
przedstawionych wyników przyjmując szerokość przedziału
(a) ∆t = 1 i wartość początkową równą 70,5;
(b) ∆t = 2 i wartość początkową równą 70,5.
Czas t [0,1 s]
Liczba zdarzeń
71
2
72 73 74 75 76 77
0 3 5 4 1 3
78 79 80
1 0 1
4. Korzystając z papieru milimetrowego i odpowiednio dobierając skalę
na osiach, wykonaj precyzyjne wykresy rozkładu Gaussa:
1
2
2
GX,σ (x) = √ e−(x−X) /2σ
σ 2π
(2)
dla X = 2, σ = 1 oraz X = 3 i σ = 0, 3.
5. Oblicz:
x̄ =
Z
+∞
xGX, σ dx
(3)
(x − x̄)2 GX, σ (x)dx
(4)
−∞
σx2 =
Z
+∞
−∞
6. Student wielokrotnie zmierzył pewną wielkość y, a następnie obliczył
wartość średnią ȳ = 23 i odchylenie standardowe σy = 1. Jaka część spośród
jego pomiarów powinna zgodnie z przewidywaniami znaleźć się pomiędzy:
(a) 22 i 24; (b) 22,5 i 23,5; (c) 21 i 25; (d) 21 i 23; (e) 24 i 25?
(f) W jakich granicach równoodległych od średniej można spodziewać się
50% wszystkich wyników?
7. Badania wykazują, że wzrost mężczyzn w pewnym kraju podlega
rozkładowi normalnemu ze średnią h̄ = 175 cm i odchyleniem standardowym
σ = 5 cm. Losowo wybrano grupę liczącą 1000 mężczyzn. Ilu spośród nich
powinno mieć wzrost:
(a) pomiędzy 170 a 180 cm;
(b) większy niż 180 cm;
(c) większy niż 190 cm;
(d) pomiędzy 165 a 170 cm?
8. W myśl pewnej zaproponowanej teorii wielkość x powinna mieć wartość
xteor . Po zmierzeniu wielkości x i podaniu wyniku w przyjętej postaci xnp ±σ,
stwierdzamy, że rozbieżność pomiędzy xnp i xteor wynosi t odczyleń standardowych. Jaka musi być wartość t, aby rozbieżność była istotna na poziomie
5%? Jaka na poziomie 2%? Jaka na poziomie 1%?
9. Student starannie powtarza pomiary przyspieszenia ziemskiego g i
otrzymuje wynik końcowy 9,5 m/s2 z odchyleniem standardowym 0,1. Ile
wynosiłoby prawdopodobieństwo uzyskania wyniku, który różniłby się tak
bardzo (lub bardziej) od wartości uznanej 9,8, jeśli założymy, że jego pomiary są opisane przez rozkład normalny wyśrodkowany wokół wartości 9,8
m/s2 z szerokością 0,1?
10. Dwóch studentów wykonuje pomiary tej samej wielkości x i uzyskuje
wyniki xA = 13 ± 1 oraz xB = 15 ± 1, jako niepewności podano odchylenia
standardowe.
(a) Przyjmując, że wszystkie błędy są niezależne i przypadkowe, odpowiedz
ile wynosi różnica xA − xB i jaka jest jej niepewność?
(b) Zakładając, że wszystkie wielkości podlegają rokładom normalnym, odpowiedz
jakie byłoby prawdopodobieństwo otrzymania tak dużej rozbieżności? Czy
rozbieżność ta jest znacząca? Uzasadnij.
11. Eksperymentator postanawia sprawdzić zasadę zachowania energii
dla pewnej reakcji jądrowej i mierzy wartości energii początkowej i końcowej,
uzyskując odpowiednio Ep = 75 ± 3 MeV i Ek = 60 ± 9 MeV, przy czym jako
obydwie nepewności pomiarowe podano odchylenia standardowe wyników.
Czy stwierdzona rozbieżność jest znacząca? Uzasadnij.