Zapisz jako PDF

Fale dźwiękowe — wstęp
Falami dźwiękowymi nazywamy fale podłużne, które rozchodzą się w ośrodkach sprężystych.
Ludzkie ucho rozpoznaje fale dźwiękowe o częstotliwości od około 20 Hz do około 20 kHz (zakres ten
zależy od indywidualnych cech i może się trochę różnić dla konkretnego człowieka). Falę dźwiękową
możemy wytworzyć uderzając np. młotkiem w cienki pręt metalowy tak jak to pokazano na rysunku
Figure 1. Fala dźwiękowa rozchodząc się w pręcie zmienia lokalnie gęstość i naprężenia. Powstałe
na końcu pręta odkształcenie powoduje „odskoczenie” piłeczki.
Wytworzenie fali
dźwiękowej w cienkim
metalowym pręcie.
W przypadku struny, funkcja falowa opisywała wychylenie poszczególnych punktów struny z
położenia równowagi. Co będzie opisywała funkcja falowa w przypadku fali dźwiękowej w cienkim
pręcie?
Zmiana długości
fragmentu pręta w wyniku
rozchodzenia się fali
dźwiękowej.
Wyobraźmy sobie mały kawałek (fragment) pręta w kształcie walca o długości
i przekroju S
(patrz rysunek Figure 2). W wyniku rozchodzenia się fali przesuną się denka walca, denko z lewej
strony o
, natomiast denko z prawej strony o
walec tylko się przesunie, bez zmiany długości. Jeśli
. Jeśli
to
to walec ulegnie
rozciągnięciu, a w przypadku
ściśnięciu. Przy zmianie długości walca na jego
końce będzie działać siła wynikająca z prawa Hooke’a:
gdzie parametr E jest modułem Younga. Uwzględniając siłę wypadkową działającą na walec (różnica
sił działających na lewe i prawe denko) oraz masę walca:
otrzymujemy równanie:
Otrzymaliśmy podobnie jak dla struny klasyczne równanie falowe z prędkością rozchodzenia się fali
dźwiękowej:
.
Przykładowo, dla cienkiego ołowianego pręta korzystając z powyższego wzoru łatwo możemy
wyliczyć prędkość:
stąd:
Przeprowadzane rozważania, w tym wyprowadzenie klasycznego równania falowego były oparte na
prawie Hooke’a, a więc dotyczyły cienkich prętów. Okazuje się jednak, że postać klasycznego
równania falowego dla fal jest taka sama dla dowolnych materiałów objętościowych (o dowolnych
kształtach), musimy jedynie w równaniu zamienić moduł Younga na współczynnik sprężystości
objętościowej nazywany również modułem ściśliwości, który jest oznaczany zwykle literą . Moduł
ściśliwości jest zdefiniowany:
, a równanie falowe ma postać:
Prędkość rozchodzenia się fali wynosi zatem:
. Zwykle
, a więc fala dźwiękowa
rozchodzi się szybciej w materiale objętościowym niż w cienkim pręcie. Poniżej zebrano przykładowe
prędkości fali dźwiękowej w wybranych materiałach (objętościowych).
Substancja
Uwagi
Ciekły hel
211
4K
Rtęć
1450 20° C
Woda
1402 0° C
Woda
1482 20° C
Woda
1543 100° C
Aluminium 6420 fale podłużne
Miedź
4700 w materiałach
Ołów
2160 objętościowych
Stal
5941 niesk. rozciągł.
Pleksiglas
2670 20° C
Długość fali zależy od prędkości i częstotliwości
. Zmienia się więc gdy np. fala dźwiękowa
przechodzi z jednego ośrodka do drugiego. Zwróćmy też uwagę, że zdolność rozdzielcza przyrządów
akustycznych zależy od częstotliwości. Np. sonar, który jest używany do wykrywania podwodnych
obiektów wysyła fale dźwiękowe o częstotliwości 262 Hz co odpowiada
. Fale odbite od
podwodnych obiektów wracają do sonara. Sonar może więc wykrywać obiekty nie mniejsze niż
długość fali a więc obiekty o rozmiarach co najmniej kilkumetrowych. Z kolei delfiny do wykrywania
obiektów posługują się falami o długości
a więc mogą wykrywać mniejsze obiekty niż
sonar, natomiast w badaniach lekarskich za pomocą techniki USG wykorzystującej fale dźwiękowe o
częstotliwości 5 MHz (ultradźwięki) można wykrywać obiekty o rozmiarach:
.
Przeprowadzając analogiczne rozważania jak wyżej dla gazów otrzymujemy identyczną postać
klasycznego równania falowego. Możemy się zastanowić jakiej przemianie podlega gaz podczas
rozchodzenia się w nim fali dźwiękowej, zakładając, że gaz jest idealny? Porównanie doświadczenia z
wzorami teoretycznymi jednoznacznie wskazuje, że gaz podlega przemianie adiabatycznej.
Wyprowadźmy zatem dla takiej przemiany wzór na prędkość rozchodzenia się fali. Dla przemiany
adiabatycznej ciśnienie gazu wynosi:
, gdzie wielkości z indeksem 0 odpowiadają ciśnieniu
i objętości w stanie normalnym (gdy fala nie rozchodzi się w gazie) a
moduł ściśliwości wynosi:
. Dla tego przypadku
.
Z drugiej strony dla gazu idealnego:
, gdzie
jest liczbą moli,
stałą gazową a
temperaturą. Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
, gdzie jest gęstością
gazu,
masą a
masą molową. Stąd łącząc powyższe wzory otrzymujemy wyrażenie na prędkość
fali dźwiękowej w gazie:
.
Prędkość jest więc proporcjonalna do pierwiastka z temperatury. Korzystając z tego wzoru możemy
łatwo policzyć prędkość dźwięku w powietrzu uwzględniając dane:
stąd:
Otrzymana wartość bardzo dobrze zgadza się z danymi doświadczalnymi. Zwróćmy uwagę, że gdyby
podczas rozchodzenia się fali dźwiękowej gaz podlegał przemianie izotermicznej to wartość
teoretyczna prędkości byłaby mniejsza około 1.18 razy czyli o około 18%.
Poniżej pokazano prędkość dźwięku dla wybranych gazów.
Substancja
[m/s]
Uwagi
Hel
981
0° C, 1 atm
Azot
336
0° C, 1 atm
Tlen
313
0° C, 1 atm
Wodór
1300
0° C, 1 atm
Powietrze
331
0° C, 1 atm
Powietrze
344
20° C, 1 atm
Zwróćmy uwagę, że w przypadku fali rozchodzącej się w strunie funkcja falowa miała prosta
interpretację, oznaczała bowiem wychylenie struny z położenia równowagi w danym punkcie z w
chwili czasu . W przypadku fali podłużnej interpretacja funkcji falowej jest trudniejsza, wedle
naszych rozważań oznacza bowiem przesuniecie hipotetycznego denka wydzielonego walca
materiału. Łatwo jednak możemy przejść do innych wielkości fizycznych jak zmiana ciśnienia lub
gęstości ośrodka w którym rozchodzi się fala. Ciśnienie wyraża się bowiem wzorem:
natomiast gęstość (co łatwo można wyprowadzić):
. Możemy zatem
rozchodzenie się fali rozpatrywać jako rozchodzenie się zaburzenia ciśnienia lub gęstości:
. Dla fali harmonicznej otrzymujemy wyrażenia:
Jako przykład zastosowania powyższych wzorów policzmy: ile wynosi amplituda A dla fali o
,
częstotliwości 1 kHz, jeśli amplituda fluktuacji ciśnienia jest równa
?
Zgodnie z powyższymi wzorami:
oraz:
a stąd:
Natężenie fali dźwiękowej, podobnie jak dla struny, zdefiniowane jest jako średnia moc dostarczana
na jednostkę powierzchni. W przeciwieństwie jednak do struny fala dźwiękowa (w materiałach
objętościowych) rozchodzi się izotropowo we wszystkich kierunkach, tj.
odległością od źródła. Dla fali harmonicznej
powietrza (czy innego ośrodka sprężystego) wynosi:
gdzie r jest
moc drgającej warstwy
, a stąd moc średnia:
i natężenie fali dźwiękowej wynosi:
,
Z jest oporem falowym. Otrzymaliśmy więc identyczne wyrażenie jak dla struny. Wspominaliśmy
jednak, że opis fali dźwiękowej wygodniej, bo bardziej „fizycznie” jest przedstawiać za pomocą
zmiany ciśnienia. Dla fali harmonicznej związek ten łatwo wyprowadzamy:
, a stąd:
, czyli ostatecznie:
.
W języku ciśnienia natężenie dźwięku jest średnią kwadratu fluktuacji ciśnienia związanej z
rozchodzeniem się fali przez opór falowy. Jako przykład policzmy ile wynosi amplituda A oraz średnia
wartość fluktuacji ciśnienia fali o częstotliwości 1 kHz dla natężenia odpowiadającego progowi
słyszalności ludzkiego ucha? Próg słyszalności zdrowego ucha wynosi:
Korzystając z danych:
.
otrzymujemy:
.
Wyliczone wartości są niezwykle małe. Świadczą też o tym jak znakomitym narządem zmysłu jest
ludzkie ucho. Ucho jest jedynym narządem, które potrafi odbierać dźwięki o natężeniu różniącym się
1012 razy!!! Jest to możliwe dzięki temu, że wrażenie dźwiękowe odbierane przez człowieka jest
proporcjonalne do logarytmu natężenia dźwięku (prawo Webera-Fechnera). Dlatego dla opisu tych
wrażeń wprowadza się pojecie głośności dźwięku, które jest zdefiniowane:
gdzie
decybel.
jest wspominanym wyżej progiem słyszalności. Jednostką słyszalność jest
Poniżej zebrano przykładowe wartości natężenia dźwięku i odpowiadającą jej wartość głośności.
Źródło
Samolot wojskowy (30m) 140
102
Granica bólu
120
1
Pociąg
90
10-2
Głośny ruch uliczny
70
10-5
„Zwykła” rozmowa
65
3,2x10-6
Cichy samochód
50
10-7
Ciche radio w domu
40
10-8
Średni szept
20
10-10
Szelest liści
10
10-11
Próg słyszalności (1 kHz) 0
10-12
Rozwiążmy następujący prosty problem: o ile zmieni się głośność, jeśli odległość źródła dźwięku od
słuchacza wzrośnie dwa razy?
Korzystając ze znanych wzorów otrzymujemy:
.
Ponieważ:
to ostatecznie otrzymujemy:
.
Efekt Dopplera
Z falami dźwiękowymi wiąże się pewien charakterystyczny efekt, odkryty już w wieku XIX przez
Christiana Dopplera i który nosi nazwę od odkrywcy efektem Dopplera. Jest to efekt klasyczny,
nieuwzględniający efektów relatywistycznych, związany z poruszaniem się źródła dźwięku lub
obserwatora względem ośrodka sprężystego w którym rozchodzi się fala dźwiękowa.
Załóżmy najpierw ze źródło dźwięku i obserwator są nieruchomi względem ośrodka sprężystego, tak
jak na rysunku Figure 3.
Efekt Dopplera. Źródło
jest nieruchome.
Obserwator D porusza się
z prędkością
.
Źródło emituje izotropowe fale o częstotliwości:
. Częstotliwość odbierana przez obserwatora jest
taka sama:
. v jest prędkością fali, a długością fali. Częstotliwość obserwator wyznacza w
ten sposób, ze w określonym czasie t, liczy liczbę grzbietów fali. Gdy obserwator zbliża się do źródła
z prędkością
to liczba policzonych grzbietów rośnie, a więc i częstotliwość obserwowana przez
obserwatora jest większa i wynosi:
.
Analogicznie, jeśli obserwator oddala się od źródła o obserwuje częstotliwość wynosi:
.
Inaczej wygląda sytuacja gdy obserwator jest nieruchomy a porusza się źródło z prędkością . Ruch
źródła względem ośrodka powoduje, ze zmienia się długość fali dźwiękowej, a jej wartość zależy od
kierunku, co pokazano na rysunku Figure 4.
Efekt Dopplera.
Obserwator D jest
nieruchomy. Źródło s
porusza się z prędkością
.
Jeśli źródło zbliża się do obserwatora to obserwowana długość fali wynosi:
okresem), a stąd częstotliwość obserwowana przez obserwatora:
(T jest
.
Jeśli natomiast źródło oddala się od obserwatora, to analogiczne rozważania prowadzą do wyrażenia:
.
Możemy więc napisać ogólny wzór na wartość częstotliwości odbieranej przez obserwatora, dla
przypadku gdy źródło lub/i obserwator poruszają się w kierunku do lub od obserwatora/źródła:
.
Indeks plus odnosi się do sytuacji gdy źródło i obserwator zbliżają się do siebie, indeks minus, gdy
się oddalają.
Jeśli natomiast kąt pomiędzy kierunkiem rozchodzenia się fali a kierunkiem prędkości obserwatora
względem ośrodka wynosi , a
jest kątem pomiędzy kierunkiem prędkości źródła, a kierunkiem od
źródła do obserwatora to ogólny wzór na efekt Dopplera jest następujący:
.
Zwróćmy uwagę, że źródło dźwięku może poruszać się z prędkością większą niż prędkość dźwięku,
jak np. kula karabinowa czy samolot ponaddźwiękowy. W takim przypadku powstaje tzw. fala
uderzeniowa, czyli front dużej fluktuacji ciśnienia wywołany nakładaniem się czuł fal dźwiękowych,
co ilustruje rysunek Figure 5.
Powstawanie fali
uderzeniowej.
Połowa kąta rozwarcia powstałego stożka nosi nazwę kąta Macha. Zachodzi związek między katem
Macha
a prędkością dźwięku i źródła:
.
Na koniec rozważań dotyczących fal dźwiękowych należy podkreślić, że podobnie jak dla fal w
strunie, fale dźwiękowe mogą być biegnące lub stojące. Fale stojące są wytwarzane w instrumentach
muzycznych, jak np. w trąbce czy organach. Dźwięki wytwarzane przez instrumenty muzyczne
zwykle składają się nie z jednej częstotliwości ale kilku. Dlatego wrażenia słuchowe są różne od
różnych instrumentów.