W(x)

Transkrypt

W(x)

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4
Nr: 1
Metody obliczeniowe
wykład nr 4
– różniczkowanie przybliżone
– całkowanie numeryczne
Nr: 2
Pierwsza pochodna funkcji
Pierwsza pochodna funkcji (definicja):
f ' ( xk )
lim
f ( xk
x
0
x)
x
f ( xk )
Oznaczenia:
• f - funkcja określona na siatce punktów {x0,...,xn}
• h=xk+1-xk - odległość miedzy kolejnymi punktami
węzłowymi (węzły równoodległe)
Nr: 3
• najprostsze przybliżenia – wzory dwupunktowe
– wzór dwupunktowy „w przód”
f ( xk )'
f ( xk 1 ) f ( xk )
,
h
0
k
n
0
k
n
– wzór dwupunktowy „w tył”
f ( xk )'
f ( xk )
f ( xk 1 )
h
,
–źródła niedokładności:
•błędy obcięcia – zmniejszając h można zwiększyć dokładność,
•błędy zaokrąglenia
•wolna zbieżność,
•koszt obliczeń znacząco wzrasta przy malejącym h
Nr: 4
wzory wielopunktowe
• wzór trójpunktowy
fk '
f ( xk 1 ) f ( xk 1 )
,
2h
0
k
n
– przybliżenie jest dobre jeśli f(x) zmienia się wolno na odcinku o
długości 2h
Nr: 5
Pochodne funkcji
wzory wielopunktowe
• wzór pięciopunktowy
fk '
f ( xk 2 ) 8 f ( xk 1 ) 8 f ( xk 1 )
12h
f ( xk 2 )
,
1 k
n 1
– im więcej punktów tym trudniej wyznaczyć pochodne w punktach
brzegowych x0,xn
• wzór trójpunktowy dla drugiej pochodnej
fk ' '
f ( xk 1 ) 2 f ( xk )
h2
f ( xk 1 )
,
0
k
n
– wzór daje dobre przybliżenie dla funkcji wolnozmiennej
Zadanie: zapisz funkcję Scilaba obliczającą przybliżone wartości pierwszej i drugiej pochodnej
danej funkcji f w określonym punkcie x przy użyciu wzorów podanych powyżej; WE: f, x, h
Nr: 6
Zadanie całkowania numerycznego
• Problem (a,b – krańce przedziału całkowania):
b
f ( x)dx ?
a
• Możliwe rozwiązanie:
– przybliżenie funkcji podcałkowej f(x) przez funkcję interpolującą g(x)
– przybliżamy wówczas:
b
b
f ( x)dx
a
g ( x)dx
a
– dostajemy oszacowanie (całkę możemy obliczyć z dowolną
dokładnością, jeżeli tylko f(x) daje się przybliżyć dowolnie
dokładnie):
b
| f ( x) g ( x) |
, x [ a, b]
| [ f ( x) g ( x)]dx |
a
(b a)
Nr: 7
przybliżenie funkcji podcałkowej wielomianem Lagrange’a
o węzłach równoodległych
b
I( f )
f ( x ) dx
a
n
n
f ( x)
Ln x
f xi
i 0
j 0
j i
x
xj
xi
xj
b
I f
b
I Ln
n
Ln x dx
a
n
x
xj
j 0
xi
xj
f xi
a
i 0
dx
j i
xi
a
ih; x
a
th x
n
n
n
I f
f xi
i 0
j 0
0
a
a
j i
n
I f
Ai f xi
i 0
gdzie
Ai
n
n
0
j 0
h
j i
t
i
j
dt
j
a, b
th a
ih a
t
0, n ; dx
jh
hdt
jh
n
n
n
0
j 0
f xi h
i 0
b
hdt ; h
j i
a
n
t
i
j
dt
j
Nr: 8
pojęcie kwadratury
Wzory postaci
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
k 0
a
przybliżające wartość całki nazywać będziemy kwadraturami
• współczynniki Ak nazywać będziemy współczynnikami kwadratury,
• punkty xk nazywać będziemy węzłami kwadratury,
Jeśli
b
I( f )
n
f ( x)dx,
Q( f )
a
to wyrażenie R ( f ) I ( f ) Q( f )
Ak f ( xk )
k 0
nazywać będziemy resztą kwadratury
Nr: 9
Kwadratura koła
Problemy starożytne
• Kwadratura koła
– skonstruowaniu przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki,
kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła (danej
figury geometrycznej)
• Trysekcja kąta
– podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu
cyrkla i linijki
• Podwojenie sześcianu - problemem delijski
– zbudowanie sześcianu o objętości dwa razy większej niż
dany
Nr: 10
Kwadratury Newtona-Cotesa
• Kwadratura powstała poprzez przybliżenie funkcji podcałkowej
wielomianem Lagrange’a o węzłach równoodległych
n
n
f ( x)
Ln x
f xi
i 0
j 0
x xj
xi
xj
j i
n
I f
Ai f xi
gdzie
i 0
Ai
n
n
0
j 0
h
j i
nosi nazwę kwadratury Newtona-Cotesa
t
i
j
dt
j
Nr: 11
• ogólny wzór kwadratury
n
I f
Ai f xi
i 0
gdzie
Ai
n
n
0
j 0
h
j i
• n=1 (wzór trapezów)
Q1 ( f )
A0 f (a ) A1 f (b),
1
A0
A1
t2
h [
2
1
h
(t 1)dt
( 1) 0
1
h tdt
0
Q1 ( f )
t2 1
h [ ]0
2
h b a
t ]10
h
2
b a
f (a)
2
f (b)
h
2
t
i
j
dt
j
Nr: 12
• ogólny wzór kwadratury
n
I f
Ai f xi
gdzie
i 0
Ai
n
n
0
j 0
h
j i
• n=2 (wzór parabol)
2
A0
1
h
(t 1)(t 2)dt
( 1)( 2) 0
A1
1
h
t (t 2)dt
( 1) 0
A2
1
h t (t 1)dt
20
2
2
Q2 ( f )
t3
h [
3
h t3
[
2 3
b a
f a
6
h t3
[
2 3
t 2 ]02
t2 2
]0
2
h
3
4f
a b
2
t2
3
2
4
h
3
f (b)
2t ]02
h
3
t
i
j
dt
j
Nr: 13
Kwadratury złożone Newtona-Cotesa
• Błąd kwadratur Newtona-Cotesa jest proporcjonalny
do pewnej potęgi długości przedziału całkowania
• jeżeli przedział całkowania jest duży, kwadratura
(nawet niskiego stopnia) może nie zapewnić żadnej
dokładności
Wyjście:
• podziel przedział całkowania [a,b] na pewną liczbę podprzedziałów
[xi-1,xi] (i=1,...,N; a=x0<x1<...<xN-1<xN=b)
• w każdym podprzedziale [xi-1,xi] zastosuj kwadraturę niskiego stopnia i
zsumuj wyniki.
Kwadraturę będącą sumą kwadratur prostych nazywamy kwadraturą złożoną.
• błąd kwadratury złożonej jest dużo mniejszy niż odpowiedniej kwadratury
prostej
• zwiększając liczbę podziałów możemy dowolnie zmniejszać błąd
Nr: 14
• n=1 (złożony wzór trapezów)
stosując wzór trapezów dla każdego z przedziałów
[xi-1,xi] (i=1,...,N)
xi 1
f ( xi )
2
otrzymujemy po zsumowaniu
Q1 ( f )
Q1, N ( f )
xi
b a f (a) f (b)
N
2
f ( xi 1 )
N 1
f ( xk )
k 1
• n=2 (złożony wzór parabol - Simpsona)
przyjmując N parzyste, stosując wzór parabol dla każdego z przedziałów
[x2i,x2i+2] (i=0,...,N-2) dostajemy:
Q2, N
N
N 1
b a
f ( a ) 4 f ( x2 k 1 ) 2 f ( x2 k )
6N
k 1
k 1
f (b)
Nr: 15
• n=3 (wzór „trzech ósmych”) – kwadratura prosta
Q3 ( f )
b a
b a
b a
( f (a) 3 * f (a
) 3 * f (a 2
)
8
3
3
f (b))
Zadanie: zapisz funkcję SciLaba obliczającą przybliżoną wartość całki przy użyciu złożonego wzoru „trzech ósmych”.
Dane wejściowe: a, b (krańce przedziałów), f (funkcja), m(liczba kwadratur prostych)
Nr: 16
przykład zastosowania wzoru prostokątów i parabol
1
1 x 2 dx
I
4
0
wzór trapezów
n
1
2
4
8
Ip
0.5
0.683013
0.7489273
0.772455
I
0.7853982
0.7853982
0.7853982
0.7853982
eps
36
13
4.64
1.65
wzór parabol
N
2
4
8
Ip
0.74402
0.770899
0.780297293
I
0.7853982
0.7853982
0.7853982
eps
5.3
1.85
0.65
eps
Ip
I
I
100%
Nr: 17
pojęcie rzędu kwadratury
Mówimy iż kwadratura Q jest rzędu r jeżeli:
• I(W)=Q(W) dla wszystkich wielomianów W(x) stopnia
mniejszego od r (I() – oznacza wartość dokładną całki)
• istnieje wielomian W(x) stopnia r (r 1) taki, że
I(W) Q(W)
• Kwadratury Newtona-Cotesa oparte na n+1 węzłach są
rzędu
– n+2
– n+1
dla n parzystych
dla n nieparzystych
Nr: 18
zbieżność ciągu kwadratur
b
• Obliczamy całkę
f ( x)dx korzystając ze złożonego wzoru trapezów
• przy podziale odcinkaa [a,b] na N części, kwadraturę obliczamy ze wzoru:
Q1, N ( f )
b a f (a) f (b)
N
2
N 1
f ( xk )
k 1
Nr: 19
zbieżność ciągu kwadratur
b
• Obliczamy całkę
f ( x)dx korzystając ze złożonego wzoru trapezów
• przy podziale odcinkaa [a,b] na N części, kwadraturę obliczamy ze
wzoru:
N 1
Q1, N ( f )
b a f (a) f (b)
N
2
f ( xk )
k 1
• obliczenia prowadzimy w schemacie z połowieniem kroku
otrzymujemy ciąg kwadratur (Q1,n)n, zbieżny do dokładnej wartości całki
1
2
3
4
a
Q1, 2 N
b
b a f (a) f (b)
2N
2
2N 1
f ( xk )
k 1
1
Q1, N
2
b a
2N
formuła pozwala wykorzystać poprzednie obliczenia f(xk)
N
f ( x2 k 1 )
k 1
Nr: 20
Metoda Romberga
przyspieszenie szybkości zbieżności ciągu kwadratur
zbieżny ciąg kwadratur (Q1,n)n : Q1,1
Q1,2
...
Q1,n
... I(f)
Nr: 21
Metoda Romberga
zbieżny ciąg kwadratur (Q1,n)n : Q1,1
Q1,2
...
Q1,n
... I(f)
• przedział całkowania [a,b] dzielimy na 2i (i=0,1,...)
równych części
• oznaczamy: hi b i a ,
xi ,k a khi ,
f i ,k f ( xi ,k )
2
• wzór trapezów możemy zapisać:
2i
T0,i
hi
f i ,k
k 0
f (a)
f (b)
2
• błąd wzoru wynosi (współczynniki ck nie zależą od i):
I ( f ) T0,i
c1h2i c2 h4i c3h6i ...
Nr: 22
Metoda Romberga
• dla i=0,i=1 otrzymujemy:
I ( f ) T0,0
c1h 2 0 c2 h 4 0 c3h 6 0 ...
I ( f ) T0,1
c1h 21 c2 h 41 c3h 61 ...
h1
1 2
c1h 0
4
h0
2
1
c2 h 4 0
16
1
c3h 6 0 ...
64
Nr: 23
Metoda Romberga
I ( f ) T0,0
c1h 2 0 c2 h 4 0 c3h 6 0 ...
I ( f ) T0,1
c1h 21 c2 h 41 c3h 61 ...
h1
1 2
c1h 0
4
h0
2
1
c2 h 4 0
16
1
c3h 6 0 ...
64
• eliminując pierwsze składniki prawych stron dostajemy:
I ( f ) T0, 0
4( I ( f ) T0,1 )
I( f )
4T0,1 T0, 0
3
T0,1
T0,1 T0,0
3
Nr: 24
Metoda Romberga
I ( f ) T0,0
c1h 2 0 c2 h 4 0 c3h 6 0 ...
I ( f ) T0,1
c1h 21 c2 h 41 c3h 61 ...
h1
1 2
c1h 0
4
h0
2
1
c2 h 4 0
16
1
c3h 6 0 ...
64
• eliminując pierwsze składniki prawych stron dostajemy:
I ( f ) T0, 0
4( I ( f ) T0,1 )
I( f )
4T0,1 T0, 0
3
• oznaczając
Tm,i
Tm
Tm
1,i 1
1,i 1
2m
2
Tm
1
1,i
• otrzymujemy kwadratury Romberga
T0,1
T0,1 T0,0
3
Nr: 25
Metoda Romberga
• T0,i - wartość złożonego wzoru trapezów przy podziale
przedziału całkowania na 2i równych części
• wzór kwadratury:
Tm,i
Tm
Tm
1,i 1
1,i 1
2m
2
Tm
1
1,i
• wielkości Tm,i można zapisać w nieskończonej tablicy
•
zbieżność ciągu (Tm,0)m z reguły jest dużo
szybsza niż ciągu (T0,m)m
•
kwadratury tworzące drugą kolumnę diagramu
są złożonymi wzorami parabol
•
wszystkie kwadratury tworzące dany wiersz
diagramu oparte są na tych samych
równoodległych węzłach
•
każda z kwadratur Tk,0,Tk,1,... jest rzędu 2k+1
Nr: 26
Metoda Romberga
przykład zastosowania
1
1 x 2 dx
I
4
0
n
1
2
4
8
wzór trapezów
0.5
0.683013
0.7489273
0.772455
0.744017
0.772691
0.781055
kwadratura Romberga
wartość dokładna
0.7853982
0.7853982
0.7853982
0.7853982
błąd procentowy wzoru
trapezów
36
13
4.64
1.65
5.3
1.62
0.55
błąd procentowy kwadratury
Romberga
Zadanie: zapisz funkcję SciLaba realizującą metodę Romberga, wykorzystaj do obliczenia T0,i
funkcję SciLaba inttrap(). Dane wejściowe: a, b, f, m (liczba iteracji). Wynik: Tm,0
Nr: 27
Kwadratury Gaussa
Problem
•
dla ustalonego n poszukujemy kwadratury
o maksymalnym rzędzie
n
Q( f )
Ak f ( xk )
k 0
przybliżającej wartość dokładną całki
b
f ( x)dx
a
problem sprowadza się do odpowiedniego wyboru węzłów
Nr: 28
Kwadratury Gaussa
Problem
•
dla ustalonego n poszukujemy kwadratury
o maksymalnym rzędzie
n
Q( f )
Ak f ( xk )
k 0
przybliżającej wartość dokładną całki
b
f ( x)dx
a
problem sprowadza się do odpowiedniego wyboru węzłów
•
dany jest ciąg wielomianów ortogonalnych P0(x),...,Pn(x),...
(wielomian Pn(x) jest n-tego stopnia), tzn.
b
( Pi , Pk )
Pi ( x) Pj ( x)dx
0
dla
i
k
a
•
Kwadraturą o maksymalnym rzędzie (równym 2n+2) jest kwadratura
interpolacyjna, której węzłami są pierwiastki (n+1)-go wielomianu
ortogonalnego na przedziale [a, b], kwadratury takie nazywane są
kwadraturami Gaussa.
Nr: 29
Kwadratury Gaussa-Legendre’a
• Na przedziale [-1,1] wielomianami ortogonalnymi są wielomiany
Legendre'a:
n
Pn ( x)
1
n
2 n!
d
2
n
(
x
1
)
dx n
• Współczynniki kwadratury Gaussa-Legendre'a
Q( f )
wyrażają się wzorami
Ak
(N
N
k 1
f ( xk ) Ak
2
2) PN 2 ( xk ) P ' N 1 ( xk )
k
0,1,..., N
• xk (k=0,1,...,N) są pierwiastkami wielomianu PN+1(x)
Nr: 30
Kwadratury Gaussa -Legendre’a
Dana funkcja ciągła f(x) na przedziale [a,b]
b
• sprowadzamy całkę
f ( x)dx
a
1
do postaci znormalizowanej
x
b a
2
b
f ( x)dx
a
F (u )
b a
u,
2
b a
2
1
dx
u
b a
f(
2
1
b a b a
f(
2
2
b a
du
2
1 x a,
b a
u )du
2
b a
u)
2
1
F (u )du
1
F (u ) du
1
u 1
x b
Nr: 31
Kwadratury Gaussa -Legendre’a
• obliczamy wartość przybliżoną całki
b
1
f ( x)dx
a
F (u )du
N
i 0
F (ui ) Ai
1
– ui (i=0,...,N) – węzły kwadratury - tzw. punkty Gaussa
– Ai – współczynniki kwadratury
– N+1 - ilość punktów Gaussa
F (u )
b a b a
f(
2
2
b a
u)
2
Nr: 32
przykład
5
(x2
obliczyć całkę
2) dx
1
• wyznaczenie współczynników i węzłów (pierwiastków (N+1)-go
wielomianu kwadratury Gaussa-Legendre’a dla N=1
Ak
(N
n
d
2
n
(
x
1
)
dx n
Pn ( x)
1
2 n n!
P2 ( x)
1
1 3
[2( x 2 1) 2 x]'
[x
8
2
P2 ' ( x) 3x,
A0
A1
2
2) PN 2 ( xk ) P ' N 1 ( xk )
x]'
3 2
x
2
1
2
3 2
(x
2
1
5 3 3
[( x 2 1) 3 ]' ' '
x
x
8 6
2
2
2
2
1
5
3
5 9
3 (
) 3
3(
)
6 6
2 3 3 2 3
P3 ( x)
1
)
3
3
(x
2
3
)( x
3
3
)
3
Nr: 33
przykład
5
(x2
• sprowadzenie całki do postaci znormalizowanej:
b a
2
x
5
b a
u,
2
(x2
2)dx
1
1
b a
du
2
dx
1
2) dx
1
{[( 3 2u ) 2
(8u 2
2] 2}du
1
24u 22)du
1
• obliczenie wartości kwadratury (wartość dokładna = 49.3333)
3
3
u0
1
F (ui ) Ai
(8u0
2
24u0
0.57735,
22) (8u1
2
u1
3
3
0.57735
24u1 22)
i 0
8( 0.57735) 2
24( 0.57735) 22 8 0.577352
24 0.57735 22
49.33328
Nr: 34
węzły i współczynniki
Nr: 35
Trudności w całkowaniu numerycznym
funkcja podcałkowa jest osobliwa
Modyfikujemy problem:
• zamiana zmiennych
• całkowanie przez części
• wyłączenie łatwo całkowalnego składnika zawierającego
osobliwości (uwaga: możliwe znoszenie się składników!)
• specjalne wzory całkowe
Przykład
1
0
ex
dx
x
1
2
x t , dx
2t dt
2
2 et dt
0
Nr: 36
Obliczanie całek wielokrotnych
...
f ( x1 ,..., xn )dx1...dxn
?
• kubatury - wielowymiarowe odpowiedniki kwadratur złożonych
• dla funkcji n- zmiennych podział na n-wymiarowe obszary regularne w
których znane są wzory kwadratur prostych
dla funkcji n-zmiennych
dokonując podziału odcinka
[ai,bi] (i=1,...,n)
na m części otrzymujemy
mn n-wymiarowych kostek
30
25
20
Z
15
10
5
0
0
-5
1
2
3
-10
0
4
1
5
2
3
Y
4
5
6
6
X
Nr: 37
uogólniony wzór parabol
f ( x, y )dxdy ?
[ a ,b ] [ c , d ]
• [a,b] [c,d] wyznacza prostokątny obszar całkowania
• przedział [a,b] dzielimy na 2n części, przedział [c,d] dzielimy na 2m części.
• przyjmujemy oznaczenia
• x0=a, xi=a+ih (i=0,1,...,2n), x2n=b, h=(b-a)/2n
• y0=c, yi=c+ik (i=0,1,...,2m), , y2m=d, k=(d-c)/2m
• obszar całkowania zostaje podzielony na n·m prostokątów
[x2i,x2i+2] [y2j,y2j+2] (i=0,1,...,n-1; j=0,1,...,m-1),
• w każdym z n·m prostokątów stosujemy kubaturę prostą (uogólniony wzór
parabol):
Nr: 38
• dla prostokąta oznaczonego R1,1 otrzymujemy formułę:
f ( x, y )dxdy
R1,1
1
hk f ( x0 , y0 )
9
f ( x2 , y 0 )
f ( x0 , y2 )
f ( x2 , y2 ) 4[ f ( x0 , y1 )
f ( x2 , y1 )
f ( x1 , y0 )
f ( x1 , y2 )] 16 f ( x1 , y1 )
Nr: 39
• po zsumowaniu dostajemy:
1
4
2
4
2 ...
4
2
4
1
4 16 8 16 8 ... 16 8 16 4
f ( x, y )dxdy
[ a ,b ] [ c , d ]
1 2n
hk
9 i0
2m
aij f ( xi , y j )
A
2
8
4
8
4 ...
8
4
8
2
...
j 0
4 16 8 16 8 ... 16 8 16 4
1
4
2
4
2 ...
4
2
4
1
Zadanie: zapisz funkcję SciLaba obliczającą całkę z funkcji dwóch zmiennych, wykorzystującą
uogólniony wzór trapezów. Dane wejściowe: a,b,c,d,f,n,m. Przetestuj dla funkcji f(x,y)=xy2
na obszarze [0,2]x[0,4] przyjmując n=5,m=10
Zadanie: zapisz funkcję SciLaba obliczającą całkę z funkcji dwóch zmiennych, wykorzystującą
uogólniony wzór parabol. Dane wejściowe: a,b,c,d,f,n,m. Przetestuj dla funkcji f(x,y)=xy2 na
obszarze [0,2]x[0,4] przyjmując n=5,m=10
Nr: 40
• w przypadku gdy obszar całkowania nie jest prostokątem,
konstruujemy prostokąt zawierający obszar całkowania,
budujemy funkcję pomocniczą, którą całkujemy przy użyciu
wzoru kubatur
f ( x, y )
f ( x, y ) dla
0
( x, y )
dla ( x, y )
R
Nr: 41
Całka podwójna po trójkącie
przykład zastosowania kubatury Gaussa
• Dana jest funkcja dwóch zmiennych f(x,y) ciągła i ograniczona w
obszarze trójkątnym D.
• Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty (x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)
nie leżące na jednej prostej.
• Wprowadza się podstawienie normalizujące wyjściowy trójkąt do trójkąta
prostokątnego, równoramiennego o wierzchołkach (0,0),
(0,1),(1,0):
x
x1 ( x2 x1 )
( x3 x1 )
y
y1 ( y2
( y3
y1 )
y1 )
Nr: 42
• Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji podcałkowej
przez tzw. jacobian przekształcenia:
• |D| - pole wyjściowego trójkąta D
Nr: 43
• Funkcja podcałkowa dla trójkąta znormalizowanego przyjmuje postać:
• Końcowy wzór do obliczania całki podwójnej po trójkącie:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
– ( i, i) - współrzędne punktów Gaussa
– wi - współczynniki kwadratury
– n - liczba punktów Gaussa
0.2
0
0
0.2
0.4
n
i
i
wi
3
1/2
1/2
1/3
0
1/2
1/3
1/2
0
1/3
0.6
0.8
1
1.2
Nr: 44
• Obliczyć całkę z funkcji f(x,y)=x+3y-1 po obszarze trójkątnym
zbudowanym na wierzchołkach (1,1),(3,2),(2,3)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Nr: 45
Zadanie: zapisz funkcję SciLaba obliczającą całkę z funkcji dwóch zmiennych, po trójkącie, wzorem
3-punktowym Gaussa. Dane wejściowe: współrzędne wierzchołków trójkąta, funkcja f(x,y).
Przetestuj dla podanego wyżej przykładu.
Nr: 46
Wzory kubatur Gaussa
• gotowe wzory dla prostych figur geometrycznych
• transformacja całki – zamiana zmiennych, przekształcenie
funkcji podcałkowej
f ( x, y )dxdy
F ( , )d d
S
Nr: 47
Wzór prostokątów
b
f ( x)dx
b a
N
f ( x)dx
b a
N
a
b
a
N 1
i 0
N 1
i 0
f ( xi )
f(
xi
xi 1
)
2
Nr: 48
funkcje SciLaba
• int2d()
– obliczenie całki z funkcji 2 zmiennych po obszarze opisanym
siatką trójkątów
• int3d()
– obliczenie całki z funkcji 3 zmiennych, obszar całkowania opisany
siatką czworościanów
• integrate(), intg()
– obliczenie całki z funkcji jednej zmiennej metodą kwadratur
• intsplin()
– obliczenie całki z funkcji sklejanej (jednej zmiennej) interpolującej
zbiór punktów
• inttrap()
– obliczenie całki z funkcji (jednej zmiennej) interpolującej zbiór
punktów – wzór trapezów
Nr: 49
Podsumowanie
Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
•
Obliczanie pierwszej i drugiej pochodnej funkcji
– wzory dwupunktowe,
– wzór trójpunktowy, pięciopunktowy
•
Całkowanie numeryczne
– sformułowanie problemu, określenie sposobu rozwiązania
•
Pojęcie kwadratury
– węzły kwadratury,
– współczynniki kwadratury,
– reszta kwadratury
•
–
–
–
–
wyprowadzenie wzoru
kwadratury proste :
wzór trapezów (liczba węzłów =2)
wzór parabol (liczba węzłów =3)
Nr: 50
Podsumowanie - cd.
Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
•
•
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Pojęcie rzędu kwadratury
– rząd kwadratur Newtona-Cotesa
•
•
Istota i algorytm metody Romberga
Problem kwadratur o maksymalnym rzędzie
–
–
–
–
wielomiany ortogonalne,
kwadratura Gaussa-Legendre’a
całkowanie funkcji kwadraturami Gaussa
postać znormalizowana całki, punkty Gaussa

W(x)

Transkrypt

Podobne dokumenty

HARMONOGRAM ZJAZDÓW rok szkolny 2010/2011 Szkoły

Tematy prezentacji historycznych – klasa I LO

Całkowanie numeryczne (wstęp) Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

PRZYKŁADY BUDOWNICTWO DREWNIANE

EIFFAGE BUDOWNICTWO MITEX

Szkolny Plan Nauczania

1 MSA – niestacjonarne I ROK Semestr I Semestr II Ogółem Godz

mn - ćw9 - handouts