Całkowanie numeryczne (wstęp) Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Całkowanie numeryczne (wstęp)
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Zadanie całkowania numerycznego
f całkowalna w sensie Riemanna na [a, b]
Obliczyć przybliżoną wartość całki
Z b
I(f ) =
f (x) dx, gdzie −∞ < a < b < +∞;
a
Możemy znać:
— postać funkcji;
— tylko jej wartości w pewnych punktach;
Kwadratury
Z
b
f (x) dx ≈
Nieformalnie: typowy wzór całkowania numerycznego
a
n
X
Ai f (xi ).
i=0
DEFINICJA Kwadraturą nazywamy funkcjonał liniowy Q : F → R postaci Q(f ) =
n
X
Ai f (xi ),
i=0
gdzie xi są punktami z [a, b] (węzłami kwadratury), a Ai są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi (współczynnikami kwadratury).
Kwadraturę nazywamy zamkniętą, jeśli końce przedziału a, b są węzłami kwadratury, w przeciwnym razie kwadraturę
nazywamy otwartą.
Kwadratury interpolacyjne.
DEFINICJA Kwadraturę QIn opartą na n + 1 węzłach nazywamy interpolacyjną, jeśli
Z b
QIn (f ) =
wf (x) dx,
a
gdzie wf jest wielomianem interpolacyjnym funkcji f stopnia co najwyżej n, opartym na tych węzłach.
UWAGA Kwadratura taka jest dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia n.
DEFINICJA Kwadratury interpolacyjne oparte na węzłach równoodległych xi = a+
kwadraturami Newtona–Cotesa.
(b − a)
i, 0 6 i 6 n, nazywamy
n
Błąd kwadratur interpolacyjnych
n
TWIERDZENIE Niech QIn będzie kwadraturą interpolacyjną opartą na węzłach xi , 0 6 i 6 n. Jeśli f ∈ FM
([a, b]),
M
I
n+2
(b − a)
.
to |I(f ) − Qn (f )| 6
(n + 1)!
Wzór prostokątów
Z
b
f (x) dx ≈ (b − a)f
a + b
a
2
Wynika z kwadratury prostokątów, która jest oparta na jednym węźle x0 =
a+b
QI0 (f ) = (b − a)f
.
2
Wzór trapezów
1
a+b
,
2
b
Z
f (x) dx ≈
a
b − a
f (a) + f (b)
2
Wynika z kwadratury trapezów, która jest oparta na węzłach x0 = a, x1 = b:
b − a
QI1 (f ) = T (f ) =
f (a) + f (b) .
2
Jest równa polu odpowiedniego trapezu (dla funkcji nieujemnej).
TWIERDZENIE Jeśli f ∈ C (2) ([a, b]), to dla kwadratury trapezów mamy I(f ) − T (f ) = −
ξ ∈ [a, b].
(b − a)3 (2)
f (ξ), gdzie
12
Wzór Simpsona (parabol)
Z
b
f (x) dx ≈
a
a + b
b − a
f (a) + 4f
+ f (b)
6
2
Wynika z kwadratury Simpsona (parabol), która jest oparta na węzłach x0 = a, x1 = b, x2 = (a + b)/2:
a + b
b − a
QI2 (f ) = P (f ) =
f (a) + 4f
+ f (b) .
6
2
Dla funkcji nieujemnej jest równa polu pod parabolą interpolującą f w tych węzłach.
UWAGA Kwadratura ta jest dokładna dla wielomianow z Π3 .
TWIERDZENIE Jeśli f ∈ C (4) ([a, b]), to dla kwadratury parabol mamy I(f ) − P (f ) = −
ξ ∈ [a, b].
(b − a)5 (4)
f (ξ), gdzie
2280
Kwadratury złożone
Aby poprawić dokładność, dzielimy przedział całkowania na n podprzedziałów i w każdym z nich z osobna stosujemy
jedną z wyżej omówionych kwadratur, a otrzymane wyniki dodajemy.
Formalnie:
(b − a)
i, 0 6 i 6 n oraz niech dla każdego i (1 6 i 6 n) węzły
n
xi,j ∈ [ti−1 , ti ], 0 6 j 6 r będą dowolnie wybrane.
Z b
Kwadraturą złożoną nazywamy kwadraturę postaci Q̄(f ) =
w̄f (x) dx,
DEFINICJA Dla danego n niech ti = a +
a
gdzie w̄f jest na każdym przedziale wielomianem interpolacyjnym funkcji f stopnia co najwyżej r opartym na
węzłach xi,j .
Błąd kwadratury złożonej
r
TWIERDZENIE Błąd kwadratury złożonej Q̄(f ) w klasie FM
([a, b]) jest ograniczony przez
r+2
M
(b − a)
|I(f ) − Q̄(f )| 6
.
nr+1 (r + 1)!
Złożony wzór trapezów
Niech h =
b−a
.
n
Z
b
f (x) dx ≈ T̄n (f ) = h
a
Błąd: Jeśli f ∈ C (2) ([a, b]), to I(f ) − T̄n (f ) = −
n−1
X f (a) + f (b)
+
f a + ih
2
i=1
(b − a)3 (2)
f (ξ) (ξ ∈ [a, b]).
12 n2
Złożony wzór Simpsona
2
!
Niech h =
b−a
.
n
Z b
a
h
f (x)dx ≈ P̄n (f ) =
3
!
n−1
n−1
X f (a) + f (b) X h
+
.
f a + ih + 2
f a + ih +
2
2
i=1
i=0
Błąd: Jeśli f ∈ C (4) ([a, b]), to I(f ) − P̄n (f ) = −
(b − a)5 (4)
f (ξ) (ξ ∈ [a, b]).
2280 n4
Kwadratury adaptacyjne
Metody adaptacyjne - uzależniające swoje działanie od konkretnego zadania.
W przypadku całkowania potrafią dostosować kolejny krok całkowania, w zależności od otrzymywanych wyników.
3