mn - ćw9 - handouts

Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Metody numeryczne
dr Artur Woike
Ćwiczenia nr 9
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Złożone kwadratury
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Dokładność złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Postać ogólna złożonej kwadratury
Chcemy przybliżyć całkę I (f ) = ab f (x)dx. Niech będzie ustalone
dowolne n ∈ N, takie że n ­ 1. Kładziemy hn = b−a
n , a następnie
definiujemy punkty x0 , . . . , xn następująco:
R
∀i=0,...,n xi = a + ihn .
Wtedy zachodzi warunek a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Stąd:
Z x1
I (f ) =
Z x2
f (x)dx +
x0
=
f (x)dx + . . . +
x1
n−1
X Z xi+1
i=0
Z xn
f (x)dx =
xn−1
f (x)dx.
xi
Ustalmy
dowolne i ∈ {0, . . . , n − 1}. Następnie każdą całkę
R xi+1
f (x)dx przybliżamy za pomocą tej samej wybranej kwadratury
xi
(np. ustalonej kwadratury Newtona-Cotesa) i wyniki sumujemy.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Złożone kwadratury
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Dokładność złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Złożony wzór trapezów
Każdą całkę
pezów:
Z xi+1
R xi+1
xi
f (x)dx ≈
xi
f (x)dx przybliżymy teraz za pomocą wzoru tra-
xi+1 − xi
hn
(f (xi ) + f (xi+1 )) = (f (xi ) + f (xi+1 )).
2
2
Następnie sumujemy wyniki uzyskane dla wszystkich podprzedziałów:
I (f ) =
n−1
X Z xi+1
i=0
=
=
f (x)dx ≈
xi
n−1
X
i=0
hn
(f (xi ) + f (xi+1 )) =
2
hn
((f (x0 ) + f (x1 )) + . . . + (f (xn−1 ) + f (xn ))) =
2
!
n−1
X
hn
f (x0 ) + 2
f (xi ) + f (xn ) = S1n (f ).
2
i=1
dr Artur Woike
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Metody numeryczne
Złożone kwadratury
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Dokładność złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Wyznaczanie złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Zadanie 1.
Wyprowadzić złożony ”wzór parabol” (złożona kwadratura
Newtona-Cotesa dla N = 2) i złożony ”wzór trzech ósmych” (złożona kwadratura Newtona-Cotesa dla N = 3).
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Złożone kwadratury
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Dokładność złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Stosowanie złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Uwaga.
1
Jeżeli korzystamy ze złożonej kwadratury Newtona-Cotesa,
to możemy obliczać nie tylko jedno przybliżenie, ale cały ciąg
takich przybliżeń: SN1 (f ), SN2 (f ), . . .. Wyliczenia kolejnych elementów takiego ciągu kontynuujemy, aż do momentu spełnienia
warunku |SNn (f ) − SNn−1 (f )| < ε, gdzie ε jest żądaną dokładnością przybliżenia.
2
Na ogół najczęściej stosuje się złożone kwadratury NewtonaCotesa niskich rzędów, tak jak to opisano w poprzednim punkcie.
dr Artur Woike
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Metody numeryczne
Złożone kwadratury
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Dokładność złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Stosowanie złożonych kwadratur Newtona-Cotesa
Zadanie 2.
Wyznaczyć
dokładne i przybliżone
wartości całek oznaczonych
R 2π
Re 1
I (f ) = 0 sin xdx i I (f ) = 1 x dx. Wykorzystać złożony ”wzór
trapezów”, złożony ”wzór parabol” i złożony ”wzór trzech ósmych”
dla n = 1, 2, 3, 4, 5. Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828. Ocenić
jaką dokładność mają uzyskane w ten sposób przybliżenia wartości
ścisłych całek.
dr Artur Woike
Metody numeryczne