Zadania z kinematyki∗

Zadania z kinematyki∗
Maciej J. Mrowiński
25 lutego 2010
?
Zadanie KIN1
Na szosie biegn˛
acej równolegle do toru kolejowego jedzie cyklista na rowerze ze stał˛
a
pr˛edkości˛
a vc . W pewnej chwili cyklist˛e dogania poci˛
ag o długości l i mija go po
upływie τ sekund. Wyznacz pr˛edkość poci˛
agu zakładaj˛
ac, że była ona stała w czasie.
Odpowiedź: v p =
?
l
τ
+ vc
Zadanie KIN2
W ci˛
agu ilu sekund mijaj˛
a si˛e dwa poci˛
agi jad˛
ace w przeciwnych kierunkach po równoległych torach z pr˛edkościami v1 i v2 , jeżeli długości tych poci˛
agów wynosz˛
a odpowiednio l1 i l2 ?
Odpowiedź: t =
l1 +l2
v1 +v2
?
Zadanie KIN3
Samolot szybuje ze stał˛
a pr˛edkości˛
a ponad szos˛
a, równolegle do niej, na wysokości
h. W pewnej chwili widać ten samolot pod k˛
atem α do poziomu. Po upływie czasu
τ widać go pod k˛
atem π2 . Oblicz pr˛edkość samolotu.
€
Š
Odpowiedź: v = τh tg π2 − α
?
Zadanie KIN4
Samolot leci ponad szos˛
a w kierunku równoległym do niej ze stał˛
a pr˛edkości˛
a. Z
punktu A zobaczono w pewnej chwili ten samolot pod k˛
atem α do poziomu. Po
upływie czasu τ zobaczono go pod k˛
atem β (α < β < π2 ). Po upływie jakiego czasu
od pierwszej obserwacji samolot znajdzie si˛e dokładnie nad punktem A?
tg α −1
Odpowiedź: t = 1 − tg β
τ
∗ Skompilowane z wielu źródeł. Tylko do użytku na zaj˛
eciach. Do rozwi˛
azania zadań oznaczonych
symbolem ? potrzebna jest jedynie wiedza matematyczna z liceum. Zadania z ?? wymagaj˛
a zastosowania
pochodnych/całek. Zadania z ??? wykraczaj˛
a poza program.
1
?
Zadanie KIN5
Dwa ciała ruszaj˛
a ruchem jednostajnie przyspieszonym. Stosunek przyspieszeń ich
ruchu jest 2 : 3, stosunek czasów trwania ich ruchu jest 3 : 4. W jakim stosunku s˛
a
drogi przebyte przez te ciała?
Odpowiedź: 3 : 8
?
Zadanie KIN6
Ciało A rusza ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem aA. Po upływie czasu τ1 rusza za nim ciało B również ruchem jednostajnie przyspieszonym i po upływie
czasu τ2 dogania ciało A. Oblicz przyspieszenie ciała B.
τ 2
Odpowiedź: aB = aA 1 + τ1
2
?
Zadanie KIN7
Kuli tocz˛
acej si˛e po podłodze nadano pr˛edkość pocz˛
atkow˛
a v. Kula toczy si˛e ruchem
jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem a. Jak˛
a drog˛e przeb˛edzie kula do chwili
zatrzymania si˛e?
Odpowiedź: s =
2
1 v0
2 a
?
Zadanie KIN8
Do szybu kopalni o wysokości h spada swobodnie kamień. Po ilu sekundach od chwili puszczenia kamienia usłyszymy jego uderzenie w dno szybu? Pr˛edkość dźwi˛eku
wynosi c.
q
Odpowiedź: t = hc + 2hg
?
Zadanie KIN9
Ciało swobodnie spadaj˛
ace przebyło w ci˛
agu ostatnich τ sekund drog˛e s. Z jakiej
wysokości spadało ciało?
 1 2 ‹2
s+ 2 g τ
Odpowiedź: h = 21g
τ
?
Zadanie KIN10
W momencie, w którym rakieta wzniosła si˛e do góry na wysokość h i osi˛
agn˛eła
pr˛edkość v0 , odł˛
aczył si˛e od niej niepotrzebny już zbiornik paliwa. Po jakim czasie
zbiornik spadnie na ziemi˛e i jak˛
a pr˛edkość osi˛
agnie przy uderzeniu?
Æ
Æ
Odpowiedź: t = 1g v0 + v02 + 2g h , v = v02 + 2g h
2
?
Zadanie KIN11
Dwie łodzie motorowe o pr˛edkościach v1 i v2 wzgl˛edem wody wyruszaj˛
a w dół rzeki
z dwóch przystani A i B odległych od siebie o d . W jakiej odległości od przystani A
spotkaj˛
a si˛e łodzie, jeżeli v1 > v2 a pr˛edkość pr˛
adu rzeki wynosi v0 ?
Odpowiedź: s =
v1 +v0
d
v1 −v2
?
Zadanie KIN12
Ciało spada swobodnie na ziemi˛e z wysokości h. Na jakiej wysokości pr˛edkość tego
ciała b˛edzie n razy mniejsza od jego pr˛edkości końcowej?
€
Š
Odpowiedź: h = 1 − n12 h
?
Zadanie KIN13
Ciało porusza si˛e ruchem opóźnionym ze stałym opóźnieniem równym co do wartości w. Wyznacz zależność pr˛edkości ciała od przebytej drogi, jeżeli w chwili pocz˛
atkowej pr˛edkość ciała wynosiła v(t = 0) = v0 .
Æ
Odpowiedź: v = v02 − 2w s
??
Zadanie KIN14
Zależność drogi s przebytej przez ciało od czasu t określona jest przez nast˛epuj˛
ace
równanie:
s(t ) = At − B t 2 + C t 3 .
przy czym A, B i C to stałe. Wyznacz pr˛edkość i przyspieszenie ciała w funkcji czasu.
Odpowiedź: v(t ) = A − 2B t + 3C t 2 , a(t ) = −2B + 6C t
??
Zadanie KIN15
p
Pr˛edkość cz˛
astki poruszaj˛
acej si˛e w dodatni˛
a stron˛e osi X wynosi v = α x, gdzie
α to dodatnia stała. Jaka b˛edzie zależność pr˛edkości i przyspieszenia tej cz˛
astki od
czasu, jeśli w chwili pocz˛
atkowej t = 0 cz˛
astka znajdowała si˛e w punkcie x = 0?
Odpowiedź: v =
??
α2
2
t, a =
α2
2
Zadanie KIN16
p
Opóźnienie cz˛
astki wynosi co do wartości w = α v, gdzie α to dodatnia stała. Po jakim czasie cz˛
astka si˛e zatrzyma i jak˛
a drog˛e przeb˛edzie do chwili zatrzymania, jeżeli
jej pr˛edkość pocz˛
atkowa wynosiła v0 ?
Odpowiedź: t =
p
2 v0
,
α
s=
3/2
2v0
3α
3
?
Zadanie KIN17
Łódka płynie po rzece ze stał˛
a, prostopadł˛
a do brzegu pr˛edkości˛
a v l (wzgl˛edem wody). Pr˛edkość wody wynosi v r . Wyznacz wektor pr˛edkości łódki wzgl˛edem brzegu i
k˛
at, jaki tworzy wektor pr˛edkości z lini˛
a brzegu.
−1 v l
Odpowiedź: v = v r , v l , α = tg v
r
?
Zadanie KIN18
Wioślarz nadaje łódce stał˛
a pr˛edkość v l wzgl˛edem wody. Pr˛edkość pr˛
adu rzeki wynosi v r . W jakim kierunku powinien wioślarz odbić od brzegu, aby przepłyn˛
ać w
poprzek rzek˛e prostopadle do jej brzegu.
Odpowiedź: α = sin−1
?
vr
vl
Zadanie KIN19
Samolot wznosi si˛e ze stał˛
a pr˛edkości˛
a v s pod k˛
atem α do poziomu. Oblicz pr˛edkość
wznoszenia si˛e tego samolotu w kierunku pionowym.
Odpowiedź: v = v s sin α
?
Zadanie KIN20
Po szynach porusza si˛e pusty wagon kolejowy ruchem jednostajnym z pr˛edkości˛
a vw .
Nagle padł strzał rewolwerowy w kierunku prostopadłym do toru i w płaszczyźnie
poziomej. Kula przebiła obie ściany wagonu. Otwór wylotowy był przesuni˛ety o a
w stosunku do wlotowego. Oblicz pr˛edkość kuli, jeżeli szerokość wagonu wynosi d .
Odpowiedź: v = vw da
?
Zadanie KIN21
Człowiek biegn˛
acy ze stał˛
a pr˛edkości˛
a vc trzyma w r˛eku dług˛
a rur˛e tak, że kropla
deszczu padaj˛
acego ruchem jednostajnym z pr˛edkości˛
a vd wpada do rury przez środek górnego otworu i wylatuje z niej przez środek dolnego otworu. Jaki jest k˛
at
nachylenia rury do poziomu?
Odpowiedź: α = tg−1
?
vd
vc
Zadanie KIN22
Przy jakim nachyleniu gładkiej deski przyspieszenie zsuwaj˛
acych si˛e po niej ciał jest
n razy mniejsze niż przyspieszenie ziemskie?
Odpowiedź: α = sin−1
1
n
4
?
Zadanie KIN23
Wysokość równi nachylonej pod k˛
atem α wynosi h. W ci˛
agu ilu sekund zsunie si˛e
po niej gładkie ciało?
p
2g h
Odpowiedź: g sin α
?
Zadanie KIN24
Przy jakim k˛
acie nachylenia równi zsuwaj˛
ace si˛e po niej ciała potrzebuj˛
a n razy wi˛ecej czasu niż przy swobodnym spadku z tej wysokości?
Odpowiedź: α = sin−1
??
1
n
Zadanie KIN25
Pod jakim k˛
atem musi być nachylony dach domu, aby krople deszczu ściekały po
nim w najkrótszym czasie?
Odpowiedź: α =
π
4
?
Zadanie KIN26
Jak˛
a pr˛edkość pocz˛
atkow˛
a należy nadać ciału sun˛
acemu pod gór˛e wzdłuż równi pochyłej o wysokości h, nachylonej pod k˛
atem α, aby zatrzymało si˛e na szczycie równi?
p
Odpowiedź: v0 = 2g h
?
Zadanie KIN27
Ze szczytu równi pochyłej o długości l , nachylonej pod k˛
atem α, zsuwa si˛e ciało A.
Jednocześnie pchni˛eto ciało B od dołu ku górze z tak˛
a pr˛edkości˛
a pocz˛
atkow˛
a, że
ciała min˛eły si˛e w połowie długości równi. Jak˛
a pr˛edkość pocz˛
atkow˛
a nadano ciału
B?
p
Odpowiedź: v0 = l g sin α
?
Zadanie KIN28
Przy strzelaniu z wiatrówki wycelowano do punktu środkowego tarczy, przy czym
lufa wiatrówki znajdowała si˛e w położeniu poziomym. Pocisk trafił o a niżej. Odległość tarczy od wylotu lufy wynosi d . Oblicz pr˛edkość pocisku w chwili wylotu z
lufy.
Æg
Odpowiedź: v = d 2a
5
?
Zadanie KIN29
Ze szczytu wieży o wysokości h rzucono ciało w kierunku poziomym, nadaj˛
ac mu
pr˛edkość pocz˛
atkow˛
a v0 . W jakim punkcie spadnie to ciało na ziemi˛e?
q
Odpowiedź: s = v0 2hg
?
Zadanie KIN30
Z wysokości h rzucono w kierunku poziomym kamień, nadaj˛
ac mu pr˛edkość v0 . W
odległości d kamień uderzył w pionow˛
a ścian˛e. Na jakiej wysokości kamień trafił w
ścian˛e?
Odpowiedź: H = h −
d2 g
2v02
?
Zadanie KIN31
Lotniarz szybuje na wysokości h i zamierza rzucić kamień w upatrzony cel. Jak˛
a
pr˛edkość posiada lotnia, jeżeli kamień rzucony poziomo z odległości s (mierzonej w
kierunku poziomym) od celu trafił w ten cel? Jak˛
a pr˛edkość b˛edzie miał kamień w
chwili upadku na ziemi˛e?
Æg
s2 g
Odpowiedź: vlot = s 2h , vkam = 2h + 2g h
?
Zadanie KIN32
Kamień rzucono pod k˛
atem α do poziomu z pr˛edkości˛
a v0 . Oblicz zasi˛eg rzutu,
maksymaln˛
a osi˛
agni˛et˛
a wysokość i czas trwania ruchu.
Odpowiedź: xmax =
?
v02 sin 2α
,
g
ymax =
v02 sin2 α
,
2g
t=
2v0 sin α
g
Zadanie KIN33
Pod jakim k˛
atem należy rzucić ciało, aby zasi˛eg rzutu był dwa razy wi˛ekszy od maksymalnej osi˛
agni˛etej wysokości?
Odpowiedź: α = tg−1 2
?
Zadanie KIN34
Kamień rzucony z pr˛edkości˛
a v0 pod k˛
atem α do poziomu trafia w pionow˛
a ścian˛e
znajduj˛
ac˛
a si˛e w odległości d . Na jakiej wysokości kamień trafił w ścian˛e?

‹
gd
Odpowiedź: h = d tg α − 2v 2 c o s 2 α
0
6
?
Zadanie KIN35
Jaki powinien być czas t opóźnienia zapłonu granatu wyrzuconego z pr˛edkości˛
a v0
pod k˛
atem α do poziomu, aby wybuch nast˛
apił w najwyższym punkcie toru?
Odpowiedź: t =
?
v0
g
sin α
Zadanie KIN36
W dżungli, w odległości x m od myśliwego, znajduje si˛e drzewo o wysokości y m . Na
samym czubku drzewa siedzi płochliwa małpa, która puszcza si˛e gał˛ezi i zaczyna
spadać dokładnie w momencie, w którym myśliwy strzela. Pod jakim k˛
atem myśliwy
musi ustawić swoj˛
a strzelb˛e aby trafić do małpy?
Odpowiedź: tg α =
?
ym
xm
Zadanie KIN37
U podstawy równi pochyłej wystrzelono pod k˛
atem θ do podłoża pocisk. Jak daleko,
licz˛
ac wzdłuż powierzchni równi, upadnie pocisk, jeśli równia nachylona jest pod
k˛
atem φ, a pr˛edkość pocz˛
atkowa pocisku wynosiła v?
Odpowiedź: s =
2v 2 cos θ sin(θ−φ)
g c o s 2φ
?
Zadanie KIN38
Dwa ciała wyrzucono z tego samego punktu z t˛
a sam˛
a pr˛edkości˛
a pocz˛
atkow˛
a v0 .
Jedno z nich wyrzucono do góry, drugie pod k˛
atem θ do podłoża. Jaka b˛edzie wartość odległości pomi˛edzy tymi ciałami w funkcji czasu?
p
Odpowiedź: d = v0 t 2 (1 − sin θ)
?
Zadanie KIN39
Armata wystrzeliła dwa pociski z tak˛
a sam˛
a pr˛edkości˛
a pocz˛
atkow˛
a v0 - jeden pod
k˛
atem θ1 , a drugi pod k˛
atem θ2 . Jaki musi być czas pomi˛edzy wystrzeleniem obu
pocisków, aby pociski zderzyły si˛e w locie?
Odpowiedź: t =
2v0 sin θ1 −θ2
g (cos θ1 +cos θ2 )
7
?
Zadanie KIN40
W chwili pocz˛
atkowej dwie cz˛
astki znajduj˛
a si˛e w tym samym miejscu i poruszaj˛
a
si˛e w przeciwnych kierunkach z pr˛edkościami v1 i v2 równolegle do podłoża. Jaka
b˛edzie odległość pomi˛edzy cz˛
astkami w chwili, w której ich pr˛edkości stan˛
a si˛e prostopadłe.
v +v p
Odpowiedź: d = 1 g 2 v1 v2
?
Zadanie KIN41
Równia pochyła o k˛
acie nachylenia α może przemieszczać si˛e w kierunku poziomym. Z jakim przyspieszeniem a powinna poruszać si˛e równia, aby swobodnie spadaj˛
ace na ni˛
a z góry ciało znajdowało si˛e stale w tej samej odległości (liczonej wzdłuż
linii pionowej) od nachylonej płaszczyzny równi? Zakładamy, że ruch ciała i równi
rozpoczyna si˛e w tej samej chwili oraz, że przyspieszenie ziemskie g jest dane.
Odpowiedź: a = g ctg α
??
Zadanie KIN42
Biedronka i żuczek znajduj˛
a si˛e w dwóch s˛
asiednich rogach kwadratowego stołu o
kraw˛edzi a. W pewnym momencie żuczek z pr˛edkości˛
a v z zaczyna iść w kierunku
rogu w którym znajduje si˛e biedronka. Biedronka zaczyna uciekać przed żuczkiem
w stron˛e s˛
asiedniego rogu z pr˛edkości˛
a v b . Kiedy odległość mi˛edzy biedronk˛
a a żuczkiem b˛edzie najmniejsza? Załóż, że owady poruszaj˛
a si˛e wzdłuż kraw˛edzi stołu.
Odpowiedź: t =
??
av z
v b2 +v z2
Zadanie KIN43
Wektor położenia ciała w funkcji czasu wyraża si˛e nast˛epuj˛
acym wzorem:
~r = R [cos φ(t ), sin φ(t )] .
Wyznacz pr˛edkość i przyspieszenie tego ciała w funkcji czasu.
Odpowiedź: v~ = ~˙r = Rφ̇φ̂, ~a = ~¨r = Rφ̈φ̂−Rφ̇2 r̂ , przy czym r̂ = [cos φ(t ), sin φ(t )],
φ̂ = [− sin φ(t ), cos φ(t )]
8
??
Zadanie KIN44
Samochód znajduje si˛e w punkcie A na otoczonej polem autostradzie. Kierowca chce
jak najszybciej dojechać do oddalonego o l od autostrady punktu B. W jakiej odległości od punktu D kierowca musi wjechać na pole, jeżeli pr˛edkość samochodu na
polu jest η razy mniejsza od pr˛edkości na autostradzie?
Odpowiedź: C D = p l2
η −1
??
Zadanie KIN45
Wektor przyspieszenia ciała zależy w nast˛epuj˛
acy sposób od czasu:
”
—
~a (t ) = 2e −t , 2 cos t , 3t 2 .
Pr˛edkość pocz˛
atkowa i położenie pocz˛
atkowe wynosz˛
a odpowiednio
v~0 = [4, −3, 2]
i
~x0 = [0, −1, 1].
Wyznacz wektor pr˛edkości i położenia ciała dla dowolnego czasu.
Odpowiedź: v~ (t ) = −2e −t + 6, 2 sin t − 3, t 3 + 2 ,
”
—
~x (t ) = 2e −t + 6t − 2, −2 cos t − 3t + 1, 14 t 4 + 2t + 1
??
Zadanie KIN46
Udowodnij, że pochodna wartości pr˛edkości po czasie jest równa składowej przyspieszenia w kierunku wektora pr˛edkości (przyspieszeniu stycznemu a s ).
Podpowiedź: Zróżniczkuj wartość pr˛edkości po czasie i przedstaw wynik jako iloczyn odpowiednich wektorów.
??
Zadanie KIN47
Ćma porusza si˛e po krzywej, której długość dana jest wzorem: s = s0 e c t , gdzie s0 i c
to stałe. Wiedz˛
ac, że wektor przyspieszenia w każdym punkcie toru tworzy k˛
at φ ze
styczn˛
a do toru, wyznacz wartość pr˛edkości, przyspieszenia stycznego, przyspieszenia normalnego i promień krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.
Odpowiedź: v = s0 c e c t , a s = s0 c 2 e c t , an = s0 c 2 tg φe c t , R = s ctg φ
9
??
Zadanie KIN48
Piłk˛e rzucono z pr˛edkości˛
a pocz˛
atkow˛
a v0 pod k˛
atem α wzgl˛edem powierzchni ziemi. Wyznacz wektor położenia, pr˛edkości i przyspieszenia ciała w dowolnej chwili
czasu. Oblicz przyspieszenie styczne i normalne.
—
”
Odpowiedź: ~r (t ) = v0 t cos α, v0 t sin α − 12 g t 2 , v~ (t ) = [v0 cos α, v0 sin α − g t ],
~a (t ) = [0, − g ], a s (t ) = p
??
g (g t −v0 sin α)
v02 −2v0 g t sin α+( g t )2
π
2
Zadanie KIN50
Balon odrywa si˛e od ziemi i unosi od góry ze stał˛
a pr˛edkości˛
a v0 . Wiatr nadaje mu
pr˛edkość poziom˛
a v = b y, gdzie b to stała a y to wysokość, na jakiej znajduje si˛e
balon. Znajdź drog˛e przebyt˛
a przez balon w kierunku poziomym w zależności od
wysokości, przyspieszenie całkowite, styczne i normalne balonu w funkcji wysokości.
Odpowiedź: x(y) =
??
g v0 cos α)
v02 −2v0 g t sin α+(g t )2
Zadanie KIN49
Współrz˛edne poruszaj˛
acej si˛e cz˛
astki wynosz˛
a x = a sin ωt i y = a(1 − cos ωt ), przy
czym a i ω to dodatnie stałe. Jak˛
a drog˛e przeb˛edzie cz˛
astka po upływie czasu t ? Jaki
k˛
at tworzy wektor pr˛edkości z wektorem przyspieszenia?
Odpowiedź: s = aωt , φ =
??
, a s (t ) = p
b y2
,
2v0
a = b v0 , a s =
r
b2y
2
by
v0
+1
, an =
r
b v0
2
by
v0
+1
Zadanie KIN51
Po rzece płynie łódka ze stał˛
a wzgl˛edem wody pr˛edkości˛
a v l , prostopadł˛
a do kierunku pr˛
adu. Woda w rzece płynie wsz˛edzie równolegle do brzegów, ale wartość jej
pr˛edkości vw zależy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem: vw = v0 sin πL y,
gdzie v0 i L to stałe (L - szerokość rzeki). Znajdź wartość wektora pr˛edkości łódki
wzgl˛edem brzegu rzeki i odległość, na jak˛
a woda zniosła łódk˛e w dół rzeki.
Æ
2v L
Odpowiedź: v = v l2 + v02 sin2 πL y, d = πv0
l
??
Zadanie KIN52
Łódka, której pr˛edkość wzgl˛edem wody ma stał˛
a w czasie wartość v, porusza si˛e prostopadle do brzegu rzeki (wzgl˛edem obserwatora znajduj˛
acego si˛e na brzegu). Woda
w rzece płynie równolegle do brzegów, alepwartość jej pr˛edkości zależy od odległości
y od brzegu i dana jest wzorem v r (y) = v y/a. Szerokość rzeki wynosi a. Wyznacz
zależność położenia łódki y l (w kierunku prostopadłej do brzegów osi OY ) od czasu
i oblicz czas t potrzebny na przepłyni˛ecie z jednego brzegu na drugi.
Odpowiedź: y l (t ) = a − 4a1 (v t − 2a)2 , t =
2a
v
10
??
Zadanie KIN53
Odległość cz˛
astki od środka układu współrz˛ednych wyrażona jest równaniem ~r =
~ t (1−αt ), gdzie w
~ to stały, niezerowy wektor a α - dodatnia stała. Znajdź pr˛edkość i
w
przyspieszenie cz˛
astki w funkcji czasu oraz czas, po jakim cz˛
astka wróci do położenia
pocz˛
atkowego i drog˛e, jak˛
a do tego czasu pokona.
~ − 2αt ), ~a = −2wα,
~ t = α1 , s =
Odpowiedź: v~ = w(1
??
?
w
2α
Zadanie KIN54
Przyspieszenie styczne pewnej cz˛
astki wyrażone jest nast˛epuj˛
acym wzorem: a s =
~ τ , gdzie w
~ to stały w czasie wektor równoległy do osi X , a τ
~ - wersor, którego
w~
kierunek i zwrot pokrywaj˛
a si˛e z kierunkiem i zwrotem wektora pr˛edkości. Jaka jest
wartość pr˛edkości cz˛
astki w funkcji jej x-sowej współrz˛ednej położenia?
p
Odpowiedź: v = 2w x
Zadanie KIN55
Isaac Newton, w swojej ksi˛edze De Mundi Systemate Liber, zawarł eksperyment
myślowy pokazuj˛
acy, że planety s˛
a utrzymywane na orbitach dzi˛eki siłom dośrodkowym. Wyobraźmy sobie, że znajdujemy si˛e na górze o wysokości h i mamy do
swojej dyspozycji działo, którego lufa skierowana jest w kierunku równoległym do
podłoża. Z jak˛
a pr˛edkości˛
a musimy wystrzelić pocisk z tego działa, aby stał si˛e on
satelit˛
a Ziemi? Dany jest promień Ziemi R (h R).
p
Odpowiedź: v = R g
?
Zadanie KIN56
Promienie okr˛egów, zataczanych przez dwa ciała, s˛
a w stosunku 2 : 3, a okresy ruchu
tych ciał s˛
a w stosunku 3 : 4. W jakim stosunku s˛
a ich przyspieszenia dośrodkowe?
Odpowiedź: 32 : 27
11
?
Zadanie KIN57
Punkty A i B zataczaj˛
a okr˛egi o promieniach RA i RB . W jakim stosunku s˛
a okresy
ich ruchu, jeżeli ich przyspieszenia dośrodkowe s˛
a równe?
p
p
Odpowiedź: RA : RB
??
Zadanie KIN58
Wyznacz wzory na pr˛edkość radialn˛
a v r i transwersaln˛
a vφ ciała oraz przyspieszenie
radialne a r i transwersalne aφ .
€ Š2
Odpowiedź: v r = ṙ , vφ = r φ̇, a r = r̈ − r φ̇ , aφ = 2ṙ φ̇ + r φ̈
??
Zadanie KIN59
Ciało porusza si˛e po okr˛egu o stałym w czasie promieniu R ze a) stał˛
a pr˛edkości˛
a
dφ
atowym " = ddωt . Znajdź w obu przyk˛
atow˛
a ω = d t ; b) stałym przyspieszeniem k˛
padkach zależność k˛
ata φ od czasu.
Odpowiedź: a) φ(t ) = φ0 + ωt ; b) φ(t ) = φ0 + ω0 t + 12 "t 2
??
Zadanie KIN60
Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie odniesienia opisuj˛
a równania
r = b t i φ = c/t , gdzie b i c to stałe. Znajdź tor ruchu, pr˛edkość i przyspieszenie
punktu.
Ç
€ Š2
2
Odpowiedź: r (φ) = bφc , v = b 1 + ct , a = btc3
??
Zadanie KIN61
Koło o promieniu R obraca si˛e tak, że k˛
at obrotu promienia koła zależy od czasu w
nast˛epuj˛
acy sposób: φ(t ) = A + B t + C t 3 , gdzie A, B i C to stałe. Wyznaczyć dla
punktów położonych w odległości 3/4 R od osi obrotu pr˛edkość k˛
atow˛
a, pr˛edkość
liniow˛
a, przyspieszenie styczne i normalne.
2
Odpowiedź: ω = B + 3c t 2 , v = 43 R B + 3c t 2 , a s = 92 RC t , an = 43 R B + 3c t 2
??
Zadanie KIN62
Okr˛
ag o promieniu R toczy si˛e ruchem jednostajnym z pr˛edkości˛
a k˛
atow˛
a ω po
prostej. Wyznacz wektor położenia i pr˛edkości w dowolnej chwili czasu dla tego
punktu na okr˛egu, który w chwili pocz˛
atkowej stykał si˛e z prost˛
a. Wyznacz również
drog˛e przebyt˛
a przez punkt w funkcji czasu.
Odpowiedź:
€ ~r (t ) = ŠR [ωt − sin ωt , 1 − cos ωt ], v~ (t ) = Rω [1 − cos ωt , sin ωt ],
s (t ) = 4R 1 − cos ωt
2
12
??
Zadanie KIN63
Kolista tarcza o promieniu R wiruje ze stał˛
a pr˛edkości˛
a ω. Ze środka tarczy wyrusza
biedronka i porusza si˛e wzdłuż promienia ze stał˛
a pr˛edkości˛
a v0 . Znajdź: a) równania
ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia we współrz˛ednych kartezjańskich i biegunowych, b) zależność od czasu wartości wektora pr˛edkości oraz jego składowych radialnej v r i transwersalnej vφ , c) zależność od czasu wartości wektora przyspieszenia, jak również jego składowych: radialnej a r , transwersalnej aφ oraz
normalnej an i stycznej a s .
v
Odpowiedź: a) r (t ) = v0 t , φ(t ) = ωt , ~r (t ) = v0 t [cos ωt , sin ωt ], r (φ) = ω0 φ,
h
Æ
i
y
= tg vω x 2 + y 2 , b) v r = v0 , vφ = ωv0 t , v = v0 1 + (ωt )2 , c) a r = −ω 2 v0 t ,
x
0
Æ
v ω [2+(ωt )2 ]
ω2 v t
aφ = 2ωv0 , a = v0 ω 4 + (ωt )2 , a s = p 0 2 , an = 0p
2
1+(ωt )
??
1+(ωt )
Zadanie KIN64
Rzeka o szerokości d tworzy zakole o promieniu wewn˛etrznym D. Pr˛edkość przepływu wody w zakolu wynosi vw . Pływak przepływa z brzegu wewn˛etrznego na
zewn˛etrzny w ten sposób, że cały czas utrzymuje kierunek prostopadły do brzegu
zewn˛etrznego, a jego pr˛edkość wzgl˛edem wody wynosi v p . Znajdź równanie toru
pływaka r (φ) we współrz˛ednych biegunowych, przyjmuj˛
ac pocz˛
atek układu odniesienia w środku zakola. Jakiego odchylenia ∆l , liczonego wzdłuż brzegu zewn˛etrznego, dozna pływak? Jak˛
a drog˛e s przeb˛edzie pływak podczas przeprawy? Znajdź
przyspieszenie radialne, transwersalne styczne i normalne pływaka.
vp
q
φ
Odpowiedź: r (φ) = D e vw , ∆l =
aφ =
v p vw
vp
, a s = 0, an =
t +D
vw
q
vw
(D
vp
+ d ) ln
v 2p +vw2
v p t +D
13
D+d
,
D
s=d
v 2p +vw2
vp
, ar = − v
vw2
,
p t +D
??
Zadanie KIN65
Sternik motorówki, zbliżaj˛
acej si˛e do małej wysepki postanawia, że b˛edzie zbliżał si˛e
do niej ze stał˛
a pr˛edkości˛
a u, jednocześnie okr˛
ażaj˛
ac j˛
a ze stał˛
a pr˛edkości˛
a k˛
atow˛
a
ω. Zakładaj˛
ac, że w momencie rozpocz˛ecia manewru odległość od środka wysepki
wynosiła D, znajdź równanie toru motorówki we współrz˛ednych biegunowych oraz
składow˛
a styczn˛
a i normaln˛
a przyspieszenia, jak również promień krzywizny toru
jako funkcj˛e bież˛
acej odległości od środka wyspy r .
r
4u 2 [ u 2 +(ω r )2 ]+(ω r )4
uφ
ω2 u r
,
,
a
=
ω
Odpowiedź: r (φ) = D − ω , a s = − p 2
n
2
u 2 +(ω r )2
u +(ω r )
3
[ u 2 +(ω r )2 ] 2
R= q 2 2
ω 4u [ u +(ω r )2 ]+(ω r )4
??
Zadanie KIN66
Znajdź tor, po jakim w płaszczyźnie XOY leci samolotem ponaddźwi˛ekowym ze
stał˛
a pr˛edkości˛
a v pilot, który chce, aby jego koledzy stoj˛
acy na lotnisku usłyszeli w
tym samym czasie huk silnika z każdej strony. Pr˛edkość dźwi˛eku wynosi c, samolot
w chwili pocz˛
atkowej t = 0 znajdował si˛e w odległości r0 od kolegów stoj˛
acych na
lotnisku.
φ
−p
v 2 −1
(
c)
Odpowiedź: r (φ) = r0 e
??
Zadanie KIN67
Punkt porusza si˛e po okr˛egu p
o promieniu R. Jego pr˛edkość zależy od przebytej drogi
ata
w nast˛epuj˛
acy sposób: v = a s , przy czym a to dodatnia stała. Znajdź tangens k˛
(w funkcji przebytej drogi) pomi˛edzy wektorem pr˛edkości a wektorem całkowitego
przyspieszenia.
Odpowiedź: tg φ =
2s
R
14
??
Zadanie KIN68
Znajdź równanie φ(t ) punktu poruszaj˛
acego si˛e po okr˛egu, jeżeli k˛
at pomi˛edzy wektorem przyspieszenia a promieniem wodz˛
acym ma stał˛
a wartość α. Przyjmij, że warunki pocz˛
atkowe s˛
a nast˛epuj˛
ace: φ(0) = 0, φ̇(0) = ω0 .
Odpowiedź: φ(t ) = ctg α ln (ω0 t tg α + 1)
??
Zadanie KIN69
Punkt porusza si˛e ruchem opóźnionym po okr˛egu o promieniu R w taki sposób,
że jego przyspieszenia styczne i normalne s˛
a sobie w każdej chwili co do modułu
równe. W chwili pocz˛
atkowej t = 0 pr˛edkość punktu wynosiła v0 . Znajdź wartość
pr˛edkości punktu jako funkcj˛e czasu i przebytej drogi s, oraz wartość całkowitego
przyspieszenia punktu jako funkcj˛e pr˛edkości i przebytej drogi.
p 2
p v2
Odpowiedź: v = t +1 1 , v = v0 e −s/R , a = 2 vR , a = 2 R0 e −2s/R
R
??
Zadanie KIN70
Ciało wiruje wokół pewnej osi z pr˛edkości˛
a k˛
atow˛
a ω = ω0 − aφ, gdzie ω0 i a to
dodatnie stałe. Znajdź wartość k˛
ata i pr˛edkości k˛
atowej od czasu.
Odpowiedź: φ(t ) =
??
ω0
a
(1 − e −a t ), ω(t ) = ω0 e −a t
Zadanie KIN71
Ciało wiruje wokół pewnej osi w taki sposób, że jego opóźnienie k˛
atowe jest proporcjonalne do pierwiastka z pr˛edkości k˛
atowej. Wyznacz średni˛
a pr˛edkość k˛
atow˛
a
ciała liczon˛
a od chwili pocz˛
atkowej t = 0 do momentu zatrzymania, jeżeli w chwili
pocz˛
atkowej pr˛edkość k˛
atowa ciała wynosiła ω0 .
Odpowiedź: 〈ω〉 =
??
v0
ω0
3
Zadanie KIN72
Ciało zaczyna wirować wokół pewnej osi z przyspieszeniem k˛
atowym " = a t , gdzie
a to dodatnia stała. Po upływie jakiego czasu, licz˛
ac od pocz˛
atku ruchu, dla dowolnego punktu należ˛
acego do ciała wektor całkowitego przyspieszenia b˛edzie tworzył
k˛
at α z wektorem pr˛edkości?
Æ
Odpowiedź: t = 3 a4 tg α
15
??
Zadanie KIN73
Ciało wiruje wokół pewnej osi tak, że φ(t ) = a t − b t 3 , przy czym a i b to dodatnie
stałe. Wyznacz średni˛
a pr˛edkość k˛
atow˛
a i przyspieszenie k˛
atowe od chwili t = 0
do momentu zatrzymania. Jakie przyspieszenie k˛
atowe b˛edzie miało ciało w chwili
zatrzymania?
p
p
Odpowiedź: 〈ω〉 = 32 a, 〈"〉 = − 3a b , " = −2 3a b
?
Zadanie KIN74
Pocisk uzyskuje pr˛edkość wylotow˛
a v po wykonaniu n obrotów w lufie o długości l .
Zakładaj˛
ac, że pocisk porusza si˛e w lufie z przyspieszeniem stałym, znajdź pr˛edkość
k˛
atow˛
a pocisku w chwili opuszczenia lufy.
Odpowiedź: ω =
2πv n
l
16